高中物理力學(xué)競(jìng)賽隨談

1、力學(xué)力學(xué) 高中物理力學(xué)競(jìng)賽隨談高中物理力學(xué)競(jìng)賽隨談 南京市金陵中學(xué)南京市金陵中學(xué) 朱焱朱焱 2009.7.19. 力學(xué)力學(xué) 對(duì)高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo)工作的看法對(duì)高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo)工作的看法 組織安排、教學(xué)相長(zhǎng)組織安排、教學(xué)相長(zhǎng) 立足實(shí)際、保護(hù)興趣立足實(shí)際、保護(hù)興趣 訓(xùn)練適度、益于高考訓(xùn)練適度、益于高考 力學(xué)力學(xué) 運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué) 參照系，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移和路程，速度，加速度。參照系，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移和路程，速度，加速度。 相對(duì)速度。相對(duì)速度。 矢量和標(biāo)量。矢量的合成和分解。矢量和標(biāo)量。矢量的合成和分解。 勻速及勻速直線運(yùn)動(dòng)及其圖象。運(yùn)動(dòng)的合成。勻速及勻速直線運(yùn)動(dòng)及其圖象。運(yùn)動(dòng)的合成。 拋體運(yùn)動(dòng)。圓周運(yùn)動(dòng)。拋體

2、運(yùn)動(dòng)。圓周運(yùn)動(dòng)。 剛體剛體的平動(dòng)和繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。的平動(dòng)和繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。 高中物理力學(xué)競(jìng)賽涉及的主要內(nèi)容高中物理力學(xué)競(jìng)賽涉及的主要內(nèi)容 牛頓運(yùn)動(dòng)定律牛頓運(yùn)動(dòng)定律 力學(xué)中常見(jiàn)的幾種力力學(xué)中常見(jiàn)的幾種力 牛頓第一、二、三運(yùn)動(dòng)定律。牛頓第一、二、三運(yùn)動(dòng)定律。非慣性參照系。非慣性參照系。 萬(wàn)有引力定律。均勻球殼對(duì)殼內(nèi)和殼外質(zhì)點(diǎn)的引力萬(wàn)有引力定律。均勻球殼對(duì)殼內(nèi)和殼外質(zhì)點(diǎn)的引力 公式公式 。開(kāi)普勒定律。行星和人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)。開(kāi)普勒定律。行星和人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)。 力學(xué)力學(xué) 物體的平衡物體的平衡 共點(diǎn)力作用下物體的平衡。力矩。共點(diǎn)力作用下物體的平衡。力矩。剛體的平衡。剛體的平衡。 重心。物體平衡的種類(lèi)。重心。物

3、體平衡的種類(lèi)。 動(dòng)量動(dòng)量 沖量。動(dòng)量。動(dòng)量定理。沖量。動(dòng)量。動(dòng)量定理。 動(dòng)量守恒定律。動(dòng)量守恒定律。 反沖運(yùn)動(dòng)及火箭。反沖運(yùn)動(dòng)及火箭。 機(jī)械能機(jī)械能 功和功率。動(dòng)能和動(dòng)能定理。功和功率。動(dòng)能和動(dòng)能定理。 重力勢(shì)能。重力勢(shì)能。引力勢(shì)能。質(zhì)點(diǎn)及均勻球殼殼內(nèi)和引力勢(shì)能。質(zhì)點(diǎn)及均勻球殼殼內(nèi)和 殼外的引力勢(shì)能公式。殼外的引力勢(shì)能公式。 彈簧的彈性勢(shì)能。彈簧的彈性勢(shì)能。 功能原理。機(jī)械能守恒定律。功能原理。機(jī)械能守恒定律。 碰撞。碰撞。 力學(xué)力學(xué) 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng) 簡(jiǎn)揩振動(dòng)。振幅。頻率和周期。位相。簡(jiǎn)揩振動(dòng)。振幅。頻率和周期。位相。 振動(dòng)的圖象。振動(dòng)的圖象。 參考圓。振動(dòng)的速度和加速度。參考圓。振動(dòng)的速度

4、和加速度。 由動(dòng)力學(xué)方程確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率。由動(dòng)力學(xué)方程確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率。 阻尼振動(dòng)。受迫振動(dòng)和共振（定性了解）。阻尼振動(dòng)。受迫振動(dòng)和共振（定性了解）。 波和聲波和聲 橫波和縱波。波長(zhǎng)、頻率和波速的關(guān)系。橫波和縱波。波長(zhǎng)、頻率和波速的關(guān)系。 波的圖象。波的圖象。 波的干涉和衍射（定性）。波的干涉和衍射（定性）。 聲波。聲音的響度、音調(diào)和音品。聲音的共鳴。聲波。聲音的響度、音調(diào)和音品。聲音的共鳴。 流體靜力學(xué)流體靜力學(xué) 靜止流體中的壓強(qiáng)。靜止流體中的壓強(qiáng)。 浮力。浮力。 力學(xué)力學(xué) 物系相關(guān)（連接體）的速度求解物系相關(guān)（連接體）的速度求解 非慣性系和慣性力的意義非慣性系和慣性力的意義 費(fèi)馬原理、

5、追及和相遇模型費(fèi)馬原理、追及和相遇模型 有關(guān)天體運(yùn)動(dòng)的處理有關(guān)天體運(yùn)動(dòng)的處理 關(guān)于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)問(wèn)題關(guān)于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 關(guān)于質(zhì)量均勻分布的球殼（球體）內(nèi)引力計(jì)算關(guān)于質(zhì)量均勻分布的球殼（球體）內(nèi)引力計(jì)算 高中物理力學(xué)競(jìng)賽要點(diǎn)拾零高中物理力學(xué)競(jìng)賽要點(diǎn)拾零 力學(xué)力學(xué) 材料材料11質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為m m1 1，m m2 2和和m m3 3的三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的三個(gè)質(zhì)點(diǎn)A A、B B、C C位位 于光滑水平桌面上，用已經(jīng)拉直的不可伸長(zhǎng)的柔軟輕于光滑水平桌面上，用已經(jīng)拉直的不可伸長(zhǎng)的柔軟輕 繩繩ABAB和和BCBC連接。其中連接。其中ABCABC為為 ，其中，其中 為銳角。為銳角。 今有一沖量今有一沖量I I沿沿BCB

6、C方向作用于質(zhì)點(diǎn)方向作用于質(zhì)點(diǎn)C C，求質(zhì)點(diǎn)，求質(zhì)點(diǎn)A A開(kāi)始運(yùn)開(kāi)始運(yùn) 動(dòng)時(shí)的速度。動(dòng)時(shí)的速度。 AB C 話題話題1 物系相關(guān)（連接體）速度求解方法物系相關(guān)（連接體）速度求解方法 I 力學(xué)力學(xué) 材料材料22繩子一端固定，另一端纏在圓筒上，圓筒半徑為繩子一端固定，另一端纏在圓筒上，圓筒半徑為 R R，放在與水平面成，放在與水平面成 角的光滑斜面上，如圖所示。當(dāng)角的光滑斜面上，如圖所示。當(dāng) 繩子變?yōu)樨Q直方向時(shí)，圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為繩子變?yōu)樨Q直方向時(shí)，圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為 （此時(shí)繩子未（此時(shí)繩子未 松弛），試求此刻圓筒軸松弛），試求此刻圓筒軸O O的速度、圓筒與斜面切點(diǎn)的速度、圓筒與斜面切點(diǎn)C C的的 速

7、度。（全俄中學(xué)奧賽試題）速度。（全俄中學(xué)奧賽試題） C O 力學(xué)力學(xué) 材料材料33直線直線ABAB以大小為的速度沿垂直于以大小為的速度沿垂直于ABAB方向向上移動(dòng)，方向向上移動(dòng)， 而直線而直線CDCD以大小的速度沿垂直于以大小的速度沿垂直于CDCD的方向向左上方移動(dòng)，的方向向左上方移動(dòng)， 兩條直線夾角為兩條直線夾角為 ，如圖。求他們交點(diǎn)，如圖。求他們交點(diǎn)P P的速度大小與方的速度大小與方 向。向。 1 v 2 v A B C D P 是否為是否為v1和和v2的矢量合成呢？的矢量合成呢？ 力學(xué)力學(xué) （1 1）由桿或繩約束的物系各點(diǎn)速度）由桿或繩約束的物系各點(diǎn)速度 （2 2）接觸物系接觸點(diǎn)的速度）

8、接觸物系接觸點(diǎn)的速度 （3 3）相交物系交叉點(diǎn)的速度）相交物系交叉點(diǎn)的速度 同一時(shí)刻必須具有相同的沿桿或繩的分速度同一時(shí)刻必須具有相同的沿桿或繩的分速度 沿接觸物法向的分速度必須相同，沿接觸物法向的分速度必須相同， 無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，切向分速度也相同無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，切向分速度也相同 相交雙方沿對(duì)方直線方向運(yùn)動(dòng)的相交雙方沿對(duì)方直線方向運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)合運(yùn)動(dòng) 力學(xué)力學(xué) 【例【例1 1】質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為m m1 1，m m2 2和和m m3 3的三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的三個(gè)質(zhì)點(diǎn)A A、B B、C C位位 于光滑水平桌面上，用已經(jīng)拉直的不可伸長(zhǎng)的柔軟輕于光滑水平桌面上，用已經(jīng)拉直的不可伸長(zhǎng)的柔軟輕 繩繩ABAB和和BCB

9、C連接。其中連接。其中BCBC為為 ，其中，其中 為銳角。為銳角。 今有一沖量今有一沖量I I沿沿BCBC方向作用于質(zhì)點(diǎn)方向作用于質(zhì)點(diǎn)C C，求質(zhì)點(diǎn)，求質(zhì)點(diǎn)A A開(kāi)始運(yùn)開(kāi)始運(yùn) 動(dòng)時(shí)的速度。動(dòng)時(shí)的速度。 【分析】【分析】 設(shè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn)A A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng) 速度為速度為v v，ABAB繩中的沖量為繩中的沖量為I I2 2, , BCBC 繩中的沖量為繩中的沖量為I I1 1, , 對(duì)對(duì)A A球，球，I I2 2m m1 1vv 對(duì)對(duì)B B球，球，I I1 1coscosI I2 2m m2 2vv 對(duì)對(duì)B B球，球，I I1 1I I2 2coscosm m2 2v v 設(shè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn)

10、C C開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)速度為開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)速度為v v， 對(duì)對(duì)C C球，球，I II I1 1m m3 3v v 2 313212 2 sin)( cosIm mmmmmm v 力學(xué)力學(xué) 【演變】【演變】在光滑水平面上有四個(gè)等質(zhì)量小球在光滑水平面上有四個(gè)等質(zhì)量小球A A、B B、C C、D D， 以質(zhì)量不計(jì)、不可伸長(zhǎng)的以質(zhì)量不計(jì)、不可伸長(zhǎng)的1 1、2 2、3 3三條細(xì)線相連。最初，細(xì)三條細(xì)線相連。最初，細(xì) 線剛好張直，如圖所示，其中線剛好張直，如圖所示，其中ABCABCBCDBCD120120。今對(duì)。今對(duì) A A球施以一個(gè)沿著球施以一個(gè)沿著B(niǎo)ABA方向的瞬時(shí)沖量，使方向的瞬時(shí)沖量，使A A球獲得

11、瞬時(shí)速度球獲得瞬時(shí)速度u u 后，四球同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，試求開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)球后，四球同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，試求開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)球D D的速度。的速度。 設(shè)四球開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)球設(shè)四球開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)球D D的速度為的速度為v v, , 則細(xì)線則細(xì)線3 3中的沖量為中的沖量為mvmv, , 分析分析CDCD整體，細(xì)線整體，細(xì)線2 2中的沖量為中的沖量為4 4mvmv 設(shè)球設(shè)球C C球沿著球沿著CBCB方向運(yùn)動(dòng)速度為方向運(yùn)動(dòng)速度為vv, , 則對(duì)則對(duì)C C球球,4,4mvmv- -mvmv/2=/2=m vm v, , v=v=7 7v/v/2.2. 設(shè)細(xì)線設(shè)細(xì)線1 1中的沖量為中的沖量為I,I,則則 對(duì)對(duì)BCBC整體整體 對(duì)對(duì)B

12、 B球球 v v 【分析】【分析】 vmmv 260cos-Icos60 00 mv15I mumv 0 60cos4-I v=u/13. 力學(xué)力學(xué) 【例【例2 2】一平面內(nèi)有二根細(xì)桿一平面內(nèi)有二根細(xì)桿 和和 ，各自以垂直于自己，各自以垂直于自己 的速度的速度 和和 在該平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，試求交點(diǎn)相對(duì)于紙平面在該平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，試求交點(diǎn)相對(duì)于紙平面 的速率及交點(diǎn)相對(duì)于每根桿的速率。的速率及交點(diǎn)相對(duì)于每根桿的速率。 1 l 2 l 1 v 2 v a b 1 v 2 v 力學(xué)力學(xué) O A B O O 1 l 2 l / 1 l / 2 l 力學(xué)力學(xué) O O 1 l 2 l / 1 l / 2 l O A

13、B 力學(xué)力學(xué) O O 1 l 2 l / 1 l / 2 l O A B 力學(xué)力學(xué) 【例【例3 3】圖（圖（a a）中的）中的ACAC、BDBD兩桿均以角速度兩桿均以角速度 繞繞A A、B B 兩固定軸在同一豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)方向如圖所示。當(dāng)兩固定軸在同一豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)方向如圖所示。當(dāng) t=0t=0時(shí)，時(shí)， 6060，試求，試求t t時(shí)刻兩棒交點(diǎn)時(shí)刻兩棒交點(diǎn)M M點(diǎn)的速度和點(diǎn)的速度和 加速度。加速度。 a AB CD M 圖（圖（a a） 力學(xué)力學(xué) A B M O 圖（圖（b） M 力學(xué)力學(xué) 【例【例4 4】合頁(yè)構(gòu)件由三個(gè)菱形組成。其邊長(zhǎng)之比為合頁(yè)構(gòu)件由三個(gè)菱形組成。其邊長(zhǎng)之比為3 3：2

14、 2： 1 1，頂點(diǎn)，頂點(diǎn)A A3 3以速度以速度v v沿水平方向向右運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)構(gòu)件所有沿水平方向向右運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)構(gòu)件所有 角都為直角時(shí)，頂點(diǎn)角都為直角時(shí)，頂點(diǎn)B B2 2的速度的速度v vB2 B2是多少？ 是多少？ A3A1A2 v B1 B3 B2 A0 2 A2 2 A1 2 2 2 1B2 v 2 2 v 2 2 vvv）（）（ 653vvv A3A2A1 ： v 6 17 vB2 ）（vvA 3 力學(xué)力學(xué) （1 1）慣性參照系：牛頓第一定律實(shí)際上定義了一種參）慣性參照系：牛頓第一定律實(shí)際上定義了一種參 照系，在這個(gè)參照系中觀察，一個(gè)不受力作用的物體將照系，在這個(gè)參照系中觀察，一個(gè)不受

15、力作用的物體將 保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這樣的參照系就叫做慣保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這樣的參照系就叫做慣 性參照系，簡(jiǎn)稱(chēng)慣性系。由于地球在自轉(zhuǎn)的同時(shí)又繞太性參照系，簡(jiǎn)稱(chēng)慣性系。由于地球在自轉(zhuǎn)的同時(shí)又繞太 陽(yáng)公轉(zhuǎn)，所以嚴(yán)格地講，地面不是一個(gè)慣性系。在一般陽(yáng)公轉(zhuǎn)，所以嚴(yán)格地講，地面不是一個(gè)慣性系。在一般 情況下，我們可不考慮地球的轉(zhuǎn)動(dòng)，且在研究較短時(shí)間情況下，我們可不考慮地球的轉(zhuǎn)動(dòng)，且在研究較短時(shí)間 內(nèi)物體的運(yùn)動(dòng)，我們可以把地面參照系看作一個(gè)足夠精內(nèi)物體的運(yùn)動(dòng)，我們可以把地面參照系看作一個(gè)足夠精 確的慣性系。確的慣性系。 （2 2）非慣性參照系：凡牛頓第一定律不成立的參照系）非慣性參照系：

16、凡牛頓第一定律不成立的參照系 統(tǒng)稱(chēng)為非慣性參性系，一切相對(duì)于慣性參照系做加速運(yùn)統(tǒng)稱(chēng)為非慣性參性系，一切相對(duì)于慣性參照系做加速運(yùn) 動(dòng)的參照系都是非慣性參照系。在考慮地球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，地動(dòng)的參照系都是非慣性參照系。在考慮地球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，地 球就是非慣性系。在非慣性系中，物體運(yùn)動(dòng)不遵循牛頓球就是非慣性系。在非慣性系中，物體運(yùn)動(dòng)不遵循牛頓 第二定律，但在引入第二定律，但在引入“慣性力慣性力”的概念以后，就可以利的概念以后，就可以利 用用牛頓第二定律的形式牛頓第二定律的形式來(lái)解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題了。來(lái)解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題了。 話題話題2 非慣性系和慣性力的意義非慣性系和慣性力的意義 力學(xué)力學(xué) 在非慣性系中，為了能得到形式上與

17、牛頓第二定律一致的在非慣性系中，為了能得到形式上與牛頓第二定律一致的 動(dòng)力學(xué)方程，引入慣性力的概念，引入的慣性力必須滿(mǎn)足動(dòng)力學(xué)方程，引入慣性力的概念，引入的慣性力必須滿(mǎn)足 式中式中 是質(zhì)點(diǎn)受到的真實(shí)合力，是質(zhì)點(diǎn)受到的真實(shí)合力， 是質(zhì)點(diǎn)相對(duì)非慣性系的是質(zhì)點(diǎn)相對(duì)非慣性系的 加速度。真實(shí)力與參照系的選取無(wú)關(guān)，慣性力是虛構(gòu)的力，加速度。真實(shí)力與參照系的選取無(wú)關(guān)，慣性力是虛構(gòu)的力， 不是真實(shí)力。慣性力不是自然界中物質(zhì)間的相互作用，因不是真實(shí)力。慣性力不是自然界中物質(zhì)間的相互作用，因 此不屬于牛頓第三定律涉及的范圍之內(nèi)，它沒(méi)有施力物體，此不屬于牛頓第三定律涉及的范圍之內(nèi)，它沒(méi)有施力物體， 不存在與之對(duì)應(yīng)的

18、反作用力不存在與之對(duì)應(yīng)的反作用力 amFF 慣 F a 力學(xué)力學(xué) 平動(dòng)非慣性系相對(duì)于慣性系的加速度為平動(dòng)非慣性系相對(duì)于慣性系的加速度為 。 0 a 0 amF 慣 平動(dòng)非慣性系中，慣性力由非慣性系相對(duì)慣性系的加速平動(dòng)非慣性系中，慣性力由非慣性系相對(duì)慣性系的加速 度及質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量確定，與質(zhì)點(diǎn)的位置及質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于非慣度及質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量確定，與質(zhì)點(diǎn)的位置及質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于非慣 性系速度無(wú)關(guān)性系速度無(wú)關(guān) 力學(xué)力學(xué) 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)系中的慣性力勻速轉(zhuǎn)動(dòng)系中的慣性力 如圖，圓盤(pán)以角速度如圖，圓盤(pán)以角速度 繞豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓盤(pán)上繞豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓盤(pán)上 用長(zhǎng)為用長(zhǎng)為r r的細(xì)線把質(zhì)量為的細(xì)線把質(zhì)量為m m的點(diǎn)系于盤(pán)心且質(zhì)點(diǎn)

19、相對(duì)圓盤(pán)的點(diǎn)系于盤(pán)心且質(zhì)點(diǎn)相對(duì)圓盤(pán) 靜止，即隨盤(pán)一起作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，以慣性系觀察，質(zhì)靜止，即隨盤(pán)一起作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，以慣性系觀察，質(zhì) 點(diǎn)在線拉力點(diǎn)在線拉力 作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，符合牛頓第二作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，符合牛頓第二 定律以圓盤(pán)為參照系觀察，質(zhì)點(diǎn)受到拉力定律以圓盤(pán)為參照系觀察，質(zhì)點(diǎn)受到拉力 作用而保作用而保 持靜止，不符合牛頓定律要在這種非慣性系中保持牛持靜止，不符合牛頓定律要在這種非慣性系中保持牛 頓第二定律形式不變，在質(zhì)點(diǎn)靜止于此參照系的情況下，頓第二定律形式不變，在質(zhì)點(diǎn)靜止于此參照系的情況下， 引入慣性力引入慣性力 F F 0amFF 慣 rmTF 2 慣 力學(xué)力學(xué) 為轉(zhuǎn)軸向質(zhì)點(diǎn)

20、所引矢量，與轉(zhuǎn)軸垂直，由于這個(gè)慣性為轉(zhuǎn)軸向質(zhì)點(diǎn)所引矢量，與轉(zhuǎn)軸垂直，由于這個(gè)慣性 力的方向沿半徑背離圓心，通常稱(chēng)為慣性離心力由此得力的方向沿半徑背離圓心，通常稱(chēng)為慣性離心力由此得 出：若質(zhì)點(diǎn)靜于勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的非慣性參照系中，則作用于此出：若質(zhì)點(diǎn)靜于勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的非慣性參照系中，則作用于此 質(zhì)點(diǎn)的真實(shí)力與慣性離心力的合力等于零質(zhì)點(diǎn)的真實(shí)力與慣性離心力的合力等于零 慣性離心力的大小，除與轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的角速度和質(zhì)點(diǎn)的慣性離心力的大小，除與轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的角速度和質(zhì)點(diǎn)的 質(zhì)量有關(guān)外，還與質(zhì)點(diǎn)的位置有關(guān)（半徑），必須指出的質(zhì)量有關(guān)外，還與質(zhì)點(diǎn)的位置有關(guān)（半徑），必須指出的 是，如果質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)，則若想在

21、形是，如果質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)，則若想在形 式上用牛頓第二定律來(lái)分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，僅加慣性離心力式上用牛頓第二定律來(lái)分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，僅加慣性離心力 是不夠的，還須加其他慣性力。如科里奧里力，科里奧利是不夠的，還須加其他慣性力。如科里奧里力，科里奧利 力是以地球這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)物體為參照系所加入的慣性力，它的力是以地球這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)物體為參照系所加入的慣性力，它的 水平分量總是指向運(yùn)動(dòng)的右側(cè)，即指向相對(duì)速度的右側(cè)。水平分量總是指向運(yùn)動(dòng)的右側(cè)，即指向相對(duì)速度的右側(cè)。 例如速度自北向南，科里奧利力則指向西方。例如速度自北向南，科里奧利力則指向西方。 r 力學(xué)力學(xué) 這種長(zhǎng)年累月的作用，使得北半球河流右岸的沖

22、刷甚于左這種長(zhǎng)年累月的作用，使得北半球河流右岸的沖刷甚于左 岸，因而比較陡峭。雙軌鐵路的情形也是這樣。在北半球，岸，因而比較陡峭。雙軌鐵路的情形也是這樣。在北半球， 由于右軌所受壓力大于左軌，因而磨損較甚。南半球的情由于右軌所受壓力大于左軌，因而磨損較甚。南半球的情 況與此相反，河流左岸沖刷較甚，而雙線鐵路的左軌磨損況與此相反，河流左岸沖刷較甚，而雙線鐵路的左軌磨損 較甚。較甚。 力學(xué)力學(xué) 【例【例5 5】如圖所示，與水平面成如圖所示，與水平面成角的角的ABAB棒上有一滑套棒上有一滑套C C ， 可以無(wú)摩擦地在棒上滑動(dòng)，開(kāi)始時(shí)與棒的可以無(wú)摩擦地在棒上滑動(dòng)，開(kāi)始時(shí)與棒的A A端相距端相距b b

23、，相對(duì)，相對(duì) 棒靜止。當(dāng)棒保持傾角棒靜止。當(dāng)棒保持傾角不變地沿水平面勻加速運(yùn)動(dòng)，加不變地沿水平面勻加速運(yùn)動(dòng)，加 速度為速度為a a（且（且a agtggtg）時(shí)，求滑套）時(shí)，求滑套C C從棒的從棒的A A端滑出所經(jīng)歷端滑出所經(jīng)歷 的時(shí)間。的時(shí)間。 【分析】【分析】 這是一個(gè)比較特殊的這是一個(gè)比較特殊的“連接體問(wèn)題連接體問(wèn)題”，尋求運(yùn)動(dòng)，尋求運(yùn)動(dòng) 學(xué)參量的關(guān)系似乎比動(dòng)力學(xué)分析更加重要。動(dòng)力學(xué)方面，學(xué)參量的關(guān)系似乎比動(dòng)力學(xué)分析更加重要。動(dòng)力學(xué)方面， 只需要隔離滑套只需要隔離滑套C C就行了。就行了。 力學(xué)力學(xué) 【常規(guī)解析】【常規(guī)解析】定性繪出符合題意的運(yùn)動(dòng)過(guò)程圖，如圖所示：定性繪出符合題意的運(yùn)動(dòng)過(guò)

24、程圖，如圖所示： S S表示棒的位移，表示棒的位移，S S1 1表示滑套的位移。沿棒與垂直棒建直表示滑套的位移。沿棒與垂直棒建直 角坐標(biāo)后，角坐標(biāo)后，S S1x 1x表示 表示S S1 1在在x x方向上的分量。不難看出：方向上的分量。不難看出： S S1x 1x + b = S cos + b = S cos 設(shè)全程時(shí)間為設(shè)全程時(shí)間為t t ，則有：，則有： 而隔離滑套，受力圖如圖所示，而隔離滑套，受力圖如圖所示， 顯然：顯然：mgsin= mamgsin= ma1x 1x 解解式即可。式即可。 力學(xué)力學(xué) 【另解】【另解】如果引進(jìn)動(dòng)力學(xué)在非慣性系中的慣性力，此如果引進(jìn)動(dòng)力學(xué)在非慣性系中的慣性

25、力，此 題極簡(jiǎn)單。過(guò)程如下：題極簡(jiǎn)單。過(guò)程如下： 以棒為參照，隔離滑套，分析受力，如圖所示。以棒為參照，隔離滑套，分析受力，如圖所示。 滑套相對(duì)棒的加速度滑套相對(duì)棒的加速度a a相是沿棒向上的，故動(dòng)力學(xué)方程為：相是沿棒向上的，故動(dòng)力學(xué)方程為： F F* *cos- mgsin= macos- mgsin= ma相 相 （1 1） 其中其中F F* * = ma = ma （2 2） 而且，以棒為參照，滑套的相對(duì)位移而且，以棒為參照，滑套的相對(duì)位移S S相就是相就是b b ，即：，即： b = Sb = S相 相 = a = a相 相 t t2 2 （3 3） 解（解（1 1）（）（2 2）（）

26、（3 3）式就可以了。）式就可以了。 2 1 力學(xué)力學(xué) 【例【例6 6】一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為M M、斜面傾角為、斜面傾角為的劈的劈A A放在水平地面放在水平地面 上，斜面上放上一塊質(zhì)量為上，斜面上放上一塊質(zhì)量為m m的滑塊的滑塊B B?，F(xiàn)將系統(tǒng)由靜止?，F(xiàn)將系統(tǒng)由靜止 釋放，求釋放后劈釋放，求釋放后劈A A對(duì)物塊對(duì)物塊B B的壓力、劈的壓力、劈A A相對(duì)地面的加速相對(duì)地面的加速 度各是多少？（不計(jì)一切摩擦）度各是多少？（不計(jì)一切摩擦） A A B B 力學(xué)力學(xué) sin cos 2 12 aa aaa y x 假設(shè)假設(shè)m m相對(duì)相對(duì)M M的加速度為的加速度為a a2 2，方向沿斜面向下。，方向沿斜

27、面向下。 sincos )cos(sin 2 12 maNmg aamN 1 sinMaN 2 1 sin cossin mM mg a 方法方法1 1： M m a a1 1 a a2 2 MgMg N N 地 N N M M： mgmg N N m m： a ax x a ay y 隔離法隔離法 2 sin cos mM Mmg N 力學(xué)力學(xué) A A B B N N mgmg a aA A N Nsinsin= =MaMaA A N N 對(duì)對(duì)A,A, 2 sin cossin mM mg aA 2 sin cos mM Mmg N 解之得解之得 a aBx Bx a aBy By N Ns

28、insin= =mamaBx Bx, , mgmgN Ncoscos= =mamaBy By, , a aBx Bx a aBy By a aA A a aBy By = ( (a aBx Bx+ +a aA A)tan )tan（接觸物系法向加速度相等）（接觸物系法向加速度相等） 對(duì)對(duì)B,B, A A、B B加速度關(guān)聯(lián)加速度關(guān)聯(lián), , 方法方法2 2：牽連加速度牽連加速度 力學(xué)力學(xué) A B N N mgmg aA F=maF=maA A N Nsinsin= =MaMaA A, , N 對(duì)對(duì)A,A, 以以A A為參照系為參照系, ,對(duì)對(duì)B B物引入慣性力物引入慣性力F F= =mamaA A

29、 （方向向左）（方向向左） ， 在以在以A A的坐標(biāo)系中，物塊的坐標(biāo)系中，物塊B B沿斜面加速沿斜面加速 下滑，垂直斜面方向加速度為零。下滑，垂直斜面方向加速度為零。 （在地面參考系中并非如此）（在地面參考系中并非如此） N NF Fsinsin= =mgmgcoscos, , F F= =mamaA A, , 2 sin cossin mM mg aA 2 sin cos mM Mmg N 解之得解之得 方法方法3 3：引入慣性力引入慣性力 力學(xué)力學(xué) m1 m2 m3 【例【例7 7】如圖設(shè)如圖設(shè) 通過(guò)滑輪組相通過(guò)滑輪組相 連接，所有摩擦不計(jì)?；喖袄K子質(zhì)量不連接，所有摩擦不計(jì)?；喖袄K子質(zhì)

30、量不 計(jì)。求計(jì)。求 的加速度和兩根繩子的張力。的加速度和兩根繩子的張力。 321 mmm、 1 m A B 力學(xué)力學(xué) 話題話題3 3 費(fèi)馬原理、追及和相遇問(wèn)題費(fèi)馬原理、追及和相遇問(wèn)題 力學(xué)力學(xué) 【例【例8 8】如圖所示，如圖所示，A A船從港口船從港口P P出發(fā)，攔截正以速度出發(fā)，攔截正以速度v v1 1 沿沿BCBC方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)的B B船，港口船，港口P P與與B B所在航線的所在航線的 距離為距離為a a，B B與港口與港口P P的距離為的距離為b b（b ba a），），A A船的速度為船的速度為 v v2 2，A A船一啟航就可認(rèn)為是勻速航行。為了使船一啟航就

31、可認(rèn)為是勻速航行。為了使A A到到B B的航的航 線上能與線上能與B B迎上，問(wèn)：迎上，問(wèn)： （1 1）A A船應(yīng)取什么方向？船應(yīng)取什么方向？ （2 2）需要多長(zhǎng)時(shí)間才能攔住）需要多長(zhǎng)時(shí)間才能攔住B B船？船？ （3 3）若其它條件不變，）若其它條件不變，A A船從船從P P開(kāi)始勻速航行時(shí)，開(kāi)始勻速航行時(shí)，A A船船 可以攔截可以攔截B B船的最小航行速度是多少？船的最小航行速度是多少？ 力學(xué)力學(xué) 【分析】【分析】選擇選擇B B船為參考系，則可認(rèn)為船為參考系，則可認(rèn)為A A船一直向著船一直向著B(niǎo) B 船做勻速直線運(yùn)動(dòng)，即合成速度沿著船做勻速直線運(yùn)動(dòng)，即合成速度沿著ABAB方向。方向。 【解析】

32、【解析】設(shè)設(shè)A A船對(duì)地的速度船對(duì)地的速度v v2 2與與ABAB的夾角為的夾角為，作出，作出 速度關(guān)系矢量圖如圖速度關(guān)系矢量圖如圖 sinsin 12 vv 2 1 arcsin bv av )180sin(sin 0 32 vv )sin( sin )sin( sin 223 v b v b v b t B v1 v2 v3 b a sin 力學(xué)力學(xué) 選取選取B B船為參考系，只要船為參考系，只要A A相對(duì)于相對(duì)于B B的速度方向沿的速度方向沿BPBP指向指向B B， A A船就可以攔截船就可以攔截B B船，如圖，船，如圖，v vv v1 1v v2 2，在這個(gè)矢量三角，在這個(gè)矢量三角 形

33、中，要使形中，要使v v2 2最小，最小，v v2 2應(yīng)與應(yīng)與v v垂直，所以垂直，所以 11min2 sinv b a vv P v1 v2 v 【思考】在求【思考】在求A A船從船從P P開(kāi)始勻速航行，攔開(kāi)始勻速航行，攔 截截B B船的最小航行速度時(shí)，用矢量三角形船的最小航行速度時(shí)，用矢量三角形 求解非常方便。即合矢量方向一定，其求解非常方便。即合矢量方向一定，其 中一個(gè)分矢量已經(jīng)確定時(shí)，另一個(gè)分矢中一個(gè)分矢量已經(jīng)確定時(shí)，另一個(gè)分矢 量的最小值就是從已知分矢量末端向合量的最小值就是從已知分矢量末端向合 矢量方向引出的垂線為最短。矢量方向引出的垂線為最短。 力學(xué)力學(xué) 【例【例9 9】有一只狐

34、貍以不變速率有一只狐貍以不變速率v v1 1沿直線逃跑，一獵犬沿直線逃跑，一獵犬 以不變的速率以不變的速率v v2 2追擊，其追擊方向始終對(duì)準(zhǔn)狐貍。某追擊，其追擊方向始終對(duì)準(zhǔn)狐貍。某 時(shí)狐貍在時(shí)狐貍在F F處，獵犬在處，獵犬在D D處，處，F(xiàn)DABFDAB， 如圖所示。如圖所示。 假設(shè)假設(shè)v v2 2 v v1 1，問(wèn)獵犬追上狐貍還需多長(zhǎng)時(shí)間，問(wèn)獵犬追上狐貍還需多長(zhǎng)時(shí)間? ? FDL 力學(xué)力學(xué) 按照這種解法，設(shè)想把整個(gè)系統(tǒng)全部外加速度按照這種解法，設(shè)想把整個(gè)系統(tǒng)全部外加速度v1的話，的話， 即狐貍又回到了地面參考系中，此時(shí)獵犬的速度還是即狐貍又回到了地面參考系中，此時(shí)獵犬的速度還是v2， 然后

35、獵犬沿速度然后獵犬沿速度v2所在的直線到達(dá)所在的直線到達(dá)AB上追及狐貍。而題上追及狐貍。而題 中的要求，獵犬的追擊方向始終對(duì)著狐貍，此解違反題意。中的要求，獵犬的追擊方向始終對(duì)著狐貍，此解違反題意。 2 1 2 2 vv L t 力學(xué)力學(xué) 【解析】【解析】由于獵犬在追擊狐貍的過(guò)程中始終指向狐貍，而由于獵犬在追擊狐貍的過(guò)程中始終指向狐貍，而 狐貍又在向狐貍又在向ABAB方向逃跑，方向逃跑，獵犬獵犬將沿著一條曲線運(yùn)動(dòng)。這與將沿著一條曲線運(yùn)動(dòng)。這與 沿直線運(yùn)動(dòng)追擊不同。但稍加考慮，我們可以對(duì)獵犬和狐沿直線運(yùn)動(dòng)追擊不同。但稍加考慮，我們可以對(duì)獵犬和狐 貍的相對(duì)距離給予關(guān)注。所謂追上狐貍，就是相對(duì)距離為

36、貍的相對(duì)距離給予關(guān)注。所謂追上狐貍，就是相對(duì)距離為 零。零。 設(shè)在追擊過(guò)程中某一時(shí)刻，設(shè)在追擊過(guò)程中某一時(shí)刻， D D到達(dá)到達(dá)DD，F(xiàn) F到達(dá)到達(dá)FF。連。連0 0、F F， 此刻獵犬在此刻獵犬在DD的速度指向的速度指向FF， 狐貍在狐貍在FF的速度仍指向的速度仍指向B B端。端。 可以很自然地考慮到，此時(shí)沿可以很自然地考慮到，此時(shí)沿 相對(duì)位置方向的相互接近速度相對(duì)位置方向的相互接近速度 為：為： 21 cos i vv 力學(xué)力學(xué) 力學(xué)力學(xué) （1） （2） 力學(xué)力學(xué) 力學(xué)力學(xué) 【例【例1010】?jī)蓛上嗑嗑鶠閮蓛上嗑嗑鶠閘 l的三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的三個(gè)質(zhì)點(diǎn)A A、B B、C C， 同時(shí)分別以相同的勻速率同

37、時(shí)分別以相同的勻速率v v運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中A A 的運(yùn)動(dòng)速度方向始終指著當(dāng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)速度方向始終指著當(dāng)時(shí)B B所在的位置所在的位置、B B 始終指著當(dāng)時(shí)始終指著當(dāng)時(shí)C C所在的位置、所在的位置、C C始終指著當(dāng)時(shí)始終指著當(dāng)時(shí)A A所所 在的位置。試問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間三個(gè)質(zhì)點(diǎn)相遇？在的位置。試問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間三個(gè)質(zhì)點(diǎn)相遇？ B C2AC l A1 A2 B1 B2 C1 l2 l1 【解析解析】三質(zhì)點(diǎn)均做等速率曲線運(yùn)動(dòng)，而且任意時(shí)刻三個(gè)質(zhì)點(diǎn)三質(zhì)點(diǎn)均做等速率曲線運(yùn)動(dòng)，而且任意時(shí)刻三個(gè)質(zhì)點(diǎn) 的位置分別在正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，但這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)不的位置分別在正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，但這個(gè)正三角形的

38、邊長(zhǎng)不 斷縮小，現(xiàn)把從開(kāi)始到追上的時(shí)間斷縮小，現(xiàn)把從開(kāi)始到追上的時(shí)間t t分成分成n n個(gè)微小時(shí)間間隔個(gè)微小時(shí)間間隔t t （t t00），在每個(gè)微小時(shí)間間隔），在每個(gè)微小時(shí)間間隔t t內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)近似為直內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)近似為直 線運(yùn)動(dòng)。于是，第一個(gè)線運(yùn)動(dòng)。于是，第一個(gè)t三者的位置三者的位置A A1 1、B B1 1、C C1 1如圖。這樣可如圖。這樣可 依次作出以后每經(jīng)依次作出以后每經(jīng)t t，以三個(gè)質(zhì)點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的正三角形，以三個(gè)質(zhì)點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的正三角形 A A2 2B B2 2C C2 2、A A3 3B B3 3C C3 3、設(shè)每個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)依次為設(shè)每個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)依次為l l1 1

39、、l l2 2、l ln n。 顯然，當(dāng)顯然，當(dāng)l ln n00時(shí)，三個(gè)質(zhì)點(diǎn)相遇。時(shí)，三個(gè)質(zhì)點(diǎn)相遇。 力學(xué)力學(xué) 解法一：解法一：由前面分析，結(jié)合小量近似有：由前面分析，結(jié)合小量近似有： . 2 3 60cos 0 111 tvlBBAAll . 2 3 2 2 3 12 tvltvll . 2 3 3 2 3 23 tvltvll . 2 3 tvnlln . 2 3 n lltvn 由由t t00，n n，并有，并有n nt t = =t t，l ln n00（三人相遇）。（三人相遇）。 三個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到原正三角形三個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到原正三角形ABCABC的中心，需時(shí)間為的中心，需時(shí)間為 . 3 2

40、 v l tnt B B C C2 2A AC C l l A A1 1 A A2 2 B B1 1 B B2 2 C C1 1 l l2 2 l l1 1 力學(xué)力學(xué) 解法二：解法二：設(shè)設(shè)t t時(shí)刻三角形邊長(zhǎng)為時(shí)刻三角形邊長(zhǎng)為x x，經(jīng)極短時(shí)間，經(jīng)極短時(shí)間t t后邊長(zhǎng)變?yōu)楹筮呴L(zhǎng)變?yōu)?xx。根據(jù)圖中的幾何關(guān)系，應(yīng)用三角形的余弦定理可得。根據(jù)圖中的幾何關(guān)系，應(yīng)用三角形的余弦定理可得 .33 60cos)(2)()( 222 022/ 2 tvtxvx tvxtvtvxtvx 在在t t00時(shí)，可略去二階小量時(shí)，可略去二階小量t t 2 2項(xiàng)，因此項(xiàng)，因此 txvxx3 2/ 2 ) 2 3 1 (

41、 3 13 2/ x tv xt x v xtxvxx . 2 3 / tvxx 這表明等邊三角形邊長(zhǎng)的收縮率為這表明等邊三角形邊長(zhǎng)的收縮率為3 3v v/2/2。 從初始邊長(zhǎng)從初始邊長(zhǎng)l l縮短到縮短到0 0需時(shí)間為需時(shí)間為 v l v l t 3 2 2 3 B B C C2 2A AC C l l A A1 1 A A2 2 B B1 1 B B2 2 C C1 1 l l2 2 l l1 1 力學(xué)力學(xué) 解法三：解法三：因?yàn)槊恳粫r(shí)刻三個(gè)質(zhì)點(diǎn)總在正三角形的頂點(diǎn)上，且因?yàn)槊恳粫r(shí)刻三個(gè)質(zhì)點(diǎn)總在正三角形的頂點(diǎn)上，且 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中運(yùn)動(dòng)過(guò)程中A A的運(yùn)動(dòng)速度方向始終指著當(dāng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)速度方向始終指著當(dāng)時(shí)B

42、 B所在的位置，所所在的位置，所 以此時(shí)質(zhì)點(diǎn)以此時(shí)質(zhì)點(diǎn)A A速度方向與速度方向與AOAO連線的夾角恒為連線的夾角恒為3030（O O為中心為中心 點(diǎn)），即點(diǎn)），即A A的運(yùn)動(dòng)速度沿的運(yùn)動(dòng)速度沿AOAO方向的分量方向的分量v vcos30cos30。質(zhì)點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)B B、C C也也 是如此。在下一時(shí)刻，因?yàn)槿|(zhì)點(diǎn)隊(duì)形如初，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向是如此。在下一時(shí)刻，因?yàn)槿|(zhì)點(diǎn)隊(duì)形如初，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向 條件如初，所以質(zhì)點(diǎn)條件如初，所以質(zhì)點(diǎn)A A、B B、C C 的運(yùn)動(dòng)速度在質(zhì)點(diǎn)與中心的運(yùn)動(dòng)速度在質(zhì)點(diǎn)與中心O O連線連線 方向的分量仍為方向的分量仍為v vcos30cos30，且為定值。最終三質(zhì)點(diǎn)相遇在，且為定值。最

43、終三質(zhì)點(diǎn)相遇在O O點(diǎn)，點(diǎn)， 所以每個(gè)質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)與中心所以每個(gè)質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)與中心O O的連線方向上運(yùn)動(dòng)了的連線方向上運(yùn)動(dòng)了 . 3 2 30cos 60sin 3 2 v l v l t B C2AC l A1 A2 B1 B2 C1 l2 l1 O 3 2lsin600 力學(xué)力學(xué) 解法四：解法四：以以B B為參照系，在兩者連線方向上為參照系，在兩者連線方向上A A對(duì)對(duì)B B的相對(duì)速率的相對(duì)速率 恒為恒為v v+ +v vcos60cos60。最終相遇，相對(duì)運(yùn)動(dòng)距離為。最終相遇，相對(duì)運(yùn)動(dòng)距離為l l，所，所 用時(shí)間為用時(shí)間為 v l v l t 3 2 2 3 B C2AC l A1 A2 B1

44、 B2 C1 l2 l1 力學(xué)力學(xué) 演變演變1 1：如四個(gè)質(zhì)點(diǎn)從正方形頂點(diǎn)出發(fā)，已知正方形邊長(zhǎng)為如四個(gè)質(zhì)點(diǎn)從正方形頂點(diǎn)出發(fā)，已知正方形邊長(zhǎng)為 l l，結(jié)果如何？，結(jié)果如何？ （答案：（答案：t t= =l/vl/v） 演變演變2 2：有五個(gè)花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員表演一種節(jié)目，表演的動(dòng)作規(guī)有五個(gè)花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員表演一種節(jié)目，表演的動(dòng)作規(guī) 定為：開(kāi)始時(shí)五人分別從正五邊形定為：開(kāi)始時(shí)五人分別從正五邊形ABCDEABCDE的五個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，以的五個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，以 相同速率相同速率v v運(yùn)動(dòng)，如圖所示。運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)，如圖所示。運(yùn)動(dòng)中A A始終朝著始終朝著C C，C C始終朝著始終朝著E E， E E始終朝著始終朝著B(niǎo)

45、B，B B始終朝著始終朝著D D，D D始終朝著始終朝著A A，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間五，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間五 人相聚？（已知圓半徑為人相聚？（已知圓半徑為R R） A A B B C CD D E E （答案：（答案：t t=1.05=1.05R/vR/v） 力學(xué)力學(xué) 【例【例1111】在非洲有一種競(jìng)速運(yùn)動(dòng)，從某一點(diǎn)出發(fā)奔向在非洲有一種競(jìng)速運(yùn)動(dòng)，從某一點(diǎn)出發(fā)奔向 同一個(gè)目的地。途中要經(jīng)歷兩塊不同的場(chǎng)地，一塊是同一個(gè)目的地。途中要經(jīng)歷兩塊不同的場(chǎng)地，一塊是 沼澤地，另一塊是普通陸地。已知某運(yùn)動(dòng)員在普通陸沼澤地，另一塊是普通陸地。已知某運(yùn)動(dòng)員在普通陸 地上奔跑速度為地上奔跑速度為4m/s4m/s，在沼澤地上

46、奔跑速度為，在沼澤地上奔跑速度為3m/s3m/s， 要求從要求從A A點(diǎn)跑到沼澤地中點(diǎn)跑到沼澤地中B B點(diǎn)時(shí)間最短，請(qǐng)你為他設(shè)計(jì)點(diǎn)時(shí)間最短，請(qǐng)你為他設(shè)計(jì) 一條合理的路線。一條合理的路線。 陸地陸地 沼澤地沼澤地 A B 30m 40m 70m 1 3 2 沼澤 陸地 v v sin sin 力學(xué)力學(xué) 費(fèi)馬原理費(fèi)馬原理 光在任意介質(zhì)中從一點(diǎn)傳播到另一點(diǎn)時(shí)，沿所需時(shí)間最光在任意介質(zhì)中從一點(diǎn)傳播到另一點(diǎn)時(shí)，沿所需時(shí)間最 短的路徑傳播。又稱(chēng)最小時(shí)間原理或費(fèi)馬原理，法國(guó)數(shù)短的路徑傳播。又稱(chēng)最小時(shí)間原理或費(fèi)馬原理，法國(guó)數(shù) 學(xué)家費(fèi)馬于學(xué)家費(fèi)馬于16571657年首先提出。年首先提出。 沼澤 陸地 陸地 沼澤

47、 v v n n sin sin 力學(xué)力學(xué) 【演變】【演變】游泳池游泳池ABCDABCD長(zhǎng)長(zhǎng)50m,50m,寬寬34.6m34.6m，某運(yùn)動(dòng)員在水中游，某運(yùn)動(dòng)員在水中游 速為速為3m/s3m/s，在岸邊奔跑速度為，在岸邊奔跑速度為6m/s6m/s?，F(xiàn)從游泳池正中央?，F(xiàn)從游泳池正中央 的的P P點(diǎn)出發(fā)，設(shè)法到達(dá)岸邊的點(diǎn)出發(fā)，設(shè)法到達(dá)岸邊的B B點(diǎn)，要求時(shí)間最短該如何點(diǎn)，要求時(shí)間最短該如何 選擇路線？選擇路線？ P A B C D 2 1 6 3 sin 力學(xué)力學(xué) 【例【例1212】設(shè)想有一只老鼠在圓湖邊碰上貓?jiān)O(shè)想有一只老鼠在圓湖邊碰上貓, ,它想回洞已它想回洞已 來(lái)不及來(lái)不及, ,只好跳入湖中企

48、圖逃走只好跳入湖中企圖逃走. .已知貓?jiān)诎渡吓艿乃僖阎堅(jiān)诎渡吓艿乃?率是鼠在湖中游的速度的率是鼠在湖中游的速度的4 4倍倍, ,湖邊周?chē)泻芏嗍蠖春呏車(chē)泻芏嗍蠖? .問(wèn)問(wèn) 老鼠能否逃脫貓的捕抓老鼠能否逃脫貓的捕抓. . 【分析】【分析】鼠、貓分別用鼠、貓分別用S S、M M代表代表. .如圖所如圖所 示示, ,A A、B B、C C是鼠逃命的三個(gè)方案是鼠逃命的三個(gè)方案, ,A A/ /、B B/ /、 C C/ /是貓根據(jù)老鼠的逃命方案所制訂的追蹤是貓根據(jù)老鼠的逃命方案所制訂的追蹤 方案方案, ,由由v v貓 貓=4 =4v v鼠 鼠, ,及圓中弦與弧的關(guān)系 及圓中弦與弧的關(guān)系, ,易易

49、 知老鼠到達(dá)上岸點(diǎn)時(shí)知老鼠到達(dá)上岸點(diǎn)時(shí), , 貓已在那里恭候多貓已在那里恭候多 時(shí)了時(shí)了. .說(shuō)明上述三個(gè)方案都不能使老鼠逃說(shuō)明上述三個(gè)方案都不能使老鼠逃 脫厄運(yùn)脫厄運(yùn). .但實(shí)際上只要老鼠想點(diǎn)辦法是可但實(shí)際上只要老鼠想點(diǎn)辦法是可 以逃脫的以逃脫的. .方法是老鼠可以先在湖內(nèi)繞湖方法是老鼠可以先在湖內(nèi)繞湖 心轉(zhuǎn)圈心轉(zhuǎn)圈, ,一旦老鼠、湖心、貓三點(diǎn)連成一一旦老鼠、湖心、貓三點(diǎn)連成一 條直線后再沿半徑方向向外游就能順利脫條直線后再沿半徑方向向外游就能順利脫 逃逃. . 力學(xué)力學(xué) 設(shè)圓湖半徑為設(shè)圓湖半徑為R R, ,作作R R/4/4同心圓同心圓K K, ,如果這樣來(lái)構(gòu)造老如果這樣來(lái)構(gòu)造老 鼠的運(yùn)動(dòng)

50、過(guò)程鼠的運(yùn)動(dòng)過(guò)程: : 鼠下水后沿半徑方向向湖心游去鼠下水后沿半徑方向向湖心游去, ,到到 達(dá)達(dá)R R/4/4圓圓K K內(nèi)內(nèi), ,然后轉(zhuǎn)圈游然后轉(zhuǎn)圈游, , 老鼠可以游到和貓不在同老鼠可以游到和貓不在同 一半徑而在同一直徑的圓一半徑而在同一直徑的圓K K的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn)P P的位置上去的位置上去, ,然然 后沿此直徑游向湖岸后沿此直徑游向湖岸, ,即可逃命即可逃命. . 力學(xué)力學(xué) 話題話題4 4 有關(guān)萬(wàn)有引力與天體運(yùn)動(dòng)有關(guān)萬(wàn)有引力與天體運(yùn)動(dòng) 力學(xué)力學(xué) 1 1、天體運(yùn)動(dòng)中機(jī)械能守恒、天體運(yùn)動(dòng)中機(jī)械能守恒 天體運(yùn)動(dòng)中的機(jī)械能天體運(yùn)動(dòng)中的機(jī)械能E E為系統(tǒng)的引力勢(shì)能與各天體的動(dòng)為系統(tǒng)的引力勢(shì)能與各天

51、體的動(dòng) 能之和。僅有一個(gè)天體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，則能之和。僅有一個(gè)天體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，則E E為系統(tǒng)的引力勢(shì)為系統(tǒng)的引力勢(shì) 能與其動(dòng)能之和。由于沒(méi)有其他能與其動(dòng)能之和。由于沒(méi)有其他 外力作用，系統(tǒng)內(nèi)萬(wàn)有引力屬于外力作用，系統(tǒng)內(nèi)萬(wàn)有引力屬于 保守力，故機(jī)械能守恒，保守力，故機(jī)械能守恒，E E為恒為恒 量，如圖所示，設(shè)量，如圖所示，設(shè)M M天體不動(dòng)，天體不動(dòng)， m m天體繞天體繞M M天體轉(zhuǎn)動(dòng)，則由機(jī)械動(dòng)天體轉(zhuǎn)動(dòng)，則由機(jī)械動(dòng) 能守恒，有能守恒，有 M 1 r 2 r 1 v 2 v 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 mv r GMm mv r GMm E 力學(xué)力學(xué) 力學(xué)力學(xué) M 1 r 2 r 1 v 2

52、v 力學(xué)力學(xué) 2 2、天體運(yùn)動(dòng)的軌道、天體運(yùn)動(dòng)的軌道 若若M M天體固定，天體固定，m m天體在萬(wàn)有引力作用下運(yùn)動(dòng)，其天體在萬(wàn)有引力作用下運(yùn)動(dòng)，其 圓錐曲線可能是橢圓（包括圓）、拋物線或雙曲圓錐曲線可能是橢圓（包括圓）、拋物線或雙曲 線。線。 i i）橢圓軌道）橢圓軌道 如圖所示，設(shè)橢圓軌道方程為如圖所示，設(shè)橢圓軌道方程為 M O ax 1 v a 2 v y b b )0 ,( 1 2 2 2 2 b y a x 力學(xué)力學(xué) 力學(xué)力學(xué) ii)ii)拋物線拋物線 2 Axy M 1 r 2 r 1 v 2 v 力學(xué)力學(xué) iii iii）雙曲線）雙曲線 1 2 2 2 2 b y a x C D

53、FO a b c x y )0 ,(c 力學(xué)力學(xué) 力學(xué)力學(xué) 小結(jié)小結(jié) 力學(xué)力學(xué) 【例【例1313】質(zhì)量為質(zhì)量為m m的宇宙飛船繞地球中心的宇宙飛船繞地球中心0 0作圓周運(yùn)動(dòng)，已作圓周運(yùn)動(dòng)，已 知地球半徑為知地球半徑為R R，飛船軌道半徑為，飛船軌道半徑為2R2R。現(xiàn)要將飛船轉(zhuǎn)移到另?，F(xiàn)要將飛船轉(zhuǎn)移到另 一個(gè)半徑為一個(gè)半徑為4R4R的新軌道上，如圖所示，求的新軌道上，如圖所示，求 （1 1）轉(zhuǎn)移所需的最少能量；）轉(zhuǎn)移所需的最少能量； （2 2）如果轉(zhuǎn)移是沿半橢圓雙切軌道進(jìn)行的，如圖中的）如果轉(zhuǎn)移是沿半橢圓雙切軌道進(jìn)行的，如圖中的ACBACB 所示，則飛船在兩條軌道的交接處所示，則飛船在兩條軌道的

54、交接處A A和和B B的速度變化各為多的速度變化各為多 少？少？ R R2 R4 AB C O 圖4-10-4 力學(xué)力學(xué) 力學(xué)力學(xué) 力學(xué)力學(xué) 力學(xué)力學(xué) 力學(xué)力學(xué) 【例【例1414】 力學(xué)力學(xué) 4-4 力學(xué)力學(xué) 力學(xué)力學(xué) 力學(xué)力學(xué) 力學(xué)力學(xué) 力學(xué)力學(xué) 【例【例1515】火箭從地面上以第一宇宙速度豎直向上發(fā)射，火箭從地面上以第一宇宙速度豎直向上發(fā)射， 返回時(shí)落回力發(fā)射場(chǎng)不遠(yuǎn)處?？諝庾枇Σ挥?jì)，試估算返回時(shí)落回力發(fā)射場(chǎng)不遠(yuǎn)處?？諝庾枇Σ挥?jì)，試估算 火箭飛行時(shí)間。地球半徑取火箭飛行時(shí)間。地球半徑取R=6400mR=6400m。 R O 【分析】【分析】火箭向上發(fā)射又落回地火箭向上發(fā)射又落回地 面，它在地

55、心力作用下的運(yùn)動(dòng)軌面，它在地心力作用下的運(yùn)動(dòng)軌 道是一個(gè)橢圓的一部分。其中地道是一個(gè)橢圓的一部分。其中地 心為焦點(diǎn)，最高處為遠(yuǎn)地點(diǎn)。由心為焦點(diǎn)，最高處為遠(yuǎn)地點(diǎn)。由 于返回點(diǎn)和發(fā)射點(diǎn)很近，說(shuō)明這于返回點(diǎn)和發(fā)射點(diǎn)很近，說(shuō)明這 個(gè)橢圓很個(gè)橢圓很“扁扁”。其焦點(diǎn)即地心。其焦點(diǎn)即地心 離軌道近地點(diǎn)很近。則可以認(rèn)為離軌道近地點(diǎn)很近。則可以認(rèn)為 O O、P P兩點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。兩點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。 P 力學(xué)力學(xué) 設(shè)橢圓長(zhǎng)軸為設(shè)橢圓長(zhǎng)軸為r r，根據(jù)機(jī)械能守恒（，根據(jù)機(jī)械能守恒（ ） )(0)( 2 1 2 1 r GMm R GMm mv gR 1 v Rr2 再設(shè)火箭在長(zhǎng)軸為再設(shè)火箭在長(zhǎng)軸為

56、2R2R的扁橢圓軌道運(yùn)動(dòng)周期為的扁橢圓軌道運(yùn)動(dòng)周期為T(mén) T0 0, ,橢圓橢圓 面積為面積為S S0 0而在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為而在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t t t S T S 0 0 其中，其中， S0是橢圓軌道面積，是橢圓軌道面積， S S是火箭飛行時(shí)間是火箭飛行時(shí)間t t內(nèi)，矢徑內(nèi)，矢徑 掃過(guò)的陰影部分面積。掃過(guò)的陰影部分面積。 力學(xué)力學(xué) t bRb2 2 1 R 2 1 T Rb 0 0 2 2 Tt 由開(kāi)普勒第三定律，該半長(zhǎng)軸與近地軌道半徑相同，故周由開(kāi)普勒第三定律，該半長(zhǎng)軸與近地軌道半徑相同，故周 期也相同。期也相同。 g R Rg R T 2 2 0 sTt4110 2 2 0 力學(xué)力學(xué) 話題

57、話題5 5 質(zhì)量均勻球殼（體）內(nèi)的引力質(zhì)量均勻球殼（體）內(nèi)的引力 力學(xué)力學(xué) 32 3 3 R GMmr r mMG F R r M V M VM 蘭色部分：不貢獻(xiàn)引力蘭色部分：不貢獻(xiàn)引力 紅色部分：貢獻(xiàn)引力，恰如位于球心的一個(gè)紅色部分：貢獻(xiàn)引力，恰如位于球心的一個(gè) 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)M M（M M是紅色部分的總質(zhì)量）是紅色部分的總質(zhì)量） 質(zhì)量均勻球殼（體）內(nèi)的引力質(zhì)量均勻球殼（體）內(nèi)的引力 M M R R r r m m Rr R GMmr Rr r GMm F )( )( 3 2 O O R R F F r r 對(duì)處于球體內(nèi)部的質(zhì)點(diǎn)對(duì)處于球體內(nèi)部的質(zhì)點(diǎn)m m而言而言 力學(xué)力學(xué) 【例【例1616】一質(zhì)量

58、分布均勻的球殼對(duì)球殼內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力一質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)球殼內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力 為零。為零。 A A r r1 1 r r2 2 s s 2 2 s s 1 1 【解析解析】設(shè)想在球殼內(nèi)任一點(diǎn)設(shè)想在球殼內(nèi)任一點(diǎn)A A處置一質(zhì)量為處置一質(zhì)量為m m的的 質(zhì)點(diǎn)，在球面上取一極小的面元質(zhì)點(diǎn)，在球面上取一極小的面元s s1 1， ，以 以r r1 1表示表示 s s1 1與與A A點(diǎn)的距離。設(shè)此均勻球面每單位面積的點(diǎn)的距離。設(shè)此均勻球面每單位面積的 質(zhì)量為質(zhì)量為，則面元，則面元s s1 1的質(zhì)量的質(zhì)量m m1 1= = s s1 1，它，它 對(duì)對(duì)A A點(diǎn)的吸引力為點(diǎn)的吸引力為 2 1 1 2

59、1 1 1 r SmG r mGm F 又設(shè)想將又設(shè)想將s s1 1邊界上各點(diǎn)與邊界上各點(diǎn)與A A點(diǎn)的連線延長(zhǎng)分別與點(diǎn)的連線延長(zhǎng)分別與s s1 1對(duì)面的對(duì)面的 球殼相交而圍成面元球殼相交而圍成面元s s2 2，設(shè)，設(shè)A A與與s s2 2的距離為的距離為r r2 2，由于，由于s s1 1 和和s s2 2都很小，可以把它們看作是一個(gè)平面圖形，顯然它們都很小，可以把它們看作是一個(gè)平面圖形，顯然它們 是相似圖形，因而面元面積比例關(guān)系為是相似圖形，因而面元面積比例關(guān)系為 . . 2 2 2 1 2 1 r r S S 面元面元s s2 2對(duì)對(duì)A A處質(zhì)點(diǎn)的吸引力為處質(zhì)點(diǎn)的吸引力為 2 2 2 2

60、2 2 2 r SmG r mGm F F F1 1= = F F2 2. . 力學(xué)力學(xué) 【例【例1717】假設(shè)地球半徑為假設(shè)地球半徑為R R，質(zhì)量分布均勻，一隧道沿某條直，質(zhì)量分布均勻，一隧道沿某條直 徑穿越地球。現(xiàn)在隧道一個(gè)端口從靜止釋放質(zhì)量為徑穿越地球?，F(xiàn)在隧道一個(gè)端口從靜止釋放質(zhì)量為m m的小球，的小球， 求小球穿越地球所需的時(shí)間。小球運(yùn)動(dòng)中的阻力不計(jì)。求小球穿越地球所需的時(shí)間。小球運(yùn)動(dòng)中的阻力不計(jì)。 O O r r m m 設(shè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn)m m位于位于r r處，它受到的引力處，它受到的引力 r R Mm G r Mm R r GF 32 3 3 小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 F F