51.平面幾何綜合復習(四)

1、平面幾何綜合復習(四)【例題精選】：例1 ：已知：如圖圓內接ABC中，AB=BC，PA是圓的切線PB與圓相交于D點，連結CD， 求證：分析 ：本題考查，圓中證相似，首先將要證的結論等積式，化成等比式，即求證：化為在“橫”找或“豎”找這四條線段是否可構造兩個三角形，通過“橫”找發(fā)現了ADC，又因為已知AC=AB，所以通過代替比例式化為，接著“橫”找到ABP，只要證出ADCPAB即可。證法一：連結ADPA是圓的切線，PAB=ACB，AB=AC，ACB=ABC又ABC=ADCPAB=ADC易知：PBA=ACDPABADC即證法二：連結ADAB=ACACB=ABC又PA是圓的切線PAB=ACBPAB=

2、ABCPABCAPB+PBC=180又DAC+PBC=180APB=DAC易知PBA=ACDAPBDAC以下同證法一。證法三：連結AD，同證法一證得PAB=ADC，同證法二證得APB=DAC直至證得PABADC以下同證法一例2：已知：如圖AB是O的直徑，弦CDAB于P，弦AF交CD于E， 求證： 分析：此題有直徑與弦互相垂直，因此垂徑定理的一垂直三平分要得到充分的發(fā)揮，要證的結論，轉化成比例式是：，易發(fā)現該題利用共線，共角的兩個三角形相似即可，連結DF則成功。證明：連結DF，AB是O的直徑，且ABCD，ADC=F又DAE=FAD DADEDAFD ，即例3：已知：如圖，O中弦ABCD，B是的中

3、點，OB交AD于G點，過B點的切線與CD的延長線交于E點，求證：2AGAD = BDCE分析：由題目B是的中點，及OB是O的半徑，易由垂徑定理得到，同時利用有切線聯想弦切角即，從而得到BEAD已知ABCD得到四邊形ADEB是平行四邊形，再由邊等及切割線定理得結論。證明：B為的中點，OB為半徑。 ADB=A，AD=2AG，AB = BD EB切O于B BEAD， ABCD，ADEB是平行四邊形， AD=BE DE=AB=BD 例4：已知：如圖，DB為O的直徑，A為BD延長線上的一點，AC與O的相切于點E，CBAB，若AEEC=21，DE+BE=4+。求：ABC的面積分析：題目考查圓中證相似，并且

4、體現了在解題過程中利用方程思想將線段AEEC=21設ED=x，則AE=2x由基本圖形得到，再由勾股定理可，再由ADEAEB找出DE與BE的比值關系，與已知聯立分別解出DE，BE的值，從而得到x的值，并求出結論。解：設，AEEC=21 AE=2x又DB是直徑，CDDB，CB是O的切線， CB=CE=x在RtABC中，由勾股定理得ADEAEB在RtBED中，由勾股定理得例5：已知：如圖，BC是O的直徑，PA切O于A，交CB的延長線于P，AD是弦，且PAPB=31，BC=20求：BD的長。分析：此題是發(fā)散思維方法的題目，由已知聯想，由圖形聯想是題設和結論相結合探索解決問題的體現。由切線和已知可得PC

5、APAB，再由切割線定定理聯立比例式，通過已知構成，并由直徑構成Rt，利用勾股定理求出AB，和AC，再由切割定理求出，PB和PA，從而易得BADAPC，求得BD長。解法一：連結AC，PA是O切線，PAB =C，P =P，PCAPAB，由切割線定理得：即BC是直徑即，在和中，解法二：連OA，CDPA切O于APAPB=31設PA=3K PB=K解得PA是切線，又BC是O的直徑例6：已知：如圖，O1和O2切于P點，經過P點作直線AB和CD，AB交O1于A點，交O2于B點，CD交O1于C點，交O2于D點。求證：分析：兩圓相切（內，外）時，作兩圓的公切線往往是勾通兩圓相關條件的橋梁，所以要證只要證：這樣

6、將轉化證的問題，易看出只要作兩圓的公切線MN即可。證明：作內公切線MN，連結AC，BD，則1=A，2=B1=2 A=B3=4CPADPBAPBP=CPDP即：APPD =PBPC例7：如圖：已知：O1和O2相交于點A和B，且O1在O2上，過A點的直線CD分別與O1和O2相交于點C，D，過點B的直線EF分別與O1和O2交于點E，F，O2的弦O1D交AB于P，求證：（1）CEDF （2）分析：要證CEDF，須找出一對相關的角，利用圓內接四邊形的性質和公共弦AB，易證出E+F=180故CEDF，證明：（1）ACEB是O1的內接四邊形 DAB=EABFD為O2的內接四邊形 DAB+F=180E+F=1

7、80CEDF（2）連結O1BO1A= O1BO1AB=O1BAO1BA=ADPO1AB=ADPO1=O1A O1PDO1A本題充分體現了相交兩圓的公共弦的作用，所以當兩圓有相交關系時，連結兩圓的公共弦可作為創(chuàng)造解決總是的關鍵之一。例8：已知：O1和O2相交于B、C，AB是O1的直徑，AB，AC的延長線分別交O2于D，E，過B點作O1的切線交AE于F（1）求證：BFDE（2）若BAC=30，ACAD=12求：分析：（1）兩圓相交，橋梁是公共弦，連結BC，由AB是O1的直徑知ACB=90，再由BCED是O2的內接四邊形。則D=ACB=90，由BF是O1的切線知，ABF=90，故BFDE（2）由BF

8、 DE 知ABFADE，要求面積比，須知相似比，由ACAD=12，可設AC=K，AD=2K，利用BAC=30，可求出BA的長，則即為相似比，相似比的平方就是所求的面積比。證明：（1）連結BC，AB是O1的直徑，ACB=90，四邊形BCED是圓內接四邊形D=ACB=90，BF切O1于BABF=90ABF=DBFDE解（2）BFDEABFADEADAD=12設AC=K，AD=2K在RtACB中，ACB=90，BAC=30即：說明：這是一道綜合性較強的題，考題運用了圓周角的性質，圓內接四邊形性質，切線的性質，相似三角形的性質及判定，平行線的判定及銳角三角函數等知識，所以任何一個知識點的疏漏都會導致解

9、題的失敗。【綜合練習】：一、選擇題：1、在圓O中，40的弧所對的圓周角的度數：A20B40C80D1602、如圖，AB是半圓O的直徑，BAC=20，D是上的任意一點，則D等于：A120 B110C100 D903、如圖，在O中，CD是直徑，AB是弦，ABCD于E，AB=8，CD=10，則CE的長：A8B6C3D24、正五邊形的內角和為：A540B720C900D10805、如果大圓的周長是小圓的周長的2倍，那么大圓的面積是小圓的面積的：A2倍B4倍C8倍D86、已知正六邊形的邊長為2，那么它的邊心距為：A2B1CD7、如圖已知：PA切O于A，PBC是O的割線，且PB=2，PA=4，則PC的長：

10、A6B2C4D88、若圓柱底面直徑是6，母線長為10，則圓柱的側面積為：A30B60C90D1209、兩圓半徑分別為5cm和3cm，如果兩圓內切，那么這兩個圓的圓心距是：A8cmB2cmC11cmD1cm10、若兩圓外切于A，BC是兩圓的一條外公切線B、C是切點，則BAC是：A銳角B直角C鈍角D平角二、計算與證明：1、已知：如圖，（1）CDF內接于O，AB為O的直徑，且ABCD，FC的延長線與過點B的AB的垂線相交于點E，求證：（1）BE為O的切線 （2）2、已知：如圖（2）AB為O的直徑，AC與O相切于點A，CEAB交O于D，E，求證：3、已知：如圖（3）O中弦ABCD，B是的中點，OB交A

11、D于D，過B點的切線與CD的延長線交于E。求證：4、已知：如圖（4）在O中，直徑AB與弦CD相交于點M，且M是CD的中點，點P在DC的延長線上，PE是O的切線，E是切點，AE與CD相交于點F，求證：5、已知：如圖AB是O的直徑，C為O上一點，D是的中點，CD交AB于E求證：（1）；（2）若求：BD的長？【答案】：一、1A2B3A4A5B6D7D8B9B10B二、1、（1）直接利用切線的判定定理即可。（2）連結BF，BD，證明：DFEDFB2、連結AD，DB，證ACDBDA，AD=EB；代換后可證出。3、提示：先由切割線定理證出，再由B是中點證得AD=2AG，易證四邊形ADEB是平行四邊形，可得

12、結論：4、連結BE，先證：PF=PE，利用等量代換即可。5、（1）證明：D是的中點，=，1=22=31=3在ADE和CDA中1=3，ADE=ADCADECDA（2）解：連結BD，AB是直徑ADB=ACB=90=，AD=BDABD是等腰直角三角形，【綜合練習二】：1、已知：ABC中，ACB=90，D為BC上一點，以DC為直徑作半圓，交AB于M，N兩點，且M，N把AB三等分，連結MC，NC，ND，如果BND的面積是，求：MC，NC的長？2、如圖已知：PA為O的切線，A為切點，PBC是過點O的割線，PA=10，PB=5，BAC的平分線與BC和O分別相交于點D和E。求：（1）O的半徑（2）的值（3）A

13、DAE的值3、已知：在圓的內接四邊形ABCD中，A=90，AB，CD的延長線相交于P，且AB=4，BC=1，求D。4、已知：AB是O的直徑，BC切O于B，OCAD，AD交O于D（1）求證：DC是O的切線（2）若O的半徑為5cm，且BC=AB，求EA的長。5、已知：AB是O的弦，CD是直徑，且CDAB，E是CD的延長線上的一點，BE交O于F，AF交CD于G求證：EGOG =FGAG6、已知：如圖D為O上一點，弦AB與過D點的切線DM平行，過點DA，過點B作BCAD，交O于點C連結AC并延長，交DM于P點。求證：7、已知：以矩形ABCD的AB為直徑畫半圓，且使半圓與CD邊相切于M，連結DB交關圓于

14、P，若AB長為10厘米，求：P點到AB的距離PN的長？8、已知：如圖O1與O2內切于點A，ABC內接于O，AB，AC分別交于O1于點E和F，BD切O1于點D，FD是O1的直徑，延長FE交BD于點H。（1）求證：EFBC（2）若DBC=60，求：的值?！敬鸢浮浚?、解：設AC是O切線，由割線定理得：BDBC=BNBM解得（舍去）在RtCND中，2、解：（1）由切割線定理得：BC=15，O半徑為15。（2）可證PBAPAC得則設，在RtCBA中由勾股定理得：（3）連結CE，可證：ACEADB由（2）可知，3、解：設得 化簡得： 解得： 由此，得 D=604、（1）證明：連結OD，則AO=DOOAD=ODAOCAD BOC=COD 可證BOCDOCBC是QO的切線，ODC=OBC=90DCODDC是O的切線（2）解：設EA=xcm（x0） 由已知可知：CD=CB=AB=10cm 在EOC中ADOC 在RtCEB中 解得： 答：EA=cm,5、證明：連結OA并延長與O交于點H在EFG和AOG中EGF和AGOECABB