數(shù)學(xué)建模：投資問(wèn)題Word版

1、傳播優(yōu)秀Word版文檔 ，希望對(duì)您有幫助，可雙擊去除！投資的收益與風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題 摘要對(duì)市場(chǎng)上的多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（存銀行）進(jìn)行組合投資策略的設(shè)計(jì)需要考慮兩個(gè)目標(biāo)：總體收益盡可能大和總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小，而這兩個(gè)目標(biāo)在一定意義上是對(duì)立的。本文我們建立了投資收益與風(fēng)險(xiǎn)的雙目標(biāo)優(yōu)化模型，并通過(guò)“最大化策略”，即控制風(fēng)險(xiǎn)使收益最大，將原模型簡(jiǎn)化為單目標(biāo)的線性規(guī)劃模型一；在保證一定收益水平下，以風(fēng)險(xiǎn)最小為目標(biāo)，將原模型簡(jiǎn)化為了極小極大規(guī)劃模型二；以及引入收益風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)，將兩目標(biāo)加權(quán)，化原模型為單目標(biāo)非線性模型模型三。然后分別使用Matlab的內(nèi)部函數(shù)linprog，fminmax，fmincon對(duì)不

2、同的風(fēng)險(xiǎn)水平，收益水平，以及偏好系數(shù)求解三個(gè)模型。關(guān)鍵詞：組合投資，兩目標(biāo)優(yōu)化模型，風(fēng)險(xiǎn)偏好2. 問(wèn)題重述與分析3. 市場(chǎng)上有種資產(chǎn)（如股票、債券、）()供投資者選擇，某公司有數(shù)額為的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個(gè)時(shí)期的投資。公司財(cái)務(wù)分析人員對(duì)這種資產(chǎn)進(jìn)行了評(píng)估，估算出在這一時(shí)期內(nèi)購(gòu)買的平均收益率為，并預(yù)測(cè)出購(gòu)買的風(fēng)險(xiǎn)損失率為?？紤]到投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金購(gòu)買若干種資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)度量。購(gòu)買要付交易費(fèi)，費(fèi)率為，并且當(dāng)購(gòu)買額不超過(guò)給定值時(shí)，交易費(fèi)按購(gòu)買計(jì)算（不買當(dāng)然無(wú)須付費(fèi)）。另外，假定同期銀行存款利率是, 且既無(wú)交易費(fèi)又無(wú)風(fēng)險(xiǎn)。（）1、已知時(shí)

3、的相關(guān)數(shù)據(jù)如下： 資產(chǎn)收益率(%)風(fēng)險(xiǎn)率(%)交易費(fèi)(%)閥值(元)282.51103211.52198235.54.552252.66.540試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案，即用給定的資金，有選擇地購(gòu)買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。2、試就一般情況對(duì)以上問(wèn)題進(jìn)行討論，并利用以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。 資產(chǎn)收益率(%)風(fēng)險(xiǎn)率(%)交易費(fèi)(%)閥值(元)9.6422.118118.5543.240749.4606.042823.9421.55498.11.27.627014393.439740.7685.617831.233.43.122033.653.32.747536

4、.8402.924811.8315.119595.55.732035462.72679.45.34.532815237.6131本題需要我們?cè)O(shè)計(jì)一種投資組合方案，使收益盡可能大，而風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。并給出對(duì)應(yīng)的盈虧數(shù)據(jù)，以及一般情況的討論。這是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，要決策的是每種資產(chǎn)的投資額，要達(dá)到目標(biāo)包括兩方面的要求:凈收益最大和總風(fēng)險(xiǎn)最低，即本題是一個(gè)雙優(yōu)化的問(wèn)題，一般情況下，這兩個(gè)目標(biāo)是矛盾的，因?yàn)閮羰找嬖酱髣t風(fēng)險(xiǎn)也會(huì)隨著增加，反之也是一樣的，所以，我們很難或者不可能提出同時(shí)滿足這兩個(gè)目標(biāo)的決策方案，我們只能做到的是：在收益一定的情況下，使得風(fēng)險(xiǎn)最小的決策，或者在風(fēng)險(xiǎn)一定的情況下，使得凈收益最大，或

5、者在收益和風(fēng)險(xiǎn)按確定好的偏好比例的情況下設(shè)計(jì)出最好的決策方案，這樣的話，我們得到的不再是一個(gè)方案，而是一個(gè)方案的組合，簡(jiǎn)稱組合方案。設(shè)購(gòu)買Si （i=0,1.n;S0表示存入銀行，）的金額為xi;所支付的交易費(fèi)為ci(xi)，則： 對(duì)Si 投資的凈收益為:（i0，1，n） 對(duì)Si投資的風(fēng)險(xiǎn)為: （i0，1，n），q0=0對(duì)Si 投資所需資金（即購(gòu)買金額 xi 與所需的手續(xù)費(fèi) ci(xi) 之和）是（i0，1，n） 投資方案用 x=（x0，x1，xn）表示，那么，凈收益總額為： 總風(fēng)險(xiǎn)為：= 所需資金為： 所以，總收益最大，總風(fēng)險(xiǎn)最小的雙目標(biāo)優(yōu)化模型表示為： 但是像這樣的雙目標(biāo)模型用一般的方法很

6、難求解出來(lái)的，所以經(jīng)過(guò)分析把次模型轉(zhuǎn)化為三種較簡(jiǎn)單的單目標(biāo)模型。3.假設(shè)與模型假設(shè)該公司在這一時(shí)期內(nèi)是一次性投資；除交易費(fèi)和投資費(fèi)用外再無(wú)其他的費(fèi)用開(kāi)支；在這一時(shí)期市場(chǎng)發(fā)展基本上是穩(wěn)定的；外界因素對(duì)投資的資產(chǎn)無(wú)較大影響；無(wú)其他的人為干預(yù)；社會(huì)政策無(wú)較大變化；公司的經(jīng)濟(jì)發(fā)展對(duì)投資無(wú)較大影響資產(chǎn)投資是在市場(chǎng)中進(jìn)行的，市場(chǎng)是復(fù)雜多變的，是無(wú)法用數(shù)量或函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確描述的，因此以上的假設(shè)是必要的，一般說(shuō)來(lái)物價(jià)變化具有一定的周期性，社會(huì)政策也并非天天改變，公司自身的發(fā)展在穩(wěn)定的情況下才會(huì)用額外的資金進(jìn)行較大的風(fēng)險(xiǎn)的投資， 市場(chǎng)與社會(huì)的系統(tǒng)發(fā)展在一個(gè)時(shí)期內(nèi)是良性的、穩(wěn)定的，以上假設(shè)也是合理的。3.1模型a

7、假設(shè)投資的風(fēng)險(xiǎn)水平是k,即要求總風(fēng)險(xiǎn)Q（x）限制在k內(nèi)，Q（x），則模型可轉(zhuǎn)化為：max s.t 3.2模型b假設(shè)投資的收益水平是h，即凈收益總額不少于 h：h，則模型可轉(zhuǎn)化為：s.t 3.3模型c假設(shè)投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和收益的相對(duì)偏好參數(shù)為（0），則模型可轉(zhuǎn)化為：s.t.3.4 模型求解及分析由于交易費(fèi) ci(xi)是分段函數(shù)，使得上述模型中的目標(biāo)函數(shù)或約束條件相對(duì)比較復(fù)雜，是一個(gè)非線性規(guī)劃問(wèn)題，難于求解. 但注意到總投資額 M 相當(dāng)大，一旦投資資產(chǎn) Si，其投資額 xi 一般都會(huì)超過(guò) ui，于是交易費(fèi) ci(xi)可簡(jiǎn)化為線性函數(shù)從而，資金約束簡(jiǎn)化為凈收益總額簡(jiǎn)化為在實(shí)際進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可設(shè) M=1

8、，此時(shí) =（）（i0，1，n）可視作投資 Si 的比例. 以下的模型求解都是在上述兩個(gè)簡(jiǎn)化條件下進(jìn)行討論的.1）模型 a 的求解模型 a 的約束條件 Q(x)k 即k，所以此約束條件可轉(zhuǎn)化為（i0，1，n）.這時(shí)模型 a 可化簡(jiǎn)為如下的線性規(guī)劃問(wèn)題：具體到 n=4 的情形，按投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題中題中給定的數(shù)據(jù)，模型為：s.t （i0，1，4）利用matlab7.1 求解模型a輸出結(jié)果是0.177638, x0 - 0.158192, x1 - 0.2, x2 - 0.333333, x3 - 0.0909091,x4 - 0.192308這說(shuō)明投資方案為（0.158192，0.2，0.333

9、333，0.0909091，0.192308）時(shí)，可以獲得總體風(fēng)險(xiǎn)不超過(guò) 0.005 的最大收益是 0.177638M.當(dāng) k 取不同的值（00.025），風(fēng)險(xiǎn)與收益的關(guān)系見(jiàn)圖1.輸出結(jié)果列表如下：表1模型1的計(jì)算結(jié)果風(fēng)險(xiǎn)水平k最大收益00.05100000.0010.07550.83160.040.06670.01820.03850.0020.10110.66330.080.13330.03640.07690.0030.12660.49490.120.20.05450.11540.0040.15210.32660.160.26670.07270.15380.0050.17760.15820.

10、20.33330.09090.19230.0060.201900.240.40.10910.22120.0070.206600.280.46670.12730.10160.0080.211200.320.53330.127100.0090.215500.360.60.023300.010.21900.40.5843000.0110.222300.440.5447000.0120.225600.480.5051000.0130.228800.520.4655000.0140.232100.560.4259000.0150.235400.60.3863000.0160.238700.640.346

11、7000.0170.241900.680.3071000.0180.245200.720.2675000.0190.248500.760.2278000.020.251800.80.1882000.0210.25500.840.1486000.0220.258300.880.109000.0230.261600.920.0694000.0240.264900.960.0298000.0250.267300.9901000圖1模型1中風(fēng)險(xiǎn)k與收益的關(guān)系結(jié)合圖1，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)和收益沒(méi)有特殊偏好的投資者來(lái)說(shuō)，應(yīng)該選擇圖中曲線的拐點(diǎn)（0.006，0.2019），這時(shí)對(duì)的投資比例見(jiàn)表1的黑體所示。從表1中的

12、計(jì)算結(jié)果可以看出，對(duì)低風(fēng)險(xiǎn)水平，除了存入銀行外，投資首選風(fēng)險(xiǎn)率最低的 S2，然后是 S1 和 S4，總收益較低；對(duì)高風(fēng)險(xiǎn)水平，總收益較高，投資方向是選擇凈收益率（ripi）較大的 S1 和 S2這些與人們的經(jīng)驗(yàn)是一致的，這里給出了定量的結(jié)果2）模型 b 的求解模型 b 本來(lái)是極小極大規(guī)劃：s.t. hx0但是，可以引進(jìn)變量 xn+1=，將它改寫為如下的線性規(guī)劃：s.t ,i=0,1,2,n,h,x0具體到 n=4 的情形，按投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題中題中給定的數(shù)據(jù)，模型為：min x5s.t （i0，1，5）利用 matlab7.1 求解模型 b，當(dāng) h 取不同的值（0.10.25），我們計(jì)算最小

13、風(fēng)險(xiǎn)和最優(yōu)決策,收益水平h取，結(jié)果如表2所示，風(fēng)險(xiǎn)和收益的關(guān)系見(jiàn)圖2.從表2看出，對(duì)低收益水平，除了存入銀行外，投資首選風(fēng)險(xiǎn)率最低的資產(chǎn)，然后是和，總收益當(dāng)然較低。對(duì)高收益水平，總風(fēng)險(xiǎn)自然也高，應(yīng)首選凈收益率（）最大的和。這些與人們的經(jīng)驗(yàn)是一致的。表2模型2的計(jì)算結(jié)果風(fēng)險(xiǎn)水平k最大收益0.0020.10.67020.07830.13060.03560.07530.00240.110.60430.0940.15670.04270.09040.00270.120.53830.10970.18280.04990.10550.00310.130.47240.12540.20890.0570.12050

14、.00350.140.40640.1410.2350.06410.13560.00390.150.34050.15670.26120.07120.15070.00430.160.27450.17240.28730.07830.16570.00470.170.20860.1880.31340.08550.18080.00510.180.14260.20370.33950.09260.19590.00550.190.07670.21940.36560.09970.21090.00590.20.01070.2350.39170.10680.2260.00780.2100.31140.5190.056

15、90.09080.01030.2200.4120.5725000.01340.2300.53410.4515000.01640.2400.65630.3305000.01950.2500.77840.209600圖2模型2中風(fēng)險(xiǎn)與收益h的關(guān)系結(jié)合圖2，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)和收益沒(méi)有特殊偏好的投資者來(lái)說(shuō)，應(yīng)該選擇圖中曲線的拐點(diǎn)（0.059，0.2），這時(shí)對(duì)的投資比例見(jiàn)表2的黑體所示。3）模型 c 的求解類似模型 b 的求解，我們同樣引進(jìn)變量 xn+1=，將它改寫為如下的線性規(guī)劃：min xn+1（1）s.t ,i=0，1，2，nx0具體到 n=4 的情形，按投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題題中給定的數(shù)據(jù)，模型為：s.t

16、 （i0，1，5）利用 matlab7.1 求解模型 c，當(dāng) 取不同的值（0.750.95），我們計(jì)算最小風(fēng)險(xiǎn)和最優(yōu)決策輸出結(jié)果列表如下：表3模型3的計(jì)算結(jié)果風(fēng)險(xiǎn)水平最大收益率0.760.02480.267300.99010000.770.02480.267300.99010000.780.00920.216500.36930.6147000.790.00920.216500.36920.6148000.80.00790.210700.31510.52180.143100.810.00920.216500.36870.6154000.820.00740.208400.29570.49280.1

17、3440.05470.830.00790.210600.31390.52350.142500.840.0060.201700.23860.39730.10820.2260.850.0060.201600.23750.39670.10840.22750.860.00620.202600.24680.41130.07530.23720.870.00660.204500.26530.44220.00880.25520.880.00590.201700.23790.39640.10780.22790.890.0060.201700.2390.39370.10790.22940.90.0060.2018

18、00.23920.3980.10290.22990.910.00590.201700.2380.39580.10750.22870.920.00590.201600.23760.39610.1080.22840.930.00590.201600.23750.39630.1080.22820.940.00610.18470.1350.24360.33090.11060.15570.950.00590.201600.23760.3960.1080.22850.960.00170.09160.72560.06520.10650.03020.06410.970.00540.18480.1140.214

19、10.35640.09740.192從圖5可以看出，模型3的風(fēng)險(xiǎn)與收益關(guān)系與模型1和模型2的結(jié)果幾乎完全一致。 圖3模型3中風(fēng)險(xiǎn)與收益的關(guān)系 圖4模型3中風(fēng)險(xiǎn)與偏好系數(shù)的關(guān)系圖5模型3中收益與偏好系數(shù)的關(guān)系四 模型評(píng)價(jià)與推廣本文我們建立了投資收益與風(fēng)險(xiǎn)的雙目標(biāo)優(yōu)化模型，通過(guò)控制風(fēng)險(xiǎn)使收益最大，保證收益使風(fēng)險(xiǎn)最小，以及引入收益風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)，將兩目標(biāo)模型化為了單目標(biāo)模型，并使用matlab7.1求解，所得結(jié)果具有一定的指導(dǎo)意義。但是，本文沒(méi)有討論收益和風(fēng)險(xiǎn)的評(píng)估方法，在實(shí)際應(yīng)用中還存在資產(chǎn)相關(guān)的情形，此時(shí)，用最大風(fēng)險(xiǎn)代表組合投資的風(fēng)險(xiǎn)未必合理，因此，對(duì)不同風(fēng)險(xiǎn)度量下的最優(yōu)投資組合進(jìn)行比較研究是進(jìn)一

20、步的改進(jìn)方向。五 總結(jié) 歷經(jīng)兩周的時(shí)間終于完成了這次課設(shè)，在這次實(shí)踐課程中，我真的遇到了不少的問(wèn)題，在同學(xué)，老師的幫助以及在圖書(shū)館和網(wǎng)站搜集資料，解決了所有遇到的問(wèn)題。尤其在問(wèn)題分析的過(guò)程中，是難度最大也是問(wèn)題最多的環(huán)節(jié)，感覺(jué)總是把問(wèn)題分析的不夠全面透徹，經(jīng)常顧及這個(gè)方面而忽視了另一方面，最后我請(qǐng)教了同學(xué)，終于完成了問(wèn)題分析并且建立了模型。在完成這一環(huán)節(jié)后，接下來(lái)的任務(wù)都是我獨(dú)立完成，也遇到了不少的困難，但都是較易解決的。通過(guò)這次實(shí)踐，我確實(shí)學(xué)到了不少，學(xué)會(huì)了使用MATLAB，也知道了分析問(wèn)題的方法。六 參考文獻(xiàn)1MATLAB程序設(shè)計(jì)與實(shí)例應(yīng)用。張錚等。北京：中國(guó)鐵道出版社，2003.102運(yùn)

21、籌學(xué)方法與應(yīng)用。吳風(fēng)平。南京：河海大學(xué)出版社，2000.123數(shù)學(xué)模型及方法。李火林主編。江西高校出版社，1997.104數(shù)學(xué)建模教育及競(jìng)賽。甘筱青主編。南昌：江西高校出版社。2004.65蕭樹(shù)鐵，面向21世紀(jì)課程教材：大學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，北京：高等教育出版社，1999.7.6赫孝良，戴永紅等編著，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽：賽題簡(jiǎn)析與論文點(diǎn)評(píng)，西安：西安交通大學(xué)出版社，2002.6.7陳叔平，譚永基，一類投資組合問(wèn)題的建模與分析，數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，（29）7：45-49，1999.七 附錄function result=qiujie()%data為表格數(shù)據(jù) data=28 2.5 1 10321 1.5 2

22、 19823 5.5 4.5 5225 2.6 6.5 40;data1=9.6 42 2.1 18118.5 54 3.2 40749.4 60 6.0 42823.9 42 1.5 5498.1 1.2 7.6 27014 39 3.4 39740.7 68 5.6 17831.2 33.4 3.1 22033.6 53.3 2.7 47536.8 40 2.9 24811.8 31 5.1 1959 5.5 5.7 32035 46 2.7 2679.4 5.3 4.5 32815 23 7.6 131;data=5 0 0 0;data./100;%增加存銀行r=data(:,1);q

23、=data(:,2);p=data(:,3);% %模型一求解% result=;% for a=0:0.01:0.5% result=result;moxing1(r,q,p,a);% end% result=round(result.*10000)./10000;% plot(result(:,1),result(:,2)% grid on% xlabel(風(fēng)險(xiǎn) )% ylabel(收益) % %模型二求解% result=;% for k=0.1:0.01:0.4% result=result;moxing2(r,q,p,k);% end% result=round(result.*10

24、000)./10000;% plot(result(:,1),result(:,2)% grid on% xlabel(風(fēng)險(xiǎn) )% ylabel(收益) %模型三求解result=;for s=0.76:0.01:0.97 result=result;moxing3(r,q,p,s);endresult=round(result.*10000)./10000;figure(1)plot(result(:,2),result(:,3)grid onxlabel(風(fēng)險(xiǎn) )ylabel(收益)pausefigure(2)plot(result(:,1),result(:,2)grid onxlabel(偏好系數(shù) )ylabel(風(fēng)險(xiǎn))pausefigure(3)plot(result(:,1),result(:,3)grid onxlabel(偏好系數(shù) )ylabel(收益) function result1=moxing1(r,q,p,a