角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)

1、角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)內(nèi)容提要Contentschapter 4剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)rotation of rigid-body with a fixed axis剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的功能關(guān)系剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的功能關(guān)系relation of work with energy in rotation of rigid-body角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒angular momentum andlaw of conservation of angular momentum 剛體的角動(dòng)量守恒剛體的角動(dòng)量守恒law of conservation of angu

2、lar momentum of rigid-body角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)第一節(jié)4 - 1angular momentum andlaw of conservation of angular momentum rOmv速度位矢質(zhì)量角夾rv大量天文觀測(cè)表明大量天文觀測(cè)表明rmvsin常量常量大?。捍笮。篖rmvsin方向：方向：rmv()rvL定義：定義：rpLrmv運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)mO對(duì)對(duì) 點(diǎn)的點(diǎn)的 角動(dòng)量角動(dòng)量 為為角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問題的提出地球上的單擺大小會(huì)變變太陽(yáng)系中的行星大小未必會(huì)變?？渴裁磁袛?？變變變大小質(zhì)點(diǎn) 對(duì) 的角動(dòng)量問題的提出問題的提出角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)

3、量定理導(dǎo)致角動(dòng)量 隨時(shí)間變化的根本原因是什么？思路： 分析與什么有關(guān)？由則兩平行矢量的叉乘積為零得角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn) 對(duì)參考點(diǎn) 的位置矢量所受的合外力等于叉乘角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分形式是力矩的矢量表達(dá)：而即力矩大小方向垂直于所決定的平面，由右螺旋法則定指向。得質(zhì)點(diǎn) 對(duì)給定參考點(diǎn) 的角動(dòng)量的時(shí)間變化率所受的合外力矩稱為質(zhì)點(diǎn)的 角動(dòng)量定理 的微分形式 如果各分力與O點(diǎn)共面，力矩只含正、反兩種方向?？稍O(shè)順時(shí)針為正向，用代數(shù)法求合力矩。角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)積分形式質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理也可用積分形式表達(dá)由稱為 沖量矩角動(dòng)量的增量這就是質(zhì)點(diǎn)的 角動(dòng)量定理 的積分形式例如， 單擺的角動(dòng)量大小為 L

4、 = = mv r, v為變量。 在 t = 0 時(shí)從水平位置靜止釋放，初角動(dòng)量大小為 L0= m v0 r = =0； 時(shí)刻 t 下擺至鉛垂位置， 角動(dòng)量大小為 L = = m v r 。則此過(guò)程單擺所受的沖量矩大小等于 L-L0= m v r = = m r 2gr 。角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)歸納歸納歸納質(zhì)點(diǎn)的 角動(dòng)量定理角動(dòng)量的時(shí)間變化率所受的合外力矩沖量矩角動(dòng)量的增量當(dāng)0時(shí)，有0即物理意義：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)不受外力矩或合外力矩為零物理意義：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)不受外力矩或合外力矩為零（如有心力作用）時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量（如有心力作用）時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量前后不改變。前后不改變。（后面再以定律的形式表述這一重要結(jié)論）角

5、動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的 角動(dòng)量定理 若則即常矢量當(dāng)質(zhì)點(diǎn) 所受的合外力對(duì)某參考點(diǎn) 的力矩 為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量的時(shí)間變化率 為零，即質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量 守恒。稱為 若質(zhì)點(diǎn)所受的合外力的方向始終通過(guò)參考點(diǎn)，其角動(dòng)量守恒。如行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，以及微觀粒子中與此類似的運(yùn)動(dòng)模型，服從角動(dòng)量守恒定律。角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)開普勒第二定律應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律可以證明開普勒第二定律行星與太陽(yáng)的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律證明 時(shí)刻 m 對(duì) O 的角動(dòng)量大小為即因行星受的合外力總指向是太陽(yáng)，角動(dòng)量 守恒。瞬間位矢掃過(guò)的微面積則常量（稱為掠面速率）故

6、，位矢在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量慣性系中某給定參考點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理將對(duì)時(shí)間求導(dǎo) 內(nèi)力矩在求矢量和時(shí)成對(duì)相消內(nèi)內(nèi)外外某給定參考點(diǎn)內(nèi)外外內(nèi)外得外質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)受外力矩的矢量和稱為微分形式角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微、積分形式將對(duì)時(shí)間求導(dǎo) 內(nèi)力矩在求矢量和時(shí)成對(duì)相消內(nèi)內(nèi)外外某給定參考點(diǎn)內(nèi)外外內(nèi)外得外質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)受外力矩的矢量和稱為微分形式外質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)受外力矩的矢量和的微分形式質(zhì)點(diǎn)系所受的質(zhì)點(diǎn)系的沖量矩角動(dòng)量增量的積分形式 若各質(zhì)點(diǎn)的速度或所受外力與參考點(diǎn)共面，則其角動(dòng)量或力矩只含正反兩種

7、方向，可設(shè)順時(shí)針為正向，用代數(shù)和代替矢量和。角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒外由若則或恒矢量當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩為零時(shí)，其角動(dòng)量守恒。角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)隨堂小議（1）（2）（3）（4）兩人同時(shí)到達(dá)；兩人同時(shí)到達(dá)；用力上爬者先到；用力上爬者先到；握繩不動(dòng)者先到；握繩不動(dòng)者先到；以上結(jié)果都不對(duì)。以上結(jié)果都不對(duì)。（請(qǐng)點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）兩人質(zhì)量相等兩人質(zhì)量相等一一人人握握繩繩不不動(dòng)動(dòng)一一人人用用力力上上爬爬可能出現(xiàn)的情況是可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)小議鏈接1（請(qǐng)點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）兩人質(zhì)量相等兩人質(zhì)量相等一一人人握握繩繩不不動(dòng)動(dòng)一

8、一人人用用力力上上爬爬可能出現(xiàn)的情況是可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）兩人同時(shí)到達(dá)；兩人同時(shí)到達(dá)；用力上爬者先到；用力上爬者先到；握繩不動(dòng)者先到；握繩不動(dòng)者先到；以上結(jié)果都不對(duì)。以上結(jié)果都不對(duì)。角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)小議鏈接2（請(qǐng)點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）兩人質(zhì)量相等兩人質(zhì)量相等一一人人握握繩繩不不動(dòng)動(dòng)一一人人用用力力上上爬爬可能出現(xiàn)的情況是可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）兩人同時(shí)到達(dá)；兩人同時(shí)到達(dá)；用力上爬者先到；用力上爬者先到；握繩不動(dòng)者先到；握繩不動(dòng)者先到；以上結(jié)果都不對(duì)。以上結(jié)果都不對(duì)。角動(dòng)量守

9、恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)小議鏈接3（請(qǐng)點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）兩人質(zhì)量相等兩人質(zhì)量相等一一人人握握繩繩不不動(dòng)動(dòng)一一人人用用力力上上爬爬可能出現(xiàn)的情況是可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）兩人同時(shí)到達(dá)；兩人同時(shí)到達(dá)；用力上爬者先到；用力上爬者先到；握繩不動(dòng)者先到；握繩不動(dòng)者先到；以上結(jié)果都不對(duì)。以上結(jié)果都不對(duì)。角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)小議鏈接4（請(qǐng)點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）兩人質(zhì)量相等兩人質(zhì)量相等一一人人握握繩繩不不動(dòng)動(dòng)一一人人用用力力上上爬爬可能出現(xiàn)的情況是可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）兩人同時(shí)到達(dá)；兩人同時(shí)到達(dá)；用力

10、上爬者先到；用力上爬者先到；握繩不動(dòng)者先到；握繩不動(dòng)者先到；以上結(jié)果都不對(duì)。以上結(jié)果都不對(duì)。角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)小議分析同高從靜態(tài)開始往上爬忽略輪、繩質(zhì)量及軸摩擦質(zhì)點(diǎn)系若系統(tǒng)受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。系統(tǒng)的初態(tài)角動(dòng)量系統(tǒng)的末態(tài)角動(dòng)量得不論體力強(qiáng)弱，兩人等速上升。若系統(tǒng)受合外力矩不為零，角動(dòng)量不守恒?？蓱?yīng)用質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理進(jìn)行具體分析討論。角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)第二節(jié)rotation of rigid-body with a fixed axis4 - 2 剛體：形狀固定的質(zhì)點(diǎn)系（含無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)、不形變、理想固體。）平 動(dòng) 剛體任意兩點(diǎn)的連線保持方向不變。各點(diǎn)的 相同，可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)處理。定軸轉(zhuǎn)

11、動(dòng) 剛體每點(diǎn)繞同一軸線作圓周運(yùn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)軸空間位置及方向不變。平面運(yùn)動(dòng) 剛體質(zhì)心限制在一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)軸可平動(dòng)，但始終垂直于該平面且通過(guò)質(zhì)心定點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 剛體上各質(zhì)點(diǎn)都以某一定點(diǎn)為球心的各個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)。一般運(yùn)動(dòng) 復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)與平動(dòng)的混合。角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)參量剛體轉(zhuǎn)軸1. 角位置轉(zhuǎn)動(dòng)平面（包含p并與轉(zhuǎn)軸垂直）(t)(t+t)參考方向剛體中任一點(diǎn)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程2. 角位移3. 角速度常量靜止勻角速變角速4. 角加速度變角加速常量 勻角加速勻角速用矢量表示 或 時(shí)，它們與 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)方向采用右螺旋定則 角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)方程求導(dǎo)例題單位：rad-1rad s-2rad srad

12、 50p 51p 52p 53p1rad stsrad100p150pst 50p p 2rad stsp-1rad s-2rad s勻 變 角 速 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng)角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)積分求轉(zhuǎn)動(dòng)方程任意時(shí)刻的恒量且 t = 0 時(shí) 得得或勻變角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移方程勻變角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)線量與角量的關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在某時(shí)刻t 的瞬時(shí)角速度為 ，瞬時(shí)角加速度為 ， 剛體中一質(zhì)點(diǎn)P至轉(zhuǎn)軸的距離為r質(zhì)點(diǎn)P 的大小 瞬時(shí)線速度瞬時(shí)切向加速度瞬時(shí)法向加速度這是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中線量線量與角量角量的基本關(guān)系角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)公式對(duì)比質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)或剛體平動(dòng)剛 體 的 定 軸 轉(zhuǎn)

13、 動(dòng)速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度位移位移角位移角位移勻速直線運(yùn)動(dòng)勻速直線運(yùn)動(dòng)勻角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)勻角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)勻變角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律引言質(zhì) 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)定律或剛體平動(dòng)F = m a慣性質(zhì)量慣性質(zhì)量合合 外外 力力合加速度合加速度若剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，服從怎樣的運(yùn)動(dòng)定律？若剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，服從怎樣的運(yùn)動(dòng)定律？主要概念使剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效果的合外力矩剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)合外力矩 外力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面上對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩使剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)M = r F111力矩切向1Ft tFrM叉乘右螺旋1M2MM = r

14、 F222M = r F sin j j222大小2r2=2Ft td2=2F1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ft tr11Ft tr1=1Ft tM = r F sin j j111大小1d1=1Fj j1d1r1F1P1OF2r22Ft tP2j j2d2切向方向角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)定律某質(zhì)元fi受內(nèi)力受外力FiFi+ f =aii其法向n 分量均通過(guò)轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。t t其切向投影式為ij jFisin+if sinq qit t=ai=rib bt tnFiOrifiij jq qi瞬時(shí)角速度角加速度瞬時(shí)等式兩邊乘以 ri 并對(duì)所有質(zhì)元及其所受力矩求

15、和=內(nèi)力矩成對(duì)抵消= 0+riifsinq qiiFij jsinri合外力矩 Mb bri得Mb bri=角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量某質(zhì)元fi受內(nèi)力受外力FiFi+ f =aii其法向n 分量均通過(guò)轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。t t其切向投影式為ij jFisin+if sinq qit t=ai=rib bt tnFiOrifiij jq qi瞬時(shí)角速度角加速度瞬時(shí)等式兩邊乘以 ri 并對(duì)所有質(zhì)元及其所受力矩求和=內(nèi)力矩成對(duì)抵消= 0+riifsinq qiiFij jsinri合外力矩 Mb bri得Mb bri=Mb bri=與剛體性質(zhì)及質(zhì)量分布有關(guān)的物理量，用 表示稱為 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)

16、慣量I剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律即剛體所獲得的角加速度 的大小與剛體受到的 合外力矩 的大小成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 成反比。角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算Mb b=I將剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)定律F=am對(duì)比轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度II 與剛體的質(zhì)量、形狀、大小及質(zhì)量對(duì)轉(zhuǎn)軸的分布情況有關(guān)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體用積分求I 為體積元 處的密度II的單位為角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)分立質(zhì)點(diǎn)的算例可視為分立質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的剛體轉(zhuǎn)軸 若連接兩小球（視為質(zhì)點(diǎn)）的輕細(xì)硬桿的質(zhì)量可以忽略，則轉(zhuǎn)軸0.75角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)直棒算例質(zhì)量連續(xù)分布的剛體勻直細(xì)桿對(duì)中垂軸的勻直細(xì)桿對(duì)端垂軸的質(zhì)心新軸質(zhì)心軸平行移軸定理平行移

17、軸定理對(duì)新軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)新軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量新軸對(duì)心軸的平移量新軸對(duì)心軸的平移量例如：例如：時(shí)時(shí)代入可得代入可得端角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤算例勻質(zhì)薄圓盤對(duì)心垂軸的 取半徑為 微寬為 的窄環(huán)帶的質(zhì)量為質(zhì)元角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)球體算例勻質(zhì)實(shí)心球?qū)π妮S的可看成是許多半徑不同的共軸薄圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 的迭加距 為 、半徑為 、微厚為的薄圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為其中角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)常用結(jié)果LRmm勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)細(xì)直棒勻質(zhì)細(xì)直棒轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心垂直盤面22I =m R123I =m L1轉(zhuǎn)軸通過(guò)端點(diǎn)與棒垂直角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)其它典型勻質(zhì)矩形薄板轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心垂

18、直板面I = (a + b ) 22m12勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心垂直環(huán)面I = m R 2勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿著環(huán)的直徑2I =2m R勻質(zhì)厚圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸I = (R1 + R2 ) 22m2勻質(zhì)圓柱體轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心垂直于幾何軸mI = R + 22m124L勻質(zhì)薄球殼轉(zhuǎn)軸通過(guò)球心2I =2m R3角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題一合外力矩 應(yīng)由各分力矩進(jìn)行合成 。 合外力矩 與合角加速度 方向一致。在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，可先設(shè)一個(gè)正軸向（或繞向），若分力矩與此向相同則為正，反之為復(fù)。與時(shí)刻對(duì)應(yīng)，何時(shí)何時(shí)則何時(shí) ，則何時(shí)恒定恒定。 勻直細(xì)桿一端為軸水平靜止釋放角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題二T

19、1T2a（以后各例同）Rm1m2m輪軸無(wú)摩擦輕繩不伸長(zhǎng)輪繩不打滑T2T1G1G2T2T1a ab b T1 m1 g = m1am2 g T2 = m2a( T2 T1 ) R = Ib b a = Rb bI = m R 22轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)線-角聯(lián)立解得a=m1m1+ m2+ gm2m21gT1 = m1 ( g + a )T2 = m2 ( g a )m1 gm2 g如果考慮有轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦力矩 Mr ,則 轉(zhuǎn)動(dòng)式為( T2 T1 ) R Mr= Ib b再聯(lián)立求解。角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題三Rm1m細(xì)繩纏繞輪緣Rm（A）（B）恒力F滑輪角加速度 b b細(xì)繩線加速度 a（A）（B）角動(dòng)量守

20、恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題四Rm1m2mm= 5kgm2= 1kg m1= 3kgR = 0.1mT2T1T1T2G1G2b baa對(duì)對(duì)m1m2m分別應(yīng)用分別應(yīng)用和和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律m1 g T1 = m1aT2 m2 g = m2a( T1 T2 ) R = Ib b及 a = Rb bI = mR221得b b =(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)常量(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)故由(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)2 (rad)gt物體從靜止開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑輪的 轉(zhuǎn)動(dòng)方程角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題五q qq q 從

21、等傾角 處?kù)o止釋放兩勻直細(xì)桿地面兩者瞬時(shí)角加速度之比兩者瞬時(shí)角加速度之比213q q1q q1321根據(jù)短桿的角加速度大短桿的角加速度大且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無(wú)關(guān)且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無(wú)關(guān)角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)第三節(jié)4 - 3relation of work with energy in rotation of rigid-body剛體中任一質(zhì)元 的速率該質(zhì)元的動(dòng)能對(duì)所有質(zhì)元的動(dòng)能求和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 II得得角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)力矩的功力力 的元功的元功力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作的功用力矩的功來(lái)計(jì)算力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作的功用力矩的功來(lái)計(jì)算若在某變力矩 的作用下，剛體由 轉(zhuǎn)到 ，作的總功為作的總功為力矩的瞬時(shí)功率力矩

22、的瞬時(shí)功率角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)力矩的功算例撥動(dòng)圓盤轉(zhuǎn)一周，摩擦阻力矩的功的大小總摩擦力矩 是各微環(huán)帶摩擦元力矩 的積分環(huán)帶面積環(huán)帶質(zhì)量環(huán)帶受摩擦力環(huán)帶受摩擦力矩圓盤受總摩擦力矩 轉(zhuǎn)一周摩擦力矩的總功得粗 糙 水 平 面轉(zhuǎn)軸平放一圓盤角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理回憶質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理由由 力矩的元功力矩的元功轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律則則合外力矩的功合外力矩的功轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量稱為角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理例題一勻質(zhì)圓盤盤緣另固連一質(zhì)點(diǎn)水平靜止釋放通過(guò)盤心垂直盤面的水平軸圓盤下擺 時(shí)質(zhì)點(diǎn) 的角速度、切向、法向加速度的大小對(duì)系統(tǒng)外力矩的功系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增量其中得由

23、轉(zhuǎn)動(dòng)定律得則角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理例題二外力矩作的總功從水平擺至垂直由得代入得本題利用的關(guān)系還可算出此時(shí)桿上各點(diǎn)的線速度水平位置靜止釋放擺至垂直位置時(shí)桿的勻直細(xì)桿一端為軸角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理例題三段，外力矩作正功段，外力矩作負(fù)功合外力矩的功從水平擺至垂直由得轉(zhuǎn)軸對(duì)質(zhì)心軸的位移 代入得擺至垂直位置時(shí)桿的水平位置靜止釋放角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)含平動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)問題機(jī)械外力非保守內(nèi)力矩力力矩動(dòng)勢(shì)動(dòng)勢(shì)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)（輪、繩、重物、地球）左例忽略摩擦外力力矩非保守內(nèi)力矩力平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)勢(shì)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)勢(shì)可求或此外勢(shì)角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)第四節(jié)4 - 4law of conservation

24、 of angular momentum of rigid-body定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量是無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)對(duì)公共轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的疊加 所有質(zhì)點(diǎn)都以其垂軸距離為半徑作圓周運(yùn)動(dòng)任一質(zhì)元（視為質(zhì)點(diǎn)）的質(zhì)量其角動(dòng)量大小全部質(zhì)元的總角動(dòng)量對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理合外力矩合外力矩角動(dòng)量的時(shí)間變化率角動(dòng)量的時(shí)間變化率（微分形式）（積分形式）沖量矩沖量矩角動(dòng)量的增量角動(dòng)量的增量回憶質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理（微分形式）（積分形式）角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)剛體系統(tǒng)的角動(dòng)量定理若一個(gè)系統(tǒng)包含多個(gè)共軸剛體或平動(dòng)物體系統(tǒng)的總合外力矩系統(tǒng)的總合外力矩 系統(tǒng)的總角動(dòng)量的變化率系統(tǒng)的總角動(dòng)量的變化率系統(tǒng)的總

25、沖量矩系統(tǒng)的總沖量矩系統(tǒng)的總角動(dòng)量增量系統(tǒng)的總角動(dòng)量增量系統(tǒng)： 輕繩（忽略質(zhì)量）總合外力矩對(duì)O的角動(dòng)量對(duì)O的角動(dòng)量由得同向而解得例如例如靜止釋放求角加速度角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)主要公式歸納（微分形式）（積分形式）是矢量式與質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)對(duì)比角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律由剛體所受合外力矩若則即 當(dāng)剛體所受的合外力矩 等于零時(shí)， 剛體的角動(dòng)量 保持不變。角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)回轉(zhuǎn)儀定向原理萬(wàn)向支架受合外力矩為零回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對(duì)稱分布；軸摩擦及空氣阻力很小。角動(dòng)量守恒恒矢量恒矢量回轉(zhuǎn)儀定向原理回轉(zhuǎn)儀定向原理其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為常量若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向任一方向使其以角速度 高速旋轉(zhuǎn)則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變而不會(huì)受基座改向的影響基 座回轉(zhuǎn)體 （轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ）角動(dòng)量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象變小則變大，乘積保持