八個(gè)無(wú)敵模型——全搞定空間幾何的外接球和內(nèi)切球問(wèn)題

1、八個(gè)有趣模型搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球文：付雨樓、段永建類(lèi)型一、墻角模型（三條線兩個(gè)垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2R）2 a2 bc2，即 2R a2 b2 c2，求出R例1（ 1）已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（C ）A 1620C 24 32（2）若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為則其外接球的表面積是解：(1) V a2h 16，a 2， 4R2 a2 a2 h24 1624， S 24 ，選 C;(2) 4R23 3 3 9，S 4 R29（3）在正三棱錐S ABC中，M、N分別是棱SC、

2、BC的中點(diǎn)，且AM MN ,若側(cè)棱SA 2；3,則正三棱錐S ABC外接球的表面積是。36如圖（3） -1，取AB, BC的中點(diǎn)D,E，連接AE,CD，AE,CD交于SH AB，是底面正三角形 ABC的中心，SH 平面 ABC，AC BC，AD BD，CDAB，AB 平面 SCD，AB SC，同理：BCSA，AC SB，即正三棱錐的對(duì)棱互垂直，本題圖如圖（3) -2，AMMN， SB/MN，AM SB，AC SB，SB 平面 SAC，解：引理：正三棱錐的對(duì)棱互垂直 。證明如下:SB SA，SB SC， SB SA， BC SA，H，連接SH，則HSA 平面 SBC, SA SC,故三棱錐S A

3、BC的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，(2R)2(2 3)2(2 .3)2(2. 3)236，即 4R236 ,正三棱錐S ABC外接球的表面積是36圖5(4) 在四面體 S ABC中SA 平面ABCBAC 120 ,SA AC2, AB 1,則該四面體的外接球的表面積為(D )A.11B.7c.10d.40(5)如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3，那么它的外接球的表面積是(6)已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形和邊長(zhǎng)為1的正方形，則該幾何體外接球的體積為 解析：(4)在 ABC 中，BC2 AC2 AB2 2AB BC cos120 7，BC 7，A

4、BC的外接球直徑為2rBC .727sin BAC 33 (2R)2(2r)2 SA2403，選D(5)三條側(cè)棱兩兩生直，設(shè)三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為a, b, c ( a,b,c R )，則ab 12be 8 ， abc 24， a 3 ,b 4 ,c 2, (2r)2ac 6(6)(2r)2 a2 b2 e2 3，R2 3，R 42a2 b2 e2 29, S 4 R2 29 ，V 4 R34 仝3382類(lèi)型二、垂面模型(一條直線垂直于一個(gè)平面)1.題設(shè)：如圖5，PA 平面ABC解題步驟:第一步：將 ABC畫(huà)在小圓面上，A為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑AD，連接PD，則PD必過(guò)球心0 ；第二步：

5、01為ABC的外心，所以O(shè)Oj平面ABC，算出小圓0勺的半abc2r)，001PA;si nAsi nBsinC2第三步：禾y用勾股定理求三棱錐的外接麥球半隹徑徑OiD r （三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得(2R)2 PA2 (2r)22RPA2 (2r)2 ； R2 r2 00i2R r2 00；2.題設(shè)：如圖6，7，8，P的射影是 ABC的外心 三棱錐P ABC的三條側(cè)棱相等三棱錐P ABC的底面 ABC在圓錐的底上，頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)解題步驟:第一步：確定球心0的位置，取 ABC的外心0勺，則P,0,01三點(diǎn)共線;第二步：先算出小圓0i的半徑A0i r，再算出棱錐的高P0i

6、 h （也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：0A201A2 0102R2(h R)2 r2，解出 R方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓例2 一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示,積為（）C則該幾何體外接球的表面A. 3B.2C. 163解：選 C，( . 3 R)2 1D .以上都不對(duì)R2, 3 2 3R R2 1 R2, 4 2、3R 0,R23，S4 R2163類(lèi)型三、切瓜模型（兩個(gè)平面互相垂直） 1.題設(shè)：如圖 9-1，平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC為小圓的直徑）第一步：易知球心0必是PAC的外心，即 PAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑 AC 2r ；第二步：在PAC中，可根據(jù)正弦定

7、理sin Ab csin B sinC2R，求出R2.如圖9-2，平面PAC 平面ABC，且ABBC （即AC為小圓的直徑）3.如圖 9-3，平面PAC 平面ABC，且ABBC （即AC為小圓的直徑），且 P的射影是 ABC的外心 三棱錐P ABC的三條側(cè)棱相等三棱P ABC的底面ABC在圓錐的底上，頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)解題步驟：第一步：確定球心0的位置，取 ABC的外心O，則P,0,0,三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓的半徑A。！ r，再算出棱錐的高P。！ h （也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：OA2 0,A2 OQ2R2 （h R）2 r2，解出R4.如圖9-3，平面PAC 平面ABC，且

8、AB BC （即AC為小圓的直徑），且PA AC， 則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：（2R）2 PA2 （2r）2 2R , PA2 （2r）2 ； R2 r2 00,R r2 00；例3 （1）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為1,底面邊長(zhǎng)為2 3，則該球的表面積為。（2）正四棱錐S ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為 -2，各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為解：（1）由正弦定理或找球心都可得 2R 7，S 4 R2 49 ，（2）方法一：找球心的位置，易知r 1，h 1，h r，故球心在正方形的中心 ABCD1,處，R 1, V3方法二：大圓是軸截面所的外接圓,即大圓是 S

9、AC的外接圓，此處特殊，Rt SAC的斜邊是球半徑，2R 2，R 1，(3)在三棱錐P ABC中，PAPB PC.3,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60 ,則該三棱錐外接球的體積為A.C. 4B.3解：選D,圓錐代B,C在以r 的圓上,2D.(4)已知三棱錐S ABC的所有頂點(diǎn)都在球 0的求面上,ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球0的直徑，且SC2，貝V此棱錐的體積為(D.解：001. R2 r21(33)21 -Sh31.3 2.623類(lèi)型四、漢堡模型(直棱柱的外接球、圓柱的外接球) 題設(shè)：如圖10-1，圖10-2，圖10-3,直三棱柱內(nèi)接于球(同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱, 棱柱的上下底面可以

10、是任意三角形)第一步：確定球心 O的位置，01是ABC的外心，則00!平面ABC ;第二步：算出小圓01的半徑A01 r , 001 AA -h ( AA1 h也是圓柱的高)；2 2f第三步：勾股定理：0A2O1A2OQ2R2(-)2r2 R/r2(-)2，解出 R2V 2例4(1) 一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為9，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積8為解：設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為a，正六棱柱的高為h，底面外接圓的關(guān)徑為r，則a -2底面積為S 6 3 (1)2 3 3，V柱Sh 3衛(wèi)h42889， h .3，R2 (山)28 2R1

11、，球的體積為V寧直三棱柱ABC AB。的各頂點(diǎn)都在同一球面AB ACAA12 , BAC 120，則此球的表面積等于解：BC2.3，2r 2 34，r 2，R 、5，S 20sin 120(3)已知EAB所在的平面與矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA EB 3,AD 2, AEB 60 ， 則多面體E ABCD的外接球的表面積為。16DOO11，解析：折疊型，法一:EAB的外接圓半徑為幾,3，R 132 ;法二:O1M-3，r2 O2D2R213匸 4，R 2，S 16(4)在直二棱柱 ABCA1B1C1 中，AB 4, AC6, A4則直三棱柱ABC A1B1C1的外接球的表面積為160

12、O 3解析：BC2 16364 6 128， BC 2、7，2-2 72r _324一72 73，r 3，2R2r240 o 160， S33283類(lèi)型五、折疊模型(如圖11)題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊第一步：先畫(huà)出如圖所示的圖形，將BCD畫(huà)在小圓上，找出 BCD和ABD的外心H1 和 H2 ；第二步：過(guò)H1和H2分別作平面BCD和平面ABD的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心 O，連接OE,OC ;第三步：解 OEHi，算出0比，在Rt OCHi中，勾股定理：OH； CH； OC2例5三棱錐P ABC中，平面PAC 平面ABC , PAC和厶ABC均為邊長(zhǎng)為2的正 三角形，

13、則三棱錐P ABC外接球的半徑為解析：2ri 2r22sin 6043，22O2H2 2 2R O2Hr1法二：O2HOiH1.3，AH 1，R2 AO2AH2 O1H2 O1O2、153類(lèi)型六、對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長(zhǎng)方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑（AB CD，AD BC，AC BD）第一步：畫(huà)出一個(gè)長(zhǎng)方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱；第二步：設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為 a,b,c，AD BC x，AB CD y，AC BD z，列方程組,2 ab22 x2 2 2.22222,22 xyzbcy(2R) a b c2222caz、 、 1 1 補(bǔ)充： VA

14、 bcd abc abc 4 abc63圖12第三步：根據(jù)墻角模型,2R a2 b2 c2R2R，求出R，(1)題接球的表面積為29。2例如，正四面體的外接球半徑可用此法例6 （1）棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是（2） 個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為 1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（)A.竺B.仝C43D.三43412解：（1）截面為 PCO1，面積是 2 ;（2）高h(yuǎn) R 1，底面外接圓的半徑為R 1，直徑為2R 2，（1）題解答圖設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則2R 2，a . 3，

15、sin 60a4三棱錐的體積為V靜子(3)在三棱錐 A BCD 中，AB CD 2, ADBC 3, ACBD 4,則三棱錐A BCD外解析：如圖12,設(shè)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，三個(gè)長(zhǎng)度為三對(duì)面的對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為b22 c4，2 2c a 162(a2b2 c2) 9 4 1629， 2(a22229229 g29ab2c，4R2，S222a, b, c，貝9 a2 b2 9，（4）如圖所示三棱錐 A BCD，其中AB CD 5,AC BD 錐外接球的表面積為 .解析：同上，設(shè)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，三個(gè)長(zhǎng)度為三對(duì)面的對(duì)角線長(zhǎng),b2 c2） 9 4 1629，6, AD BC 7,則該三棱設(shè)長(zhǎng)寬高分別為a

16、, b,c，2 2 2 2 2 2 22(a b c) 25 3649 110， a b c 55，4R 55， S 55【55 ;對(duì)稱(chēng)幾何體；放到長(zhǎng)方體中】（5）正四面體的各條棱長(zhǎng)都為.2，則該正面體外接球的體積為 解析：這是特殊情況，但也是對(duì)棱相等的模式，放入長(zhǎng)方體中,_ 罷“ 43373R , v2382類(lèi)型七、兩直角三角形拼接在一起（斜邊相同，也可看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐）模型題設(shè)： APB ACB 90，求三棱錐P ABC外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)0 ,連接1 _ 、 一OP,OC，則OA OB OC OP AB， 0為三棱錐P ABC外接球球心，然后在OCP 2中求

17、出半徑），當(dāng)看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無(wú)關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值。例7（ 1）在矩形ABCD中，AB 4，BC 3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B AC D，則四面體ABCD的外接球的體積為（）A.12512125125125解：（1）2R AC 5，R -，V 4 R34空，選 C23386（2）在矩形 ABCD中，AB 2， BC 3，沿BD將矩形ABCD折疊，連接 AC ,所得 三棱錐A BCD的外接球的表面積為解析：（2） BD的中點(diǎn)是球心O，2R BD ,13，S 4 R2 13 ；類(lèi)型八、錐體的內(nèi)切球問(wèn)題1.題設(shè)：如圖14,三棱錐P ABC上

18、正三棱錐，求其外接球的半徑。第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖,E,H分別是兩個(gè)三角形的外心;第二步：求DH - BD， PO PH r，PD是側(cè)面 ABP的高;3第三步：由 POE相似于 PDH，建立等式： 匹 巴，解DH PD出rpC2 .題設(shè)：如圖15,四棱錐P ABC上正四棱錐，求其外接球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，P,O,H三點(diǎn)共線；1第二步：求FH BC，PO PH r，PF是側(cè)面 PCD的高；2第三步：由POG相似于PFH，建立等式：OG 巴，解出HF PF3 .題設(shè)：三棱錐P ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等 第一步：先畫(huà)出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積;第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，建立等式：V ABCVo ABCVo pab V。 PACVO PBC第三步：解出rWp ABCSO ABCSo PABSO PACSO PBC習(xí)題：1. 若三棱錐S ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且 SA 2，SB SC 4，則該三棱錐的外接球半徑為()A. 3B. 6C. 36D. 9解：【A】 (2R)2 .4 16 16