第七和九講MATLAB數學運算

1、Matlab及模擬仿真第七堂課七. MatlabMatlab矩陣分析與處理矩陣分析與處理 數值積分與微分數值積分與微分 隨機數據的統(tǒng)計描述隨機數據的統(tǒng)計描述 曲線擬合曲線擬合& &插值插值& &樣條樣條 離散離散FourierFourier分析分析 多項式計算多項式計算MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.17.1數值積分和微分數值積分和微分 7.1.1 數值積分數值積分 7.1.1.1數值積分基本原理 求解定積分的數值方法多種多樣，如簡單的梯形法、辛普生(Simpson) 法、牛頓柯特斯(Newton-Cotes)法等都是經常采用的方法

2、。它們的基本思想都是將整個積分區(qū)間a,b分成n個子區(qū)間xi,xi+1，i=1,2,n，其中x1=a，xn+1=b。這樣求定積分問題就分解為求和問題。MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年 7.1.1.2 數值積分的實現方法1變步長辛普生法基于變步長辛普生法，MATLAB給出了quad函數來求定積分。該函數的調用格式為： I, n=quad(fname,a,b,tol,trace) 其中fname是被積函數名。a和b分別是定積分的下限和上限。tol用來控制積分精度，缺省時取tol=0.001。trace控制是否展現積分過程，若取非0則展現積分過

3、程，取0則不展現，缺省時取trace=0。返回參數I即定積分值，n為被積函數的調用次數。MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年 例7-1 求定積分。 (1) 建立被積函數文件fesin.m。function f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 調用數值積分函數quad求定積分。S,n=quad(fesin,0,3*pi)S = 0.9008n = 77MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年2牛頓柯特斯法基于牛頓柯特斯法，MATLAB給出了qua

4、d8函數來求定積分。該函數的調用格式為：I,n=quad8(fname,a,b,tol,trace)其中參數的含義和quad函數相似，只是tol的缺省值取10-6。 該函數可以更精確地求出定積分的值，且一般情況下函數調用的步數明顯小于quad函數，從而保證能以更高的效率求出所需的定積分值。MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年例7-2 求定積分。(1) 被積函數文件fx.m。function f=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x);(2) 調用函數quad8求定積分。I=quad8(fx,0,pi)I =

5、2.4674MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年例7-3 分別用quad函數和quad8函數求定積分的近似值，并在相同的積分精度下，比較函數的調用次數。調用函數quad求定積分：format long;fx=inline(exp(-x);I,n=quad(fx,1,2.5,1e-10)I = 0.28579444254766n = 65MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.1.1.3 二重定積分的數值求解使用MATLAB提供的dblquad函數就可以直接求出上述二重定積分的數值解。該函

6、數的調用格式為：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)該函數求f(x,y)在a,bc,d區(qū)域上的二重定積分。參數tol，trace的用法與函數quad完全相同。MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年例7-4 計算二重定積分(1) 建立一個函數文件fxy.m：function f=fxy(x,y)global ki;ki=ki+1; %ki用于統(tǒng)計被積函數的調用次數f=exp(-x.2/2).*sin(x.2+y);(2) 調用dblquad函數求解。global ki;ki=0;I=dblquad(fxy,-2,2,-1

7、,1)kiI = 1.57449318974494ki = 1038MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.1.2 數值微分數值微分7.1.2.1 數值差分與差商數值微分的實現在MATLAB中，沒有直接提供求數值導數的函數，只有計算向前差分的函數diff，其調用格式為：DX=diff(X)：計算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,n-1。DX=diff(X,n)：計算X的n階向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X)。DX=diff(A,n,dim)：計算矩陣A的n階差分，dim=1時(缺省狀

8、態(tài))，按列計算差分；dim=2，按行計算差分。MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年例7-5 生成以向量V=1,2,3,4,5,6為基礎的范得蒙矩陣，按列進行差分運算。命令如下：V=vander(1:6)DV=diff(V) %計算V的一階差分MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年例7-6 用不同的方法求函數f(x)的數值導數，并在同一個坐標系中做出f(x)的圖像。程序如下：f=inline(sqrt(x.3+2*x.2-x+12)+(x+5).(1/6)+5*x+2);g=inline(3

9、*x.2+4*x-1)./sqrt(x.3+2*x.2-x+12)/2+1/6./(x+5).(5/6)+5);x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,f(x),5); %用5次多項式p擬合f(x)dp=polyder(p); %對擬合多項式p求導數dpdpx=polyval(dp,x); %求dp在假設點的函數值dx=diff(f(x,3.01)/0.01; %直接對f(x)求數值導數gx=g(x); %求函數f的導函數g在假設點的導數plot(x,dpx,x,dx,.,x,gx,-); %作圖MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年

10、7.2 7.2 隨機數據的統(tǒng)計描述隨機數據的統(tǒng)計描述 7.2.1 最大值和最小值max & min: 1. 求一個向量X的最大值的函數有兩種調用格式：y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含復數元素，則按模取最大值。 y, I=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的序號存入I，如果X中包含復數元素，按模取最大值。 求向量X的最小值的函數是min(X)，用法和max(X)完全相同。MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.2 7.2 隨機數據的統(tǒng)計描述隨機數據的統(tǒng)計描述 例7-7 求向量x的最大值。命令如下：x=-43

11、,72,9,16,23,47;y=max(x) %求向量x中的最大值y,l=max(x) %求向量x中的最大值及其該元素的位置MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.2 7.2 隨機數據的統(tǒng)計描述隨機數據的統(tǒng)計描述 2求矩陣的最大值和最小值求矩陣A的最大值的函數有3種調用格式：(1) max(A)：返回一個行向量，向量的第i個元素是矩陣A的第i列上的最大值。(2) Y,U=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量記錄A的每列的最大值，U向量記錄每列最大值的行號。(3) max(A,dim)：dim取1或2。dim取1時，該函數和max(A)完

12、全相同；dim取2時，該函數返回一個列向量，其第i個元素是A矩陣的第i行上的最大值。 求最小值的函數是min，其用法和max完全相同。例7-8 分別求34矩陣x中各列和各行元素中的最大值，并求整個矩陣的最大值和最小值MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.2 7.2 隨機數據的統(tǒng)計描述隨機數據的統(tǒng)計描述 3兩個向量或矩陣對應元素的比較函數max和min還能對兩個同型的向量或矩陣進行比較：(1) U=max(A,B)：A,B是兩個同型的向量或矩陣，結果U是與A,B同型的向量或矩陣，U的每個元素等于A,B對應元素的較大者。(2) U=max(A

13、,n)：n是一個標量，結果U是與A同型的向量或矩陣，U的每個元素等于A對應元素和n中的較大者。min函數的用法和max完全相同。例7-9 求兩個23矩陣x, y所有同一位置上的較大元素構成的新矩陣p。MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.2 7.2 隨機數據的統(tǒng)計描述隨機數據的統(tǒng)計描述 7.2.2 求和與求積 (sum & prod)X-向量，A-矩陣，調用格式：sum(X)：返回向量X各元素的和。prod(X)：返回向量X各元素的乘積。sum(A)：返回行向量，第i個元素是A的第i列的元素和。prod(A)：返回行向量，第i個元素是A第

14、i列的元素乘積。sum(A,dim)：當dim為1，該函數等同于sum(A)；當dim為2時，返回列向量，第i個元素是A第i行的各元素和。prod(A,dim)：當dim為1，該函數等同于prod(A)；當dim為2，返回列向量，第i個元素是A第i行的各元素乘積。例例7-10:MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.2 7.2 隨機數據的統(tǒng)計描述隨機數據的統(tǒng)計描述 7.2.3 平均值和中值求平均值-mean，求數中值-median。調用格式：mean(X)：返回向量X的算術平均值。median(X)：返回向量X的中值。mean(A)：返回一

15、個行向量，其第i個元素是A的第i列的算術平均值。median(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的中值。mean(A,dim)：當dim為1時，該函數等同于mean(A)；當dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的算術平均值。median(A,dim)：當dim為1時，該函數等同于median(A)；當dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的中值。例7-11 分別求向量x與y的平均值和中值。MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.2 7.2 隨機數據的統(tǒng)計描述隨機數據的統(tǒng)計描述 7.2.4 累加和

16、與累乘積cumsum和cumprod:cumsum(X)：返回向量X累加和向量。cumprod(X)：返回向量X累乘積向量。cumsum(A)：返回一個矩陣，其第i列是A的第i列的累加和向量。cumprod(A)：返回一個矩陣，其第i列是A的第i列的累乘積向量。cumsum(A,dim)：當dim為1時，該函數等同于cumsum(A)；當dim為2時，返回一個矩陣，其第i行是A的第i行的累加和向量。cumprod(A,dim)：當dim為1時，該函數等同于cumprod(A)；當dim為2時，返回一個向量，第i行是A的第i行的累乘積向量。例7-12 求s的值。MatlabMatlab技術與應用

17、技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.2 7.2 隨機數據的統(tǒng)計描述隨機數據的統(tǒng)計描述 7.2.5 標準方差與相關系數1求標準方差：std 對于向量X，std(X)返回一個標準方差。對于矩陣A，std(A)返回一個行向量，它的各個元素便是矩陣A各列或各行的標準方差。std函數的一般調用格式為：Y=std(A,flag,dim)其中dim取1或2。當dim=1時，求各列元素的標準方差；當dim=2時，則求各行元素的標準方差。flag取0或1，當flag=0時，按1所列公式計算標準方差，當flag=1時，按2所列公式計算標準方差。缺省flag=0，dim=1。例7-13 對二

18、維矩陣x，從不同維方向求出其標準方差。MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.2 7.2 隨機數據的統(tǒng)計描述隨機數據的統(tǒng)計描述 2相關系數MATLAB提供了corrcoef函數，可以求出數據的相關系數矩陣。corrcoef函數的調用格式為：corrcoef(X)：返回從矩陣X形成的一個相關系數矩陣。此相關系數矩陣的大小與矩陣X一樣。它把矩陣X的每列作為一個變量，然后求它們的相關系數。corrcoef(X,Y)：在這里，X,Y是向量，它們與corrcoef(X,Y)的作用一樣。MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142

19、013-2014學年學年7.2 7.2 隨機數據的統(tǒng)計描述隨機數據的統(tǒng)計描述 例7-14 生成滿足正態(tài)分布的100005隨機矩陣，然后求各列元素的均值和標準方差，再求這5列隨機數據的相關系數矩陣。命令如下：X=randn(10000,5);M=mean(X)D=std(X)R=corrcoef(X)MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.2 7.2 隨機數據的統(tǒng)計描述隨機數據的統(tǒng)計描述 7.2.6 排序MATLAB中對向量X是排序函數是sort(X)，函數返回一個對X中的元素按升序排列的新向量。sort函數也可以對矩陣A的各列或各行重新排序

20、，其調用格式為：Y,I=sort(A,dim)其中dim指明對A的列還是行進行排序。若dim=1，則按列排；若dim=2，則按行排。Y是排序后的矩陣，而I記錄Y中的元素在A中位置。例例7-15 對二維矩陣做各種排序。對二維矩陣做各種排序。MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.3 7.3 曲線擬合曲線擬合多項式擬合原理：多項式擬合原理： 采用多項式y(tǒng)(x)=f(a,x)=a1xn+a2xn-1+anx+an+1的n階多項式方程擬合描述數據組(xi, yi), i=1,2,N。 擬合的準則: |f(xi)-yi|2最小的f(x)非線性最小二乘

21、法：非線性最小二乘法： “M文件編寫文件編寫”中詳解中詳解MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.3 7.3 曲線擬合曲線擬合 在MATLAB中，用polyfit函數來求得最小二乘擬合多項式的系數，再用polyval函數按所得的多項式計算所給出的點上的函數近似值。polyfit函數的調用格式為：P,S=polyfit(X,Y,m)函數根據采樣點X和采樣點函數值Y，產生一個m次多項式P及其在采樣點的誤差向量S。其中X,Y是兩個等長的向量，P是一個長度為m+1的向量，P的元素為多項式系數。polyval函數的功能是按多項式的系數計算x點多項式的

22、值。P,S=polyval(P,x,S)MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.3 7.3 曲線擬合曲線擬合例例7-17 對數據對數據(x=1:0.1:10, y=2x3-x2+5x+10)多項式擬合。比多項式擬合。比較較1階，階，2階，階，3階擬合的結果。階擬合的結果。MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.3 7.3 數據插值數據插值7.3.1 一維一維數據插值在MATLAB中，實現這些插值的函數是interp1，其調用格式為：Y1=interp1(X,Y,X1,method)函數根

23、據X,Y的值，計算函數在X1處的值。X,Y是兩個等長的已知向量，分別描述采樣點和樣本值，X1是一個向量或標量，描述欲插值的點，Y1是一個與X1等長的插值結果。method是插值方法，允許的取值有l(wèi)inear、nearest、cubic、spline。二維：二維：interp2三維三維&高維：高維：interp3 & interpnlinear: 線性；線性；nearest: 最近鄰值；最近鄰值；cubic：三次多項式：三次多項式spline：三條樣條插值：三條樣條插值MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年注意：X1的取值范圍不能超出X的給定范

24、圍，否則，會給出“NaN”錯誤。例7-15 用不同的插值方法計算在/2點的值。MATLAB中有一個專門的3次樣條插值函數Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法與函數Y1=interp1(X,Y,X1,spline)完全相同。7.3 7.3 數據插值數據插值MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年例7-16 某觀測站測得某日6:00時至18:00時之間每隔2小時的室內外溫度()，用3次樣條插值分別求得該日室內外6:30至17:30時之間每隔2小時各點的近似溫度()。設時間變量h為一行向量，溫度變量t為一個兩列矩陣，其中第一列存放室內

25、溫度，第二列儲存室外溫度。命令如下：h =6:2:18;t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30;XI =6.5:2:17.5YI=interp1(h,t,XI,spline) %用3次樣條插值計算7.3 7.3 數據插值數據插值MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年樣條函數基本思想：樣條函數基本思想： 設一組已知數據點，目標找到一組擬合方程式。對該數據組的每個相鄰數據點間，用三次多項式去擬合?；局噶罴罢{用格式： yy=spline(x, y, xx) 根據(x,y), 求得三次樣條插值yy p

26、p=spline(x, y) 從(x, y) 獲得多項式樣條函數數據pp yy=ppval(pp, xx) 根據逐段多項式樣條函數數據pp，求xx處值yy7.3 7.3 樣條函數及其應用樣條函數及其應用例例 根據連續(xù)時間根據連續(xù)時間w(t)=e-|t|的采樣數據，利用的采樣數據，利用spline重構該連重構該連續(xù)函數，并檢查重構誤差。續(xù)函數，并檢查重構誤差。 t=-5:0.5:5;w=exp(-abs(t);N0=length(t); tt=linspace(t(1), t(end), 10*N0);ww=spline(t, w, tt);Error=max(abs(ww-exp(-abs(t

27、t)Plot(tt, ww, b); hold on;Stem(t, w, filled, r); hold offMatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.4 7.4 離散傅里葉變換離散傅里葉變換 離散傅立葉變換的實現一維離散傅立葉變換函數，其調用格式與功能為：(1) fft(X)：返回向量X的離散傅立葉變換。設X的長度(即元素個數)為N，若N為2的冪次，則為以2為基數的快速傅立葉變換，否則為運算速度很慢的非2冪次的算法。對于矩陣X，fft(X)應用于矩陣的每一列。MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2

28、014學年學年7.5 7.5 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(2) fft(X,N)：計算N點離散傅立葉變換。它限定向量的長度為N，若X的長度小于N，則不足部分補上零；若大于N，則刪去超出N的那些元素。對于矩陣X，它同樣應用于矩陣的每一列，只是限定了向量的長度為N。(3) fft(X,dim)或fft(X,N,dim)：這是對于矩陣而言的函數調用格式，前者的功能與FFT(X)基本相同，而后者則與FFT(X,N)基本相同。只是當參數dim=1時，該函數作用于X的每一列；當dim=2時，則作用于X的每一行。MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.

29、5 7.5 離散傅里葉變換離散傅里葉變換值得一提的是，當已知給出的樣本數N0不是2的冪次時，可以取一個N使它大于N0且是2的冪次，然后利用函數格式fft(X,N)或fft(X,N,dim)便可進行快速傅立葉變換。這樣，計算速度將大大加快。相應地，一維離散傅立葉逆變換函數是ifft。ifft(F)返回F的一維離散傅立葉逆變換；ifft(F,N)為N點逆變換；ifft(F,dim)或ifft(F,N,dim)則由N或dim確定逆變換的點數或操作方向。MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.5 7.5 離散傅里葉變換離散傅里葉變換例7-18 給定

30、數學函數x(t)=12sin(210t+/4)+5cos(240t)取N=128，試對t從01秒采樣，用fft作快速傅立葉變換，繪制相應的振幅-頻率圖。在01秒時間范圍內采樣128點，從而可以確定采樣周期和采樣頻率。由于離散傅立葉變換時的下標應是從0到N-1，故在實際應用時下標應該前移1。又考慮到對離散傅立葉變換來說，其振幅| F(k)|是關于N/2對稱的，故只須使k從0到N/2即可。MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.4 7.4 離散傅里葉變換離散傅里葉變換程序如下：N=128; % 采樣點數T=1; % 采樣時間終點t=linspa

31、ce(0,T,N); % 給出N個采樣時間ti(I=1:N)x=12*sin(2*pi*10*t+pi/4)+5*cos(2*pi*40*t); % 求各采樣點樣本值xdt=t(2)-t(1); % 采樣周期f=1/dt; % 采樣頻率(Hz)X=fft(x); % 計算x的快速傅立葉變換XF=X(1:N/2+1); % F(k)=X(k)(k=1:N/2+1)f=f*(0:N/2)/N; % 使頻率軸f從零開始plot(f,abs(F),-*) % 繪制振幅-頻率圖xlabel(Frequency);ylabel(|F(k)|)MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-2014

32、2013-2014學年學年7.5 7.5 多項式計算多項式計算7.6.1 多項式的四則運算1多項式的加減運算2多項式乘法運算函數conv(P1,P2)用于求多項式P1和P2的乘積。這里，P1、P2是兩個多項式系數向量。例7-19 求多項式x4+8x3-10與多項式2x2-x+3的乘積。MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.5 7.5 多項式計算多項式計算3多項式除法函數Q,r=deconv(P1,P2)用于對多項式P1和P2作除法運算。其中Q返回多項式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。這里，Q和r仍是多項式系數向量。decon

33、v是conv的逆函數，即有P1=conv(P2,Q)+r。例7-20 求多項式x4+8x3-10除以多項式2x2-x+3的結果。MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.5 7.5 多項式計算多項式計算7.6.2 多項式的導函數：p=polyder(P)：求多項式P的導函數p=polyder(P,Q)：求PQ的導函數p,q=polyder(P,Q)：求P/Q的導函數，導函數的分子存入p，分母存入q。上述函數中，參數P,Q是多項式的向量表示，結果p,q也是多項式的向量表示。例7-20 求有理分式的導數。命令如下：P=1;Q=1,0,5;p,q=

34、polyder(P,Q)MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.5 7.5 多項式計算多項式計算7.6.3 多項式的求值MATLAB提供了兩種求多項式值的函數：polyval與polyvalm，它們的輸入參數均為多項式系數向量P和自變量x。兩者的區(qū)別在于前者是代數多項式求值，而后者是矩陣多項式求值。MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.6 7.6 多項式計算多項式計算1代數多項式求值polyval函數用來求代數多項式的值，其調用格式為：Y=polyval(P,x)若x為一數值，則求多項式在該點的值；若x為向量或矩陣，則對向量或矩陣中的每個元素求其多項式的值。例7-21 已知多項式x4+8x3-10，分別取x=1.2和一個23矩陣為自變量計算該多項式的值。MatlabMatlab技術與應用技術與應用 2013-20142013-2014學年學年7.6 7.6 多項式計算多項式計算2矩陣多項式求值polyvalm函數用來求矩陣多項式的值，其調用格式與polyval相同，但含義不同。polyvalm函數要求x為方陣，它以方陣為自變量求多項式的值。設A為方陣，P代表多項式x3-5x2+8，那么p