《離散數(shù)學(第三版)》方世昌 的期末復習知識點總結

1、離散數(shù)學期末復習提要離散數(shù)學是中央電大“數(shù)學與數(shù)學應用專業(yè)”（本科）的一門選修課。該課程使用新的教學大綱，在原有離散數(shù)學課程的基礎上削減了教學內(nèi)容（主要是群與環(huán)、格與布爾代數(shù)這兩章及圖論的后三節(jié)內(nèi)容），使用的教材為中央電大出版的離散數(shù)學（劉敘華等編）和離散數(shù)學學習指導書（虞恩蔚等編）。離散數(shù)學主要研究離散量結構及相互關系，使學生得到良好的數(shù)學訓練，提高學生抽象思維和邏輯推理能力，為從事計算機的應用提供必要的描述工具和理論基礎。其先修課程為：高等數(shù)學、線性代數(shù)；后續(xù)課程為：數(shù)據(jù)結構、數(shù)據(jù)庫、操作系統(tǒng)、計算機網(wǎng)絡等。 課程的主要內(nèi)容1、 集合論部分（集合的基本概念和運算、關系及其性質）；2、 數(shù)理

2、邏輯部分（命題邏輯、謂詞邏輯）；3、 圖論部分（圖的基本概念、樹及其性質）。 學習建議離散數(shù)學是理論性較強的學科，學習離散數(shù)學的關鍵是對離散數(shù)學（集合論、數(shù)理邏輯和圖論）有關基本概念的準確掌握，對基本原理及基本運算的運用，并要多做練習。 教學要求的層次各章教學要求的層次為了解、理解和掌握。了解即能正確判別有關概念和方法；理解是能正確表達有關概念和方法的含義；掌握是在理解的基礎上加以靈活應用。一、各章復習要求與重點第一章 集 合復習知識點1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、冪集2、集合的交、并、差、補等運算及其運算律（交換律、結合律、分配律、吸收律、 De Mor

3、gan律等），文氏（Venn）圖3、序偶與迪卡爾積本章重點內(nèi)容：集合的概念、集合的運算性質、集合恒等式的證明 復習要求1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、冪集等基本概念。2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、補等基本運算。3、掌握集合運算基本規(guī)律，證明集合等式的方法。4、了解序偶與迪卡爾積的概念，掌握迪卡爾積的運算。本章重點習題P56，4、6； P1415，3、6、7； P20，5、7。疑難解析1、集合的概念因為集合的概念學生在中學階段已經(jīng)學過，這里只多了一個冪集概念，重點對冪集加以掌握，一是掌握冪集的構成，一是掌握冪集元數(shù)為2n。2、集合恒等式的證明通過對集合恒等式證明

4、的練習，既可以加深對集合性質的理解與掌握；又可以為第三章命題邏輯中公式的基本等價式的應用打下良好的基礎。實際上，本章做題是一種基本功訓練，尤其要求學生重視吸收律和重要等價式在證明中的特殊作用。例題分析例1 設A，B是兩個集合，A=1，2，3，B=1，2，則 。解 于是例2 設，試求： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)。解 (1) (2) (3) (4) (5) (6)例3 試證明 證明 第二章 二元關系復習知識點1、關系、關系矩陣與關系圖2、復合關系與逆關系 3、關系的性質（自反性、對稱性、反對稱性、傳遞性） 4、關系的閉包（自反閉包、對稱閉包、傳遞閉包）5、等價關系與

5、等價類6、偏序關系與哈斯圖（Hasse）、極大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界7、函數(shù)及其性質（單射、滿射、雙射）8、復合函數(shù)與反函數(shù)本章重點內(nèi)容：二元關系的概念、關系的性質、關系的閉包、等價關系、半序關系、映射的概念復習要求1、理解關系的概念：二元關系、空關系、全關系、恒等關系；掌握關系的集合表示、關系矩陣和關系圖、關系的運算。2、掌握求復合關系與逆關系的方法。3、理解關系的性質（自反性、對稱性、反對稱性、傳遞性），掌握其判別方法（定義、矩陣、圖）。4、掌握求關系的閉包 （自反閉包、對稱閉包、傳遞閉包）的方法。5、理解等價關系和偏序關系的概念，掌握等價類的求法和偏序關系做哈斯

6、圖的方法，極大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界的求法。6、理解函數(shù)概念：函數(shù)、函數(shù)相等、復合函數(shù)和反函數(shù)。7、理解單射、滿射、雙射等概念，掌握其判別方法。本章重點習題P25，1；P3233，4，8，10； P43，2，3，5； P5152，5，6； P59，1，2； P64，3； P7475，2，4，6，7； P81，5，7； P86，1，2。疑難解析 1、關系的概念關系的概念是第二章全章的基礎，又是第一章集合概念的應用。因此，學生應該真正理解并熟練掌握二元關系的概念及關系矩陣、關系圖表示。 2、關系的性質及其判定關系的性質既是對關系概念的加深理解與掌握，又是關系的閉包、等價關

7、系、半序關系的基礎。對于四種性質的判定，可以依據(jù)教材中P49上總結的規(guī)律。這其中對傳遞性的判定，難度稍大一點，這里要提及兩點：一是不破壞傳遞性定義，可認為具有傳遞性。如空關系具有傳遞性，同時空關系具有對稱性與反對稱性，但是不具有自反性。另一點是介紹一種判定傳遞性的“跟蹤法”，即若，則。如若，則有，且。、關系的閉包在理解掌握關系閉包概念的基礎上，主要掌握閉包的求法。關鍵是熟記三個定理的結論：定理2， ；定理3， ；定理4，推論 。、半序關系及半序集中特殊元素的確定理解與掌握半序關系與半序集概念的關鍵是哈斯圖。哈斯圖畫法掌握了，對于確定任一子集的最大（小）元，極大（?。┰簿腿菀琢?。這里要注意，最

8、大（?。┰c極大（?。┰荒茉谧蛹瘍?nèi)確定，而上界與下界可在子集之外的全集中確定，最小上界為所有上界中最小者，最小上界再小也不小于子集中的任一元素，可以與某一元素相等，最大下界也同樣。、映射的概念與映射種類的判定映射的種類主要指單射、滿射、雙射與非單非滿射。判定的方法除定義外，可借助于關系圖，而實數(shù)集的子集上的映射也可以利用直角坐標系表示進行，尤其是對各種初等函數(shù)。例題分析例1 設集合，判定下列關系，哪些是自反的，對稱的，反對稱的和傳遞的：解：均不是自反的；R4是對稱的；R1 ,R2 ,R3 , R4 ,R5是反對稱的；R1 ,R2 ,R3 , R4 ,R5是傳遞的。例2 設集合，A上的二元關系

9、R為 （）寫出R的關系矩陣，畫出R的關系圖；（）證明R是A上的半序關系，畫出其哈斯圖；（）若，且，求B的最大元，最小元，極大元，極小元，最小上界和最大下界。解 （1）R的關系矩陣為 R的關系圖略 （2）因為R是自反的，反對稱的和傳遞的，所以R是A上的半序關系。(A,R)為半序集， (A,R)的哈斯圖如下 。4 。1 。3 。2 。5 (3) 當，B的極大元為2，4；極小元為2，5；B無最大元與最小元；B也無上界與下界，更無最小上界與最大下界。 第三章命題邏輯復習知識點、命題與聯(lián)結詞（否定、析取、合取、蘊涵、等價），復合命題、命題公式與解釋，真值表，公式分類（恒真、恒假、可滿足），公式的等價、析

10、取范式、合取范式，極?。ù螅╉棧魑鋈》妒?、主合取范式 、公式類別的判別方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）、公式的蘊涵與邏輯結果、形式演繹本章重點內(nèi)容：命題與聯(lián)結詞、公式與解釋、析取范式與合取范式、公式恒真性的判定、形式演繹復習要求、理解命題的概念；了解命題聯(lián)結詞的概念；理解用聯(lián)結詞產(chǎn)生復合命題的方法。、理解公式與解釋的概念；掌握求給定公式真值表的方法，用基本等價式化簡其他公式，公式在解釋下的真值。、了解析?。ê先。┓妒降母拍?；理解極大（?。╉椀母拍詈椭魑鋈。ê先。┓妒降母拍?；掌握用基本等價式或真值表將公式化為主析取（合取）范式的方法。、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范

11、式的唯一性判別公式類型和公式等價的方法。、理解公式蘊涵與邏輯結果的概念，掌握基本蘊涵式。6、掌握形式演繹的證明方法。本章重點習題P93，1； P98，2，3； P104，2，3； P107，1，3； P112，5； P115，1，2，3。疑難解析1、公式恒真性的判定判定公式的恒真性，包括判定公式是恒真的或是恒假的。具體方法有兩種，一是真值表法，對于任給一個公式，主要列出該公式的真值表，觀察真值表的最后一列是否全為1（或全為0），就可以判定該公式是否恒真（或恒假），若不全為0，則為可滿足的。二是推導法，即利用基本等價式推導出結果為1，或者利用恒真（恒假）判定定理：公式G是恒真的（恒假的）當且僅當

12、等價于它的合取范式（析取范式）中，每個子句（短語）均至少包含一個原子及其否定。這里要求的析取范式中所含有的每個短語不是極小項，一定要與求主析取范式相區(qū)別，對于合取范式也同樣。2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。關鍵有兩點：一是準確理解掌握定義；另一是巧妙使用基本等價式中的分配律、同一律和互補律，結果的前一步適當使用等冪律，使相同的短語（或子句）只保留一個。另外，由已經(jīng)得到的主析?。ê先。┓妒?，根據(jù)原理，參閱離散數(shù)學學習指導書P71例15，可以求得主合取（析?。┓妒?。3、形式演繹法掌握形式演繹進行邏輯推理時，一是要理解并掌握14個基本蘊涵式，二是會使用三個規(guī)則：規(guī)則

13、P、規(guī)則Q和規(guī)則D，需要進行一定的練習。例題分析例1 求的主析取范式與主合取范式。解 （1）求主析取范式， 方法1：利用真值表求解G0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1000000111010101101011111因此 方法2：推導法 （2）求主合取范式方法1：利用上面的真值表為0的有兩行，它們對應的極大項分別為因此，方法2：利用已求出的主析取范式求主合取范式已用去6個極小項，尚有2個極小項，即 與 于是 例2 試證明公式為恒真公式。證法一： 見離散數(shù)學學習指導書P60例6（4）的解答。（真值表法）證法二 ： G=（PQ）（QR）（PR） =（PQ

14、）（QR）PR =（PQ）（PR）（QQ）（QR）P）R =（PQP）（PRP）（QRP）R =（1（QRP）R =QRPR =1故G為恒真公式。例3 利用形式演繹法證明 P（QR），SP，Q蘊涵SR。證明：（1）SP 規(guī)則P（2）S 規(guī)則D（3）P 規(guī)則Q，根據(jù)（1），（2） （4）P（QR） 規(guī)則P （5）QR 規(guī)則Q，根據(jù)（3），（4） （6）Q 規(guī)則P （7）R 規(guī)則Q，根據(jù)（5），（6） （8）SR 規(guī)則D，根據(jù)（2），（7）第四章 謂詞邏輯復習知識點 1、謂詞、量詞、個體詞、個體域、變元（約束變元與自由變元）2、謂詞公式與解釋，謂詞公式的類型（恒真、恒假、可滿足）3、謂詞公式的等價

15、和蘊涵4、前束范式本章重點內(nèi)容：謂詞與量詞、公式與解釋、前束范式復習要求1、理解謂詞、量詞、個體詞、個體域、變元的概念；理解用謂詞、量詞、邏輯聯(lián)結詞描述一個簡單命題；了解命題符號化。2、理解公式與解釋的概念；掌握在有限個體域下消去公式量詞，求公式在給定解釋下真值的方法；了解謂詞公式的類型。3、理解用解釋的方法證明等價式和蘊涵式。4、掌握求公式前束范式的方法。本章重點習題P120，1，2； P125126，1，3； P137，1。疑難解析1、謂詞與量詞反復理解謂詞與量詞引入的意義，概念的含義及在謂詞與量詞作用下變量的自由性、約束性與改名規(guī)則。2、公式與解釋能將一階邏輯公式表達式中的量詞消除，寫成

16、與之等價的公式，然后將解釋I中的數(shù)值代入公式，求出真值。3、前束范式在充分理解掌握前束范式概念的基礎上，利用改名規(guī)則、基本等價式與蘊涵式（一階邏輯中），將給定公式中量詞提到母式之前稱為首標。典型例題例1 設I是如下一個解釋： F(2) F(3) P(2) P(3) Q(2,2) Q(2,3) Q(3,2) Q(3,3) 3 2 0 1 1 1 0 1求的真值。解 例2 試將一階邏輯公式化成前束范式。解 第五章 圖論復習知識點1、圖、完全圖、子圖、母圖、支撐子圖、圖的同構2、關聯(lián)矩陣、相鄰矩陣3、權圖、路、最短路徑，迪克斯特拉算法（Dijkstra）4、樹、支撐樹、二叉樹 5、權圖中的最小樹，克

17、魯斯卡爾算法（Kruskal）6、有向圖、有向樹本章重點內(nèi)容： 權圖的最短路、二叉樹的遍歷、權圖中的最優(yōu)支撐樹復習要求1、理解圖的有關概念：圖、完全圖、子圖、母圖、支撐子圖、圖的同構。2、掌握圖的矩陣表示（關聯(lián)矩陣、相鄰矩陣）。3、理解權圖、路的概念，掌握用Dijkstra算法求權圖中最短路的方法。4、理解樹、二叉樹與支撐樹的有關概念；掌握二叉樹的三種遍歷方法，用Kruskal算法求權圖中最小樹的方法。5、理解有向圖與有向樹的概念。本章重點習題P221，2；P225，1；P231，2，3；P239，5；P242，1，2。疑難解析 1.本章的概念較多，學習時需要認真比較各概念的含義，如：圖、子圖

18、、有向圖、權圖；樹、支撐樹、二叉樹、有向樹；路、簡單路、回路等，這些都是圖的基本概念，今后將在數(shù)據(jù)結構、數(shù)據(jù)庫、計算機網(wǎng)絡等課程中用到。2、權圖中的最短路嚴格執(zhí)行迪克斯特拉（Dijkstra）算法步驟，從起點起，到每一點求出最短路，然后進行仔細比較，最后到達終點，算出最小權和。3、權圖中的最優(yōu)支撐樹 權圖中的最優(yōu)支撐樹是圖中所帶權和最小的支撐樹，使用克魯斯卡爾（Kruskal）算法。典型例題例1 在具有n個頂點的完全圖Kn中刪去多少條邊才能得到樹？解：n個頂點的完全圖Kn中共有n（n-1）/2條邊，n個頂點的樹應有n-1條邊，于是，刪去的邊有：n（n-1）/2-（n-1）=（n-1）（n-2）

19、/2例2 求下面有限圖中點u到各點間的最短路。（圖上數(shù)字見教材P231，第3題。）解 uu1 ， d(u, u1)=1, 路(u, u1) u u2 , d(u, u2)=9, 路(u, u4, u3, u7, u2)u u3 , d(u, u3)=5, 路(u, u4, u3 ,)u u4 , d(u, u4)=3, 路(u, u4 )u u5 , d(u, u5)=11, 路(u, u1, u5)或路 (u, u4, u3 , u7 , u2 , u5)u u6 , d(u, u6)=13, 路(u, u1, u5, u6)u u7 , d(u, u7)=8, 路(u, u4 , u3 ,

20、 u7)u u8 , d(u, u8)=11, 路(u, u4, u8)uv, d(u, v)=15, 路(u, u1, u5 , u6 ,v) 或路(u, u4 , u3 , u7 , u6 ,v) 二、考核說明本課程的考核實行形成性考核和終結性考核的形式。形成性考核占總成績的20%，以課程作業(yè)的形式進行（共三次，由中央電大統(tǒng)一布置）；終結性考核即期末考試，占總成績的80%?？偝煽?yōu)?00分，60分及格。期末考試實行全國統(tǒng)一閉卷考核，試卷滿分為100。由中央電大統(tǒng)一命題，統(tǒng)一評分標準，統(tǒng)一考試時間（考試時間為120分鐘）。1、試題類型試題類型有填空題（分數(shù)約占20%）、單項選擇題（分數(shù)約占1

21、4%）、計算題（分數(shù)約占50%）和證明題（分數(shù)約占16%）。填空題和單項選擇題主要涉及基本概念、基本理論，重要性質和結論、公式及其簡單計算。計算題主要考核學生的基本運算技能，要求書寫計算、推論過程或理由。證明題主要考查應用概念、性質、定理及主要結論進行邏輯推理的能力，要求寫出推理過程。2、考核試卷題量分配試卷題量在各部分的分配是：集合論約占40%，數(shù)理邏輯約占40%，圖論約占20%。具體課程考核情況見課程考核說明。附錄：試題類型及規(guī)范解答舉例填空題1. 設R是集合A上的二元關系，如果關系R同時具有 性、對稱性和 性，則稱R是等價關系。2. 命題公式G=（PQ）R，則G共有 個不同的解釋；把G在

22、其所有解釋下所取真值列成一個表，稱為G的 ；解釋（P，Q，R）或（0，1，0）使G的真值為 。3. 設G=（P，L）是圖，如果G是連通的，并且 ，則G是樹。如果根樹T的每個點v最多有兩棵子樹，則稱T為 。單項選擇題（選擇一個正確答案的代號，填入括號中）1. 由集合運算定義，下列各式正確的有（ ）。A XXY B.XXY C.XXY D.YXY2. 設R1，R2是集合A=a，b，c，d上的兩個關系，其中R1=（a，a），（b，b），（b，c），（d，d），R2=（a，a），（b，b），（b，c），（c，b），（d，d），則R2是R1的（ ）閉包。A自反 B對稱 C傳遞 D以上都不是3. 設G是由

23、5個頂點組成的完全圖，則從G中刪去（ ）條邊可以得到樹。A4 B5 C6 D10計算題1. 化簡下式：（A-B-C）（A-B）C）（AB-C）（ABC）2. 通過求主析取范式判斷下列命題公式是否等值。（1）（PQ）（PQR）；（2）（P（QR）（Q（PR）；3. 求圖中A到其余各頂點的最短路徑，并寫出它們的權。 B 7 C 1 2 A 2 5 3 D4 6 E 1 F證明題1. 利用基本等價式證明下面命題公式為恒真公式。（PQ）（QR）（PR）2. 用形式演繹法證明：PQ， RS，PR 蘊涵QS。試題答案及評分標準填空題1、 自反；傳遞2、 8；真值表；13、 無回路；二叉樹單項選擇題（選擇一

24、個正確答案的代號，填入括號中）1、 A 2、 B 3、C計算題1. 解： （A-B-C）（A-B）C）（AB-C）（ABC）=（ABC）（ABC）（ABC）（ABC） =（AB）（CC）（AB）（CC） =（AB）E）（AB）E） E為全集 =（AB）（AB） = A（BB） = AE = A 2. 解： （PQ）（PQR）（PQ（RR）（PQR）（PQR）（PQR）（PQR） m6m7m3 m3m6m7 （P（QR）（Q（PR）（PQ） （QR）（PPR）（P Q R） （分配律）（PQ（RR） （PP）QR）（P Q R）（PQR） （PQR） （PQR）（PQR）（P Q R） m6m7

25、m3m7m3 m3m6m7 由此可見 （PQ）（PQR） （P（QR）（Q（PR）3. 解： A到B的最短路徑為AB，權為1；A到E的最短路徑為ABE，權為3；A到F的最短路徑為ABEF，權為4；A到C的最短路徑為ABEFC，權為7；A到D的最短路徑為ABEFCD，權為9。證明題1. 證明： （PQ）（QR）（PR） （PQ）（QR）（PR） （PQ）（QR）（PR）（PQ）（QR）PR （PQ）P ）（QR）R）（1（QP ）（QR）1） QPQR （QQ） P R 1 P R 1 2. 證明：（1） PR 規(guī)則P （2） RP 規(guī)則Q ，根據(jù)（1） （3） PQ 規(guī)則P （4） R Q 規(guī)

26、則Q，根據(jù)（2）（3） （5） QR 規(guī)則Q，根據(jù)（4） （6） RS 規(guī)則P （7） QS 規(guī)則Q，根據(jù)（5）（6）（8） QS 規(guī)則Q ，根據(jù)（7） 三、 綜合練習及解答（一）填空題1、集合的表示方法有兩種： 法和 法。請把“大于3而小于或等于7的整數(shù)集合”用任一種集合的表示方法表示出來A= 。2、 A，B是兩個集合，A=1，2，3，4，B=2，3，5，則B-A= ，r（B）-r（A）= ，r（B）的元素個數(shù)為 。3、 設，則從A到B的所有映射是 。4、 設命題公式，則使公式G為假的解釋是 、 和 。5、設G是完全二叉樹，G有15個點，其中8個葉結點，則G的總度數(shù)為 ，分枝點數(shù)為 。6、全

27、集E=1，2，3，4，5，A=1，5，B=1，2，3，4，C=2，5， 求AB= ，r（A）r（C）= ，C= 。7、設A和B是任意兩個集合，若序偶的第一個元素是A的一個元素，第二個元素是B的一個元素，則所有這樣的序偶集合稱為集合A和B的 ，記作AB，即AB= 。AB的子集R稱為A，B上的 。8、將幾個命題聯(lián)結起來，形成一個復合命題的邏輯聯(lián)結詞主要有否定、 、 、 和等值。9、表達式x$yL（x，y）中謂詞的定義域是a，b，c，將其中的量詞消除，寫成與之等價的命題公式為 。10、一個無向圖表示為G=（P，L），其中P是 的集合，L是 的集合，并且要求 。（二）單項選擇題（選擇一個正確答案的代號

28、，填入括號中）1. 設命題公式，則G是（ ）。A.恒真的 B.恒假的 C.可滿足的 D.析取范式2、設集合，A上的關系，則=（ ）。 3、一個公式在等價意義下，下面哪個寫法是唯一的（ ）。A析取范式 B合取范式 C主析取范式 D以上答案都不對4、設命題公式G=（PQ），H=P（QP），則G與H的關系是（ ）。AGH BHG CG=H D以上都不是5、已知圖G的相鄰矩陣為，則G有（ ）。 A.5點，8邊 B. 6點，7邊 C. 5點，7邊 D. 6點，8邊6、下列命題正確的是（ ）。Aff=f Bff=f Caa，b，c Dfa，b，c7、設集合A=a，b，c，A上的關系R=（a，b），（a，c

29、），（b，a），（b，c），（c，a），（c，b），（c，c），則R具有關系的（ ）性質。A自反 B對稱 C傳遞 D反對稱8、設R為實數(shù)集，映射s=RR，s（x）= -x2+2x-1，則s是（ ）。A單射而非滿射 B滿射而非單射 C雙射 D既不是單射，也不是滿射9、下列語句中，（ ）是命題。A下午有會嗎？ B這朵花多好看呀！ C2是常數(shù)。 D請把門關上。10、下面給出的一階邏輯等價式中，（ ）是錯的。A x（A（x）B（x）=xA（x）xB（x）B AxB（x）=x （AB（x）C $x（A（x）B（x）=$xA（x）$xB（x）D xA（x）=$x（A（x）（三）計算題1、設R和S是集合上的

30、關系，其中，試求： （1）寫出R和S 的關系矩陣；（2）計算。2、 設A=a，b，c，d，R1，R2是A上的關系，其中R1=（a，a），（a，b），（b，a），（b，b），（c，c），（c，d），（d，c），（d，d），R2=（a，b），（b，a），（a，c），（c，a），（b，c），（c，b），（a，a），（b，b），（c，c）。（1） 畫出R1和R2的關系圖；（2） 判斷它們是否為等價關系，是等價關系的求A中各元素的等價類。3、 用真值表判斷下列公式是恒真？恒假？可滿足？（1）（PP）Q（2）（PQ）Q（3）（PQ）（QR）（PR）4、 設解釋I為：（1） 定義域D=-2，3，6；（2）

31、F（x）：x3；G（x）：x5。 在解釋I下求公式$x（F（x）G（x）的真值。5、 求下圖所示權圖中從u到v的最短路，畫出最短路并計算它們的權值。 V1 7 V31 2 U 2 5 3 V4 6 V2 1 V4 6、 化簡下式：（ABC）（AB）-（A（B-C）A）7、 已知A=1，2，3，4，5，B=1，2，3，R是A到B的二元關系，并且R=（x，y）|xA且yB且2 x+y 4，畫出R的關系圖，并寫出關系矩陣。8、 畫出下面偏序集（A，）的哈斯圖，并指出集合A的最小元、最大元、極大元和極小元。其中A=a，b，c，d，e，=（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，e），（c，

32、e），（d，e）IA。9、 求命題公式（PQ）（PQ）的析取范式與合取范式。10、給定解釋I如下： 定義域D=2，3； f（2） f（3） F（2，2） F（2，3） F（3，2） F（3，3） 3 2 0 0 1 1求xy（F（x，y）F（f（x），f（y）。11、設有5個城市v1，v2，v3，v4，v5，任意兩城市之間鐵路造價如下：（以百萬元為單位）w（v1，v2）=4， w（v1，v3）=7， w（v1，v4）=16， w（v1，v5）=10， w（v2，v3）=13， w（v2，v4）=8， w（v2，v5）=17， w（v3，v4）=3， w（v3，v5，）=10， w（v4，v5）

33、=12試求出連接5個城市的且造價最低的鐵路網(wǎng)。（四）證明題1、證明等價式。 2、 利用形式演繹法證明：蘊涵Q。3、 A，B，C為任意的集合，證明：（A-B）-C=A-（BC）4、 利用一階邏輯的基本等價式，證明：xy（F（x）G（y）=$xF（x）yG（y）練習解答（一）填空題1、列舉；描述；A=4，5，6，7或A=x|3x72、5；5，2，5，3，5，2，3，5；83、s1=（a，1），（b，1）；s2=（a，2），（b，2）；s3=（a，1），（b，2）；s4=（a，2），（b，1）4、（1，0，1）； （1，1，1）； （1，0，0）5、 28； 76、5；f，5；1，3，47、笛卡爾積

34、（或直乘積）；（x，y）|xA且yB；二元關系8、并且（或合?。换蛘撸ɑ蛭鋈。?；蘊涵9、（L（a，a）L（a，b）L（a，c）（L（b，a）L（b，b）L（b，c）（L（c，a）L（c，b）L（c，c）10、點；連接某些不同點對的邊；一對不同點之間最多有一條邊（二）單項選擇題（選擇一個正確答案的代號，填入括號中）1、C 2、A 3、C 4、A 5、C6、A 7、B 8、D 9、C 10、A（三）計算題1、解：（1） （2）=（1，2），（3，4） =（1，1），（1，2），（1，3），（2，3），（2，4）， （3，4），（4，4） =（1，1），（3，1），（3，2），（4，3） =（2，1），（4，3） 2、解： R1和R2的關系圖略。 由關系圖可知，R1是等價關系。R1不同的等價類有兩個，即a，b和c，d。由于R2不是自反的，所以R2不是等價關系。3、解 ：（1） 真值表P QP PP （PP）Q0 01 0 10 11 0 01 00 0 11 10 0 0 因此公式（1）為可滿足。（2） 真值表P QPQ （PQ） （PQ）Q0 01 0 00 11 0 01 00 1 01 11 0 0 因此公式（2）為恒假。 （3） 真值表P Q RPQ QR PR （PQ）（QR）（PR）0 0 0 1 1 1 10