高中數(shù)學(xué)論文：對(duì)一類(lèi)求含絕對(duì)值的函數(shù)最小值問(wèn)題一種解法的一點(diǎn)疑惑和探究

1、對(duì)一類(lèi)求含絕對(duì)值的函數(shù)最小值問(wèn)題一種解法的一點(diǎn)疑惑和探究在一次偶然的機(jī)會(huì)，我去上海聽(tīng)了這么一節(jié)課，但聽(tīng)課過(guò)程中遇到了一點(diǎn)疑問(wèn)：就是用代數(shù)法解一類(lèi)含絕對(duì)值的函數(shù)問(wèn)題最小值的等價(jià)性問(wèn)題， 并作了一些思考，具體如下：?jiǎn)栴}1：求函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|的最小值。方法一（一般解法）：數(shù)形結(jié)合 將函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|化為： 然后作圖，由圖易知，f(x)的最小值為1。方法二：幾何法（1）在數(shù)軸上取點(diǎn)a(1，0)和點(diǎn)b(2，0)；（2）在數(shù)軸上取動(dòng)點(diǎn)p(x，0)；即|pa|+|pb|的最小值為所求。則f(x)1（當(dāng)且僅當(dāng)1x2時(shí)，取“=”號(hào)）。方法三：代數(shù)法問(wèn)題2：求函數(shù)f(x)=

2、|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值。也有類(lèi)似的三種解法 其中方法三：代數(shù)法類(lèi)比推廣問(wèn)題3：求函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-19|的最小值。方法二： 由畫(huà)數(shù)軸可知：|x-10|0，|x-9|+|x-11|2， |x-1|+|x-19|18，當(dāng)且僅當(dāng)x=10時(shí)，它們的和最小。即f(x)0+2+4+18=90。方法三（代數(shù)法）經(jīng)過(guò)嘗試發(fā)現(xiàn)也是可以的再推廣問(wèn)題3：求函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-n|的最小值。(1)當(dāng)n=2k-1(kr)時(shí)，|x-k|0，|x-(k-1)|+|x-(k+1)|2， |x-1|+|x-(2k-1)|2k-2，當(dāng)且僅當(dāng)x=k時(shí)，它們的和最

3、小，即f(x)0+2+4+(2k-2)(2)當(dāng)n=2k(kr)時(shí)，|x-k|+|x-(k+1)|1，|x-(k-1)|+|x-(k+2)|3， |x-1|+|x-2k|2k-1，當(dāng)且僅當(dāng)xk，k+1時(shí)，它們的和最小，即f(x)1+3+5+(2k-1) 若n=2k-1(kr)時(shí)，=當(dāng)n=2k(kr)時(shí)，=結(jié)論這個(gè)方法也是適合的但是對(duì)于這個(gè)結(jié)論的普遍性在聽(tīng)課的過(guò)程中我一直存在的疑惑，感覺(jué)這個(gè)方法是不等價(jià)轉(zhuǎn)化的。我首先試著用 和的形式去研究這種方法 的可行性 試探1：求函數(shù)的最小值正解： 將函數(shù)f(x)=2|x-1|+|x-2|化為： 然后作圖，由圖易知當(dāng)x=1時(shí)，f(x)的最小值為1。試解1：（代

4、數(shù)法）要使值最小試解2：要使的值最小 。從以上兩個(gè)試解發(fā)現(xiàn)這種方法是不行的，但是卻發(fā)現(xiàn)通過(guò)這個(gè)方式得到的值都是大于實(shí)際最小值的。而試解1中的 頂點(diǎn)（） 和試解2中的 頂點(diǎn)（） 這兩個(gè)頂點(diǎn)都是在y=1的下方作出三個(gè)函數(shù) ， 的圖像，感覺(jué)二次函數(shù)是折線的兩個(gè)近似拋物光滑曲線。反思：突然想到“問(wèn)題1：求函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|的最小值。” 為什么用方法三代數(shù)法可行？帶著這個(gè)疑問(wèn)，我試著也作出了的圖像與f(x)的圖像進(jìn)行了比較，f(x)的圖像當(dāng)時(shí)是平行于x軸的一條線段，函數(shù)值總是為最小值1， 而的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)恰好落在1, 2上。對(duì)于問(wèn)題2：求函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|的

5、最小值，也作出圖像易知當(dāng)x=2時(shí) f(x)的最小值是2相應(yīng)參考的二次函數(shù)的頂點(diǎn)恰好在x=2處。 對(duì)于后面問(wèn)題3：求函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-19|的最小值。 也類(lèi)似的可以得到結(jié)論：當(dāng)x=10時(shí)，f(x)的最小值是90。 不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于 其中數(shù)列是個(gè)等差數(shù)列，都可以用代數(shù)法解決， 當(dāng)時(shí)為最小值由于得到圖像的啟示，對(duì)于函數(shù)，數(shù)列是否一定是等差數(shù)列呢，不然。我想到如下例子 試探2 ：求函數(shù) 的最小值用常規(guī)分段函數(shù)易解得到：當(dāng)時(shí)，的最小值為6用代數(shù)法解：可以考慮相應(yīng)函數(shù)即。 當(dāng)x=3時(shí)f(x)的最小值為6其實(shí)不難得到; 對(duì)于 （） 只要各個(gè)點(diǎn) 關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的時(shí)候，的最小值就是（即）對(duì)

6、于 （）如果各個(gè)點(diǎn)沒(méi)有上面的對(duì)稱(chēng)性，那可不可以用該方法解嗎？ 試探3：求函數(shù) 的最小值易知道當(dāng)時(shí)取到最小值為15用代數(shù)法解：可以考慮相應(yīng)函數(shù)即，則當(dāng)時(shí) 的最小值為15。代數(shù)法是可行的。試探4: 求函數(shù) 的最小值易解：當(dāng)時(shí)，f(x)取到最小值為11用代數(shù)法：可以考慮相應(yīng)函數(shù)即，當(dāng)時(shí)，f(x)的最小值為。代數(shù)法不可行試探5: 求函數(shù) 的最小值易知道當(dāng)時(shí)，的最小值為15用代數(shù)法解：可以考慮相應(yīng)函數(shù)則認(rèn)為的最小值為 代數(shù)法不可行結(jié)論：從試探3，試探4試探5可發(fā)現(xiàn)，對(duì)于 （）1)如果n為偶數(shù)時(shí)，的算術(shù)平均數(shù)滿足，那么這種代數(shù)法可適用的2）如果n為奇數(shù)時(shí)，除非的算術(shù)平均數(shù)恰好為中間一個(gè)，即可以，否則這種代數(shù)法一般是不可行的。下面證明該結(jié)論：1）n 為偶數(shù)時(shí)， . 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 各式取等號(hào)，它們的和最小 而用代數(shù)法時(shí)，x取時(shí)最小，此時(shí)滿足，則它們的和最小 2）