通信原理第10章數(shù)字信號的最佳接收ppt課件

1、通訊原理通訊原理第第10章章 數(shù)字信號最正確接納數(shù)字信號最正確接納第10章 數(shù)字信號最正確接納l10.1數(shù)字信號的統(tǒng)計特性數(shù)字信號的統(tǒng)計特性l以二進制為例研討接納電壓的統(tǒng)計特性。以二進制為例研討接納電壓的統(tǒng)計特性。l假設：通訊系統(tǒng)中的噪聲是均值為假設：通訊系統(tǒng)中的噪聲是均值為0的帶限高斯的帶限高斯白噪聲，其單邊功率譜密度為白噪聲，其單邊功率譜密度為n0；并設發(fā)送的二；并設發(fā)送的二進制碼元為進制碼元為“0和和“1，其發(fā)送概率分別為，其發(fā)送概率分別為P(0)和和P(1)，那么有，那么有l(wèi)P(0) + P(1) = 1l假設此通訊系統(tǒng)的基帶截止頻率小于假設此通訊系統(tǒng)的基帶截止頻率小于fH，那么根，那

2、么根據低通訊號抽樣定理，接納噪聲電壓可以用其抽據低通訊號抽樣定理，接納噪聲電壓可以用其抽樣值表示，抽樣速率要求不小于其奈奎斯特速率樣值表示，抽樣速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH。l設在一個碼元繼續(xù)時間設在一個碼元繼續(xù)時間Ts內以內以2fH的速率抽樣，的速率抽樣，共得到共得到k個抽樣值：，那么有個抽樣值：，那么有k 2fHTs。第10章 數(shù)字信號最正確接納n由于每個噪聲電壓抽樣值都是正態(tài)分布的隨機變量，故其一維概率密度可以寫為n式中，n 噪聲的規(guī)范偏向；n n2 噪聲的方差，即噪聲平均功率；n i 1，2，k。n設接納噪聲電壓n(t)的k個抽樣值的k維結合概率密度函數(shù)為n 222exp21)(

3、nininnf),(21kknnnf第10章 數(shù)字信號最正確接納n由高斯噪聲的性質可知，高斯噪聲的概率分布經過帶限線性系統(tǒng)后仍為高斯分布。所以，帶限高斯白噪聲按奈奎斯特速率抽樣得到的抽樣值之間是互不相關、相互獨立的。這樣，此k 維結合概率密度函數(shù)可以表示為n當k 很大時，在一個碼元繼續(xù)時間Ts內接納的噪聲平均功率可以表示為：n或者將上式左端的求和式寫成積分式，那么上式變成kiinknkkknnfnfnfnnnf122212121exp21)()()(),(kiisHkiinTfnk1212211kiisHTsnTfdttnTs120221)(1第10章 數(shù)字信號最正確接納n利用上式關系，并留意

4、到 n式中 n0 噪聲單邊功率譜密度n那么前式的結合概率密度函數(shù)可以改寫為：n式中n n = (n1, n2, , nk) k 維矢量，表示一個碼元內噪聲的k個抽樣值。n需求留意，f(n)不是時間函數(shù)，雖然式中有時間函數(shù)n(t)，但是后者在定積分內，積分后曾經與時間變量t無關。n是一個k維矢量，它可以看作是k 維空間中的一個點。 Hnfn02sTkndttnnf020)(1exp21)(n)()()(),()(2121kkknfnfnfnnnffn n第10章 數(shù)字信號最正確接納n在碼元繼續(xù)時間Ts、噪聲單邊功率譜密度n0和抽樣數(shù)k它和系統(tǒng)帶寬有關給定后，f(n)僅決議于該碼元期間內噪聲的能量

5、：n由于噪聲的隨機性，每個碼元繼續(xù)時間內噪聲的波形和能量都是不同的，這就使被傳輸?shù)拇a元中有一些會發(fā)生錯誤，而另一些那么無錯。sTdttn02)(第10章 數(shù)字信號最正確接納n設接納電壓r(t)為信號電壓s(t)和噪聲電壓n(t)之和:nr(t) = s(t) + n(t)n那么在發(fā)送碼元確定之后，接納電壓r(t)的隨機性將完全由噪聲決議，故它仍服從高斯分布，其方差仍為n2，但是均值變?yōu)閟(t)。所以，當發(fā)送碼元“0的信號波形為s0(t)時，接納電壓r(t)的k維結合概率密度函數(shù)為n式中 r = s + n k 維矢量，表示一個碼元內接納電壓的k個抽 樣值；n s k 維矢量，表示一個碼元內信號

6、電壓的k個抽樣值。ndttstrnfsTkn20000)()(1exp21)(r r第10章 數(shù)字信號最正確接納n同理，當發(fā)送碼元“1“的信號波形為s1(t)時，接納電壓r(t)的k維結合概率密度函數(shù)為n順便指出，假設通訊系統(tǒng)傳輸?shù)氖荕 進制碼元，即能夠發(fā)送s1，s2，si，sM之一，那么按上述原理不難寫出當發(fā)送碼元是si時，接納電壓的k 維結合概率密度函數(shù)為nn仍需記住，以上三式中的k 維結合概率密度函數(shù)不是時間t的函數(shù)，并且是一個標量，而r 仍是k維空間中的一個點，是一個矢量。dttstrnfsTkn20101)()(1exp21)(r rdttstrnfsTikni200)()(1exp

7、21)(r r第10章 數(shù)字信號最正確接納l10.2 數(shù)字信號的最正確接納數(shù)字信號的最正確接納l“最正確的準那么：錯誤概率最小最正確的準那么：錯誤概率最小l產生錯誤的緣由：暫不思索失真的影響，產生錯誤的緣由：暫不思索失真的影響，主要討論在二進制數(shù)字通訊系統(tǒng)中如何使主要討論在二進制數(shù)字通訊系統(tǒng)中如何使噪聲引起的錯誤概率最小。噪聲引起的錯誤概率最小。l判決規(guī)那么判決規(guī)那么l設在一個二進制通訊系統(tǒng)中發(fā)送碼元設在一個二進制通訊系統(tǒng)中發(fā)送碼元“1的概率為的概率為P(1)，發(fā)送碼元，發(fā)送碼元“0的概率的概率為為P(0)，那么總誤碼率，那么總誤碼率Pe等于等于l式中式中l(wèi)Pe1 = P(0/1) 發(fā)送發(fā)送“

8、1時，收到時，收到“0的條件概率；的條件概率；l Pe0 = P(1/0) 發(fā)送發(fā)送“0時，收時，收到到“1的條件概率；的條件概率；l上面這兩個條件概率稱為錯誤轉移概率。上面這兩個條件概率稱為錯誤轉移概率。01)0() 1 (eeePPPPP第10章 數(shù)字信號最正確接納按照上述分析，接納端收到的每個碼元繼續(xù)時間內的電壓可以用一個k 維矢量表示。接納設備需求對每個接納矢量作判決，斷定它是發(fā)送碼元“0，還是“1。由接納矢量決議的兩個結合概率密度函數(shù)f0(r)和f1(r)的曲線畫在以下圖中在圖中把r 當作1維矢量畫出。：可以將此空間劃分為兩個區(qū)域A0和A1，其邊境是r0，并將判決規(guī)那么規(guī)定為： 假設

9、接納矢量落在區(qū)域A0內，那么判為發(fā)送碼元是“0；假設接納矢量落在區(qū)域A1內，那么判為發(fā)送碼元是“1。A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)第10章 數(shù)字信號最正確接納顯然，區(qū)域A0和區(qū)域A1是兩個互不相容的區(qū)域。當這兩個區(qū)域的邊境r0確定后，錯誤概率也隨之確定了。這樣，總誤碼率可以寫為式中，P(A0/1)表示發(fā)送“1時，矢量r落在區(qū)域A0的條件概率 P(A1/0)表示發(fā)送“0時， 矢量r落在區(qū)域A1的條件概率這兩個條件概率可以寫為：這兩個概率在圖中分別由兩塊陰影面積表示。 A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)0/()0() 1/() 1 (10

10、APPAPPPe0)() 1/(10AdfAPr rr r1)()0/(01AdfAPr rr r第10章 數(shù)字信號最正確接納將上兩式代入得到參考上圖可知，上式可以寫為上式表示Pe是r0的函數(shù)。為了求出使Pe最小的判決分界點r0，將上式對r0求導 并令導函數(shù)等于0，求出最正確分界點r0的條件：)0/()0() 1/() 1 (10APPAPPPe10)()0()() 1 (01AAedfPdfPPr rr rr rr r00)()0()() 1 (01rredfPdfPPr rr rr rr rA0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)()0()() 1 (00010r r

11、r rr rfPfPPe0)()0()() 1 (0001r rr rfPfP第10章 數(shù)字信號最正確接納即領先驗概率相等時，即P(1) = P(0)時，f0(r0) = f1(r0)，所以最正確分界點位于圖中兩條曲線交點處的r 值上。在判決邊境確定之后，按照接納矢量r 落在區(qū)域A0應判為收到的是“0的判決準那么，這時有：假設 那么判為“0 ；反之，假設那么判為“1 。在發(fā)送“0和發(fā)送“1的先驗概率相等時，上兩式的條件簡化為：0)()0()() 1 (0001r rr rfPfP)()()0() 1 (0100r rr rffPP)()()0() 1 (10r rr rffPP)()()0()

12、 1 (10r rr rffPPA0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0) 假設f0(r) f1(r)，那么判為“0 假設f0(r) f1(r)，那么判為“1第10章 數(shù)字信號最正確接納這個判決準那么常稱為最大似然準那么。按照這個準那么判決就可以得到實際上最正確的誤碼率，即到達實際上的誤碼率最小值。以上對于二進制最正確接納準那么的分析，可以推行到多進制信號的場所。設在一個M 進制數(shù)字通訊系統(tǒng)中，能夠的發(fā)送碼元是s1，s2，si，sM之一，它們的先驗概率相等，能量相等。當發(fā)送碼元是si時，接納電壓的k 維結合概率密度函數(shù)為于是，假設 那么判為si(t)，其中，dttstrnf

13、sTikni200)()(1exp21)(r r),()(r rr rjiffMjij, 2, 1第10章 數(shù)字信號最正確接納l10.3 確知數(shù)字信號的最正確接納機確知數(shù)字信號的最正確接納機l確知信號：指其取值在任何時間都是確定確知信號：指其取值在任何時間都是確定的、可以預知的信號。的、可以預知的信號。l判決準那么判決準那么l當發(fā)送碼元為當發(fā)送碼元為“0，波形為，波形為so(t)時，接納時，接納電壓的概率密度為電壓的概率密度為l當發(fā)送碼元為當發(fā)送碼元為“1，波形為，波形為s1(t)時，接納時，接納電壓的概率密度為電壓的概率密度為l因此，將上兩式代入判決準那么式，經過因此，將上兩式代入判決準那么

14、式，經過簡化，得到：簡化，得到：dttstrnfsTkn20000)()(1exp21)(r rdttstrnfsTkn20101)()(1exp21)(r r第10章 數(shù)字信號最正確接納假設那么判為發(fā)送碼元是s0(t)；假設 那么判為發(fā)送碼元是s1(t)。 將上兩式的兩端分別取對數(shù)，得到假設那么判為發(fā)送碼元是s0(t)；反之那么判為發(fā)送碼元是s1(t)。由于曾經假設兩個碼元的能量一樣，即所以上式還可以進一步簡化。 ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp) 1 (ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0

15、()()(1exp) 1 (ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1lnssTTdttsdtts021020)()(第10章 數(shù)字信號最正確接納假設式中那么判為發(fā)送碼元是s0(t)；反之，那么判為發(fā)送碼元是s1(t)。W0和W1可以看作是由先驗概率決議的加權因子。最正確接納機按照上式畫出的最正確接納機原理方框圖如下：ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()()0(ln200PnW ) 1 (ln201PnW 第10章 數(shù)字信號最正確接納W1r(t)S1(t)S0(t)W0t = Ts比較判決積分器積分器ssTTodt

16、tstrWdttstrW00011)()()()(r(t)S0(t)S1(t)積分器積分器比較判決t = Ts第10章 數(shù)字信號最正確接納假設此二進制信號的先驗概率相等，那么上式簡化為最正確接納機的原理方框圖也可以簡化成 ssTTdttstrdttstr0001()()()(）ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()(第10章 數(shù)字信號最正確接納由上述討論不難推出M 進制通訊系統(tǒng)的最正確接納機構造 上面的最正確接納機的中心是由相乘和積分構成的相關運算，所以常稱這種算法為相關接納法。由最正確接納機得到的誤碼率是實際上能夠到達的最小值。 積分器r(t)SM(t)S0(t)S1

17、(t)比較判決積分器積分器第10章 數(shù)字信號最正確接納l10.4 確知數(shù)字信號最正確接納的誤碼率確知數(shù)字信號最正確接納的誤碼率l總誤碼率總誤碼率l在最正確接納機中，假設在最正確接納機中，假設ll那么判為發(fā)送碼元是那么判為發(fā)送碼元是s0(t)。因此，在發(fā)。因此，在發(fā)送碼元為送碼元為s1(t)時，假設上式成立，那么將時，假設上式成立，那么將發(fā)生錯誤判決。所以假設將發(fā)生錯誤判決。所以假設將r(t) = s1(t) + n(t)代入上式，那么上式成立的概率就是在發(fā)代入上式，那么上式成立的概率就是在發(fā)送碼元送碼元“1的條件下收到的條件下收到“0的概率，的概率，即發(fā)生錯誤的條件概率即發(fā)生錯誤的條件概率P(

18、0 / 1)。此條件概。此條件概率的計算結果如下率的計算結果如下 ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1lnaxdxeaPP22221)() 1/0(第10章 數(shù)字信號最正確接納式中同理，可以求出發(fā)送s0(t)時，判決為收到s1(t)的條件錯誤概率式中axdxeaPP22221)() 1/0(sTdttstsPPna02010)()(21) 1 ()0(ln2sTdttstsnD020102)()(2)(bxdxebPP22221)()0/1 (STdttstsPPnb02100)()(21)0() 1 (ln2第10章 數(shù)字信號最正確

19、接納因此，總誤碼率為先驗概率對誤碼率的影響領先驗概率P(0) = 0及P(1) = 1時，a = - 及b = ，因此由上式計算出總誤碼率Pe = 0。在物理意義上，這時由于發(fā)送碼元只需一種能夠性，即是確定的“1。因此，不會發(fā)生錯誤。同理，假設P(0) = 1及P(1) = 0 ，總誤碼率也為零。 21)0(21) 1 ()0/1 ()0() 1/0() 1 (222222dxePdxePPPPPPbxaxe第10章 數(shù)字信號最正確接納u領先驗概率相等時：uP(0) = P(1) = 1/2，a = b。這樣，上式可以化簡為u式中u上式闡明，領先驗概率相等時，對于給定的噪聲功率2，誤碼率僅和兩

20、種碼元波形之差s0(t) s1(t)的能量有關，而與波形本身無關。差別越大，c 值越小，誤碼率Pe也越小。 u領先驗概率不等時：u由計算闡明，先驗概率不等時的誤碼率將略小于先驗概率相等時的誤碼率。就誤碼率而言，先驗概率相等是最壞的情況。dxePcxe22221sTdttstsc0210)()(21第10章 數(shù)字信號最正確接納n先驗概率相等時誤碼率的計算n在噪聲強度給定的條件下，誤碼率完全決議于信號碼元的區(qū)別。如今給出定量地描畫碼元區(qū)別的一個參量，即碼元的相關系數(shù) ，其定義如下：n式中nE0、E1為信號碼元的能量。n當s0(t) = s1(t)時，1，為最大值；當s0(t) = -s1(t)時，

21、1，為最小值。所以 的取值范圍在-1 +1。 10010021020010)()()()()()(EEdttstsdttsdttsdttstsssssTTTTsTdttsE0200)(sTdttsE0211)(第10章 數(shù)字信號最正確接納當兩碼元的能量相等時，令E0 = E1 = Eb，那么上式可以寫成并且將上式代入誤碼率公式，得到為了將上式變成適用的方式，作如下的代數(shù)變換：令那么有bTEdttstsS010)()()1 ()()(210210bTEdttstscSdxedxePbExcxe)1 (22222221212/xz 2222/xz 2/dxdz 第10章 數(shù)字信號最正確接納于是上式

22、變?yōu)槭街?利用下式中2和n0關系代入上式，得到誤碼率最終表示式：2)1 (121221112212/ )1 (2/ )1 (2/ )1 (2/ )1 (2222bEzEzEzEzeEerfdzedzedzedzePbbbbxzdzexerf022)()1 ()()(2)(0020102bTEndttstsnDs002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfPbbe第10章 數(shù)字信號最正確接納式中 誤差函數(shù) 補誤差函數(shù) Eb 碼元能量； 碼元相關系數(shù)； n0 噪聲功率譜密度。上式是一個非常重要的實際公式，它給出了實際上二進制等能量數(shù)字信號誤碼率的最正確最小能夠值。在以下圖中畫出了它的曲

23、線。實踐通訊系統(tǒng)中得到的誤碼率只能夠比它差，但是絕對不能夠超越它。002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfPbbexzdzexerf022)()(1)(xerfxerfc第10章 數(shù)字信號最正確接納n誤碼率曲線dB第10章 數(shù)字信號最正確接納n最正確接納性能特點n誤碼率僅和Eb / n0以及相關系數(shù)有關，與信號波形及噪聲功率無直接關系。 n碼元能量Eb與噪聲功率譜密度n0之比，實踐上相當于信號噪聲功率比Ps/Pn。由于假設系統(tǒng)帶寬B等于1/Ts，n那么有nn按照能消除碼間串擾的奈奎斯特速率傳輸基帶信號時，所需的最小帶寬為(1/2Ts) Hz。對于已調信號，假設采用的是2PSK或

24、2ASK信號，那么其占用帶寬該當是基帶信號帶寬的兩倍，即恰好是(1/Ts) Hz。所以，在工程上，通常把(Eb/n0)當作信號噪聲功率比對待。nssssssbPPBnPTnPnTPnE0000)/1 (第10章 數(shù)字信號最正確接納u相關系數(shù) 對于誤碼率的影響很大。當兩種碼元的波形一樣，相關系數(shù)最大，即 = 1時，誤碼率最大。這時的誤碼率Pe = 1/2。由于這時兩種碼元波形沒有區(qū)別，接納端是在沒有根據的亂猜。當兩種碼元的波形相反，相關系數(shù)最小，即 = -1時，誤碼率最小。這時的最小誤碼率等于 uu例如，2PSK信號的相關系數(shù)就等于 -1。u當兩種碼元正交，即相關系數(shù) 等于0時，誤碼率等于u例如

25、，2FSK信號的相關系數(shù)就等于或近似等于零。0021121nEerfcnEerfPbbe002212121nEerfcnEerfPbbe第10章 數(shù)字信號最正確接納u假設兩種碼元中有一種的能量等于零，例如2ASK信號，那么u誤碼率為u比較以上3式可見，它們之間的性能差3dB，即2ASK信號的性能比2FSK信號的性能差3dB，而2FSK信號的性能又比2PSK信號的性能差3dB。sTdttsc020)(21004214121nEerfcnEerfPbbe第10章 數(shù)字信號最正確接納n多進制通訊系統(tǒng)n假設不同碼元的信號正交，且先驗概率相等，能量也相等，那么其最正確誤碼率計算結果如下：n式中，M 進制

26、數(shù)；n E M 進制碼元能量；n n0 單邊噪聲功率譜密度。n由于一個M 進制碼元中含有的比特數(shù)k 等于log2M，故每個比特的能量等于n并且每比特的信噪比為n以下圖畫出了誤碼率Pe與Eb/n0關系曲線。 dyedxePyMnEyxe212/12220221211MEEb2log/knEMnEnEb0200log第10章 數(shù)字信號最正確接納u誤碼率曲線u由此曲線看出，對于u給定的誤碼率，當ku增大時，需求的信噪u比Eb/n0減小。當k 增u大到時，誤碼率曲u線變成一條垂直線；u這時只需Eb/n0等于u0.693(-1.6 dB)，就能u得到無誤碼的傳輸。Pe0.693Eb/n0第10章 數(shù)字信

27、號最正確接納l10.5 隨相數(shù)字信號的最正確接納隨相數(shù)字信號的最正確接納l假設：假設：l 2FSK信號的能量相等、先驗概率相等、互信號的能量相等、先驗概率相等、互不相關；不相關；l通訊系統(tǒng)中存在帶限白色高斯噪聲；通訊系統(tǒng)中存在帶限白色高斯噪聲；l接納信號碼元相位的概率密度服從均勻分接納信號碼元相位的概率密度服從均勻分布。布。l因此，可以將此信號表示為：因此，可以將此信號表示為：ll及將此信號隨機相位的概率密度表示為：及將此信號隨機相位的概率密度表示為：)cos(),()cos(),(11110000tAtstAts其他處, 020,2/1)(00f其他處, 020,2/1)(11f第10章 數(shù)

28、字信號最正確接納n判決條件：由于已假設碼元能量相等，故有n在討論確知信號的最正確接納時，對于先驗概率相等的信號，按照下式條件作判決：n假設接納矢量r使f1(r) f0(r)，那么判發(fā)送碼元是“0，n假設接納矢量r使f0(r) f1(r)，那么判發(fā)送碼元是“1。n如今，由于接納矢量具有隨機相位，故上式中的f0(r)和f1(r)分別可以表示為：n上兩式經過復雜的計算后，代入判決條件，就可以得出最終的判決條件：ssTTbEdttsdtts00121020),(),(2000000)/()()(dfffr rr r2011111)/()()(dfffr rr r第10章 數(shù)字信號最正確接納 假設接納矢

29、量r 使M12 M02，那么判為發(fā)送碼元是“0， 假設接納矢量r 使M02 M12，那么判為發(fā)送碼元是“1。上面就是最終判決條件，其中：按照上面判決準那么構成的隨置信號最正確接納機的構造示于以下圖中。 ,20200YXM,21211YXMSTtdttrX000cos)(STtdttrY000sin)(STtdttrX011cos)(STtdttrY011sin)(第10章 數(shù)字信號最正確接納n最正確接納機的構造相關器平 方cos0t相 加相關器平 方sin0t相關器平 方cos1t相 加相關器平 方sin1t比 較r(t)Y0X1Y1X0第10章 數(shù)字信號最正確接納n誤碼率：n隨置信號最正確接

30、納機的誤碼率，用類似10.4節(jié)的分析方法，可以計算出來，結果如下：n最后指出，上述最正確接納機及其誤碼率也就是2FSK確知信號的非相關接納機和誤碼率。由于隨置信號的相位帶有由信道引入的隨機變化，所以在接納端不能夠采用相關接納方法。換句話說，相關接納只適用于相位確知的信號。對于隨置信號而言，非相關接納曾經是最正確的接納方法了。)2/exp(210nEPbe第10章 數(shù)字信號最正確接納l10.6 起伏數(shù)字信號的最正確接納起伏數(shù)字信號的最正確接納l仍以仍以2FSK信號為例簡要地討論其最正確接信號為例簡要地討論其最正確接納問題。納問題。l假設：假設：l通訊系統(tǒng)中的噪聲是帶限白色高斯噪聲；通訊系統(tǒng)中的噪

31、聲是帶限白色高斯噪聲；l信號是互不相關的等能量、等先驗概率的信號是互不相關的等能量、等先驗概率的2FSK信號。信號。l2FSK信號的表示式信號的表示式l式中，式中，A0和和A1是由于多徑效應引起的隨機是由于多徑效應引起的隨機起伏振幅，它們服從同一瑞利分布：起伏振幅，它們服從同一瑞利分布： )cos(),()cos(),(111111000000tAAtstAAts2 , 1, 0,2exp)(222iAAAVfisisii第10章 數(shù)字信號最正確接納式中，s2為信號的功率；而且0和1的概率密度服從均勻分布：此外，由于Ai是余弦波的振幅，所以信號si(t, i, Ai)的功率s2和其振幅Ai的均

32、方值之間的關系為2 , 1, 0,2exp)(222iAAAVfisisii2 , 1,20,2/1)(ifii222siAE第10章 數(shù)字信號最正確接納n接納矢量的概率密度:n由于接納矢量不但具有隨機相位，還具有隨機起伏的振幅，故此概率密度f0(r)和f1(r)分別可以表示為：n 20000000000),/()()()(ddAAffAffrr r 20111111011),/()()()(ddAAffAffrr r第10章 數(shù)字信號最正確接納經過繁復的計算，上兩式的計算結果如下：式中n0 噪聲功率譜密度； n2 噪聲功率。knTsdttrnK2)(1exp020)(2exp)(200202

33、2000sssssTnnMTnnKfr r)(2exp)(2002122001sssssTnnMTnnKfr r第10章 數(shù)字信號最正確接納n誤碼率：n本質上，和隨置信號最正確接納時一樣，比較f0(r)和f1(r)依然是比較M02和M12的大小。所以，不難推論，起伏信號最正確接納機的構造和隨置信號最正確接納機的一樣。但是，這時的最正確誤碼率那么不同于隨置信號的誤碼率。這時的誤碼率等于 n式中，n 接納碼元的統(tǒng)計平均能量。)/(210nEPeE第10章 數(shù)字信號最正確接納n誤碼率曲線n由此圖看出，在有衰落時，n性能隨誤碼率下降而迅速n變壞。當誤碼率等于10-2n時，衰落使性能下降約n10 dB；

34、當誤碼率等于10-3n時，下降約20 dB。相關2ASK信號非相關2ASK信號相關2FSK信號非相關2FSK信號相關2PSK信號差分相關2DPSK信號同步檢測2DPSK信號第10章 數(shù)字信號最正確接納l10.7 實踐接納機和最正確接納機的性能比實踐接納機和最正確接納機的性能比較較4/21rerfc04/21nEerfcb4/exp21r04/exp21nEb2/21rerfc02/21nEerfcb2/exp21r02/exp21nEbrerfc210/21nEerfcbrexp210/exp21nEbrerfcrerfc21100211nEerfcnEerfcbb實踐接納機的Pe最正確接納機

35、的Pe第10章 數(shù)字信號最正確接納l10.8 數(shù)字信號的匹配濾波接納法數(shù)字信號的匹配濾波接納法l什么是匹配濾波器？什么是匹配濾波器？ l用線性濾波器對接納信號濾波時，使抽用線性濾波器對接納信號濾波時，使抽樣時辰上輸出信號噪聲比最大的線性濾波樣時辰上輸出信號噪聲比最大的線性濾波器稱為匹配濾波器。器稱為匹配濾波器。l假設條件：假設條件：l接納濾波器的傳輸函數(shù)為接納濾波器的傳輸函數(shù)為H(f)，沖激呼應為，沖激呼應為h(t)，濾波器輸入碼元，濾波器輸入碼元s(t)的繼續(xù)時間為的繼續(xù)時間為Ts，信號和噪聲之和信號和噪聲之和r(t)為為l式中，式中，s(t) 信號碼元，信號碼元，l n(t) 高斯白噪聲；

36、高斯白噪聲；sTttntstr0),()()(第10章 數(shù)字信號最正確接納u并設信號碼元s(t)的頻譜密度函數(shù)為S(f)，噪聲n(t)的雙邊功率譜密度為Pn(f) = n0/2，n0為噪聲單邊功率譜密度。 u輸出電壓u假定濾波器是線性的，根據線性電路疊加定理，當濾波器輸入電壓r(t)中包括信號和噪聲兩部分時，濾波器的輸出電壓y(t)中也包含相應的輸出信號so(t)和輸出噪聲no(t)兩部分，即u式中)()()(tntstyoodfefSfHtsftjo2)()()(第10章 數(shù)字信號最正確接納n輸出噪聲功率n由n這時的輸出噪聲功率No等于n輸出信噪比n在抽樣時辰t0上，輸出信號瞬時功率與噪聲平

37、均功率之比為)()()()()(*)(2fPfHfPfHfHfPRRYdffHndfnfHNo2002)(22)(dffHndfefSfHNtsrftjoo2022200)(2)()()(0第10章 數(shù)字信號最正確接納n匹配濾波器的傳輸特性：n利用施瓦茲不等式求 r0的最大值n假設n其中k為恣意常數(shù)，那么上式的等號成立。n將上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令n那么有n式中 dxxfdxxfdxxfxf2221221)()()()()()(*21xkfxf0221)()(),()(ftjefSxffHxf0022022022)()(2)()(nEndffSdffHndffSdffHrdf

38、fSE2)(第10章 數(shù)字信號最正確接納而且當時，上式的等號成立，即得到最大輸出信噪比2E/n0。上式闡明，H(f)就是我們要找的最正確接納濾波器傳輸特性。它等于信號碼元頻譜的復共軛除了常數(shù)因子外。故稱此濾波器為匹配濾波器。 02)(*)(ftjefkSfH第10章 數(shù)字信號最正確接納n匹配濾波器的沖激呼應函數(shù)：nn由上式可見，匹配濾波器的沖激呼應h(t)就是信號s(t)的鏡像s(-t)，但在時間軸上向右平移了t0。 )()()()()()(*)()(00)(2)(2*2222000ttksdttskdsdfekdfedeskdfeefkSdfefHthttfjttfjfjftjftjftj0

39、00tttt1-t1t2-t1-t2t2s(t)s(-t)h(t)t0(a)(b)(c)第10章 數(shù)字信號最正確接納n圖解 第10章 數(shù)字信號最正確接納n實踐的匹配濾波器n一個實踐的匹配濾波器應該是物理可實現(xiàn)的，其沖激呼應必需符合因果關系，在輸入沖激脈沖參與前不應該有沖激呼應出現(xiàn)，即必需有：n即要求滿足條件n或滿足條件n上式的條件闡明，接納濾波器輸入端的信號碼元s(t)在抽樣時辰t0之后必需為零。普通不希望在碼元終了之后很久才抽樣，故通常選擇在碼元末尾抽樣，即選t0 = Ts。故匹配濾波器的沖激呼應可以寫為0, 0)(tth當0, 0)(0ttts當0, 0)(ttts當)()(tTksths

40、第10章 數(shù)字信號最正確接納這時，假設匹配濾波器的輸入電壓為s(t)，那么輸出信號碼元的波形為：上式闡明，匹配濾波器輸出信號碼元波形是輸入信號碼元波形的自相關函數(shù)的k倍。k是一個恣意常數(shù)，它與r0的最大值無關；通常取k 1。)()()()()()()()(sssoTtkRdTtsskdTstskdhtsts第10章 數(shù)字信號最正確接納n【例10.1】設接納信號碼元s(t)的表示式為n試求其匹配濾波器的特性和輸出信號碼元的波形。n【解】上式所示的信號波形是一個矩形脈沖，如以下圖所示。n其頻譜為n由n令k = 1，可得其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為n由n令k = 1，還可以得到此匹配濾波器的沖激呼應為t

41、Tttss其他, 00, 1)(sfTjftjefjdtetsfS22121)()(tTss(t)102)(*)(ftjefkSfHssfTjfTjeefjfH22121)()()(0ttksthssTttTsth0),()(第10章 數(shù)字信號最正確接納此沖激呼應示于以下圖。外表上看來，h(t)的外形和信號s(t)的外形一樣。實踐上，h(t)的外形是s(t)的波形以t = Ts / 2為軸線反轉而來。由于s(t)的波形對稱于t = Ts / 2，所以反轉后，波形不變。由式可以求出此匹配濾波器的輸出信號波形如下： tTsh(t)1ssTttTsth0),()()()(soTtkRtstTsso(

42、t)第10章 數(shù)字信號最正確接納由其傳輸函數(shù)可以畫出此匹配濾波器的方框圖如下：由于上式中的(1/j2f)是理想積分器的傳輸函數(shù)，而exp(-j2fTs)是延遲時間為Ts的延遲電路的傳輸函數(shù)。 ssfTjfTjeefjfH22121)(延遲Ts理想積分器第10章 數(shù)字信號最正確接納n【例10.2】 設信號的表示式為n試求其匹配濾波器的特性和匹配濾波器輸出的波形。n【解】n上式給出的信號波形n是一段余弦振蕩，n如右圖所示：n其頻譜為tTttftss其他, 00,2cos)(0)(41)(412cos)()(0)(20)(2020200ffjeffjedttefdtetsfSssTffjTffjTf

43、tjftjTs第10章 數(shù)字信號最正確接納因此，其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為上式中已令t0 = Ts。此匹配濾波器的沖激呼應為：為了便于畫出波形簡圖，令式中，n = 正整數(shù)。這樣，上式可以化簡為h(t)的曲線示于以下圖： )(41)(41)(*)(*)(02)(202)(222000ffjeeffjeeefSefSfHsssssfTjTffjfTjTffjfTjftjsssTttTftTsth0),(2cos)()(00/ fnTssTttfth0,2cos)(0第10章 數(shù)字信號最正確接納這時的匹配濾波器輸出波形可以由卷積公式求出：由于如今s(t)和h(t)在區(qū)間(0, Ts)外都等于零，故上式

44、中的積分可以分為如下幾段進展計算：顯然，當t 2Ts時，式中的s()和h(t-)不相交，故s0(t)等于零。 (b) 沖激呼應Tsdthstso)()()(ssssTtTtTTtt2,2,0, 0第10章 數(shù)字信號最正確接納當0 t d)是噪聲抽樣值大于d 的概率。如今來計算上式中的P(| |d) 。設接納濾波器輸入端高斯白噪聲的單邊功率譜密度為n0，接納濾波器輸出的帶限高斯噪聲的功率為2，那么有dPMPe11dffHndffGnR22/10202)(2)(2第10章 數(shù)字信號最正確接納上式中的積分值是一個實常數(shù)，我們假設其等于1，即假設故有這樣假設并不影響對誤碼率性能的分析。由于接納濾波器是一個線性濾波器，故其輸出噪聲的統(tǒng)計特性仍服從高斯分布。因此輸出噪聲的一維概率密度函數(shù)等于對上式積分，就可以得到抽樣噪聲值超越d 的概率：dffHndffGnR22/10202)(2)(21)(22/1df