工學(xué)我自己信號(hào)與系統(tǒng)筆記

1、信號(hào)與線性系統(tǒng)分析 （第四版） 高等教育出版社 教學(xué)參考書教學(xué)參考書 ?信號(hào)與系統(tǒng)鄭君里/楊為理 ?信號(hào)與系統(tǒng)陳后金 ?信號(hào)與系統(tǒng)王寶祥 教學(xué)要求教學(xué)要求 ?考勤 ?作業(yè) ?平時(shí)課堂提問(wèn) ?期末考試成績(jī) 章節(jié)目錄章節(jié)目錄 ? 第一章 信號(hào)與系統(tǒng) ? 第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 ? 第三章 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析 ? 第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析 ? 第五章 連續(xù)系統(tǒng)的S域分析 ? 第六章 離散系統(tǒng)的Z域分析 ? 第七章 系統(tǒng)函數(shù) ? 第八章 系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析 1.1 緒言 一、信號(hào)的概念 二、系統(tǒng)的概念二、系統(tǒng)的概念 1.2 信號(hào)的描述與分類 一、信號(hào)的描述 二、信號(hào)的分類 1.3 信號(hào)的

2、基本運(yùn)算 一、加法和乘法 二、時(shí)間變換 1.4 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 一、階躍函數(shù) 二、沖激函數(shù) 第一章第一章 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng) 三、沖激函數(shù)的性質(zhì) 四、序列(k)和(k) 1.5 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 一、系統(tǒng)的定義 二、系統(tǒng)的分類及性質(zhì) 1.6 系統(tǒng)的描述 一、連續(xù)系統(tǒng) 二、離散系統(tǒng) 1.7 LTI系統(tǒng)分析方法概 述 點(diǎn)擊目錄，進(jìn)入相關(guān)章節(jié) 什么是信號(hào)？什么是系統(tǒng)？為什么把這兩個(gè)概念 連在一起？ 一、信號(hào)的概念 1. 消息(message): 人們常常把來(lái)自外界的各種報(bào)道統(tǒng)稱為 消息。 2. 信息(information): 通常把消息中有意義的內(nèi)容稱為 信息。 本課程中對(duì)“信息”和“消息”

3、兩詞不加嚴(yán)格區(qū) 分。 1.1 緒 論 它是信息論中的一個(gè)術(shù)語(yǔ)。 1.1 緒論 3. 信號(hào)信號(hào)(signal): 信號(hào)是信息的載體。通過(guò)信號(hào)傳遞信息。 信號(hào)我們并不陌生，如鈴 聲聲信號(hào)，表示該上課了； 十字路口的紅綠燈 光信 號(hào)，指揮交通； 電視機(jī)天線接收的電視信 息電信號(hào)； 廣告牌上的文字、圖象信 號(hào)等等。 為了有效地傳播和利用信息， 常常需要將信息轉(zhuǎn)換成便于傳輸 和處理的信號(hào)。 二、系統(tǒng)的概念 一般而言，系統(tǒng)(system)是指若干相互關(guān)聯(lián)的 事物組合而成具有特定功能的整體。 如手機(jī)、電視機(jī)、通信網(wǎng)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)等都可以 看成系統(tǒng)。它們所傳送的語(yǔ)音、音樂(lè)、圖象、文字 等都可以看成信號(hào)。信號(hào)的概念

4、與系統(tǒng)的概念常常 緊密地聯(lián)系在一起。 信號(hào)的產(chǎn)生、傳輸和處理需要一定的物理裝置， 這樣的物理裝置常稱為系統(tǒng)。 系統(tǒng)的基本作用是對(duì)輸入 信號(hào)進(jìn)行加工和處理，將其轉(zhuǎn) 換為所需要的輸出信號(hào)。 系統(tǒng) 輸入信號(hào) 激勵(lì) 輸出信號(hào) 響應(yīng) 1.1 緒論 1.2 信號(hào) 一、信號(hào)的描述 信號(hào)是信息的一種物理體現(xiàn)。它一般是隨時(shí)間 或位置變化的物理量。 信號(hào)按物理屬性分：電信號(hào)和非電信號(hào)。它們 可以相互轉(zhuǎn)換。電信號(hào)容易產(chǎn)生，便于控制，易于 處理。本課程討論電信號(hào) -簡(jiǎn)稱“信號(hào)”。 電信號(hào)的基本形式 ：隨時(shí)間變化的電壓或電流。 描述信號(hào)的常用方法 （1）表示為時(shí)間的函數(shù) （2）信號(hào)的圖形表示 -波形 “信號(hào)”與“函數(shù)”

5、兩詞常相互通用。 二、信號(hào)的分類 1. 確定信號(hào)和隨機(jī)信號(hào) 可以用確定時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào)，稱為 確定信 號(hào)或規(guī)則信號(hào)。如正弦信號(hào)。 若信號(hào)不能用確切的函數(shù)描述，它在任意時(shí)刻 的取值都具有不確定性，只可能知道它的統(tǒng)計(jì)特性， 如在某時(shí)刻取某一數(shù)值的概率，這類信號(hào)稱為 隨機(jī) 信號(hào)或不確定信號(hào)。電子系統(tǒng)中的起伏熱噪聲、雷 電干擾信號(hào)就是兩種典型的隨機(jī)信號(hào)。 研究確定信號(hào)是研究隨機(jī)信號(hào)的基礎(chǔ)。本課程 只討論確定信號(hào)。 1.2 信號(hào) 2. 連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)根據(jù)信號(hào)定義域的特點(diǎn)可分 為連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào) 。 在連續(xù)的時(shí)間范圍內(nèi) (-t）有定義的信號(hào) 稱為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱連續(xù)信號(hào)。實(shí)際中也常稱 為

6、模擬信號(hào)。 這里的“連續(xù)”指函數(shù)的定義域 時(shí)間是連續(xù) 的，但可含間斷點(diǎn)，至于值域可連續(xù)也可不連續(xù)。 to f1(t) = sin( t) 12t o 1 2 1 -1-1 1 f2(t) 值域連 續(xù) 值域不 連續(xù) （1）連續(xù)時(shí)間信號(hào)： 1.2 信號(hào) 僅在一些離散的瞬間才有定義的信號(hào)稱為離散時(shí)間信號(hào)， 簡(jiǎn)稱離散信號(hào)。實(shí)際中也常稱為數(shù)字信號(hào)。 這里的“離散”指信號(hào)的定義域時(shí)間是離散的，它只在 某些規(guī)定的離散瞬間給出函數(shù)值，其余時(shí)間無(wú)定義。 如右圖的f(t)僅在一些離散時(shí)刻tk(k = 0,1,2,)才有定義，其余時(shí)間無(wú) 定義。 相鄰離散點(diǎn)的間隔Tk=tk+1-tk可以相等 也可不等。通常取等間隔T

7、，離散信號(hào) 可表示為f(kT)，簡(jiǎn)寫為f(k)，這種等間 隔的離散信號(hào)也常稱為序列。其中k稱 為序號(hào)。 t o 2 t1 1 f(t) -1.5 2 1 t2t3t4t-1 離散時(shí)間信號(hào)： 1.2 信號(hào) 上述離散信號(hào)可簡(jiǎn)畫為 k o 2 1 1 f(k) -1.5 2 1 2 3 4-1 用表達(dá)式可寫為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k0 41 3, 0 2, 2 1, 5 . 1 0, 2 1, 1 )( 其他， ， k k k k k k kf 或?qū)憺?f(k)= ，0 ，1，2，-1.5，2，0，1，0， k=0 通常將對(duì)應(yīng)某序號(hào) m 的序列值稱

8、為第m個(gè)樣點(diǎn)的“樣值” 1.2 信號(hào) 3. 周期信號(hào)和非周期信號(hào) 周期信號(hào)(period signal)是定義在(-，)區(qū) 間，每隔一定時(shí)間T(或整數(shù)N），按相同規(guī)律重復(fù) 變化的信號(hào)。 連續(xù)周期信號(hào)f(t)滿足 f(t) = f(t+ m T)，m = 0, 1,2, 離散周期信號(hào)f(k)滿足 f(k) = f(k+ m N)，m = 0, 1,2, 滿足上述關(guān)系的最小T(或整數(shù)N)稱為該信號(hào)的周期。 不具有周期性的信號(hào)稱為 非周期信號(hào)。 1.2 信號(hào)信號(hào) 例1 判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。 （1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t

9、+ sint 解：兩個(gè)周期信號(hào)x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若其 周期之比T1/T 2 為有理數(shù)，則其和信號(hào) x(t)+y(t) 仍然是周 期信號(hào)，其周期為 T1和T2的最小公倍數(shù)。 （1）sin2t是周期信號(hào)，其角頻率和周期分別為 1 = 2 rad/s ， T1= 2/ 1 = s cos3t 是周期信號(hào)，其角頻率和周期分別為 2 = 3 rad/s ， T2= 2/ 2 = (2/3) s 由于T1/T 2 = 3/2 為有理數(shù)，故f1(t)為周期信號(hào)，其周期為 T1和T2的最小公倍數(shù)2。 （2） cos2t 和sint的周期分別為T1= s，T2= 2 s，由于 T1/T

10、2 為無(wú)理數(shù)，故f2(t)為非周期信號(hào)。 1.2 信號(hào)信號(hào) 例2 判斷正弦序列f(k) = sin(k)是否為周期信號(hào)， 若是，確定其周期。 解 f(k) = sin(k) = sin(k + 2m) ， m = 0, 1,2, mN)sin(k 2 mksin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 式中稱為正弦序列的數(shù)字角頻率，單位： rad 。 由上式可見(jiàn)： 僅當(dāng)2/ 為整數(shù)時(shí)，正弦序列才具有周期 N = 2/ 。 當(dāng)2/ 為有理數(shù)時(shí)，正弦序列仍為具有周期性，但其周 期為N= M(2/ )，M取使N為整數(shù)的最小整數(shù)。 當(dāng)2/ 為無(wú)理數(shù)時(shí)，正弦序列為非周期序列。 1.2 信

11、號(hào)信號(hào) 例3 判斷下列序列是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。 （1）f1(k) = sin(3k/4) + cos(0.5k) （2）f2(k) = sin(2k) 解 （1）sin(3k/4) 和cos(0.5k)的數(shù)字角頻率分別為 1 = 3/4 rad ， 2 = 0.5 rad 由于2/ 1 = 8/3 ， 2/ 2 = 4 為有理數(shù)，故它們的周期分 別為N 1 = 8 ， N2= 4 ，故f1(k) 為周期序列，其周期為 N 1 和 N2的最小公倍數(shù)8。 （2）sin(2k) 的數(shù)字角頻率為 1 = 2 rad ；由于2/ 1 = 為無(wú)理數(shù)，故f2(k) = sin(2k)為非周期序

12、列 。 由上面幾例可看出 ：連續(xù)正弦信號(hào)一定是周期信號(hào)，而 正弦序列不一定是周期序列。兩連續(xù)周期信號(hào)之和不一 定是周期信號(hào)，而兩周期序列之和一定是周期序列。 1.2 信號(hào)信號(hào) 4 能量信號(hào)與功率信號(hào) 將信號(hào)f (t)施加于1電阻上，它所消耗的瞬時(shí)功率 為| f (t ) | 2 ，在區(qū)間( , )的能量和平均功率定義為 （1）信號(hào)的能量E ? ? ? ?ttfEd)( 2 def （2）信號(hào)的功率P ? ? ? 2 2 2 def d)( 1 lim T T T ttf T P 若信號(hào)f (t)的能量有界，即 E , 則稱其為能量有 限信號(hào)，簡(jiǎn)稱能量信號(hào)。此時(shí) P = 0 若信號(hào)f (t)的功

13、率有界，即 P , 則稱其為功率有 限信號(hào)，簡(jiǎn)稱功率信號(hào)。此時(shí) E = 1.2 信號(hào)信號(hào) 相應(yīng)地，對(duì)于離散信號(hào)，也有能量信號(hào)、功率信 號(hào)之分。 若滿足的離散信號(hào)，稱為能量信號(hào)。 ? ? ? ?k kfE 2 | )(| 若滿足的離散信號(hào)，稱為功率信號(hào)。 ? ? ? ? 2/ 2/ 2 | )(| 1 lim N Nk N kf N P 時(shí)限信號(hào)(僅在有限時(shí)間區(qū)間不為零的信號(hào) )為能 量信號(hào); 周期信號(hào)屬于功率信號(hào)，而 非周期信號(hào)可能 是能量信號(hào)，也可能是功率信號(hào)。 有些信號(hào)既不是屬于能量信號(hào)也不屬于功率信號(hào)， 如 f (t) = e t 。 1.2 信號(hào)信號(hào) 5 一維信號(hào)與多維信號(hào) 從數(shù)學(xué)表達(dá)

14、式來(lái)看，信號(hào)可以表示為一個(gè)或多個(gè) 變量的函數(shù)，稱為 一維或多維函數(shù)。 語(yǔ)音信號(hào)可表示為聲音隨時(shí)間變化的函數(shù)，這是 一維信號(hào)。而一張黑白圖像每個(gè)點(diǎn)(像素)具有不同的 光強(qiáng)度，任一點(diǎn)又是二維平面坐標(biāo)中兩個(gè)變量的函數(shù)， 這是二維信號(hào)。還有更多維變量的函數(shù)的信號(hào)。 本課程只研究一維信號(hào)，且自變量多為時(shí)間。 6 因果信號(hào)與反因果信號(hào) 常將 t= 0 時(shí)接入系統(tǒng)的信號(hào) f(t) 即在t0 ，則將f ()右移；否則左 移。 如 f (t) to1 1 右移t t 1 f (t-1) to2 1 1 左移t t + 1 f (t+1) to 1 -1 1.3 信號(hào)的基本運(yùn)算信號(hào)的基本運(yùn)算 平移與反轉(zhuǎn)相結(jié)合 f

15、 (t) to1 1 法一：先平移f(t ) f(t +2) 再反轉(zhuǎn) f(t +2) f(t +2) 法二：先反轉(zhuǎn) f(t) f(t) 畫出 f(2 t)。 f (- t ) -1 1 to 再平移 f(t) f(t +2) f (t) to1 1 2to 1 1 f (-t +2) -1 to 1 -2 f (t +2) 左移 右移 = f(t 2) 注意：是對(duì)t 的變換！ 1.3 信號(hào)的基本運(yùn)算信號(hào)的基本運(yùn)算 3. 尺度變換（橫坐標(biāo)展縮） 將 f(t) f(a t ) ， 稱為對(duì)信號(hào)f (t)的尺度變換 尺度變換。 若a 1 ，則波形沿橫坐標(biāo)壓縮；若 0 a 1 ，則展開(kāi) 。 如 to f

16、 ( t ) 1 -2 2 t 2 t壓縮 to 1 -1 f (2 t ) 1 t 0.5 t展開(kāi) to 1 -4 f (0 .5 t ) 4 對(duì)于離散信號(hào)，由于 f(a k ) 僅在a k為整數(shù)時(shí)才有意義， 進(jìn)行尺度 變換時(shí)可能會(huì)使部分信號(hào)丟失。因此一般不作波形的尺度變換。 1.3 信號(hào)的基本運(yùn)算 平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換相結(jié)合 to f ( t ) 1 -2 2 已知f(t)，畫出 f(4 2 t)。 三種運(yùn)算的次序可任意。 但一定要注意始終對(duì)時(shí)間 t 進(jìn)行。 f (t -4) 426to 1 壓縮，得f(2 t 4) f (2 t -4) 213to 1 反轉(zhuǎn)，得f(2 t 4) -1-3

17、 f (-2 t -4) to 1 右移4，得f(t 4) 1.3 信號(hào)的基本運(yùn)算信號(hào)的基本運(yùn)算 to f ( t ) 1 -2 2 壓縮，得f(2 t) f ( 2 t ) -1 1to 1 右移2，得f(2 t 4) f (2 t -4) 213to 1 反轉(zhuǎn)，得f(2 t 4) -1-3 f (-2 t -4) to 1 也可以先壓縮、再平移、最后反轉(zhuǎn)。 1.3 信號(hào)的基本運(yùn)算 若已知f(4 2t ) ，畫出 f(t) 。 -1-3 f (-2t -4) to 1反轉(zhuǎn)，得f(2 t 4) f (2 t -4) 213to 1 展開(kāi)，得f(t 4) to 1 f (t -4) 246 左移

18、4，得f(t) to f ( t ) 1 -2 2 1.3 信號(hào)的基本運(yùn)算 1.4 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 階躍函數(shù)和沖激函數(shù)不同于普通函數(shù)，稱為 奇異函數(shù)。 研究奇異函數(shù)的性質(zhì)要用到廣義函數(shù)的理論。這里將直 觀地引出階躍函數(shù)和沖激函數(shù)。 1.4 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 一、階躍函數(shù) 下面采用求函數(shù)序列極限 的方法定義階躍函數(shù)。 選定一個(gè)函數(shù)序列 n(t) 如圖所示。 to n 1 ? n 1 1 n 2 1 n to 1 (t) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0, 1 0, 2 1 0, 0 )(lim)( def t t t tt n n ? 階躍函數(shù)性質(zhì)：階躍函數(shù)性質(zhì)： （1）可以方便

19、地表示某些信號(hào) f (t) o 2 t12 -1 f(t) = 2 (t )-3 (t-1) + (t -2) (a)(b) f (t)f(t ) (t) oo tt o t (c) f(t ) (t-t1)- (t-t2) t1t2 （2）用階躍函數(shù)表示信號(hào)的作用區(qū)間 （3）積分)(d)( tt t ? ? ? 1.4 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 二、沖激函數(shù) 單位沖激函數(shù)是個(gè)奇異函數(shù)，它是對(duì)強(qiáng)度極大， 作用時(shí)間極短一種物理量的理想化模型。它由如下 特殊的方式定義（由 狄拉克最早提出） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1)( 0, 0)( dtt tt ? ? to (1) (t) 也可采用

20、下列直觀定義：對(duì) n(t)求導(dǎo) 得到如圖所示的矩形脈沖 p n (t) 。 to pn(t) n 1 n 1 ? 2 n )(lim)( def tpt n n? ? 高度無(wú)窮大，寬度 無(wú)窮小，面積為1的對(duì)稱窄脈沖。 1.4 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系： t t t d )(d )( ? ? to 1 (t) to (1) (t )? ? ? t t?d)()( 可見(jiàn)，引入沖激函數(shù)之 后，間斷點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也存 在。如 to f (t) 2 1 -1 f(t) = 2 (t +1)-2 (t -1) f(t) = 2 (t +1) -2 (t -1) 求導(dǎo) 1 -1 o t f (t

21、) (2) (-2) to n 1 ? n 1 1 n 2 1 to pn(t) n 1 n 1 ? 2 n n n t t tp n n d )(d )( ? ? 1.4 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 三、沖激函數(shù)的性質(zhì) 1. 與普通函數(shù) f(t) 的乘積 取樣性質(zhì) 若f(t )在 t= 0 、 t= a 處存在，則 f(t)(t ) = f(0) (t) ，f(t)(t a) = f(a)(t a) )0(d)()(ftttf? ? ? ? ? )( 2 2 )() 4 sin()() 4 sin(tttt? ? ? ? ? 2 2 d)() 4 sin(? ? ? ? ttt? ? ?d) 1()

22、 4 sin( 0 3 ? ? ? ttt? ? ?d)() 4 sin( 9 1 ? ? ? ttt? ? ?d)(2 1 1 ? ? ? ?t ?d)() 1( 1 2 ? ? ? t ? 0 2 2 ? ? ? ? 其它, 0 11,2tt (t) )(d)()(aftattf? ? ? ? ? 1.4 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) )(2)( 22 tete tt ? ? ? ? )( 2 te dt d t? )(2)( 2 tet t? ? ? ? 2. 沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (t ) （也稱沖激偶） f(t) (t) = f(0) (t) f (0) (t) 證明： f(t ) (t)= f(t

23、) (t) + f (t) (t) f(t) (t) = f(t) (t )f (t) (t) = f(0) (t) f (0) (t ) (t)的定義： )0( d)()( fttft? ? ? ? ? (n)(t)的定義： )0() 1(d)()( )()(nnn fttft? ? ? ? ? 1.4 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) ? ? ? ? dttt)( )2( 2? ? ?0 2 )2( t t dt d 0 )2(2 ? ? t t 4? 3. (t ) 的尺度變換 )( 1 | 1 )( )()( t aa at n n n ? 證明見(jiàn)教材P21 推論: (1)( | 1 )(t a a

24、t?)( | 1 )( 0 0 a t t a tat? (2 t) = 0.5 (t) )() 1()( )()( tt nnn ?(2)當(dāng)a= 1時(shí) 所以， (t) = (t) 為偶函數(shù)， (t ) = (t)為奇函數(shù) 1.4 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 已知f(t )，畫出g(t) = f (t )和g(2 t) 求導(dǎo)，得g(t) o 2 t f (t ) -2 4 (4) o 2 t g(t) = f (t) -2 -1 壓縮，得g(2 t) (4) o 1 t g(2 t ) -1 -1 1.4 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 4. 復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù) 實(shí)際中有時(shí)會(huì)遇到形如 f(t)的沖激函數(shù)，其

25、中f(t )是普通函數(shù)。并且 f(t) = 0 有n個(gè)互不相等的 實(shí)根 t i ( i=1 ，2，n) t tf tftf td )(d )()( d d ? )( d d )( 1 )(tf ttf tf? f(t )圖示說(shuō)明： 例f(t )= t 2 4 (t 2 4)=1 (t+2)+ (t 2) f (t) t -4 -2 2o 1 f (t) 2 -2 t o 1.4 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) )2( 4 1 )2( 4 1 )2( 22 1 )2( 22 1 )2()2( 2 1 )4( d d 2 1 4 22 ? ? ? ? ? ? tttt tt t t tt t ? ? ( t

26、2 4) =1 (t+2)+ (t 2) 一般地， ? ? ? n i i i tt tf tf 1 )( )( 1 )( ? 這表明，f(t)是位于各t i處，強(qiáng)度為 的n個(gè)沖激 函數(shù)構(gòu)成的沖激函數(shù)序列。 )( 1 i tf ) 2 1 ( 4 1 ) 2 1 ( 4 1 ) 14( 2 ?ttt? 注意：如果f(t)=0有重根，f(t)無(wú)意義。 1.4 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 這兩個(gè)序列是普通序列。 （1）單位(樣值)序列(k)的定義 ? ? ? ? ? ? 0 , 0 0, 1 )( def k k k? o 1 1-1 k (k) 取樣性質(zhì)： f(k)(k) = f(0) (k) )0()

27、()(fkkf k ? ? ? ? ? f(k)(k k 0 ) = f(k 0 )(k k 0 ) 例 ?)(? ? ?k k?)()5(? ? ?k kk? 三、序列(k)和(k) 1.4 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) （2）單位階躍序列(k)的定義 ? ? ? ? ? ? 0 , 0 0, 1 )( def k k k? o 1 1 -1 k (k) 23 （3）(k)與(k)的關(guān)系 (k) = (k) (k 1) ? ? ? k i ik)()(? 或 ? ? ? ? 0 )()( j jkk? (k) = (k)+ (k 1)+ 1.4 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 1.5 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 1.5 系

28、統(tǒng)的性質(zhì)及分類 一、系統(tǒng)的定義 若干相互作用、相互聯(lián)系的事物按一定規(guī)律組 成具有特定功能的整體稱為系統(tǒng)。 電系統(tǒng)是電子元器件的集合體。電路側(cè)重于局 部，系統(tǒng)側(cè)重于全部。電路、系統(tǒng)兩詞通用。 二、系統(tǒng)的分類及性質(zhì) 可以從多種角度來(lái)觀察、分析研究系統(tǒng)的特征， 提出對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分類的方法。下面討論幾種常用 的分類法。 1. 連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng) 若系統(tǒng)的輸入信號(hào)是連續(xù)信號(hào)，系統(tǒng)的輸出信號(hào) 也是連續(xù)信號(hào)，則稱該系統(tǒng)為 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為 連續(xù)系統(tǒng)。 若系統(tǒng)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)均是離散信號(hào)， 則稱該系統(tǒng)為離散時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為離散系統(tǒng)。 2. 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng) 若系統(tǒng)在任一時(shí)刻的響應(yīng)不僅與該時(shí)刻的激勵(lì)有

29、關(guān)，而且與它過(guò)去的歷史狀況有關(guān)，則稱為 動(dòng)態(tài)系 統(tǒng) 或記憶系統(tǒng)。含有記憶元件(電容、電感等)的系統(tǒng) 是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。否則稱 即時(shí)系統(tǒng)或無(wú)記憶系統(tǒng)。 3. 單輸入單輸出系統(tǒng)與多輸入多輸出系統(tǒng) 1.5 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 4. 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 滿足線性性質(zhì)的系統(tǒng)稱為 線性系統(tǒng)。 （1）線性性質(zhì) 系統(tǒng)的激勵(lì)f ()所引起的響應(yīng) y() 可簡(jiǎn)記為y() = T f () 系統(tǒng) f ()y () 線性性質(zhì)包括兩方面： 齊次性和可加性。 若系統(tǒng)的激勵(lì)f ()增大a倍時(shí)，其響應(yīng)y()也增大a倍，即 Taf () = a T f () 則稱該系統(tǒng)是齊次的。 若系統(tǒng)對(duì)于激勵(lì)f1()與f2()之和的響應(yīng)等于各個(gè)激

30、勵(lì)所引 起的響應(yīng)之和，即 Tf1()+ f2() = T f1()+T f2() 則稱該系統(tǒng)是可加的。 1.5 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 若系統(tǒng)既是齊次的又是可加的，則稱該系統(tǒng)是 線性的， 即 Ta f1() + b f2() = a T f1() + bT f2() （2）動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不僅與激勵(lì) f() 有關(guān)，而且與系統(tǒng)的 初始狀態(tài)x(0)有關(guān)。 初始狀態(tài)也稱“內(nèi)部激勵(lì)”。 完全響應(yīng)可寫為 y() = T f() , x(0) 零狀態(tài)響應(yīng)為 y zs() = T f() , 0 零輸入響應(yīng)為 y zi() = T 0，x(0) 1.5 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個(gè)條

31、件時(shí)該系統(tǒng)為線性系統(tǒng) ： 零狀態(tài)線性： Ta f() , 0 =aT f() , 0 Tf1(t) + f2(t) , 0 = T f1() , 0 + T f2() , 0 或 Taf1(t ) +bf2(t) , 0 = aT f1() , 0 +bT f2() , 0 零輸入線性： xx(0) x1(0) + x2x1x2(0) 或 x1(0) +b x2x1x2(0) 可分解性： y() = y zs() + yzi() = T f() , 0+ T0 ，x(0) 1.5 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 例1：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？ （1） y(t) = 3 x(0) + 2 f(t ) +

32、x(0) f(t) + 1 （2） y(t) = 2 x(0) + | f(t)| （3） y(t) = x2(0) + 2 f(t ) 解： （1） y zs(t ) = 2 f(t ) +1 ， y zi(t) = 3 x(0) + 1 顯然， y(t) y zs(t ) y zi(t) 不滿足可分解性，故為非線性 （2） y zs(t) = | f(t )| ， y zi(t) = 2 x(0) y(t) = y zs(t) + yzi(t) 滿足可分解性； 由于 Ta f(t ) , 0 = | a f(t)| a y zs(t) 不滿足零狀態(tài)線性。 故為非線性系統(tǒng)。 （3） y zs

33、(t) = 2 f(t) , yzi(t) = x2 (0) ，顯然滿足可分解性； 由于 x(0) =a x(0) 2 a y zi(t)不滿足零輸入線性。 故為非線性系統(tǒng)。 1.5 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 例2：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？ xxfxxty t t d)()sin()0(e)( 0 ? ? ? 解： xxfxtyxty t zs t zi d)()sin()(),0(e)( 0 ? ? ? y(t) = y zs(t) + yzi(t) ， 滿足可分解性； Ta f1(t)+ b f2(t ) , 0 xxfxxxfxxxfxfx ttt d)()sin(bd)()sin(ad)(

34、b)()asin( 0 2 0 1 0 21? ? = aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，滿足零狀態(tài)線性； x1(0) + b x2(0) = e -t ax1(0) +b x2(0) = ae -t x1(0)+ be -tx 2 (0) x1x2(0), 滿足零輸入線性； 所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。 1.5 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 5. 時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng) 滿足時(shí)不變性質(zhì)的系統(tǒng)稱為 時(shí)不變系統(tǒng)。 （1）時(shí)不變性質(zhì) 若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時(shí)間， 其零狀態(tài)響應(yīng)也延遲多少時(shí)間， 即若 Tf(t )，0 = y zs(t ) 則有 Tf(t -t d ) ，0 = y zs (t - t

35、 d ) 系統(tǒng)的這種性質(zhì)稱為 時(shí)不變性 （或移位不變性）。 1 o 1 f (t) 12 t t yf (t) o T 2 2 o 1 f (t-1) 23 t t yf (-1) o T 11 1.5 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 例：判斷下列系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)？ （1） y zs (k) = f(k) f(k 1) （2） y zs (t) = t f(t) （3） y zs(t ) = f(t) 解(1)令g(k) = f(k k d ) T0，g(k) = g(k) g(k 1) = f(k k d) f(k kd 1 ) 而 y zs (k k d) = f(k kd ) f(k k d 1)

36、 顯然 Tf(k k d) ,0 = y zs(k kd) 故該系統(tǒng)是時(shí)不變的。 (2) 令g(t) = f(t t d) Tg(t ) ，0 = t g (t ) = t f(t t d ) 而 y zs (t t d)= ( t td) f(t td) 顯然T f(t t d )，0 y zs (t t d) 故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。 1.5 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 (3) 令g(t) = f(t t d ) , T g(t) ，0 = f(t t d) 而 y zs(t td) = f ( t t d) ，顯然 Tf(t t d)，0 yzs (t t d) 故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。 直觀判斷方法：

37、若f()前出現(xiàn)變系數(shù)，或有反轉(zhuǎn)、展縮變換，則 系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。 1.5 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 （2）LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分特性和積分特性 本課程重點(diǎn)討論線性時(shí)不變系統(tǒng) (Linear Time-Invariant) ，簡(jiǎn)稱LTI系統(tǒng)。 微分特性： 若 f (t ) y zs(t) ， 則 f (t) y zs (t ) 積分特性： 若 f (t ) y zs(t) ， 則 ? ? ? t zs t xxyxxfd)(d)( 1.5 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 6. 因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng) 零狀態(tài)響應(yīng)不會(huì)出現(xiàn)在激勵(lì)之前的系統(tǒng)，稱為 因果系統(tǒng)。 即對(duì)因果系統(tǒng)，當(dāng) t t 0，f(t ) = 0 時(shí)，有t t 0 ，

38、y zs(t) = 0 。 如下列系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)： ? ? ? t zs xxfty d)()(y zs(t) = 3 f(t1) 而下列系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)： (1) y zs(t) = 2 f(t+ 1) (2) y zs(t) = f(2 t) 因?yàn)?，令t=1時(shí)，有y zs(1) = 2 f(2) 因?yàn)?，若f(t) = 0， t t 0，有 y zs(t ) = f(2 t )=0, t0； 當(dāng)x(0 - ) =2 ，輸入信號(hào)f2(t)=3f 1 (t)時(shí)，全響應(yīng) y 2 (t) = 2e t +3 cos(t) ，t0； 求輸入f3(t) = +2f 1 (t-1) 時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

39、 y 3zs (t) 。 t tf d )(d 1 解 設(shè)當(dāng)x(0 ) =1 ，輸入因果信號(hào)f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸 入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為 y 1zi (t)、y 1zs (t)。當(dāng)x(0 - ) =2 ， 輸入信號(hào)f2(t)=3f 1 (t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài) 響應(yīng)分別為y 2zi (t)、y 2zs (t)。 1.5 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 由題中條件，有 y 1 (t) =y 1zi (t) + y 1zs (t) = e t + cos(t) ，t0 （1） y 2 (t) = y 2zi (t) + y 2zs (t) = 2e t +3 cos(t) ，t0 （2） 根據(jù)線

40、性系統(tǒng)的齊次性，y 2zi (t) = 2y 1zi (t)，y 2zs (t) =3y 1zs (t)， 代入式（2）得 y 2 (t) = 2y 1zi (t) +3 y 1zs (t) = 2e t +3 cos(t) ，t0 （3） 式(3) 2式(1)，得 y 1zs (t) = 4e -t+ cos(t) ，t0 由于y 1zs (t) 是因果系統(tǒng)對(duì)因果輸入信號(hào) f1(t)的零狀態(tài)響 應(yīng)，故當(dāng)t0，y 1zs (t)=0 ；因此y 1zs (t)可改寫成 y 1zs (t) = 4e -t+ cos(t)(t) (4) 1.5 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 f1(t) y 1zs (t) =

41、4e -t+ cos(t)(t) 根據(jù)LTI系統(tǒng)的微分特性 t ty t tf zs d )(d d )(d 11 ? = 3(t) + 4e -tsin(t)(t) 根據(jù)LTI系統(tǒng)的時(shí)不變特性 f1(t1) y 1zs (t 1) = 4e -(t-1) + cos(t1)(t1) 由線性性質(zhì)，得：當(dāng)輸入 f3(t) = +2f 1 (t 1) 時(shí)， t tf d )(d 1 y 3zs (t) = + 2y 1 (t 1) = 3(t) + 4e -t sin(t)(t) + 2 4e -(t-1) + cos(t1)(t1) t ty d )(d 1 1.5 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 7. 穩(wěn)定

42、系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng) 一個(gè)系統(tǒng)，若對(duì)有界的激勵(lì) f(.)所產(chǎn)生的零狀態(tài) 響應(yīng)y zs (.)也是有界時(shí)，則稱該系統(tǒng)為 有界輸入有界輸 出穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定。即 若f(.)，其y zs (.) 則 稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 如yzs(k) = f(k) + f(k-1)是穩(wěn)定系統(tǒng)；而 ? ? ? t zs xxftyd)()( 是不穩(wěn)定系統(tǒng)。 因?yàn)椋?dāng)f(t) =(t)有界， ? ? ? t ttxx)(d)(? 當(dāng)t 時(shí)，它也，無(wú)界。 1.5 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 1.6 系統(tǒng)的描述 1.6 系統(tǒng)的描述 描述連續(xù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是 微分方程，描 述離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是 差分方程。 一、連續(xù)系統(tǒng) 1. 解析描

43、述建立數(shù)學(xué)模型 圖示RLC電路，以u(píng)S(t)作激勵(lì)，以u(píng)C(t)作為響 應(yīng)，列方程，并整理得 uS(t )uC(t) L R C ? ? ? ? ? ? ? ? )(0)0( d d d d 2 2 CC SC CC uu uu t u RC t u LC ， 二階常系數(shù)線性微分方程。 )()( d )(d d )(d 01 2 2 2 tftya t ty a t ty a? 抽去具有的物理含義，微分方程寫成 這個(gè)方程也可以描述下面的一個(gè)二階機(jī)械減振系統(tǒng)。 M x C k f (t) 其中，k為彈簧常數(shù)，M為物體質(zhì) 量，C為減振液體的阻尼系數(shù)， x 為物體偏離其平衡位置的位移， f(t) 為

44、初始外力。其運(yùn)動(dòng)方程為 )()( d )(d d )(d 2 2 tftkx t tx C t tx M? 能用相同方程描述的系統(tǒng)稱 相似系統(tǒng)。 1.6 系統(tǒng)的描述 2. 系統(tǒng)的框圖描述 上述方程從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)代表了某些運(yùn)算關(guān)系： 相 乘、微分、相加運(yùn)算 。將這些基本運(yùn)算用一些理想 部件符號(hào)表示出來(lái)并相互聯(lián)接表征上述方程的運(yùn)算 關(guān)系，這樣畫出的圖稱為 模擬框圖，簡(jiǎn)稱框圖?；?本部件單元有： 積分器： f (t) ? ? t xxfd)( 加法器： f 1(t) f 2(t) f 1(t) - f 2(t) 數(shù)乘器： a f (t) 或 a af (t) 積分器的抗干擾性 比微分器好。 1.6

45、系統(tǒng)的描述 系統(tǒng)模擬： 實(shí)際系統(tǒng)方程模擬框圖 實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)（模擬系統(tǒng)）指導(dǎo)實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì) 例1：已知y”(t) + ay (t)+ by(t) = f(t) ，畫框圖。 解：將方程寫為 y”(t) = f(t) ay(t) by(t) y(t) y(t) y(t) a b f(t) 1.6 系統(tǒng)的描述 例2：已知y”(t) + 3y (t)+ 2y(t) = 4f (t) + f(t) ，畫框 圖。 解：該方程含f(t)的導(dǎo)數(shù)，可引入輔助函數(shù)畫出框圖。 設(shè)輔助函數(shù)x(t)滿足 x”(t) + 3x (t)+ 2x(t) = f(t) 可推導(dǎo)出 y(t) = 4x (t) + x(t) ，它滿足原方程。 x(t)x(t)x(t) 3 2 f(t) y(t) 4 1.6 系統(tǒng)的描述 例3：已知框圖，寫出系統(tǒng)的微分方程。 y(t) 3 4 2 3 f (t) 設(shè)輔助變量x(t)如圖 x(t) x( t) x”( t) x”(t) =