2.1數(shù)量值函數(shù)的曲面積分ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)量值函數(shù)的曲面積分數(shù)量值函數(shù)的曲面積分 ( (第一類曲面積分第一類曲面積分) )一、概念的引入一、概念的引入二、第一類曲面積分的定義二、第一類曲面積分的定義三、第一類曲面積分的計算法三、第一類曲面積分的計算法一、概念的引入一、概念的引入 所謂曲面光滑所謂曲面光滑即曲面上各點處都即曲面上各點處都有切平面有切平面, ,且當點在且當點在曲面上連續(xù)移動時曲面上連續(xù)移動時, ,切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動. .oxyz引例引例: : 設曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度設曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度),(zyx 類似求平面薄板質(zhì)量的思想類似求平面薄板質(zhì)量的思想, , 采用采用kkkkS ),( n

2、k 10lim M),(kkk“分割分割, , 取近似值取近似值, , 求近似和求近似和, , 求極限的方法求極限的方法, ,可得可得求質(zhì)量求質(zhì)量M.M.其中其中, , 表示表示n n小塊曲面的直徑的小塊曲面的直徑的最大值最大值 ( (曲面的直徑為其上任意兩點間距離的最大者曲面的直徑為其上任意兩點間距離的最大者). ). 二、第一類曲面積分的定義二、第一類曲面積分的定義 設設曲曲面面 是是光光滑滑的的, , 函函數(shù)數(shù)),(zyxf在在 上上有有界界, , 把把 分分成成n小小塊塊iS （iS 同同時時也也表表示示第第i小小塊塊曲曲面面的的面面積積）, ,設設點點),(iii 為為iS 上上任任

3、意意取取定定的的點點, ,作作乘乘積積 ),(iiif iS , , 并作和并作和 niiiif1),( iS , , 如果當各小塊曲面如果當各小塊曲面的直徑的最大值的直徑的最大值0 時時, , 這和式的極限存在這和式的極限存在, , 則稱此極限值為數(shù)量值函數(shù)則稱此極限值為數(shù)量值函數(shù)),(zyxf在曲面在曲面 上上對面積的對面積的曲面積分曲面積分或或第一類曲面積分第一類曲面積分. . 1.1.定義定義 Szyxfd),(記為記為 Szyxfd),(iiiniiSf ),(lim10 即即叫被積函數(shù)，叫被積函數(shù)，其中其中),(zyxf,叫叫積積分分曲曲面面 .d 叫曲面面積元素叫曲面面積元素S注

4、意：注意：.d),(),()1 Szyxfzyxf曲曲面面積積分分常常記記為為上上第第一一類類在在閉閉曲曲面面函函數(shù)數(shù).d,1),()2的的面面積積曲曲面面時時當當 Szyxf2.2.第一類曲面積分的存在性第一類曲面積分的存在性.d),(,),(存在存在第一類曲面積分第一類曲面積分上連續(xù)時上連續(xù)時在光滑曲面在光滑曲面當當 Szyxfzyxf3.3.第一類曲面積分的性質(zhì)第一類曲面積分的性質(zhì)1) 第一類曲面積分具有線性性質(zhì)第一類曲面積分具有線性性質(zhì),則則及及可分為分片光滑的曲面可分為分片光滑的曲面若若,)221 .d),(d),(d),(21 SzyxfSzyxfSzyxf回憶回憶:2.:( ,

5、)yy x z 若若曲曲面面3.( , )xx y z 若若曲曲面面：),(:. 1yxzz 若曲面若曲面那么那么按照曲面的不同情況按照曲面的不同情況,曲面面積元素分為以下三種：曲面面積元素分為以下三種：那么那么那那么么22dS1dxyzzxdy22dS1dxzyyxdz221yzdSxx dydz, ),(yxzz 的方程可以化為的方程可以化為曲面曲面 :二二重重積積分分上上計計算算面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域在在在在xyDxoy ,d),(時時計算計算 Szyxf22 , , ( , ) 1d d.xyxyDf x y z x yzzx y即可：換換為為只只要要把把Sd221xyzzdxd

6、y,),(代代入入的的方方程程用用yxzzz 三、第一類曲面積分的計算法三、第一類曲面積分的計算法 當當 為為 xoy 平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域 D 時，時， 即是即是 D 上的二重積分，上的二重積分， Szyxfd),( Szyxfd),( Dyxyxfdd)0 ,(Oxyz定理定理: 設有光滑曲面設有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122對面積的曲面積分的計算法對面積的曲面積分的計算法 則曲面積分證明證明: 由定義知由定義知Szyxf

7、d),(kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而( 光滑).1432,d)342(位位于于第第一一卦卦限限部部分分為為平平面面計計算算 zyxSzyxI 例例1 1第一類曲面積分的計算法第一類曲面積分的計算法:.d)3;)

8、,()2;),(,)1,是曲面上的面積元素是曲面上的面積元素上的上的是定義在曲面是定義在曲面上連續(xù)上連續(xù)在在是光滑或分片光滑的是光滑或分片光滑的但要注意：但要注意：積分計算積分計算在一定條件下化為二重在一定條件下化為二重Szyxfzyxf .1,)d(2222的邊界曲面的邊界曲面為立體為立體其中其中計算計算 zyxSyxI 例例2 2.,d22222所圍立體的表面所圍立體的表面和錐面和錐面為球面為球面計算計算yxzyxRzSzI 例例3 322 , ( , ), 1d d ;xzxzDf x y x z zyyx z Szyxfd),(那么那么22 ( , ), , 1d d .yzyzDf

9、x y zy zxxy z Szyxfd),(),(. 3zyxx 可表示為可表示為若曲面若曲面 那那么么2. 若曲面若曲面 可表示成可表示成 y = y(x,z)1zyx11o0,0,0,1 zyxzyx的表面的表面, , 計算計算.d)1(12 SyxI例例4 4 設設 是四面體是四面體(2) 計算計算.d SxyzI2解解: 設設上的部分, 那么4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (1203, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分別表示 在平面 zyx111O小結(jié)小結(jié)(第一類曲面積分計算第一類曲面積

10、分計算):2.:( , )yy x z 若若曲曲面面22 , , ( , ) 1;xyxyDf x y z x yzzdxdy dSzyxf),(),(:. 1yxzz 若曲面若曲面那么那么按照曲面的不同情況分為以下三種：按照曲面的不同情況分為以下三種：22 , ( , ), 1;xzxzDf x y x z zyy dxdz dSzyxf),(那么那么3.( , )xx y z 若若曲曲面面：22 ( , ), , 1.yzyzDf x y zy zxx dydz dSzyxf),(那那么么說明：說明：.,的方程的表達式的方程的表達式影取決于影取決于向哪個坐標面投向哪個坐標面投但把但把化為二

11、重積分來計算化為二重積分來計算投影到坐標面上投影到坐標面上是將是將計算第一類曲面積分計算第一類曲面積分 .),(,的形式的形式的方程可以表示為的方程可以表示為則要求則要求面投影面投影若向若向yxzzxoy .),(,.),(,的的形形式式的的方方程程可可以以表表示示為為則則要要求求面面投投影影若若向向的的形形式式的的方方程程可可以以表表示示為為則則要要求求面面投投影影若若向向zyxxyozzxyyxoz 2222221d ,0.ISxyzxyRzzH計算為圓柱面介于與之間的部分例例5 5注：注：.,),(222面作投影面作投影向向故不能將故不能將的形式的形式不能表示為不能表示為因圓柱面因圓柱面

12、xoyyxzzRyx zzd例例5. 計算計算,d222zyxSI其中 是介于平面之間的圓柱面.222Ryx分析分析: 若將曲面分為前后若將曲面分為前后(或左右或左右)zRSd2d那么HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0Hxyz解解: 取曲面面積元素取曲面面積元素兩片, 則計算較繁. OyxzLO練習：練習： 求橢圓柱面求橢圓柱面19522yx位于 xOy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的側(cè)面積 S . 解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取SSdszLdtt cosdcos45302sd5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220sy

13、Ld4. 4. 利用對稱性簡化計算：利用對稱性簡化計算：則則上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)為為對稱對稱關于平面關于平面與與其中其中設曲面設曲面,),(,0,2121 zyxfz ;0d),(,),( Szyxfzyxf為奇函數(shù)時為奇函數(shù)時關于關于當當z2;d),(d),(d),(,),(21 SzyxfSzyxfSzyxfzyxf為為偶偶函函數(shù)數(shù)時時關關于于當當z2例例 1 1 計計算算Szyxd22 ,其其中中 為為球球面面2222azyx . 補充補充: :,有輪換對稱性有輪換對稱性若曲面若曲面 Szyxfd),( Syxzfd),( Sxzyfd),(.輪換對稱性輪換對稱性即第一類曲面積分也有

14、即第一類曲面積分也有()dd ,:1, (0,0,0).xySx Sxyzxyz例計算及其中則則有有：P225. 1(10) 設設),0(:2222 zazyx 為1在第一卦限中的部分在第一卦限中的部分, , 則有則有( ).( ).;d4d)(1 SxSxA;d4d)(1 SxSyB;d4d)(1 SxSzC.d4d)(1 SzyxSzyxDC( 2000 考研考研 )例例1. 計算計算,d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用輪換對稱性可知SzSySxddd222SzyxId)(3222222d3aS解解:22.za483a四、幾何與物理意義四、幾何與物理意義,),()1(的的面面密密

15、度度時時表表示示當當 zyx;d),( SzyxM;d,1),()2( Szyxf的的面面積積時時當當,)3(軸軸及及原原點點的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量、軸軸軸軸、曲曲面面塊塊對對zyx,d),()(22 SzyxzyIx曲曲面面塊塊的的重重心心坐坐標標)4(.dd,dd,dd SSzzSSyySSxx,d),()(22 SzyxxzIy,d),()(22 SzyxyxIz,d),()(222 SzyxzyxIO其中其中的引力為的引力為處的單位質(zhì)點處的單位質(zhì)點外的點外的點對位于對位于, ),(),()5(0000zyxFFFFzyxM ,d),()(30 SrzyxxxkFx,d),()(30 Sr

16、zyxyykFy,d),()(30 SrzyxzzkFz,為為引引力力系系數(shù)數(shù)式式中中k,)()()(202020zzyyxxr 例例1. 求半徑為求半徑為R 的均勻半球殼的均勻半球殼 的重心的重心.解解: 設設 的方程為的方程為yxDyxyxRz),( ,222利用對稱性可知重心的坐標,0 yx而 z 2223RRR用球面坐標cosRz ddsind2RS SdSzd20032dcossindR2002dsindR解解依對稱性知：依對稱性知：22,zxyxozyoz 拋拋物物面面關關于于面面面面對對稱稱，有有 14成立成立，xyzdxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 1

17、4xy dS 2241(2 )(2 )xyDxyxy dxdy 利利用用極極坐坐標標 trxcos , trysin ,1222004cos sin14dtrttr rdr 原原式式2132002sin214tdtrr dr 令令241ru 511112()244uuud 5352211225 51()|.16 531260uu例例2 2解解 321顯然顯然 011 DxdxdyxdS, 01112 DdxdyxxdS 其其中中1 ：0 z,1( , ),x yD ( , )xzx zD 12,11dSdxdydSdxdy 在在上上在在上上討討論論3 時時, 將將投投影影域域選選在在xoz上上

18、.（注意：注意：21xy 分為左、右兩片分為左、右兩片） 3xdS 31xdS 32xdS（左右兩片投影相同）（左右兩片投影相同） xzDzxdxdzyyx2212xoz xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xdS 00.例例3 3積分曲面積分曲面 ：yz 5 ,解解投投影影域域 ：25| ),(22 yxyxDxy dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 五、小結(jié)五、小結(jié)2、對面積的曲面積分的解法是將其化為投影、對面積的曲

19、面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計算域上的二重積分計算.1、 對面積的曲面積分的概念對面積的曲面積分的概念; dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 （按照曲面的不同情況分為三種）（按照曲面的不同情況分為三種）思考題思考題 在對面積的曲面積分化為二重積分在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中的公式中, 有因子有因子 , 試說明試說明這個因子的幾何意義這個因子的幾何意義.221yxzz 思考題解答思考題解答是曲面元的面積是曲面元的面積,dS2211),cos(yxzzzn 221yxzz 故故 是曲面法線與是曲面法線與 軸夾角的余弦軸夾角的余弦的倒數(shù)的倒數(shù).z一、一、 填空題填空題: :1 1、 已知曲面已知曲面 的面的面a積為積為, , 則則 ds10_；2 2、 ds