直接證明與間接證課件

1、第第6課時直接證明與間接證明課時直接證明與間接證明 證明的結(jié)論證明的結(jié)論 推理論證推理論證 成立成立 充分條件充分條件 內(nèi)容內(nèi)容綜合法綜合法分析法分析法 文字語文字語 言言 因為因為所以所以或或 由由得得 要證要證只需證只需證 即證即證 思考感悟思考感悟 綜合法和分析法的區(qū)別與聯(lián)系是什么？綜合法和分析法的區(qū)別與聯(lián)系是什么？ 提示：提示：綜合法的特點是：從綜合法的特點是：從“已知已知”看看“可可 知知”，逐步推向，逐步推向“未知未知”其逐步推理實際上其逐步推理實際上 是尋找它的必要條件分析法的特點是：從是尋找它的必要條件分析法的特點是：從 “未知未知”看看“需知需知”，逐步靠攏，逐步靠攏“已知已

2、知”其其 逐步推理實際上是尋求它的充分條件在解決逐步推理實際上是尋求它的充分條件在解決 問題時，經(jīng)常把綜合法和分析法綜合起來使問題時，經(jīng)常把綜合法和分析法綜合起來使 用用 2間接證明間接證明 反證法：假設(shè)原命題反證法：假設(shè)原命題_ (即在原命題的條即在原命題的條 件下，結(jié)論不成立件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得，經(jīng)過正確的推理，最后得 出出_因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命 題成立，這樣的證明方法叫做反證法題成立，這樣的證明方法叫做反證法 不成立不成立 矛盾矛盾 綜合法綜合法 綜合法是綜合法是“由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч?，它是從已知條件出發(fā)，它是從已知條件出發(fā)

3、， 順著推證，經(jīng)過一系列的中間推理，最后導(dǎo)出順著推證，經(jīng)過一系列的中間推理，最后導(dǎo)出 所證結(jié)論的真實性用綜合法證明的邏輯關(guān)系所證結(jié)論的真實性用綜合法證明的邏輯關(guān)系 是：是：AB1B2BnB(A為已知條件或數(shù)為已知條件或數(shù) 學(xué)定義、定理、公理等，學(xué)定義、定理、公理等，B為要證結(jié)論為要證結(jié)論)，它的，它的 常見書面表達是常見書面表達是“，”或或“” 分析法分析法 分析法是分析法是“執(zhí)果索因執(zhí)果索因”，一步步尋求上一，一步步尋求上一 步成立的充分條件它是從要求證的結(jié)論步成立的充分條件它是從要求證的結(jié)論 出發(fā)，倒著分析，由未知想需知，由需知出發(fā)，倒著分析，由未知想需知，由需知 逐漸地靠近已知逐漸地靠近

4、已知(已知條件，已經(jīng)學(xué)過的定已知條件，已經(jīng)學(xué)過的定 義、定理、公理、公式、法則等義、定理、公理、公式、法則等)用分析用分析 法證明命題的邏輯關(guān)系是：法證明命題的邏輯關(guān)系是： B B1 B2 Bn A.它的常見書面表它的常見書面表 達是達是“要證要證只需只需”或或“ ” 【思路分析思路分析】a bab0，利用，利用a2|a|2求求 證證 平方得平方得|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|22ab)， 只需證只需證|a|2|b|22|a|b|0， 即即(|a|b|)20，顯然成立，顯然成立 故原不等式得證故原不等式得證 【誤區(qū)警示誤區(qū)警示】本題從要證明的結(jié)論出發(fā)，探本題從要證明的結(jié)論出發(fā)，

5、探 求使結(jié)論成立的充分條件，最后找到的恰恰都求使結(jié)論成立的充分條件，最后找到的恰恰都 是已證的命題是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式定義、公理、定理、法則、公式 等等)或要證命題的已知條件時，命題得證這正或要證命題的已知條件時，命題得證這正 是分析法證明問題的一般思路是分析法證明問題的一般思路 一般地，含有根號、絕對值的等式或不等式，一般地，含有根號、絕對值的等式或不等式， 若從正面不易推導(dǎo)時，可以考慮用分析法若從正面不易推導(dǎo)時，可以考慮用分析法 反證法反證法 反證法體現(xiàn)了正難則反的思維方法，用反證法證反證法體現(xiàn)了正難則反的思維方法，用反證法證 明問題的一般步驟是：明問題的一般步驟是：

6、 (1)分清問題的條件和結(jié)論；分清問題的條件和結(jié)論； (2)假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面 成立成立(否定結(jié)論否定結(jié)論)； (3)從假設(shè)和條件出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出從假設(shè)和條件出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出 與已知條件、公理、定理、定義及明顯成立的事與已知條件、公理、定理、定義及明顯成立的事 實相矛盾或自相矛盾實相矛盾或自相矛盾(推導(dǎo)矛盾推導(dǎo)矛盾)； (4)因為推理正確，所以斷定產(chǎn)生矛盾的原因是因為推理正確，所以斷定產(chǎn)生矛盾的原因是 “假設(shè)假設(shè)”錯誤既然結(jié)論的反面不成立，從而證錯誤既然結(jié)論的反面不成立，從而證 明了原結(jié)論成立明了原結(jié)論成立(結(jié)論成立

7、結(jié)論成立) 【思路分析思路分析】(1)利用求和公式先求公利用求和公式先求公 差差d，(2)利用反證法證明利用反證法證明 【名師點評名師點評】當(dāng)一個命題的結(jié)論是以當(dāng)一個命題的結(jié)論是以“至多至多 ”、“至少至少”、“唯一唯一”或以否定形式出現(xiàn)時或以否定形式出現(xiàn)時 ，宜用反證法來證，反證法的關(guān)鍵是在正確的，宜用反證法來證，反證法的關(guān)鍵是在正確的 推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾 ，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與 事實矛盾等，反證法常常是解決某些事實矛盾等，反證法常常是解決某些“疑難疑難” 問題的有力工具，

8、是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武問題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武 器器 方法技巧方法技巧 1分析法和綜合法各有優(yōu)缺點分析法思考起分析法和綜合法各有優(yōu)缺點分析法思考起 來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺 點是思路逆行，敘述較繁瑣；綜合法從條件推出點是思路逆行，敘述較繁瑣；綜合法從條件推出 結(jié)論，較簡潔地解決問題，但不便于思考實際結(jié)論，較簡潔地解決問題，但不便于思考實際 證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑， 然后再用綜合法敘述出來然后再用綜合法敘述出來 2利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時，要假設(shè)結(jié)論錯利用

9、反證法證明數(shù)學(xué)問題時，要假設(shè)結(jié)論錯 誤，并用假設(shè)命題進行推理，沒有用假設(shè)命題推誤，并用假設(shè)命題進行推理，沒有用假設(shè)命題推 理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯誤的理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯誤的 3用分析法證明數(shù)學(xué)問題時，要注意書寫格用分析法證明數(shù)學(xué)問題時，要注意書寫格 式的規(guī)范性，常常用式的規(guī)范性，常常用“要證要證(欲證欲證)”“即要證即要證 ”“就要證就要證”等分析得到一個明顯成立的結(jié)等分析得到一個明顯成立的結(jié) 論論P，再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立，再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立 失誤防范失誤防范 1反證法證明中要注意的問題反證法證明中要注意的問題 (1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面，當(dāng)

10、結(jié)論的必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面，當(dāng)結(jié)論的 反面呈現(xiàn)多樣性時，必須羅列出各種可能結(jié)論，缺反面呈現(xiàn)多樣性時，必須羅列出各種可能結(jié)論，缺 少任何一種可能，反證都是不完全的；少任何一種可能，反證都是不完全的； (2)反證法必須從否定結(jié)論進行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反證法必須從否定結(jié)論進行推理，即應(yīng)把結(jié)論的 反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進行推證，否反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進行推證，否 則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進行推理，則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進行推理， 就不是反證法；就不是反證法； (3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾

11、， 有的與假設(shè)矛盾，有的與事實矛盾等，推導(dǎo)出的矛有的與假設(shè)矛盾，有的與事實矛盾等，推導(dǎo)出的矛 盾必須是明顯的盾必須是明顯的 2常見的常見的“結(jié)論詞結(jié)論詞”與與“反設(shè)詞反設(shè)詞” 原結(jié)論原結(jié)論 詞詞 反設(shè)詞反設(shè)詞原結(jié)論詞原結(jié)論詞反設(shè)詞反設(shè)詞 至少有至少有 一個一個 一個也一個也 沒有沒有 對所有對所有x成立成立 存在某個存在某個x不不 成立成立 至多有至多有 一個一個 至少有至少有 兩個兩個 對任意對任意x不成不成 立立 存在某個存在某個x成成 立立 至少有至少有 n個個 至多有至多有n 1個個 p或或q綈綈p且綈且綈q 至多有至多有 n個個 至少有至少有n 1個個 p且且q綈綈p或綈或綈q 從近

12、幾年的高考試題來看，綜合法、反證法證明從近幾年的高考試題來看，綜合法、反證法證明 問題是高考的熱點，題型大多為解答題，難度為問題是高考的熱點，題型大多為解答題，難度為 中、高檔；主要是在知識交匯點處命題，像數(shù)列，中、高檔；主要是在知識交匯點處命題，像數(shù)列， 立體幾何中的平行、垂直，不等式，解析幾何等立體幾何中的平行、垂直，不等式，解析幾何等 都有可能考查，在考查數(shù)學(xué)基本概念的同時，注都有可能考查，在考查數(shù)學(xué)基本概念的同時，注 重考查等價轉(zhuǎn)化、分類討論思想以及學(xué)生的邏輯重考查等價轉(zhuǎn)化、分類討論思想以及學(xué)生的邏輯 推理能力推理能力 預(yù)測預(yù)測2012年廣東高考仍將以綜合法證明為主要考年廣東高考仍將以綜合法證明為主要考 點，偶爾會出現(xiàn)反證法證明的題目，重點考查運點，偶爾會出現(xiàn)反證法證明的題目，重點考查運 算能力與邏輯推理能力算能力與邏輯推理能力 【名師點評名師點評】本題考查了數(shù)列的計算及反本題考查了數(shù)列的計算及反 證法的證明，試題為中高檔題，易誤點為：證法的證明，試題為中高檔題，易誤點為： 一是不能轉(zhuǎn)化為新數(shù)列；二是求一是不能轉(zhuǎn)化為新數(shù)列；二是