第3章MATLAB7.0的矩陣和數(shù)組

1、 第三章第三章 MATLAB使用詳解使用詳解學(xué)年選修課學(xué)年選修課第第3 3章章 MATLAB7.0MATLAB7.0的矩陣和數(shù)組的矩陣和數(shù)組教學(xué)目標(biāo)： 掌握和了解矩陣和數(shù)組的區(qū)別，掌握矩陣和數(shù)組的相關(guān)知識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)： 本節(jié)主要講解矩陣和數(shù)組的基本結(jié)構(gòu)，基本操作。內(nèi)容包括矩陣的生成、矩陣的拼接、矩陣的變形、矩陣元素的尋訪、獲取矩陣的信息，各種特殊矩陣類型的知識(shí)。MATLABMATLAB中的矩陣中的矩陣 MATLAB的最初雛形是為了解決大規(guī)模矩陣運(yùn)算而編寫的一系列函數(shù)模塊。矩陣作為MATLAB的基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，一直是MATLAB的核心，是MATLAB基本的運(yùn)算單元，其大部分的內(nèi)建函數(shù)也都支持矩陣作為

2、輸入變量。相應(yīng)地以矩陣作為輸出變量，這使得程序結(jié)構(gòu)更加清晰，代碼編寫也更加簡(jiǎn)便。3.1 3.1 創(chuàng)建矩陣創(chuàng)建矩陣 從形式上看，矩陣可以理解成二維的數(shù)組，矩陣可以方便地存儲(chǔ)和訪問MATLAB中眾多數(shù)據(jù)類型，構(gòu)成矩陣的元素可以是MATLAB中的任何數(shù)據(jù)類型。 矩陣是所有MATLAB運(yùn)算的基礎(chǔ)，如果要實(shí)現(xiàn)科學(xué)運(yùn)算、程序設(shè)計(jì)、特性繪制等目標(biāo)，必須要確定矩陣的類型，并建立矩陣。在MATLAB中創(chuàng)建一個(gè)矩陣可以有兩種常用的方法，一是直接輸入矩陣元素，另一種是調(diào)用矩陣創(chuàng)建函數(shù)。3.1.1 3.1.1 輸入元素創(chuàng)建簡(jiǎn)單矩陣輸入元素創(chuàng)建簡(jiǎn)單矩陣 對(duì)于簡(jiǎn)單的矩陣，特別是元素?cái)?shù)目不多的矩陣，逐個(gè)輸入矩陣元素是最常用

3、、最便捷的矩陣創(chuàng)建方法，其遵循以下3條原則： 運(yùn)用矩陣構(gòu)造符包含所創(chuàng)建矩陣的所有元素； 使用逗號(hào)“，”或者空格“ ”分隔矩陣的列； 使用分號(hào)“；”或者回車鍵分隔矩陣的行。 a1 =15;21;27;93;101; a2 =15,21,27,93,101; a1a1 = 15 21 27 93 101 a2a2 = 15 21 27 93 1013.1.1 3.1.1 輸入元素創(chuàng)建簡(jiǎn)單矩陣輸入元素創(chuàng)建簡(jiǎn)單矩陣3.1.2 3.1.2 等差元素向量的生成等差元素向量的生成 當(dāng)矩陣的元素過(guò)多，同時(shí)矩陣各元素有等差的規(guī)律，此時(shí)采用直接輸入法將過(guò)于繁瑣。針對(duì)該種情況 ，可以使用冒號(hào)(:) 和linspac

4、e函數(shù)來(lái)生成等差元素向量。 Linspace功能用法：用于產(chǎn)生x1,x2之間的N點(diǎn)行矢量。其中x1、x2、N分別為起始值、終止值、元素個(gè)數(shù)。若缺省N，默認(rèn)點(diǎn)數(shù)為100。在matlab的命令窗口下輸入help linspace可以獲得該函數(shù)的幫助信息。 應(yīng)用舉例： X=10:5:60X = 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 X=linspace (10,60,11)X = 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60這和X=10：5：60效果是一樣的。 3.1.3 3.1.3 調(diào)用函數(shù)創(chuàng)建特殊矩陣調(diào)用函數(shù)創(chuàng)建特殊矩陣 MATLAB7.0還提供了

5、若干特殊矩陣的生成函數(shù)，在調(diào)用函數(shù)時(shí)，根據(jù)需要設(shè)置參數(shù)，就可以方便地得到需要的矩陣，常用的特殊矩陣函數(shù)列表如下。函 數(shù)生成矩陣形式ones全1元素矩陣zeros全0元素矩陣eye單位矩陣，即主對(duì)角線元素為1，其余元素全為0rand均勻分布隨機(jī)矩陣randn正態(tài)分布隨機(jī)矩陣magic魔術(shù)矩陣diag對(duì)角矩陣hilbHilbert希爾伯特矩陣PascalPascal矩陣vanderVandermonde范德蒙德矩陣MATLAB特殊矩陣創(chuàng)建函數(shù)應(yīng)用舉例： X=zeros(3) X = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X=ones(3) X = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ones是生成一

6、個(gè)（全1)單位矩陣，zeros是生成一個(gè)零矩陣，可以相當(dāng)于一個(gè)空矩陣，用來(lái)給變量申請(qǐng)內(nèi)存，使運(yùn)算速度快一些。 應(yīng)用舉例： X=eye(3) X = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 單位矩陣，即主對(duì)角線元素為1，其余元素全為0 X = diag(v,k) 以向量v的元素作為矩陣X的第k條對(duì)角線元素，當(dāng)k=0時(shí)，v為X的主對(duì)角線;當(dāng)k0時(shí)，v為主對(duì)角線上方第k條對(duì)角線；當(dāng)k v=1,2,3; x=diag(v,-1) x = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 應(yīng)用舉例：應(yīng)用舉例： 何為魔方： 平面魔方的一般定義：將自然數(shù) 1 到 N2 排列 N 行 N 列的方陣，

7、使每行、每列及兩條主對(duì)角線上的 N 個(gè)數(shù)的和都等于 N(N2+1)/2，這樣的方陣稱為 N 階魔方。 Magic是Matlab中自動(dòng)生成魔方矩陣的函數(shù)， X=magic(n) n是矩陣維數(shù)。應(yīng)用舉例： 例如 在MATLAB命令窗口輸入 magic(5) ，將隨機(jī)產(chǎn)生5階魔方陣。 X=magic(5) X = 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9應(yīng)用舉例： 功能：rand函數(shù)產(chǎn)生由在(0, 1)之間均勻分布的隨 機(jī)矩陣。用法：Y = rand(n) 返回一個(gè)n階的隨機(jī)矩陣。 Y = rand(m,n)

8、或 Y = rand(m n) 返回一個(gè)m*n的隨機(jī)矩陣。例如： X=rand(3,3) X = 0.1987 0.1988 0.4451 0.6038 0.0153 0.9318 0.2722 0.7468 0.4660應(yīng)用舉例：功能：產(chǎn)生正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)或矩陣的函數(shù)。 用法： Y = randn(n) 返回一個(gè)n*n的隨機(jī)項(xiàng)的矩陣。 Y = randn(m,n) 或 Y = randn(m n) 返回一個(gè)m*n的隨機(jī)項(xiàng)矩陣。X=randn(3,3)X = -0.4326 0.2877 1.1892 -1.6656 -1.1465 -0.0376 0.1253 1.1909 0.3273 應(yīng)

9、用舉例： 范得蒙(Vandermonde)矩陣最后一列全為1，倒數(shù)第二列為一個(gè)指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點(diǎn)乘積。在MATLAB中，函數(shù)vander(V)生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。 例如，A=vander(1;2;3;4)即可得到4階范得蒙矩陣。 A=vander(1;2;3;4)A = 1 1 1 1 8 4 2 1 27 9 3 1 64 16 4 1應(yīng)用舉例： 希爾伯特矩陣希爾伯特矩陣是一種數(shù)學(xué)變換矩陣。 在MATLAB中，生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是X=hilb(n)。MATLAB中，有一個(gè)專門求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)X=invhilb(n)，其功能是求n階的希爾伯

10、特矩陣的逆矩陣。 例如：求4階Hilbert矩陣及其逆矩陣。 在Matlab命令窗口中輸入如下代碼： H=hilb(4) H=invhilb(4)應(yīng)用舉例： 帕斯卡矩陣我們知道，二次項(xiàng)(x+y)n展開后的系數(shù)隨n的增大組成一個(gè)三角形表，稱為楊輝三角形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱為帕斯卡(Pascal)矩陣。函數(shù)pascal(n)生成一個(gè)n階帕斯卡矩陣。 例如：求3階pascal矩陣。 pascal(3)ans = 1 1 1 1 2 3 1 3 63.2 3.2 矩陣的拼接矩陣的拼接 矩陣的拼接是指兩個(gè)或者兩個(gè)以上的單個(gè)矩陣，按一定的方向進(jìn)行連接，生成新的矩陣。從本質(zhì)上說(shuō)，矩陣的拼接就是一種創(chuàng)

11、建矩陣的特殊方法，區(qū)別在于基礎(chǔ)元素是原始矩陣，目標(biāo)是新的合并矩陣。本節(jié)主要介紹矩陣拼接的兩種方法，一是利用矩陣生成符，另一種是調(diào)用矩陣拼接函數(shù)。3.2.1 3.2.1 基本拼接基本拼接 通常，矩陣的拼接有按照水平方向拼接和按照垂直方向拼接兩種。例如，對(duì)矩陣A和B進(jìn)行拼接，拼接表達(dá)式分別如下所示。 水平方向拼接：C=A B或C=A,B。 垂直方向拼接：C=A;B。應(yīng)用舉例： A=1,2;3,4 A = 1 2 3 4 B=5,6;7,8 B = 5 6 7 8 c=A,B c = 1 2 5 6 3 4 7 8 c=A;B c = 1 2 3 4 5 6 7 83.2.2 3.2.2 拼接函數(shù)拼

12、接函數(shù) 除了使用矩陣拼接符，還可以使用MATLAB7.0提供的矩陣拼接函數(shù)執(zhí)行，具體的函數(shù)和功能列 表 如 表 所 示 。函 數(shù)功 能cat按指定維拼接horzcat水平方向拼接vertcat垂直方向拼接repmat通過(guò)對(duì)現(xiàn)有矩陣復(fù)制和粘貼操作生成新矩陣blkdiag現(xiàn)有矩陣構(gòu)造對(duì)角矩陣應(yīng)用舉例： cat：函數(shù)用于按指定維連接所輸入的矩陣或數(shù)組， C = cat(dim, A, B) 按dim來(lái)連結(jié)A和B兩個(gè)矩陣或數(shù)組。 C = cat(dim, A1, A2, A3, .) 按dim聯(lián)結(jié)所有輸入的矩陣或數(shù)組。 第一個(gè)參數(shù)表示按第幾維進(jìn)行連接，1表示第一維，即行向，也即垂直方向；2表示第二維，

13、及列向，也即水平方向；即：cat(1, A, B)相當(dāng)于A;B; cat(2, A, B)相當(dāng)于A,B.應(yīng)用舉例： A = 1 2; 3 4; B = 5 6; 7 8; AA = 1 2 3 4 BB = 5 6 7 8 cat(1, A, B) %按行向連接（列數(shù)相同）ans = 1 2 3 4 5 6 7 8 cat(2, A, B) %按列向連接（行數(shù)相同）ans = 1 2 5 6 3 4 7 8應(yīng)用舉例： C = horzcat(A1, A2, .)C = horzcat(A1, A2, .) 橫向連接矩陣A1, A2,等，參數(shù)列表中所有的矩陣必須具有相同的行數(shù)。 horzcat沿

14、著第二維連接N維數(shù)組。余下的維數(shù)必須相匹配。 C = horzcat(A1, A2, .)相當(dāng)于C = A1 A2 . C = vertcat(A1, A2, .)C = vertcat(A1, A2, .) 垂直連接矩陣A1, A2,等，參數(shù)列表中所有的矩陣必須具有相同的列數(shù)。 vertcat沿著第一維連接N維數(shù)組。余下的維數(shù)必須相匹配。 C = vertcat(A1, A2, .)相當(dāng)于C = A1; A2; .應(yīng)用舉例： A=1,2;3,4A = 1 2 3 4 B=5,6;7,8B = 5 6 7 8 c=horzcat(A,B)c = 1 2 5 6 3 4 7 8 c=vertca

15、t(A,B)c = 1 2 3 4 5 6 7 8應(yīng)用舉例：blkdiag功能：以輸入?yún)?shù)創(chuàng)建塊對(duì)角矩陣。用法： out = blkdiag(a,b,c,d,.) 生成以a,b,c,d,為對(duì)角線元素的塊對(duì)角矩陣，其中a,b,c,d是矩陣。注意：調(diào)用blkdiag函數(shù)時(shí)，原始矩陣a,b,c,d不一定是方陣，互相也不需要尺寸對(duì)應(yīng)。 c=blkdiag(1,2;3,4,4,5) c = 1 2 0 0 3 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 53.3 3.3 改變矩陣尺寸改變矩陣尺寸 矩陣的尺寸又稱矩陣的大小。在MATLAB7.0中，可以方便地對(duì)矩陣的尺寸進(jìn)行擴(kuò)大和縮小，擴(kuò)大矩陣的主要方式是拼接

16、和添加元素，縮小矩陣的方式是刪除矩陣中的某行或某列元素。3.3.1 3.3.1 擴(kuò)大矩陣的尺寸擴(kuò)大矩陣的尺寸 在MATLAB7.0中，可以通過(guò)兩種方式擴(kuò)大矩陣的尺寸，一是進(jìn)行矩陣拼接，二是在矩陣的尺寸之外添加元素。前者已經(jīng)作了介紹，接下來(lái)主要介紹如何通過(guò)第二重方法來(lái)擴(kuò)大矩陣。應(yīng)用舉例： 例：生成一個(gè)3階全1矩陣，并給矩陣添加第2行第4列的元素。 X=ones(3)X = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 X(2,4)=3X = 1 1 1 0 1 1 1 3 1 1 1 03.3.2 3.3.2 縮小矩陣的尺寸縮小矩陣的尺寸 如果要讓矩陣“變小”，也就是刪除矩陣的某行或某列，只要把目標(biāo)行或列

17、賦予一個(gè)空矩陣即可。應(yīng)用舉例： a=magic(3)a = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 a(:,3)=a = 8 1 3 5 4 9 a(1,:)=a = 3 5 7 4 9 2應(yīng)用舉例：注意：不能使用雙下標(biāo)刪除單個(gè)元素，否則系統(tǒng)報(bào)錯(cuò)；可以使用線性坐標(biāo)刪除單個(gè)或多個(gè)元素。 a=magic(3)a = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 a(4)=a =8 3 4 5 9 6 7 2 a(1,2)=? Indexed empty matrix assignment is not allowed.3.4 3.4 改變矩陣形狀改變矩陣形狀 矩陣的形狀和矩陣的尺寸一樣是可以改變的，MATLAB

18、為用戶提供了若干函數(shù)，用來(lái)改變矩陣的形狀，函數(shù)名稱及功能如表所示。 說(shuō)明：改變矩陣的形狀，并不改變矩陣中元素的數(shù)量，只改變?cè)氐慕M成方式。MATLAB矩陣形狀操作函數(shù)函 數(shù)功 能reshape重新排列矩陣rot90矩陣逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90fliplr垂直方向?yàn)檩S翻轉(zhuǎn)矩陣flipud水平方向?yàn)檩S翻轉(zhuǎn)矩陣flipdim指定方向?yàn)檩S翻轉(zhuǎn)矩陣舉例說(shuō)明： A=magic(3)A = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 B=reshape(A,1,9) 重新排列矩陣B = 8 3 4 1 5 9 6 7 2舉例說(shuō)明： A=magic(3)A = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 C=rot90(A,2) C

19、= 2 9 4 7 5 3 6 1 83.5 3.5 向量、標(biāo)量與空矩陣向量、標(biāo)量與空矩陣 MATLAB中的矩陣多數(shù)是以矩形的形式顯示，但有時(shí)常出現(xiàn)特殊形式的矩陣,本節(jié)主要介紹三種特殊的矩陣結(jié)構(gòu)：向量（vector）、標(biāo)量（scalar）和空矩陣(empty matrix)。3.5.1 3.5.1 向量向量 向量是行數(shù)或列數(shù)為1的特殊矩陣，其一般顯示為1n或n1的數(shù)列。在構(gòu)造新矩陣，以及對(duì)矩陣進(jìn)行訪問、修改等操作時(shí)，常用到向量數(shù)列。MATLAB提供了生成等差向量數(shù)列的符號(hào)冒號(hào)，例如，(p:q)生成從p到q，差為1的遞增向量數(shù)列。例如，創(chuàng)建101的等差遞減數(shù)列，在命令窗口輸入代碼及執(zhí)行結(jié)果如下。

20、 v=(10:-1:1)v = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 3.5.2 3.5.2 標(biāo)量標(biāo)量 標(biāo)量是行列數(shù)都是1的特殊矩陣，任意以1*1的矩陣形式表示的單個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，稱之為標(biāo)量。如下的實(shí)數(shù)x就是一個(gè)標(biāo)量。實(shí)數(shù)5的維數(shù)為2，即行和列；且各維數(shù)值都為1。 x=5x = 5 ndims(x) % 查看x的維數(shù)ans = 2 size(x) %查看行、列維的數(shù)值ans = 1 1 3.5.3 3.5.3 空矩陣空矩陣 MATLAB中為了表示和操作的方便，引入了“空矩陣”的概念，其含義是至少一維的數(shù)值為0的矩陣?？站仃嚳梢允?*0、0*n和n*0（n為正整數(shù)）。 可以通過(guò)如下指令建立一個(gè)

21、空矩陣a，再利用whos指令查看其名稱、大小和數(shù)據(jù)類型。 aa = whos Name Size Bytes Class a 0 x0 0 double array 說(shuō)明：從上面的代碼可以看出空矩陣確實(shí)存在，并非虛幻不存在，空矩陣并不是0矩陣，空矩陣是沒有元素而0矩陣是元素為0的矩陣，兩者有本質(zhì)的區(qū)別。3.6 3.6 矩陣尋訪矩陣尋訪 矩陣作為存儲(chǔ)各種數(shù)據(jù)的基本單位，是若干相關(guān)元素的有序集合，為方便用戶訪問矩陣中的一個(gè)或者多個(gè)元素，MATLAB引入了元素下標(biāo)的概念。本節(jié)主要介紹不同的元素下標(biāo)表示方法以及如何利用矩陣的下標(biāo)訪問矩陣中的單元素和多元素。3.6.1 3.6.1 下標(biāo)轉(zhuǎn)換下標(biāo)轉(zhuǎn)換 MA

22、TLAB7.0中，矩陣的下標(biāo)表示與常用的數(shù)學(xué)習(xí)慣相同，使用“雙下標(biāo)”（Row-Column Index），即分別表示行和列，矩陣中的元素都有對(duì)應(yīng)的“第幾行，第幾列”。這種表示方法簡(jiǎn)單直觀，幾何概念比較清晰。 如下代碼所示，矩陣m中的元素8、5、2分別可以表示為m11,m22,m33。 m=magic(3)m = 8 1 6 3 5 7 4 9 23.6.2 3.6.2 訪問單元素訪問單元素 訪問一個(gè)矩陣中的單個(gè)元素，必須指定兩個(gè)參數(shù)，即其所在行數(shù)和列數(shù)。例如，訪問矩陣A中的任何一個(gè)單元素，代碼如下所示，row和column分別代表行數(shù)和列數(shù)。 A(row,column) A(1,2) 除雙下標(biāo)

23、外，Matlab還提供了單下標(biāo)訪問方式，兩者之間的轉(zhuǎn)換遵循以下方式：一個(gè)M*N的二維矩陣A中，雙下標(biāo)表示的元素x位置為A(p,q),即“第p行，第q列”，那么元素x對(duì)應(yīng)的單下標(biāo)u=(q-1)*m+p應(yīng)用舉例 X=magic(3)X = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 X(2,3)ans = 7 P=2,q=3,(q-1)*m+p=8 X(8)ans = 73.6.3 3.6.3 訪問多元素訪問多元素 訪問矩陣的多元素，包括訪問： 某一行或某一列的若干元素； 訪問若干行或若干列的元素； 以及訪問矩陣所有元素等。 首先，介紹在訪問矩陣多元素時(shí)常用的一個(gè)符號(hào)冒號(hào)。之前的章節(jié)介紹過(guò)，冒號(hào)可以表示等

24、差向量。其實(shí)冒號(hào)還有另外一個(gè)重要的功能，即表示矩陣中的多個(gè)元素。例如A(1:k,n)表示矩陣A中第n列的1k的元素，B(m,:)表示矩陣B中第m行的所有元素，在對(duì)矩陣中某部分元素進(jìn)行訪問和賦值時(shí)，此種表示方法顯得十分方便。3.6.3 3.6.3 訪問多元素訪問多元素應(yīng)用舉例： m=magic(3)m = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 m(1,:)ans = 8 1 6 m(1:3,3)ans = 6 7 23.7 3.7 獲取矩陣信息獲取矩陣信息 矩陣的信息主要包括以下三點(diǎn)： 矩陣元素的數(shù)據(jù)類型； 矩陣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)； 矩陣的大小等。 本節(jié)重點(diǎn)介紹通過(guò)調(diào)用函數(shù)來(lái)獲取矩陣各種信息的方法。3.7.1 3.7.1 獲取矩陣元素的數(shù)據(jù)類型獲取矩陣元素的數(shù)據(jù)類型MATLAB提供了獲得矩陣元素?cái)?shù)據(jù)類型的若干函數(shù)，如表所示。函 數(shù)功 能isa判斷輸入數(shù)據(jù)是否為指定數(shù)據(jù)類型iscell判斷輸入數(shù)據(jù)是否為元胞數(shù)組類型iscellstr判斷輸入數(shù)據(jù)是否為元胞字符串類型ischar判斷輸入數(shù)據(jù)是否為字符類型isfloat判斷輸入數(shù)據(jù)是否為浮點(diǎn)數(shù)類型isinteger判斷輸入數(shù)據(jù)是否為整數(shù)類型islogical判斷輸入數(shù)據(jù)是否為邏輯類型isnumer