李惕碚_2006_時(shí)變分析的時(shí)間尺度譜方法

1、清 物理 4% 年時(shí)變分析的時(shí)間尺度譜方法李! 惕! 碚（清華大學(xué)物理系!清華大學(xué)天體物理中心!北京! 3%45）（中國科學(xué)院高能物理研究所粒子天體物理中心!北京! 3%56）摘! 要! ! 文章介紹時(shí)變分析的時(shí)間尺度譜方法及其在 7 射線天文學(xué)中的應(yīng)用, 時(shí)間尺度譜方法包括時(shí)域功率譜、時(shí)域時(shí)延譜以及 ! 譜等，是一種直接應(yīng)用在時(shí)域上的多尺度分析手段, 相對于傳統(tǒng)方法，時(shí)間尺度譜能更客觀靈敏地反映物理實(shí)質(zhì)，有效地抑制噪聲干擾，在高背景低統(tǒng)計(jì)性的 7 射線天文觀測中得到了很好的應(yīng)用,關(guān)鍵詞! ! 7 射線天文學(xué)，時(shí)間尺度譜，功率譜，時(shí)延，! 譜，黑洞，中子星!#$%&($ %)$&*+( ,(-

2、%89 :/;=/（ #$%&(#) *+ ,-./01/，2/0)3-4% 5#)#& +*& 6/&*$-./01/，2/0)3-4% 7)08#&/0.，9#0:0)3 3%45，5-0)%）（ ;#. # 6/&*$-./01/，?)/04# *+ 03- a)#&3. ,-./01/，5-0)#/# 61%b#(. *+ c10#)1#/，9#0:0)3 3%56，5-0)%）./%*+&*0 0 ?=/=+ /a )?=a=2(=b cd (= (/e=a10.= a)=1(?0. 020.fa/a e=(cb )?c)ca=b gf 8/ =( 0., /2 ?=1=2( f=0

3、?a 02b /(a 0)./10(/c2a /2 7;?0f 0a(?c2cef, :/a /a 0 e-.(/;a10.= 020.fa/a (=12/h-= /2 (= (/e= bce0/2 +/( 0 a=( cd 2=+ b=d/2/(/c2a dc? (= )c+=? a)=1(?-e 02b 1?caa;1c?=.0(/c2，02b 0 2c=. + a)=1(?-e, ice)0?=b (c (?0b/(/c20. e=02a，(= (=12/h-= /a /j.f a=2a/(/= /2 ?=d.=1(/2j (= 20(-?= cd )fa/10. )?c1=aa=a，=

4、a)=1/0.f /2 7;?0f 0a(?c2c; ef +=?= cga=?0(/c2a 0= )cc? a(0(/a(/1a 02b 0 /j g01kj?c-2b,1$-23+4%0 0 7;?0f 0a(?c2cef，(/e=a10.= a)=1(?-e，)c+=? a)=1(?-e，(/e= .0j，! a)=1(?-e，g.01k c.=，2=-; (?c2 a(0?3!引 言 分析是研究天體物理 程的重要途徑, 不同的物理 程或者同 物理 程在不同 境中具有不同的特征 尺度, 通 7 射 ，人 已 黑洞、中子星等致密星體在不同 尺度上存在形 復(fù) 的非周期快速光 象， 些 象是理

5、解天體高能 射 程的重要途徑，某些特征 尺度甚至跟致密星體的本征性 （例如星體 量） 密相 , 用最廣泛的 分析方法是傅里葉 分析, 光 曲 （d e ）（ e f %，3，g）通 傅里葉 gh（+: ）f $（de ）= i/$!+:e （: f i g j $，g j $ i 3）e f 3得到光 曲 的功率（密度） （$ +: ） f &h（ +: ）&$ k 不同能量的兩條光 曲 ，由互 5（ +!）h（ +） f h （ +:3:$:得到 延 ，描述不同能量光子 射 差的分布!（ +: ） m 0?j 5（ +: ）n$!+:以及用相干系數(shù) 描述不同能量 程相關(guān)程度與 尺度的關(guān)系 5

6、（ +）（&+: ） f&:&k h（ + ） $h（ + ） $!& 3 : & $ : &! ! 用特定物理量研究不同 尺度物理 程的性 ，需要知道各種 尺度下 物理量的數(shù) ，即需3，$要得到 尺度 , 李惕碚等 建立了時(shí)變分析的 尺度 方法, 人 通常將傅里葉 率的倒數(shù)$%& l %5 l %& 收到!# 卷（$%& 年）# 期!()：*+, +-./, 01, 12765清 物理 f0 年理解 尺度，從而藉助（傅里葉） 行 沖序列功率密度，十字 從模 光 曲 用（5）式尺度分析& 然傅里葉分析在數(shù)學(xué)上是完 的，但是求得的信號功率密度 ，短劃 傅里葉功率密度一般 來（傅里葉） 并不能正確

7、刻畫復(fù) 物理 譜& 信號脈沖的指數(shù)上升與衰減的 常數(shù)隨機(jī)地程的 尺度分布& 例如，人 基于帕斯瓦定理采用從 7320& 62 區(qū) 中 取&（傅里葉）功率 描述 物理 程的功率密度分布& 但是，帕斯瓦定理只是 （傅里葉）功率密度 率的 分等于 域 程的 功率，并沒有告 我 （傅里葉）功率密度和 物理 程功率密度分布的關(guān)系& 于一個(gè)隨機(jī) 程，（傅里葉）功率譜顯著地低估了 程在小 尺度（高 ）區(qū)域的功率，而由 尺度 方法 出的 域 能正確地描述隨機(jī) 程的真 分布& 于 . 射 雙星 域功率 的研究 ，黑洞雙星隨機(jī)光 具有 / 0& 12 的特征 尺度，而中子星雙星的特征 尺度小于45132 & 、李

8、惕碚和 雙南 出了用于研究 .射 脈沖 度的 量 ! 的 尺度 ， 黑洞和中子星雙星 . 射 截止 尺度存在明 區(qū) & 傅里葉方法沒有能力 示不同能道高 （小 尺度）信號的 延， 尺度 方法可以靈敏地 量不同能道快速光 的 延，以及研究不同物理量（如流 和能 硬度）在特定 尺度上的6，78相關(guān)， 揭示快速 化 程的特性提供了有力的工具&6-功率譜圖 1- 時(shí)域功率譜和傅立葉功率譜的對比（上圖為模擬的脈沖信號，中圖為加噪聲后的信號，下圖是純信號的時(shí)域功率譜（實(shí)線）、帶噪聲信號的時(shí)域功率譜（十字）以及傅里葉功率譜） 步 ! 的光子 數(shù)序列 #（ $），（ $ % 1，&），其光 功率的定 1()6

9、9*:（ #）$ %（1# $）) #）（ !）%(-%66（!）（ !）1() 66*%$（+ $）)+）:32,（1）( $ % 1由此可求出 尺度 ! 的功率密度（ ）（ !1）) （ ! ）（-!） %;!,6:326 2，;!6 ) !1（6）由（1）、（6）式可求出泊松噪音的功率密度-（）+:326 !,!1 )!6其中 + 數(shù)率& 由（6）（、4）式可 算信號功率密度-（） % （-!）) - （!）:326- - 圖 1 上 一隨機(jī)脈沖序列， 數(shù)率 400+2 2；中 由脈沖序列的一個(gè)隨機(jī) 本加上 7000+2 2泊松噪音構(gòu)成的模 光 曲 ；下 中的 脈在 個(gè)例子中，傅里葉功率

10、 大大低估了短 尺度的物理 程， 域功率 能更準(zhǔn)確地反映物理 & 另外， 中 噪聲信號與無噪聲信號 生的 域功率 的完好吻合表明了 域功率 噪聲有很 的抑制作用，能 在 低信噪比的 . 射 天文 中得到良好的 用&研究光 功率的 尺度 有助于揭示致密星4附近物理 程的性 & 我 用 ab c.de 星數(shù)據(jù)得到一 . 射 雙星光 功率的傅里葉 （ 圖 6 點(diǎn)）和 尺度 （ 圖 6 十字）& 圖 6 左 黑洞雙星，右 中子星雙星& 7 個(gè)黑洞雙星的傅里葉功率在小于 0& 12 的短 尺度區(qū) 都 著地低于 尺度 ；而 于中子星，在毫秒至秒的 尺度范 兩者基本一致& 如果黑洞雙星系 存在特征 尺度 0

11、& 12 的隨機(jī)光 程，而中子星隨機(jī)光 程的特征 尺度 小于 132， 可以解 到的功率 性 的差異&#!#：$%& %()& *+& +,-物理清華物理 6% 年圖 $!黑洞和中子星時(shí)域功率譜與傅里葉功率譜的比較（左邊為黑洞，右邊是中子星）!時(shí)延譜同一時(shí)段不同能道兩光變曲線 !（ ），!（ ）間3$的相對時(shí)延 !，是研究輻射過程的重要參量, 借助相關(guān)分析方法可以由兩光變曲線求得一個(gè)時(shí)延值 !；但僅僅一個(gè)時(shí)延值是不夠的，了解一個(gè)復(fù)雜過程需要知道不同時(shí)間尺度的時(shí)延，即時(shí)延的時(shí)間尺度譜!（ !#）, 傳統(tǒng)相關(guān)分析方法還無法求出小于時(shí)間道寬（ !#）的時(shí)延, 用傅里葉分析可以得到一個(gè)時(shí)延譜, 由于傅

12、里葉方法的時(shí)延是通過相位差間接求得的，但相位有一個(gè) $ 的周期，一旦相位超過 $ 就會(huì)歸 %，稱為相位卷繞, 理論上傅里葉分析可以通過解卷繞的方法求出大于 $ 相位所對應(yīng)的時(shí)延，但是實(shí)際問題中由于噪聲的干擾，解卷繞在低信噪比情況下很難得到應(yīng)用，因此會(huì)錯(cuò)誤低估時(shí)延,利用改進(jìn)的相關(guān)分析方法可以求出時(shí)延的時(shí)間3，#尺度譜 , 對于時(shí)間步長為 !# 的兩光變曲線 !3 （ ），!（ ）和任意 值，定義相關(guān)函數(shù)$（ ；!#） %$&（ !#）&（ !# ）(#（ &）#（ &），3$3$（#）式中（&#）% （!)$，（!#）是時(shí)間#）) !，#（ &）% $&區(qū)間（ #，# !#）中的光子計(jì)數(shù), 對于

13、不同時(shí)間尺度$ (，求出令相關(guān)函數(shù) $（ ；!#）極大的 值，即可得時(shí)延譜 !（ !#）*為了比較求時(shí)延的時(shí)間尺度譜和傅里葉譜兩種方法，我們構(gòu)造了兩條模擬光變曲線，每條光變曲線由快慢兩種隨機(jī)脈沖組成, 兩條光變曲線脈沖時(shí)標(biāo)345 的快成分間時(shí)延 #45，時(shí)標(biāo) %, %35 的慢成分間時(shí)延 %, %$5, 圖 十字和虛線為用時(shí)譜方法對模擬數(shù)據(jù)圖 !具有兩種成分不同延遲的光變曲線時(shí)延譜（時(shí)標(biāo)345 的快成分間時(shí)延 #45，時(shí)標(biāo) %, %35 的慢成分間時(shí)延%, %$5；十字為時(shí)域時(shí)延譜，圓圈是傅里葉時(shí)延譜）!# 卷（$%& 年）# 期!()：*+, +-./, 01, 12#!清 物理 m4 年圖

14、 .-/01 234546 的時(shí)延譜求得的 延 ， 圈和短劃 傅里葉 & 從 6 可以看出， 尺度 正確地表達(dá)了 程的 延分布，而傅里葉分析無力 出短 尺度 程的 延& 延的 分析方法是揭示 射 程特性的有力工具& 我 用 789 : 0; 4& 43?）8a ; b 3 硬 ; 射 光c子的 延 ，從而可以判斷不同的輻射模型 ；我們還得到 19d= : 8/0e 發(fā)現(xiàn) 的地球 ! 閃爍 /f?（ ghhg?h)*( a*ii* b h* j(*?!g? ）低能光子的 延性 ，有力地 了 /f 生的放 機(jī)制5& 我 正在 用 方法研究 ! 射 暴的 延性 & 圖 . 是從 19d= 探 到的

15、! 暴 /01234546 數(shù)據(jù)得到的低能光子 延的 尺度 （左 ）以及特定 尺度下 延與能區(qū) 隔的關(guān)系（右 ）& 可以期待，更多 ! 暴 延性 的分析 果將推 ! 暴 生機(jī)制的了解&.-! 譜時(shí)域 分析的思路即在 域上取定一 尺度，求出此尺度下的某物理量大小，然后改 尺度 得不同尺度下的物理量& 個(gè)物理量既可以是已知的物理量如功率、 延等，也可以是自定義的物理量，當(dāng)然定 必 客 反映物理 程& 假 器所 的原始光 曲 （ #；$），即 分辨率（最小 道 ） $，在 #$，（ # % 3）$，（ # & 4，3，c，） 內(nèi)的光子 數(shù)率（ +? : ?）& 了研究 尺度 #$ & $（ 整數(shù)）的

16、 程，我 需要將原始光 曲 行并道，即將原來 個(gè) 道通 求平均合并成一個(gè)，形成新的光 曲 ：（ ) %3） %(*3（ )；#$） &3$（#；$）+? : ?，(# & ) %(其中，( 是光 曲 的離散相位& 新的光 曲 不包含任何 尺度小于 #$ 的 化 程& 定 光 曲 的平均 差分 ：+（#$）&3*3(3,*c&（)%3；#$）*（)；#$）&)，$( ( & 4,*3$) & 4#它的 代表了某種物理量在 尺度-#$ 上的 和& 因此，在 尺度 #$ 上此種物理量的 ，可以通 求 得：k+（ #$）!（ #$） & *- - 中，信號 是伴隨著噪聲一起出 的& 了有效地提取信號，

17、我 必 準(zhǔn)確地估 出噪聲成分并從中減去& 天體物理 程而言，噪聲都是泊松噪聲& 假 兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī) 量 .3 和 .c 都服從相同的泊松分布，即 有同 的平均 ，那么它 差的 的期望 ：/（ &.*0*3* .&） & cg *c.$12（c.）c11 &4其中 21 為 1 形 1g?g( 函數(shù)& 通 ! 的定 ，我 可以得到噪聲的 獻(xiàn)*0*/（ . *.）3$cg*c#$12（c#$）1+ （#$）& 3&c#&1 & 4，$c,l)?g#$#k+ （ $）! （ $）&14)56 #，14)56#k#$#!#：$%& %()& *+& +,-物理清華物理 8% 年通過對 # 譜的模擬分析

18、表明，# 譜可以反映隨其中 ! 為光變曲線的平均值, 最后，光變曲線信號成分的 # 譜為機(jī)脈沖序列的時(shí)間尺度分布（約等于脈沖寬度分#（$） % #（!$） #（$）布），對脈沖的幅度、形狀、在時(shí)間軸上的分布不敏3 !24/35 ! ! # 譜可以靈敏地探測光變曲線中最小的時(shí)間尺感，但對脈沖寬度分布的前沿，即最小脈沖寬度很敏度& 圖 # 給出了兩種方波脈沖序列 # 譜，脈沖寬度感，可量化求得& 圖 7 給出了黑洞和中子星 # 的譜，為 %, 63，脈沖發(fā)生時(shí)間或者是周期的或者是隨機(jī)在選定的時(shí)間尺度上，黑洞的 # 譜出現(xiàn)了明顯的截的, 我們可以發(fā)現(xiàn)兩者的 # 譜都在 %, 63 處有個(gè)明顯止，而中

19、子星的 # 譜卻沒有,的截止，表明系統(tǒng)主要的變化過程都大于等于%, 63, 另外，隨機(jī)脈沖在 %, 63 以下還有少量幅度，從光變曲線上可以看到某些脈沖的間隔小于 %, 63, 周期脈沖在 %, #3 處的 # 譜比隨機(jī)脈沖幅度略高，恰好是周期變化的體現(xiàn)（時(shí)間尺度為半周期時(shí)具有最大變化量）,圖 7!黑洞（上圖）和中子星（下圖）的 # 譜圖 #! 脈沖序列的 # 譜（脈沖寬度 %, 63，脈沖發(fā)生時(shí)間是周期的（ 上圖）或者隨機(jī)的（中圖），兩者的 # 譜為下圖）圖 &! 隨機(jī)脈沖的 # 譜（脈沖寬度均勻分布在圖例所示范圍中）如果我們設(shè)定脈沖的寬度也隨機(jī)改變，均勻分布在某一區(qū)域中，如圖 & 所示，我

20、們發(fā)現(xiàn) # 譜可以非常靈敏的探測最小的寬度值,中子星和黑洞在 # 譜上的表現(xiàn)是和功率譜的結(jié)果一致的，都表明中子星具有更小的光變尺度, 這個(gè)和吸積盤的輻射區(qū)域有關(guān), 吸積盤的最小輻射區(qū)域來自最小穩(wěn)定軌道處，它的半徑和致密星體的質(zhì)量成正比, 中子星質(zhì)量小，另外中子星還有部分輻射來自尺度更小的星體表面，因此中子星具有比黑洞小得多的輻射時(shí)間尺度, 進(jìn)一步研究黑洞截止時(shí)間9尺度隨能量的變化（圖 8），我們 發(fā)現(xiàn)了三個(gè)不同成分：（6）低能端時(shí)間尺度隨能量，（$）高能端時(shí)間尺度隨能量上升，（）&7 :5; 時(shí)間尺度偏高, 這三個(gè)不同趨勢的變化暗示三個(gè)成分分別來自吸積盤、熱冕和鐵 ? a 6 不同能態(tài)的 #

21、分析，我們發(fā)現(xiàn)了在低能區(qū)黑洞低硬態(tài)的截止時(shí)間尺度小，高軟態(tài)的截止時(shí)間尺度大，而8在高能區(qū)各個(gè)能態(tài)的截止時(shí)間尺度幾乎相等,9!總結(jié)除了本文所介紹的求功率譜、時(shí)延譜和 # 譜的!# 卷（$%& 年）# 期!()：*+, +-./, 01, 12#!清華物理 .1 年圖 .- 黑洞的截止時(shí)間尺度隨能量的變化方法外，我們還提出了求相干系數(shù)、能譜硬度和各種物理量間相關(guān)系數(shù)的時(shí)間尺度譜的方法，以及如何分別研究時(shí)變的脈沖成分和連續(xù)成分的辦法，從而/建立了直接在時(shí)域上進(jìn)行時(shí)變分析的一套方法同頻譜分析比較，時(shí)譜分析的結(jié)果可以更正確地反映真實(shí)物理過程的時(shí)間尺度分布& 時(shí)譜分析還能更靈敏地揭示短時(shí)間尺度（高頻）區(qū)域

22、的時(shí)變性質(zhì)，是研究快速時(shí)變過程的有力工具& 迄今為止，對 0 射線雙星的各種觀測數(shù)據(jù)所進(jìn)行的的傅里葉分析，都未能在約 /1123 以上的高頻區(qū)觀測到硬 0 射線光子的時(shí)延& 這是傅里葉分析方法本身固有的局限& 如果不發(fā)展新的分析方法，即使具有更高探測靈敏度的下一代 0 射線天文衛(wèi)星，也仍然觀測不到高頻時(shí)延& 而用時(shí)譜分析，從現(xiàn)有數(shù)據(jù)就可以可靠地導(dǎo)出短時(shí)間尺度的時(shí)延譜& 可以預(yù)期，時(shí)譜分析將成為推進(jìn)天體高能輻射過程研究的重要手段&參考文獻(xiàn)/4) 5 6& 7!),& 8& 9:;,& 9:;11/（/）：?/?4) 5 6， 8 4，ab,c 2 ! #$& 7!),& 8& 9:;,& 9:;11d（d）：e.?4) 5 6，f;*g) f& 9:;11，eh.：?hddab,c 2，4) 5 6，i!*,c j k& 9:;11d，l1l：ddeab,c 2，4) 5 6，m f ! #$& nb11，p：.l4) 7 i，4) 5 6& 9:;11d，l/：/1.dh 4) 5 6，ab,c q 0，7!b, 4& 9:;11/，e/：h.p. ab,c 2，i!*,c j k，4) 5 6& 9:;11d，l/：4de世界圖書出版公司北京公司影印物理類新書推薦