數學物理方法第2章復變函數積分2016

1、12.1. 復變積分的定義、性質復變積分的定義、性質2.2. 柯西定理、原函數與定積分公式柯西定理、原函數與定積分公式2.3. 柯西公式柯西公式 第二章 復變函數的積分 復變函數的復變函數的積分積分是研究解析函數的重要是研究解析函數的重要工具解析函數特有的積分性質工具解析函數特有的積分性質: 柯西定理、柯西公式、高階導數公式、柯西定理、柯西公式、高階導數公式、 最大模定理等最大模定理等， 它們是今后解決許多理論與實際問題的它們是今后解決許多理論與實際問題的重要基礎重要基礎.22.1.1 復變函數積分的定義復變函數積分的定義 設設L為復平面上的曲線，函為復平面上的曲線，函數數f(z)在在L上有定

2、義，將曲上有定義，將曲線線L任意分成任意分成n段，段，x xk是第是第k段段zk-1，zk上的任一上的任一點令點令n，且每一段的，且每一段的長度長度|D Dz|0時，若和式的時，若和式的極限極限l存在，且與弧段的分法及各存在，且與弧段的分法及各x xk的選取的選取無關無關，則稱此，則稱此極限為極限為f(z)沿曲線沿曲線L的積分，記作的積分，記作3 2.1.2 復變積分的計算方法復變積分的計算方法(1) 化為兩個實變線積分計算化為兩個實變線積分計算 將將 f(z) = u+iv 及及 dz = dx+idy 代入，即有代入，即有(2) 化為參數積分計算設積分曲線化為參數積分計算設積分曲線L的參數

3、方程為的參數方程為z(t)，將將z(t)及及dz(t)z (t)dt代入式代入式(2.1.4)，可得，可得 (2.1.3)4【例例2.1.1】計算積分計算積分I= 其中曲線其中曲線L是是l(1)沿沿1+ i 到到2+4 i 的直線，見圖的直線，見圖2.2(a)；l(2)沿沿1+ i 到到2+i，再到，再到2+4 i 的折線，見圖的折線，見圖2.2(b)；l(3)沿拋物線沿拋物線x=t, y=t2，其中，其中1 t 2，見圖，見圖2.2(c)5解解 (1) 直線方程為直線方程為 先將先將 z=x+iy 代入被積表達式，代入被積表達式，隨后將隨后將 y= =3x- -2 代入，即有代入，即有6(2

4、) 在在1+i到到2+i段段 有有 y=1，dy=o；在在2+i到到2+4i段段 有有 x=2，dx=0，因而因而7 (3) 將將z=x+iy=t(1+it)及及dz(1+i2t)dt 代入，即有代入，即有 l本題沿三個不同路徑的積分值相同，但是本題沿三個不同路徑的積分值相同，但是“積分與路徑無關積分與路徑無關”這個結果不是必然的這個結果不是必然的 x=t, y=t28 2.1.3 復變積分的性質復變積分的性質l既然復變積分可歸結為實變積分，因此，復既然復變積分可歸結為實變積分，因此，復變積分的許多性質是實變積分的直接推廣。變積分的許多性質是實變積分的直接推廣。對于這些性質，我們將不加證明地敘

5、對于這些性質，我們將不加證明地敘述述l(1)若曲線若曲線L依次由依次由n段線段段線段l1, l2, ln組成，則組成，則l(2)掉轉積分路徑的方向，積分變號，即掉轉積分路徑的方向，積分變號，即l 式中式中l(wèi)- -與與l重合，但方向相反重合，但方向相反 9(3) 若若f1(z)與與f2(z)沿沿L的積分存在，則的積分存在，則 上式還可推廣為有限多項函數和、差的情形上式還可推廣為有限多項函數和、差的情形(4) 被積函數中的任意復常數被積函數中的任意復常數a 可提出積分號外，可提出積分號外，即即 (2.1.10)10l證明由實變函數線積分的定義出發(fā)，并利用證明由實變函數線積分的定義出發(fā)，并利用“矢量

6、之和的長度不大于矢量長度之和矢量之和的長度不大于矢量長度之和” ，以及復變積分的定義，即有以及復變積分的定義，即有(5) 復變積分的模不大于被積函數的模沿曲線復變積分的模不大于被積函數的模沿曲線的實變線積分，即的實變線積分，即11 (6)若在曲線若在曲線 l 上上, max|f(z)|=M, 曲線曲線 l 的長度為的長度為l ，則，則12【2.1.2】試證明，若試證明，若z在上半平面及實軸上趨在上半平面及實軸上趨于于時時, zf(z)一致地趨于零一致地趨于零(與輻角無關與輻角無關)，即，即l則則f(z)沿圖沿圖2.3中無窮大半圓周中無窮大半圓周CR的積分的積分l 證明證明 式式(2.1.16)

7、中的中的積分是一個復數，只積分是一個復數，只要證明，當要證明，當R時這時這個復數的模為零，則個復數的模為零，則式式(2.1.16)得證得證.13根據復變積分性質根據復變積分性質(5)及式及式(2.1.15)，易得，易得 14【2.1.3】試證明試證明 若當若當(Jordan)不等式不等式l證明證明 分別作出分別作出y1=2q/p q/p 及及 y2 = sinq q 的函數的函數曲線圖曲線圖(圖圖2.4).l易見在開區(qū)間易見在開區(qū)間 (0,p p/2)中，有中，有sinq q 2q/pq/p ；l而在閉區(qū)間而在閉區(qū)間0,p p/2 的端點，有的端點，有sinq q = 2q/pq/p。15【2

8、.1.4】試證明試證明 若當引理若當引理：若：若z在上半平在上半平面及實軸上趨于面及實軸上趨于時，時，f(z)一致地趨于零一致地趨于零(與輻角無關與輻角無關)，則，則 式中式中m0，CR是以原點是以原點為圓心、為圓心、R為半徑的上為半徑的上半圓周，參看圖半圓周，參看圖2.3.16證明證明 當當z 在在CR上時，上時，z=Reiq q，由復變積，由復變積分性質分性質(5)可得可得l將積分將積分(2.1.19)分為兩項分為兩項: 0由由p/2p/2的積分與由的積分與由p/2p/2到到p p的積分第二項先作變換的積分第二項先作變換 q = p-jq = p-j，再用，再用q q表示表示j j，兩項合

9、并后利用若當不等式，即有，兩項合并后利用若當不等式，即有1718綜合式綜合式(2.1.20)和式和式(2.1.19)式，并利用題設條件式，并利用題設條件(2.1.21)l由復變積分性質由復變積分性質(5)導出的例導出的例2.1.2和例和例2.1.4這這兩個結論，將會啟發(fā)我們怎樣用留數定理計兩個結論，將會啟發(fā)我們怎樣用留數定理計算實變積分，見算實變積分，見4.2節(jié)節(jié)l對于解析函數的積分，還具有一些特有的性對于解析函數的積分，還具有一些特有的性質，由質，由2.2節(jié)、節(jié)、2.3節(jié)介紹的柯西定理、柯西公節(jié)介紹的柯西定理、柯西公式、最大模定理等反映式、最大模定理等反映2.2 解析函數的柯西定理柯西定理

10、原函數原函數與定積分公式定積分公式柯西定理：解析函數積分理論的基本定理，從 積分的角度給出解析函數在其解析 區(qū)域取值的關聯(lián)性C-R條件: 在解析點, f(z)的實部與虛部取值的 關聯(lián)性；20 2.2.1 單通區(qū)域的柯西定理單通區(qū)域的柯西定理l定理定理 若函數若函數f(z)在單通區(qū)域在單通區(qū)域D內解析，則內解析，則f(z)在在D內沿任意內沿任意閉曲線的積分為零閉曲線的積分為零l f(z)dz = 0 (2.2.1)l證明證明 這個定理的嚴格證明比較復這個定理的嚴格證明比較復雜雜, 為簡單起見為簡單起見, 我們在我們在“f(z)在在D內連續(xù)內連續(xù)” 附加條件下證明這個定附加條件下證明這個定理理l先

11、將復變積分化為兩個實變積先將復變積分化為兩個實變積分的線性疊加分的線性疊加(2.2.2)21其次其次, 考查上述兩個實變積分在什么條件下為零？考查上述兩個實變積分在什么條件下為零？ 設設l為為D內任一閉曲線內任一閉曲線(圖圖2.5), 若函數若函數P(x,y), Q(x,y) 以及以及 在在D內連續(xù)，則內連續(xù)，則格林公式格林公式成立成立l由由f(z)在在 D內解析及內解析及 f(z)在在D內連續(xù)可得內連續(xù)可得u,v 及及ux,uy,vz,vy連續(xù)，將格林公式與連續(xù)，將格林公式與C-R條件條件 代入式代入式(2.2.2)，可得，可得xvyuyvxu-=22推論推論1 若若f(z)在閉單通區(qū)域在閉

12、單通區(qū)域 中解析，則中解析，則f(z)沿沿 的邊界的邊界L的積分為零的積分為零l證明證明 按定義按定義, f(z)在包含在包含 的某個開區(qū)域的某個開區(qū)域D+內內解析，這樣解析，這樣 的邊界線的邊界線L就是就是D +內部的一條內部的一條閉曲線根據柯西定定理可知閉曲線根據柯西定定理可知, f(z)沿沿L的積分的積分為零為零 (2.2.5)23推論推論2 若若f(z)在單通區(qū)域在單通區(qū)域D內解析，則內解析，則 l f(z)dz 與路徑無關。與路徑無關。l證明證明 設設A、B分別為兩積分分別為兩積分曲線的起點和終點，如圖曲線的起點和終點，如圖2.6所示所示l因為因為l1,與與l2- - (l2- -

13、與與l2重合但反重合但反向向)構成閉曲線構成閉曲線l，由柯西定，由柯西定理可得理可得 (2.2.6)l移項，利用復變積分的性質移項，利用復變積分的性質(2)，即有，即有(2.2.7)24 2.2.2 原函數與定積分公式原函數與定積分公式既然單通區(qū)域中既然單通區(qū)域中解析函數解析函數的積分與路徑無關，的積分與路徑無關，設積分路徑的起點為定點設積分路徑的起點為定點z0，終點為動點，終點為動點z, 則則積分上限的函數積分上限的函數 (2.2.8) 是單通區(qū)域內的單值函數，現在證明它是是單通區(qū)域內的單值函數，現在證明它是f (z)的原函數的原函數25定理定理 若若f(z)是單通區(qū)域是單通區(qū)域D內的解析函

14、數，則內的解析函數，則也是也是D內的解析函數，且內的解析函數，且l證明證明 由由 先計算先計算 F(z+ +D Dz)- -F(z)。利用。利用式式(2.2.8)及復變積分及復變積分的性質的性質(1)，可得，可得26l由于解析函數的積分與路徑無由于解析函數的積分與路徑無關，不妨取關，不妨取z到到z+ +D Dz的積分路的積分路徑為直線徑為直線(圖圖2.7).考慮到解析考慮到解析函數必連續(xù)，因而任給函數必連續(xù)，因而任給e e0，必存在必存在d d0，使當，使當|x x-z|d d,有有|f(x x)-f(z)|e e (2.2.11)l利用式利用式(2.2.10)和式和式(2.2.11)，以及復

15、變積分，以及復變積分的性質的性質(5)，可得，可得2728 這表明，當這表明，當D Dz0 0時，時， 的極限為的極限為f(z)，即，即l定理得證定理得證lf(z)的原函數不是唯一的的原函數不是唯一的(2.2.13)29f(z)的原函數不是唯一的的原函數不是唯一的 l式中式中C為任意復常數由于為任意復常數由于lG(z)也是也是f(z)的原函數的原函數 令令z=z0代入式代入式(2.2.14)，可得，可得 l將將C=G(z0)代入式代入式(2.2.14)得得30l這就是解析函數的定積分公式，它與實變這就是解析函數的定積分公式，它與實變函數中的牛頓函數中的牛頓-萊布尼茨公式具有相同的形萊布尼茨公式

16、具有相同的形式式 。l通常把通常把f(z)的原函數的集合的原函數的集合 稱稱f(z)的不定積分，式中的不定積分，式中C為復常數。為復常數。 31(2.2.8) 32 2.2.3 復通區(qū)域的柯西定理復通區(qū)域的柯西定理l定理定理 若若f(z)在閉復通區(qū)域在閉復通區(qū)域 解析，則解析，則f(z)沿所沿所有內、外邊界線有內、外邊界線(L=L0+ )正方向積分正方向積分之和為零之和為零 (2.2.18)l“正方向正方向”：當沿內、外邊：當沿內、外邊界線環(huán)行時，界線環(huán)行時，D保持在左保持在左邊邊換句話說，換句話說，外邊界線外邊界線取逆時針方向，內邊界線取逆時針方向，內邊界線取順時針方向取順時針方向33l證明

17、證明 為了應用單通區(qū)域的柯西定理，作割線把外邊界線為了應用單通區(qū)域的柯西定理，作割線把外邊界線L0與內邊界線連接起來，將閉復通區(qū)域變成閉單通區(qū)域。與內邊界線連接起來，將閉復通區(qū)域變成閉單通區(qū)域。34推論推論3 在在f(z)的解析區(qū)域中，積分回路連的解析區(qū)域中，積分回路連續(xù)變形時，其積分值不變續(xù)變形時，其積分值不變l證明證明 取變形前后的積分回路取變形前后的積分回路 作為復通區(qū)域作為復通區(qū)域 的內外邊界的內外邊界線，如圖線，如圖2.9所示由式所示由式(2.2.21a) 可得可得移項后，改變移項后，改變l2的積分方向，即有的積分方向，即有35【例例2.2.1】試證明試證明 (n是整數是整數)l式中

18、式中a點在積分回路點在積分回路 l 之內之內, d dnm為克羅內克為克羅內克(Kronecker)符號符號(簡稱簡稱d d符號符號)，其定義為，其定義為l證明證明 (1)當當n0時，被積函數時，被積函數(z-a)n為解析函數，為解析函數，故故 0n036(2)當當n=-1n=-1，則，則a點為點為f(z)的奇點的奇點l根據根據柯西定理柯西定理的推論的推論3，積分回路可連續(xù)變形為積分回路可連續(xù)變形為以以a點為圓心的單位圓點為圓心的單位圓C(圖圖2.10).在單位圓在單位圓C上上有有 37l(3)當當n - -1，a點仍為點仍為f(z)的奇點仿上可得的奇點仿上可得l綜合以上三式，即有綜合以上三式

19、，即有l(wèi)這個公式在計算洛朗系數這個公式在計算洛朗系數(3.4節(jié)節(jié))及證明留數定理及證明留數定理(4.2節(jié)節(jié))時均要用到時均要用到38【2.2.2】試計算試計算 其中積分回路分別其中積分回路分別(圖圖2.11) l(1) |z- -i|2；(2) |z+ +i|2；(3) |z|3.39解解 首先，將被積函數分解為部分分式首先，將被積函數分解為部分分式(利用通利用通分可以湊出來分可以湊出來) 0= 04041【例例2.2.3】若若f(z)=1/(z-a) 在在z=a的無心鄰域內的無心鄰域內連續(xù)，積分回路是以連續(xù)，積分回路是以a點為圓心的圓弧點為圓心的圓弧42 2.2.4 小圓弧引理與大圓弧引理小

20、圓弧引理與大圓弧引理1. 小圓弧引理小圓弧引理l若若j j(z)在在z=a的無心鄰域內連續(xù)，在小圓弧的無心鄰域內連續(xù)，在小圓弧l一致成立，則一致成立，則43l證明證明 根據極限的定義，式根據極限的定義，式(2.2.32)表明，任給表明，任給e e0，存在與，存在與arg(z- - a)無關的無關的d d (e e)0，使當，使當|z- - a|rd d 時，有時，有|(z- - a)j j (z)- - k|e e (2.2.34)l復變積分性質復變積分性質(5)及式及式(2.2.34)，可證，可證44由于由于e e可任意地小，可任意地小，(q q2 2-q-q1 1)為常量，式為常量，式(2

21、.2.35)表明表明可任意地小根據極限的定義，可得可任意地小根據極限的定義，可得45 2. 大圓弧引理大圓弧引理l若若j j(z)在無窮遠點的無心鄰域內連續(xù)，在大在無窮遠點的無心鄰域內連續(xù)，在大圓弧圓弧CR(z=Reiq q, R,q q1qqq1時時, 根據根據74【例例2.3.4】已知已知y y(t,q)=exp(2tq-t2 ),求證求證l證明證明 (1) 高階導數公式為高階導數公式為l現在現在yyt,q)依賴于依賴于t與與q，故對，故對t的導數應改寫為的導數應改寫為偏導數偏導數75(2) 作變換：作變換：x x = = q- - z 注意到注意到 exp(2x xq- -x x2) =

22、 = exp2(q- -z)q- -(q- -z)2 = = exp(q2- -z2)，上式變?yōu)椋鲜阶優(yōu)閘最后一個等式再次利用了高階導數公式最后一個等式再次利用了高階導數公式76 在第在第6章將會指出，章將會指出， 是厄米是厄米(Hermite)多項式多項式Hn(q)的生成函數的生成函數這是指把這是指把y y(t,q)對對t展成泰勒級數展成泰勒級數其展開系數其展開系數 Hn(q)就是厄米多項式就是厄米多項式 77 2.3.3 最大模定理最大模定理l設設f(z)在在 上解析，則上解析，則|f(z)|在在的邊界的邊界L上取最大值上取最大值證明證明 關于關于f(z)n的柯西公式為的柯西公式為l設設f(x x) 在在L上的最大值為上的最大值為M，|x x-z|的最小值為的最小值為d，邊界，邊界L的長度為的長度為l(圖圖2.17)，代入式，代入式(2.3.19)，則有則有7879兩邊開兩邊開n次方，得次方，得因為上式對任意因為上式對任意n均成立，令均成立，令n,考慮到考慮到 式式(2.3.2.1)即為即為 |f(z)| M (2.3.22) 這表明，對于這表明，對于D內的任意內的任意z點，其點，其|f(z)|不