高級微觀經(jīng)濟學(xué) 第四章成本最小化

1、第四章 成本最小化內(nèi)容要點 一、成本最小化視角： 一階條件二、成本最小化的二階條件 三、條件要素需求函數(shù) 四、成本最小化弱公理一、成本最小化的微分分析 將成本最小化寫成規(guī)劃問題寫出拉格朗日函數(shù)并求解一階條件min. ( )xwxs tf xy*(,)( )()0()iiLxwxfxyfxwxfxy 寫成向量形式 如何解釋一階條件的經(jīng)濟含義？技術(shù)替代率等于經(jīng)濟替代率*()wDfx*iijjfxwxwfxx 如果不滿足，則存在調(diào)整的空間來保證產(chǎn)出但是節(jié)約成本 此時減少1單位i，增加1單位j，同樣能夠保持產(chǎn)出不變，但是可以減少成本。*2111iijjfxwxwfxx二、二階條件1、兩種要素的情況當(dāng)投

2、入要素1和2發(fā)生微小變動時，運用泰勒展開，寫成矩陣形式但要求成本不變，即有1122112122111211221222(,)(,)(,)1(,)2f xh xhhf xxffhffhh hffh11221122112200w hw hw hw hf hf h 故二階條件簡化為 成本最小化點要求：此時沿著等成本線任何方向移動，產(chǎn)出都下降112211121121221222(,)1(,)(,)2f xh xhffhf x xh hffh111211221222112122(,)0(,)(,)0ffhh hffhhh hffh 對所有，滿足2、推廣到多種要素的情況 二階條件概括為：生產(chǎn)函數(shù)的海塞矩陣

3、是滿足線性約束的半負(fù)定矩陣 如何判斷一個矩陣是半負(fù)定的？ 順序主子式負(fù)正相間； 約束條件下的判斷方法：設(shè)法將約束條件與原矩陣寫成加邊矩陣，若加邊矩陣順序主子式始終不變號，則原矩陣在約束條件下構(gòu)成半負(fù)定矩陣。2*()00tth Dfxhhw h對 所 有滿 足3、從拉格朗日方程考察二階條件1211221221222221222221112222222121222121122222212(,)(,)(,)0LxxwxwxfxxyDLxxLLLxxLLLxxxxLLLxxxxffLLfxxxLLfxxx 海塞加邊矩陣 若此海塞加邊矩陣行列式為負(fù)，則說明未曾加邊的那個矩陣在約束條件下為半負(fù)定，即成本最

4、小化的二階條件滿足。二階條件得到滿足212121111222122(,)0DLxxffffffff 若是三個生產(chǎn)要素，海塞加邊矩陣的形式為 要求這個海塞加邊矩陣的三階四階行列式在最優(yōu)選擇處的取值都為負(fù)2123123111121222122233313233(,)0DLxxxfffffffffffffff二、成本最小化的求解1、要素需求函數(shù) 對每個w和y的選擇，都存在使生產(chǎn)y單位產(chǎn)出成本最小的某個x*的選擇。將給出這個最優(yōu)選擇的函數(shù)稱作條件要素需求函數(shù)，把它記作x(w，y)。注意：條件要素需求函數(shù)依賴于要素價格和產(chǎn)出水平y(tǒng)，和產(chǎn)出價格無關(guān)。2、求解的困難（1）柯布-道格拉斯生產(chǎn)技術(shù) 取對數(shù)有可能

5、簡化運算。求得條件要素需求函數(shù)為： 121122,12(,)min. .xxabc w yw xw xs t Ax xy11211211122121(, )(, )ba ba ba baa ba ba bawx w w yAybwawx w w yAybw 其成本函數(shù)為 若正規(guī)化技術(shù)A=1，并采用規(guī)模報酬不變，有給我們什么啟發(fā)？1此時成本完全是產(chǎn)量的線性函數(shù)2a越大，則要素1價格變化對成本影響越大121112(,)()()baabababababababc wwyaaAwwybb1121(1)aaaaCK wwyKaa（2）CES技術(shù)的成本函數(shù) 令 成本函數(shù)寫為 作為練習(xí)，寫成一般化CES情形

6、下的成本函數(shù)11212112212(,)()min. .f x xxxw xw xs t xxy/(1)r 11212(,)()rrrc wwyy ww（3）里昂惕夫生產(chǎn)技術(shù) 成本函數(shù)也是產(chǎn)出的線性函數(shù) 線性技術(shù)生產(chǎn)函數(shù)的成本函數(shù)也具有線性形式：12121212(,)= m in,(,)()fxxaxbxwwc wwyyab12121212(,)(,)m in(,)fxxaxbxwwc wwyyab（4）線性生產(chǎn)函數(shù)：角點解需要使用庫恩-塔克條件則等價的最大化問題為1 1221212min. .0,0w xw xst xxyxx11221212max(). .()0,0w xw xs txxy

7、xx 寫出拉格朗日函數(shù)及一階條件（松弛條件） 注意這里的處理方法：1統(tǒng)一寫成最大化問題處理2非負(fù)限制不引入拉格朗日乘子，而是直接寫出松弛條件1211221211111222211212(,)()():0,0,()0:0,0,()0:0,0,()0L x xw xw xyxxFOCsxwxxwxwxxwyxxyxx 逐步放松松弛條件：121122122221121112211.002.003.004.0,0 xxyxwxwwwxyxwxwwwxyxxww三、條件需求函數(shù)的性質(zhì) 以兩物品為例一階條件為： 將這些恒等式對 求導(dǎo)，有1122121122121111221222( (, ),(, )(

8、(, ),(, )0( (, ),(, )0f x w w y x w w yyf x w w y x w w ywxf x w w y x w w ywx1w 寫出矩陣形式1212111211121111122122112101000 xxffwwxxfffwwxwxxfffwwxw112111112122122210010wffxfffwfffxw 運用克萊姆法則，有如何得出為負(fù)的結(jié)論說明條件要素需求曲線向下傾斜21122221121111122212222001000fffffxffwfffffffH 類似有 結(jié)論：1交叉價格效應(yīng)一定是對稱的2交叉價格效應(yīng)的符號一定為正嗎？僅在兩種要素時成立，若多種要素，則不確定符號 析2211