（全國(guó)通用）近年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第七篇立體幾何與空間向量第7節(jié)立體幾何中的向量方法第一課時(shí)證明平行和垂直習(xí)題理

1、第7節(jié)立體幾何中的向量方法第一課時(shí)證明平行和垂直【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)利用向量解決平行問題1,3利用向量解決垂直問題2,41。 （2014湖北卷)如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體abcda1b1c1d1中,e,f,m,n分別是棱ab，ad，a1b1,a1d1的中點(diǎn)，點(diǎn)p,q分別在棱dd1,bb1上移動(dòng)，且dp=bq=(02).（1)當(dāng)=1時(shí),證明：直線bc1平面efpq；(2)是否存在,使面efpq與面pqmn所成的二面角為直二面角?若存在，求出的值;若不存在,說明理由。解: 以d為原點(diǎn),射線da，dc，dd1分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系dxyz。由已知得b（2,2，

2、0）,c1(0，2,2），e（2,1,0)，f（1，0，0），p(0，0,）。bc1=（2,0,2），fp=（-1,0，）,fe=(1，1，0）.(1）證明：當(dāng)=1時(shí),fp=（1,0，1）,因?yàn)閎c1=（2,0，2），所以bc1=2fp,即bc1fp.而fp平面efpq,且bc1平面efpq，故直線bc1平面efpq。(2)設(shè)平面efpq的一個(gè)法向量為n=(x，y，z)，則由fen=0,fpn=0,可得x+y=0,-x+z=0.于是可取n=（，1）.同理可得平面mnpq的一個(gè)法向量為m=(-2，2-,1）.若存在,使面efpq與面pqmn所成的二面角為直二面角.則mn=（-2，2-，1）（,-

3、，1）=0,即（2)(2)+1=0，解得=122.故存在=122,使面efpq與面pqmn所成的二面角為直二面角。2. (2016濟(jì)南市高三上學(xué)期期末）如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形adef與梯形abcd所在的平面互相垂直，其中abcd,abbc,cd=bc=12ab=1,點(diǎn)m在線段ec上。 （1)證明：平面bdm平面adef；(2）若em=2mc,求平面bdm與平面abf所成銳二面角的大小.（1）證明：如圖,因?yàn)閐c=bc=1,dcbc，所以bd=2，因?yàn)閍d=2,ab=2，所以ad2+bd2=ab2，所以adb=90,所以adbd,因?yàn)槠矫鎍def平面abcd,edad,平面adef平面abcd=

4、ad,所以ed平面abcd,則bded。因?yàn)閍dde=d，所以bd平面adef，又bd平面bdm，所以平面bdm平面adef.(2）解：在平面dab內(nèi)過點(diǎn)d作dnab，因?yàn)閍bcd，所以dncd，又因?yàn)閑d平面abcd,所以dned。以d為坐標(biāo)原點(diǎn),dn所在的直線為x軸，dc所在直線為y軸,de所在直線為z軸，建立直角坐標(biāo)系，則b（1,1，0),c(0，1，0)，e（0,0，2)，n(1，0,0）,m(0,23,23)。設(shè)平面bmd的法向量為n1=（x，y，z）,所以n1dm=0,n1db=0,所以23y+23z=0,x+y=0.令x=1，得n1=（1,1,2).因?yàn)槠矫鎍bf的法向量n2=（

5、1，0，0)，所以cos=12.所以平面bdm與平面abf所成銳二面角是3。3。（2016棗莊市高三3月模擬）如圖,在四棱柱abcda1b1c1d1中,側(cè)棱aa1平面abcd,底面abcd為菱形,abc=120，ab=aa1=2,acbd=o,e,f分別是線段a1d,bc1的中點(diǎn)。延長(zhǎng)d1a1到點(diǎn)g，使得d1a1=a1g。(1)證明：gb平面def;(2）求直線gd與平面def所成角的正弦值.證明：如圖,以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ob，oc的方向?yàn)閤軸，y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系oxyz。(1)在菱形abcd中，ab=ad=bc=2,abc=120,所以bd=2，ac=23，o為ac和bd的

6、中點(diǎn)。又aa1平面abcd，aa1=2?？傻胋（1,0,0），d（1,0，0），a1（0,3，2),c1(0，3，2），d1(-1,0,2).由e，f分別是線段a1d,bc1的中點(diǎn)，得e（-12，-32,1）,f（12,32,1）。由d1a1=a1g，求得g（1，-23，2）。于是ed=(12,32，1）,ef=(1,3,0)，gb=（0,23,-2)。設(shè)平面def的一個(gè)法向量n=(x，y,z）.由ned=0,nef=0,得-12x+32y-z=0,x+3y=0.令y=1，得x=3,z=-3.所以n=（3,1,3）。所以gbn=03+23(1）+(2）（3）=0,所以gbn。又gb平面def，

7、所以gb平面def。（2）由（1）得面def的法向量n=（3，1，-3）.而gd=(-2,23,2），設(shè)直線gd與平面def所成的角為,則sin =cosn,gd=|ngd|n|gd|=23725=10535。4。 導(dǎo)學(xué)號(hào) 18702400如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體abcda1b1c1d1中，e，f，g分別為a1b1,b1c1，c1d1的中點(diǎn).（1）求證:ag平面bef;（2)試在棱bb1上找一點(diǎn)m，使dm平面bef,并證明你的結(jié)論.(1)證明：以d為坐標(biāo)原點(diǎn),da,dc,dd1所在直線分別為x軸,y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則a(1，0，0）,b(1,1，0),e（1，12,1）,f（12,

8、1，1),g(0,12，1)，ef=（12,12,0）,bf=（12，0,1）,而ag=（1,12，1),所以ag=ef+bf，故ag與平面bef共面，又因?yàn)閍g不在平面bef內(nèi)，所以ag平面bef。(2)解:設(shè)m(1,1，m),則dm=（1,1,m）,由dmef=0,dmbf=0，所以-12+m=0m=12，所以m為棱bb1的中點(diǎn)時(shí)，dm平面bef。尊敬的讀者：本文由我和我的同事在百忙中收集整編出來，本文稿在發(fā)布之前我們對(duì)內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，但是難免會(huì)有不盡如人意之處，如有疏漏之處請(qǐng)指正，希望本文能為您解開疑惑,引發(fā)思考。文中部分文字受到網(wǎng)友的關(guān)懷和支持，在此表示感謝！在往后的日子希望與大家共

9、同進(jìn)步，成長(zhǎng)。this article is collected and compiled by my colleagues and i in our busy schedule. we proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. if there are omissions, please correct them. i hope this article can solve your doubts and