線(xiàn)性代數(shù)非齊次方程求解PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1線(xiàn)性代數(shù)非齊次方程求解線(xiàn)性代數(shù)非齊次方程求解一、齊次線(xiàn)性方程組一、齊次線(xiàn)性方程組000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa即即 AX = 0平凡解平凡解：X = 0(零解零解)設(shè)設(shè) A =( 1, 2, , n), 則下列命題等價(jià)：則下列命題等價(jià)：1o 1, 2, , n線(xiàn)性相關(guān)線(xiàn)性相關(guān);2o AX = 0有非零解有非零解;0.3( )R An第1頁(yè)/共34頁(yè)（1）若R(A) n , 則AX=0有非零解；（2）若R(A)n , 則AX=0只有零解.注：若A為方陣，則（1）若det(A) = 0, 則AX=0有非零解；（2）若det(

2、A) 0, 則AX=0只有零解.第2頁(yè)/共34頁(yè)（1）AX = 0 的兩個(gè)解向量的和仍為的兩個(gè)解向量的和仍為AX = 0的解的解.（2）AX = 0 的一個(gè)解向量的常數(shù)倍仍為的一個(gè)解向量的常數(shù)倍仍為AX = 0的解的解.（3）AX = 0 的解向量的線(xiàn)性組合仍為的解向量的線(xiàn)性組合仍為AX = 0的解的解.第3頁(yè)/共34頁(yè) W =X Rn | AX = 0為為Rn的子空間的子空間（1）定義：）定義：W 的一組基的一組基.1o 1, 2, , s 線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān);則稱(chēng)則稱(chēng) 1, 2, , s為為AX = 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系的一個(gè)基礎(chǔ)解系.2o AX = 0的任一解向量均可由的任一解向量均可由 1

3、, 2, , s 線(xiàn)性表線(xiàn)性表出出3. 解空間解空間4. 基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系（最大無(wú)關(guān)（最大無(wú)關(guān)組組）（2）構(gòu)成條件：）構(gòu)成條件：（3）求法（）求法（含在證明中含在證明中）：）：第4頁(yè)/共34頁(yè)123412341234223032200 xxxxxxxxxxxx解解:2123(1)32121111A313223014501451111rrrr1321000011110145014511110000rrrr 第5頁(yè)/共34頁(yè)212103410340145014500000000rrr 1342343445xxxxxx (x3, x4為為自由未知量自由未知量)(3) 求基礎(chǔ)解系（對(duì)自由未知量取值）求

4、基礎(chǔ)解系（對(duì)自由未知量取值）12345,10401134234340450 xxxxxx（求得兩個(gè)解）（證明這樣的解構(gòu)成基礎(chǔ)解系）第6頁(yè)/共34頁(yè) 設(shè)設(shè) 1, 2, , n - r 為為AX = 0 的一個(gè)基解系，的一個(gè)基解系，則則 AX = 0 的解的解 ， = k1 1+ k2 2+ + kn-r n-r , k1, k2, , kn-r R. （1） AX = 0 的基解系一般不惟一，但其任一基的基解系一般不惟一，但其任一基解系中所含向量個(gè)數(shù)必為解系中所含向量個(gè)數(shù)必為 n (未知數(shù)個(gè)數(shù)未知數(shù)個(gè)數(shù)) - R(A). AX = 0 的的 （2） 若若AX = 0有非零解，則必有無(wú)窮多個(gè)解有非

5、零解，則必有無(wú)窮多個(gè)解. 5. 通解通解注注：第7頁(yè)/共34頁(yè)6. AX = 0的的解法（四步）解法（四步）（2）寫(xiě)出同解方程組（基本未知量、自由未知量基本未知量、自由未知量）（3）求基礎(chǔ)解系（對(duì)自由未知量取值對(duì)自由未知量取值）（4）寫(xiě)出通解第8頁(yè)/共34頁(yè)02630284204232143214321xxxxxxxxxxx解解1241(1)24823620A3100000001421000031000142115331010124112000100100000000第9頁(yè)/共34頁(yè)43421103512xxxxx(x2, x4為為自由未知量自由未知量)(3) 基礎(chǔ)解系為基礎(chǔ)解系為151231

6、0101,002(4) 通解為通解為.,212211RkkkkX第10頁(yè)/共34頁(yè)042075201063032321321321321xxxxxxxxxxxx解解1001101003214217521063321A000100110321r(A) =3 = n, 只有零解只有零解 X = 0第11頁(yè)/共34頁(yè)例例3 解解04320464203440324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解解4321464234411321A300060004120132100006000412013210000100021052012100001000010020121第12頁(yè)/

7、共34頁(yè)得同解方程組得同解方程組021243231xxxxx(x3為自由未知量為自由未知量)基礎(chǔ)解系為基礎(chǔ)解系為,01212方程組通解為方程組通解為.,RkkX第13頁(yè)/共34頁(yè) 例例4 證明：與證明：與AX = 0基礎(chǔ)解系等價(jià)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)基礎(chǔ)解系等價(jià)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組也是該方程組的基礎(chǔ)解系的向量組也是該方程組的基礎(chǔ)解系. 證證 兩個(gè)等價(jià)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組所含向量個(gè)數(shù)兩個(gè)等價(jià)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組所含向量個(gè)數(shù)相等相等. 設(shè)設(shè) 1, 2, , s 是是AX = 0基礎(chǔ)解系，基礎(chǔ)解系， 1, 2, , s與之等價(jià)與之等價(jià). 1, 2, , s可由可由 1, 2, , s 線(xiàn)性表出，所以是線(xiàn)性表出，所以是

8、AX = 0的解；的解； AX = 0的任一解的任一解X 可由可由 1, 2, , s 線(xiàn)性表出，線(xiàn)性表出， 故，故， 1, 2, , s 是是AX = 0的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系.又又 1, 2, , s可由可由 1, 2, , s線(xiàn)性表出，所以線(xiàn)性表出，所以X 可由可由 1, 2, , s 線(xiàn)性表出線(xiàn)性表出； 第14頁(yè)/共34頁(yè) 例例5 設(shè)設(shè)n階矩陣階矩陣A, B滿(mǎn)足滿(mǎn)足AB = O, 證明：證明： R(A)+R(B) n.證證設(shè)設(shè) B = (b1, , bn), 則則AB = A(b1, , bn) = (A b1 , , Abn) =O,A bi = 0, i = 1, , n.bi (

9、i = 1, , n)為為AX = 0的解，所以可由基礎(chǔ)解系的解，所以可由基礎(chǔ)解系 1, 2, , n-r(r = R(A)線(xiàn)性表出線(xiàn)性表出.所以所以, R( B) =秩秩 (b1, , bn) 秩秩( 1, 2, , n-r)= n - R(A).即即 R(A)+R(B) n.第15頁(yè)/共34頁(yè)例例5 設(shè)設(shè)A為為n階矩陣階矩陣(n2)，證明，證明*1,( ),()0,( )1)1,.(RnR AnAAnnRR A證證 若若R(A)=n:,)(det*IAAA *1| |(det) | | |,nnAAA IAAA.)(, 0|*nARA即所以 R(A) n-1: detA0， A中所有中所有

10、n-1階子式均為零階子式均為零， ,1111*OAAAAAnnnn. 0)(*AR第16頁(yè)/共34頁(yè)二、非齊次線(xiàn)性方程組二、非齊次線(xiàn)性方程組mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111即即 AX = b設(shè)設(shè) A =( 1, 2, , n), 即即x1 1 + x2 2 + +xn n = b,AX = b 有解有解 b可由可由 1, 2, , n線(xiàn)性表出線(xiàn)性表出 ( )( )R AR A(AX = 0稱(chēng)為稱(chēng)為AX = b的的導(dǎo)出組導(dǎo)出組)1. 1. AX = b 的的導(dǎo)出組導(dǎo)出組第17頁(yè)/共34頁(yè)2. AX = b 解的判定解的判定（1

11、）若）若 , AX = b 無(wú)解無(wú)解( )( )R AR A（2）若）若 , AX = b 有解，且有解，且( )( )R AR A= 當(dāng)當(dāng) ，AX = b 唯一解唯一解； 當(dāng)當(dāng) ，AX = b 無(wú)窮解無(wú)窮解.( )( )R AR An=( )( )R AR An=第18頁(yè)/共34頁(yè)2. 解的性質(zhì)解的性質(zhì)： 性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)設(shè) 1 , 2 為為AX = b 的解的解, 則則 1 - 2為其導(dǎo)出為其導(dǎo)出組組AX = 0的解的解.證證 A( 1 - 2 ) = A 1 - A 2 = b b = 0所以，所以， 1 - 2為為AX = 0的解的解. 性質(zhì)性質(zhì)2 設(shè)設(shè) 為為AX = b 的解的解, 為

12、為AX = 0的解，則的解，則 + 為為AX = b 的解的解.證證 A( + ) = A + A = b + 0 = b所以，所以， + 為為AX = b 的解的解.第19頁(yè)/共34頁(yè)AX = b 的的特解特解： AX = b 的任一解的任一解. 性質(zhì)性質(zhì)3 設(shè)設(shè) 0 為為AX = b 的一個(gè)特解的一個(gè)特解, 則則AX = b 的任一的任一解解 可表為可表為 = 0 + , ( 為為AX = 0 的一個(gè)解的一個(gè)解) 對(duì)于對(duì)于AX = b 的任一個(gè)特解的任一個(gè)特解 0, 當(dāng)當(dāng) 取遍它的導(dǎo)出組的取遍它的導(dǎo)出組的全部解時(shí)，全部解時(shí)， = 0 + 就給出就給出AX = b 的全部解的全部解. 性質(zhì)性

13、質(zhì)3的證的證明明 = 0 + ( - 0 )為為AX = 0的解，設(shè)為的解，設(shè)為 第20頁(yè)/共34頁(yè) 為了求為了求AX = b 的通解（全部解），只需求其一個(gè)特的通解（全部解），只需求其一個(gè)特解解 0, 以及導(dǎo)出組的全部解即可：以及導(dǎo)出組的全部解即可： 設(shè)設(shè) 0為為AX = b 的一個(gè)特解，的一個(gè)特解， 1, 2, , n-r為其為其導(dǎo)出導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，則組的基礎(chǔ)解系，則AX = b 的通解的通解為為 X = 0 + k1 1+ + kn-r n-r , k1 , , kn-rR 3. AX = b 的通解的通解第21頁(yè)/共34頁(yè)（2）寫(xiě)出同解方程組（基本未知量、自由未知量）寫(xiě)出同解方程組（

14、基本未知量、自由未知量）（4）求導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系（對(duì)自由未知量取值）求導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系（對(duì)自由未知量取值）（3）求特解（自由未知量?。┣筇亟猓ㄗ杂晌粗咳?）（5）寫(xiě)出通解）寫(xiě)出通解4. AX = b解的求法（解的求法（五步五步）第22頁(yè)/共34頁(yè)例例6 解解221323532321321xxxxxxxx解解:1115(1)321 130122A000022105111000022103101, 32)()(nARAR有無(wú)窮多解有無(wú)窮多解（2）得同解方程組）得同解方程組3231223xxxx(3)求非齊次的求非齊次的特解特解:取取x3=0, 得得 0 =(3,2,0)T(4)求求導(dǎo)出組導(dǎo)出組的

15、基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系: 取取x3=1, 得得 =(1, -2, 1)T（5）AX = b 的通解為：的通解為： X = 0 + k , k R13232xxxx 第23頁(yè)/共34頁(yè)例例7 解解2233235332321321xxxxxxxx解解221033235113A221022105113400022105113, 3)(2)(ARAR無(wú)解無(wú)解第24頁(yè)/共34頁(yè)例例8 解解23213213211xxxxxxxxx解解21111111A111111123221110)1 (1101132221200)1 (11011)1 ()1 ()2)(1 (00)1 (1101122第25頁(yè)/共34頁(yè),

16、31)()(nARAR(1) = 1時(shí)時(shí)，有無(wú)窮多解有無(wú)窮多解000000001111A得同解方程組得同解方程組 x1 = 1- x2 x3 導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系：導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系： 1 =(-1, 1, 0)T, 2 =(-1, 0, 1)T非齊次特解：非齊次特解： 0 =(1, 0, 0)T原方程組通解：原方程組通解：X = 0 + k1 1 + k2 2 , k1 , k2 R(2) = - 2時(shí)時(shí)，, 3)(2)(ARAR無(wú)解無(wú)解(3) 1, - 2時(shí)，時(shí)，,3)()(nARAR有惟一解：有惟一解：2)1(32122112xxx第26頁(yè)/共34頁(yè)1.).()(ARAART 證明證明證證.,維列

17、向量維列向量為為矩陣矩陣為為設(shè)設(shè)nxnmA ; 0)(, 0)(, 0 xAAAxAAxxTT即即則有則有滿(mǎn)足滿(mǎn)足若若 . 0, 0)()(, 0)(, 0)( AxAxAxxAAxxAAxTTTT從而推知從而推知即即則則滿(mǎn)足滿(mǎn)足若若 ,0)(0同解同解與與綜上可知方程組綜上可知方程組 xAAAxT思考題思考題【略略】( )()TnR AnR A A).()(ARAART 因此因此第27頁(yè)/共34頁(yè)已知四元齊次方程組已知四元齊次方程組 及另一及另一 00:4221xxxxI四元齊次方程組四元齊次方程組 的通解為的通解為 II .,1 , 2 , 2 , 10 , 1 , 1 , 02121Rk

18、kkkTT .,;,?說(shuō)明理由有若沒(méi)求出來(lái)若有是否有非零公共解與問(wèn)III2. 第28頁(yè)/共34頁(yè)解解 得得的通解代入的通解代入將將III 0202221212kkkkkk.21kk 的公共解為的公共解為與與故故III TTTkkk1 , 1 , 1 , 11 , 2 , 2 , 10 , 1 , 1 , 0221 所有非零公共解為所有非零公共解為 .01 , 1 , 1 , 1 kkT第29頁(yè)/共34頁(yè) 滿(mǎn)足滿(mǎn)足的三個(gè)解向量的三個(gè)解向量方程組方程組如果非齊次線(xiàn)性如果非齊次線(xiàn)性且且矩陣矩陣是是設(shè)設(shè)321,. 1,3 bAxARmA ,32121 ,11032 10113 .的通解的通解求求bAx 3. 第30頁(yè)/共34頁(yè),)(, 13 ARmA矩陣是.2130 無(wú)關(guān)的解向量無(wú)關(guān)的解向量個(gè)線(xiàn)性個(gè)線(xiàn)性的基礎(chǔ)解系中含有的基礎(chǔ)解系中含有 Ax則則令令,133221cba ,21231)(211 bca ,23230)(213 acb ,25210)(212