空間向量法解外接球問題

1、空間向量法解決幾何體外接球問題的研究摘要：在高中數學學習中，空間向量法的引入在解決空間幾何體相關問題中起到至關重要的作用?？臻g向量法的出現使幾何體求解問題更加方便快捷，如求二面角問題，直線與平面及平面與平面間的相互關系問題等。該文根據空間球的一些特性及推論，闡述了運用空間向量法解決幾何體外接球問題的新方法。通過對球及立體幾何的認識，并學會運用空間向量方法解決立體幾何問題，從而達到數學思維的活躍。關鍵詞：高中數學、空間向量法、外心法向量、幾何體外接球、了解重要推論如上圖，0為球心，0， O Q為球的截面圓圓心。由球的性質知： 00 _截面圓0，00 ” _截面圓0 ”推論1:經過球的截面圓的圓心

2、且垂直于該截面的直線必經過球心；推論2：球的所有過截面圓圓心且垂直于該截面的直線均交于一點，該點為球心0O二、思維轉換幾何體截面圓圓心相當于該截面內接圖形的外心（中心），故一個幾何體若存在外接球，則其各面均位于其外接球相應截面內，其外心相當于該截面圓的圓心。我們稱過幾何體各面幾何圖形外心的法向量為外心法向量。推論3：若幾何體存在外接球，則幾何體任意非平行兩面的外心法向量所在直線必交于一點， 此點為球心。故，我們可由兩平面的外心法向量求出球心的坐標。推論4：若幾何體存在外接球，在其非平行的兩面中，其中一面的外心法向量所在直線上的 一點與另一面外心相連的直線垂直于另一面的一條邊，則該點為球心，且該

3、直線垂直于該平面。三、幾何圖形的外心坐標求解法 以平面直角坐標系為例:其中，Ei, E2為AB, AC的中點，各點坐標如圖所示，故可求得巳(3,5)尼(6,4)，AB =(2,2),AC =(4,一4) 下面求外心H的坐標，設H (x, y)則：EiH AB=O_2(x-3) 2(y_5)=0|(EH AC =0.4(x-6)4(y 一4) =0 解得：x =5,y =3，故外心坐標為 H(5,3)注：1根據向量還可以求直線方程，如垂直平分線方程和；2在空間圖形中求外心，應找出三條邊的向量關系聯立求出外心H (x, y, z)，因為空間中的旋轉效應，單個關系求出的是平面。四、空間向量法求幾何體

4、外接圓半徑的步驟：例：對于四面體 S-ABC，求外接圓半徑的步驟：任取兩面，求外心女口取面 ABC 和面 BCS 外心分別為 Ed Xe，yE1, zEi), E2(Xe2 ,壯2, ZE2)AB 中點：AB中 =(x1,y1,z1)BC中點：BC中=億2厶)AC中點：AC中 =(X3, y3,Z3)則有:AB中 El AB =01 IBC中Ei BC =0，聯立求出 Ei(XeyE，ZeJ，同理可求 E2(Xe2, yE2, Ze2) |IAC中 Ei AC =0設球心坐標為 h (xh ,yH，Zh ) , EiH,E2H分別為兩面外心法向量EiH AB=0川 巴弩=0川 竺竿0川 e2h

5、 BS = 0川聯立求出H (xH , yH, zH )，即球心坐標。注：由推論4易知，式可舍，不影響結果。范例：已知三棱錐S - ABC，SB _ 面ABC，AB _ BC 且 AB=BC=2, SB = 4，求三棱錐外接球的半徑。解：面 SOA的外心 E1(1, 0, 2)，面 SOC 的外心 E2(0,1, 2)，設球心 H (x, y, z)TFTAS =(-2,0,4) , SC =(0,2,-4), BA =(2,0,0)EiH AS =0 聯立 E2H sc=0,I *Ei H AB = 0EH = (x1,y,z2),EH =(x,y1,z2)2(x1) 4(z 2) =0 即 2(y1) 4(z-2)=0I 2(x1)=0解得：x =1, y =1,z = 2故球心坐標為H (1,1,2)外接球半徑R二BH=：j6 五、研究空間向量法解決幾何體外接球問題的意義數學是一門綜合性比較強的學科，空間向量法的引入體現了數學交叉思想。本課題推導了空間向量法解決空間幾何體外接球問題的方法