數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開

1、2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開函數(shù)有精確表示精確表示和近似表示近似表示。精確表示（解析表示）： 表示為初等函數(shù)通過四則運算初等函數(shù)通過四則運算近似表示： 逼近逼近 近似表示為初等函數(shù)通過四則運算 級數(shù)表示級數(shù)表示 表示為一個函數(shù)級數(shù)函數(shù)級數(shù)2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開第三章第三章 冪級數(shù)展開冪級數(shù)展開復(fù)數(shù)項級數(shù)；復(fù)數(shù)項級數(shù)；變項級數(shù)（函數(shù)級數(shù)）；變項級數(shù)（函數(shù)級數(shù)）；冪級數(shù)；冪級數(shù)；冪級數(shù)對復(fù)變函數(shù)研究的應(yīng)用：冪級數(shù)對復(fù)變函數(shù)研究的應(yīng)用： 泰勒級數(shù)；泰勒級數(shù)； 洛朗級數(shù)，函數(shù)的奇異性研究。洛朗級數(shù)，函數(shù)的奇異性研究。2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開3.

2、1 復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù)級數(shù)是無窮項的和1. 級數(shù)的收斂和柯西判據(jù),211kkk復(fù)無窮級數(shù)每一項為kkkivu 收斂如果極限nkknnkknnkknviu111limlimlim存在并有限收斂：2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開充要條件是其實部與虛部都收斂柯西判據(jù)：復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的充要條件是，對于一小的正整數(shù) ，必存在一 N 使得 nN 時有,1pnnkk式中 p 為任意正整數(shù)。2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開2. 絕對收斂1122kkkkkvu收斂。兩個絕對收斂的和，積，仍絕對收斂。3. 復(fù)變項級數(shù),)()()()(211zzzzkkk的每一項都是復(fù)變函數(shù)。實際上，對于

3、 z 的一個確定值，復(fù)變項級數(shù)變成一個復(fù)數(shù)項級數(shù)。則原級數(shù) 收斂。1kk2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開復(fù)變項級數(shù)有一個定義域 B 。它的收斂的概念應(yīng)當(dāng)是相對于這個定義域而言的。收斂復(fù)變項級數(shù)在其定義域 B 中每一點都收斂，則稱在 B 中收斂。它滿足柯西判據(jù)：復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的充要條件是，對于一小正整數(shù) ，必存在一 N(z) 使得 nN(z) 時有,)(1pnnkkz2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開一致收斂當(dāng) N 與 z 無關(guān)時。即對 B 中所有點 給定 ，就有一個統(tǒng)一的 N 使判據(jù)得到滿足。 一致收斂的級數(shù)的每一項若為連續(xù)函數(shù)，級數(shù)也將是連續(xù)函數(shù)。在一條曲線上可以逐項積

4、分。絕對一致收斂在區(qū)域 B 中，復(fù)數(shù)項級數(shù)的各項滿足 而數(shù)項級數(shù),)(kkmz 1kkm收斂。 即在各點都絕對收斂2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開)(1zk)(1zN給定 .)(11pNNkz)(2zk)(2zN.)(12pNNkz收斂，但與 z 的位置有關(guān)。)(1zk)(1zN.)(11pNNkz)(2zk)(2zN2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開3.2 冪級數(shù)冪級數(shù)冪函數(shù)的復(fù)變項級數(shù)冪函數(shù)的復(fù)變項級數(shù)對于各復(fù)常數(shù),210kaaaz級數(shù)kkkkkzzazzazzaazza)()()()(020201000叫以 為中心的冪級數(shù)。0z1. 定義(3.2.1)z02021-

5、7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開kkkkkzzazzazzaazza)()()()(0202010002. 收斂的達(dá)朗貝爾判據(jù)研究(3.2.1) 的 模的如下級數(shù)00)(kkkzza滿足1limlim010101zzaazzazzakkkkkkkk則實冪級數(shù) (3.2.2) 收斂，且復(fù)冪級數(shù) (3.2.1) 絕對收斂。(3.2.1)(3.2.2)2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開1limlim010101zzaazzazzakkkkkkkk則實冪級數(shù) (3.2.2) 收斂，且復(fù)冪級數(shù) (3.2.1) 絕對收斂。3. 收斂圓記1limkkkaaR有1limlimlim1010101R

6、aazzaazzazzakkkkkkkkkkk2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開收斂圓收斂圓R 叫收斂半徑，以 為圓心，R 為半徑的圓叫冪級數(shù)的0z最簡單的收斂區(qū)域。保證冪級數(shù)在圓內(nèi)的點上絕對收斂，而在圓外可能發(fā)散。圓外仍有區(qū)域是收斂的。根值判別法, 1lim0zzakkk, 1lim0zzakkk(3.2.2) 收斂，(3.2.1) 絕對收斂。(3.2.2) 發(fā)散，(3.2.1) 發(fā)散。故當(dāng) ，(3.2.1) 絕對收斂。 當(dāng) ，(3.2.1) 可能發(fā)散。Rzz0Rzz02021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開故kkkaR1lim例kttt21(1)1t解：1ka1lim1kkk

7、aaR收斂半徑:收斂圓內(nèi)部為其實，ttttttkkkkk11lim11201tttttkkkk1111lim10對于2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開(2)但對于1t顯然級數(shù)發(fā)散。kkkkkzzzz24202)1(1)1(解：kka) 1(1lim1kkkaaR1z收斂圓224211) 1(1zzzzkk實際上對于1z4. 冪級數(shù)的積分表示利用柯西公式在一個比收斂圓 C 內(nèi)稍小的圓 C 中冪級數(shù)絕對一致收斂，故可沿這個圓逐項積分。2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開記 C上點為 ，而C內(nèi)任一點為 z，則圓上的冪級數(shù)為利用柯西公式得202010)()()(zazaa而zi121

8、有界，2020102020100)()()(21)(2121)(21zzazzaadzzaidzzaidzaidziCCCC0zzCC2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開又乘以1)(12!nzin)(202)(01)(0)(1202101101)()()()()(2!)()(2!)(2!)()(2!nnnnCkCkCkCkzzazzaazzainzzainzainzin冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)可任意逐項求導(dǎo)。還可以逐項積分。2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開3.3 泰勒級數(shù)展開泰勒級數(shù)展開具有無限階導(dǎo)數(shù)的實函數(shù)可以展開為泰勒級數(shù)。復(fù)變函數(shù)中的解析函數(shù)具有無限階導(dǎo)數(shù)，故應(yīng)可展開為泰勒級

9、數(shù)。定理 設(shè) 在以 為圓心的圓 內(nèi)解析，則對圓內(nèi)任意點 ， 可展開為)(zf)(zf0zRC,)()(00kkkzzazf證明：.)()(21)(Cdzfizf00000111)()(11zzzzzzzz又2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開100zzz01000000000)()()(11111kkkkkzzzzzzzzzzzz.)()(21)()()(21)(0100kCkkCdzfizzdzfizf#關(guān)鍵在確定 ，但這不是唯一的方法ka例 (1)0,)(0zezfz1)(00)(0eezfzk解：0!kkzkze#能直接求導(dǎo)就求導(dǎo)2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開(2)

10、0,cos)(,sin)(021zzzfzzf解：kkkkkzzfzzf) 1(cos) 1()(, 0sin) 1()(00) 12(100)2(1, 0sin) 1()(,) 1(cos) 1()(00) 12(100)2(2zzfzzfkkkkk.)!2()1(cos;)!12()1(sin02012kkkkkkkzzkzz.R#.1lim)!1/(1!/1limkkkRkk2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開(3)1,ln)(0zzzf 是多值函數(shù)，各分支在支點 相連。但 不是支點，在其 的鄰域各分支相互獨立。因此，我們可以只討論展開的主值。 zln解：10z10 zz, 01

11、2)12(2)2(/)!2()(/)!12()(/1)( ln)(kkkkzkzfzkzfzzfzzf)!2()()!12()1(1)1( 21ln)1()12()2(kzfkffinfkk2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開3) 1(2) 1() 1(2) 1(! 3! 2) 1(! 2! 1) 1(! 111lnln3232zzzinzzzz1R主值0n#(4)0,int,)1 ()(0zegelmzzfm解：inmminmee22)(1定義) 1() 1(kmmmkmkmCkmkmegelm,int顯然2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開),()1 ()(),()1 (2

12、)1)(1()( ),(11)1 ()( ,)1 ()()(221zfzkmzfzfzmzmmzfzfzmzmzfzzfkkmmm,1)(,21)0( ,11)1 ()0( ,1)0()(1kmzfmfmzmffmkmmmm! 1111!1! 1111)1 (11kmkmmmmzkkmzmzkkmzmz2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開11lim)!1/(1!/limkmkkkmkkmRkk0n是主值，此時有kmzkkmzmz! 111)1 (1即二項式定理。#方法與實函數(shù)同，但應(yīng)注意主值。最普通的辦法，仍是逐級求導(dǎo)。2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開(5)0,110tt.

13、 1.111ttttn,11itt極點在1t1tit 04) 1(21141)(2 !)21( !)11( !)11(innninitnenenint2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開.)(21104)1(21nninnitet22lim)(lim/ 14) 1(21/ 1ninnnnnneaR不同的冪級數(shù) 在不同的區(qū)域與函數(shù) 相同。這里存在什么樣的關(guān)系？t11設(shè)ttF11)()(10tftnn.)(2)(04)1(212nninnitetfit 在小圓)()(1tFtf1t在大圓)()(2tFtf。問題在于)()(1tFtf2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開3.4 解析延

14、拓解析延拓例如1,110tttkk和1,11) 1(202zzzkkk等式兩邊在收斂圓內(nèi)是相同的，但在收斂圓外等式不一定成立。注意，等式的左邊僅在收斂圓內(nèi)有意義，但等式的右邊除 t =1 （前一個）或 ,在整個復(fù)平面上解析。因此，問：已知 ，求 在 之外的 F(t)。1,0ttkk1t這個答案是已知的1,11)(tttF1z2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開 于是提出問題：已知 f(z) 在 b 中解析，是否存在 F(z) 在 B 中解析 ，且在 b 中 F(z)=f(z) 。這個過程叫解析延拓。BbBb0z解析延拓的方法在 b 中取點 ，又取 的一個鄰域，j將 f(z) 展開為泰勒

15、級數(shù)。如果這個級數(shù)的收斂圓的一部分超出區(qū)域 b 進(jìn)入?yún)^(qū)域 B 則此函數(shù)的解析區(qū)域得以擴(kuò)大。逐步使用這種方法，可以逐漸將函數(shù)解析延拓。0z0z可以證明，無論采用何種方法，函數(shù) f(z) 的解析延拓是唯一的。這樣，可以采 用某些最方便的方法來進(jìn)行解析延拓。2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開,)()()()(211zzzzkkk)(zf在定義域,)()()()(0020101zzzzkkk在點 z0收斂、絕對收斂。在定義域，收斂、一致收斂、絕對一致收斂級數(shù)冪級數(shù)kkkkkzzazzazzaazza)()()()(020201000)(zf 收斂圓2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開

16、泰勒級數(shù),)(!)()(00)(kkkzzkfzf解析區(qū)域解析函數(shù)解析延拓是否可以將一個解析函數(shù)的解析區(qū)域擴(kuò)大？在收斂圓內(nèi)可逐項積分可作為被積函數(shù)，被積函數(shù)不一定是解析函數(shù)。2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開3.5 洛朗展開洛朗展開 泰勒展開必須在函數(shù)的解析區(qū)域才可進(jìn)行。在函數(shù)的奇點的鄰域，是否存在相應(yīng)的展開？ (2) 泰勒級數(shù)的解析區(qū)域為一收斂圓，收斂圓不可包含奇點，但若研究一個級數(shù)，它以圓環(huán)作收斂區(qū)域，則奇點可以取作圓心，它在收斂環(huán)之外。這種級數(shù)為洛朗級數(shù)泰勒級數(shù)是只具有正冪項的冪級數(shù)，奇點易出現(xiàn)在負(fù)冪項，故考慮有負(fù)冪的級數(shù)1. 收斂環(huán)0010)()(kkkkkkzzazza20

17、21-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開1R2R1RC1RC2RC2RCC01101)(zzazzakkkkkk設(shè)其收斂半徑為 ，則其在圓 外部收斂。 2/1 R2RC故此級數(shù)在 收斂。這個區(qū)域叫收斂環(huán)。102RzzR其中正冪部分 的收斂半徑為 。負(fù)冪部分寫作00)(kkkzza1R2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開2. 定理設(shè) f(z) 在環(huán)形區(qū)域 的內(nèi)部單值解析，則在環(huán)內(nèi)任一點 z ，f(z) 可以展開為冪級數(shù)102RzzRkkkzzazf)()(0其中Ckkdzfia1)()(21證：21)(21)(21)(RRCCdzfidzfizf0100)()(1kkkzzzz沿1RC1

18、00zzz2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開沿2RC100zzz0100)()(1kkkzzzz2100) 1(01000)()(21)()()(21)()(RRClllCkkkdfzizzdzfizzzf10),1(kllk兩個積分回路的方向相反，由柯西定理，沿 的積分可變?yōu)檠?的積分（差一個負(fù)號）如下2RC1RCkkkzzazf)()(0Ckkdzfia1)()(21#此為洛朗展開在奇點附近的展開2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開3. 例(1) 在 的鄰域展開 。00zzzzf/sin)(00zf(z) 無定義。但. 1)(lim0zfz在挖去原點的環(huán)域（整個復(fù)平面）中

19、02012)!12() 1()!12() 1(1sin1sinkkkkkkzkzkzzzzz1)!12() 1(lim020kkkzzk又此級數(shù)又可以看作 f(z) 的到整個復(fù)平面的解析延拓。利用泰勒展開2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開(2) 在環(huán)域 中將 展開。 z1) 1/(1)(2zzf還是利用泰勒展開1/12zf(z)的奇點不是Z=0，而是z=1,-1。12022222111111111kkkkzzzzzz(3)在 的鄰域?qū)?展開。10z) 1/(1)(2zzf(z-1) 的冪級數(shù)210 z在2021-7-3數(shù)學(xué)物理方程第三章冪級數(shù)展開kkkzzzzzzzzzzz)21() 1(1121211111212) 1(1111111) 1)(1(1) 1/(102(4)0,)(0/1zezfz利用0,!kkzzkze取zzzz/ 1,/ 1得00/ 10,)!(!)/1 (kkkkzzkzkze無限多負(fù)冪2021-7-3數(shù)學(xué)