排列組合經(jīng)典例題總結(jié)匯編

1、基本原理組合排列排列數(shù)公式組合數(shù)公式組合數(shù)性質(zhì)應(yīng)用問題 知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖：知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖：兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系：兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系：做一件事或完成一項工作的方法數(shù)做一件事或完成一項工作的方法數(shù)直接（直接（分類分類）完成）完成間接（間接（分步驟分步驟）完成）完成做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n類類辦法，第辦法，第i類辦法中有類辦法中有mi種不同種不同的方法，那么完成這件事共有的方法，那么完成這件事共有 N=m1+m2+m3+mn 種不同的種不同的方法方法做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n個步個步驟，做第驟，做第i步中有步中有mi種不同的方種不同的方法，那么完成這件事共有

2、法，那么完成這件事共有 N=m1m2m3mn 種不同的種不同的方法方法.排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：mnAmnC(1)(1)mnAn nnm!()!mnnAnm!0!1nnAn=(1)(1)!mnn nnmCm-鬃 +=!()!mnnCmnm=-01nC=mmmnnmACA=mn mnnCC-=11mmmnnnCCC-+=+從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元個元素，素，按一定的順序按一定的順序排成一列排成一列從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元個元素，素，把它并成把它并成一組一組所有排列的的個數(shù)所有排列的的個數(shù)所有組合的個數(shù)所有組合的個數(shù)11mmnnAnA

3、-=例例1.由由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字 五位奇數(shù)五位奇數(shù). 解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安應(yīng)該優(yōu)先安 排這兩個位置排這兩個位置.先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_13C13C14C14C34A34A由分步計數(shù)原理得由分步計數(shù)原理得=28813C14C34A 7 7種不同的花種在排成一列的花盆里種不同的花種在排成一列的花盆里, ,若若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？花盆里，問有多少不同

4、的種法？練習(xí)1解一：分兩步完成；解一：分兩步完成；第一步選兩葵花之外的花占據(jù)兩端和中間的位置第一步選兩葵花之外的花占據(jù)兩端和中間的位置35A有種 排 法第二步排其余的位置第二步排其余的位置：3454A A共有種不同的排法44有 A 種 排 法解二：第一步由葵花去占位解二：第一步由葵花去占位：24A有種 排 法第二步由其余元素占位：第二步由其余元素占位：55A有種 排 法2545A A 共有種不同的排法例例2. 72. 7人站成一排人站成一排 , ,其中甲乙相鄰且丙丁相其中甲乙相鄰且丙丁相 鄰鄰, , 共有多少種不同的排法共有多少種不同的排法. .甲甲乙乙丙丙丁丁由分步計數(shù)原理可得共有由分步計數(shù)

5、原理可得共有種不同的排法種不同的排法55A22A22A=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成 一個復(fù)合元素，同時丙丁也看成一個一個復(fù)合元素，同時丙丁也看成一個 復(fù)合元素，再與其它元素進行排列，復(fù)合元素，再與其它元素進行排列， 同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排。同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排。 . . 七個家庭一起外出旅游，若其中四七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個小家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念孩站成一排照相留念。若三個女孩要站若三個女孩要站在一起，四個男孩也要站在一起，共有在一起，四個男孩也要站在一起，共有多少

6、種不同的排法？多少種不同的排法？練習(xí)2種不同的排法有288443322AAA55A第二步將第二步將4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的5 5個元素中間包含首尾兩個空位共有個元素中間包含首尾兩個空位共有種種 不同的方法不同的方法 46A由分步計數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有 種55A46A相相相相獨獨獨獨獨獨馬路上有編號為馬路上有編號為1 1、2 2、3 39 9的九盞路燈，的九盞路燈，為節(jié)約用電，現(xiàn)要求把其中為節(jié)約用電，現(xiàn)要求把其中3 3盞燈關(guān)掉，盞燈關(guān)掉，但不能關(guān)掉相鄰的但不能關(guān)掉相鄰的2 2盞或盞或3 3盞，也不能關(guān)盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法掉兩端的路燈，則滿足條

7、件的關(guān)燈方法有多少種。有多少種。練習(xí)3不同的關(guān)燈方法有：3510C =（種）四四. .定序問題縮定序問題縮倍倍( (空位空位. .插入插入) )策略策略例例4.74.7人排隊人排隊, ,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人順序一定共有多人順序一定共有多 多少種不同的排法多少種不同的排法. .解:( (縮縮倍倍法法) )對于某幾個元素順序一定的排列對于某幾個元素順序一定的排列問題問題, ,可先把這幾個元素與其他元素一起可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列進行排列, ,然后用總排列數(shù)除以然后用總排列數(shù)除以這幾個元這幾個元素之間的全排列數(shù)素之間的全排列數(shù), ,則共有不同排法種數(shù)則共有不同排法種數(shù)是：是：

8、7733AA（空位法空位法）設(shè)想有）設(shè)想有7 7把椅子讓除甲乙丙以外把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 種方法，其余的三個種方法，其余的三個位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 種坐法，則共有種坐法，則共有 種種 方法方法47A147A思考思考:能否讓甲乙丙先坐能否讓甲乙丙先坐?（插入法插入法) )先排甲乙丙三個人先排甲乙丙三個人, ,共有共有1 1種排法種排法, ,再再 把其余把其余4 4四人四人依次依次插入共有插入共有 方法方法4 4* *5 5* *6 6* *7 7定序問題可以用縮定序問題可以用縮倍倍法，還可轉(zhuǎn)化為插法，還可轉(zhuǎn)化為插空模型處理空模型處理練習(xí)題41010人身高各不相

9、等人身高各不相等, ,排成前后排，每排排成前后排，每排5 5人人, ,要要求從左至右身高逐漸增加，共有多少種排法？求從左至右身高逐漸增加，共有多少種排法？55105C C例例5.85.8人排成前后兩排人排成前后兩排, ,每排每排4 4人人, ,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排, ,丁在后排丁在后排, ,共有多少排法共有多少排法解解:8人排前后兩排人排前后兩排,相當(dāng)于相當(dāng)于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排成一排把椅子排成一排. 先在前先在前4個位置排甲乙兩個位置排甲乙兩個特殊元素有個特殊元素有_種種,再排后再排后4個位置上的個位置上的特殊元素有特殊元素有_種種,其余的其余的5人在人在5

10、個位置個位置上任意排列有上任意排列有_種種,則共有則共有_種種.前排后排后排24A14A55A24A55A14A一般地一般地,元素分成多排的排列問題元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究再分段研究.1010名學(xué)生分坐兩行，要求面對面坐下，名學(xué)生分坐兩行，要求面對面坐下，但其中甲乙兩位同學(xué)不可相鄰也不可面但其中甲乙兩位同學(xué)不可相鄰也不可面對面，有多少種坐法？對面，有多少種坐法？練習(xí)題5118478C C A118668C C A共有118118478668C C AC C A+(1)甲在兩端：(2)甲不在兩端：例例6.6.有有5 5個個不同不同的小球的小球, ,裝入

11、裝入4 4個不同的盒內(nèi)個不同的盒內(nèi), , 每盒至少裝一個球每盒至少裝一個球, ,共有多少不同的裝共有多少不同的裝 法法. .解解: :第一步從第一步從5 5個球中選出個球中選出2 2個組成復(fù)合元共個組成復(fù)合元共 有有_種方法種方法. .再把再把5 5個元素個元素( (包含一個復(fù)合包含一個復(fù)合 元素元素) )裝入裝入4 4個不同的盒內(nèi)有個不同的盒內(nèi)有_種方法種方法. .25C44A根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有_25C44A練習(xí)題6某種產(chǎn)品有某種產(chǎn)品有4只次品和只次品和6只正品，每只均不只正品，每只均不同且可區(qū)分，今每次取出一只測試，直到同且可區(qū)分，今每次取出一只測

12、試，直到4只次品全部測出為止，則最后一只次品恰只次品全部測出為止，則最后一只次品恰好在第五次測試中被發(fā)現(xiàn)的不同情況有多少好在第五次測試中被發(fā)現(xiàn)的不同情況有多少種？種？314464576C C A =七.相同元素分配問題隔板策略例例7.有有1010個三好學(xué)生名額，分給個三好學(xué)生名額，分給7 7個班，每個班，每班至少一個班至少一個, ,有多少種分配方案？有多少種分配方案？ 解：因為解：因為10個名額個名額沒有差別沒有差別，把它們排成，把它們排成一排。相鄰名額之間形成個空隙。一排。相鄰名額之間形成個空隙。在個空檔中選個位置插個隔板，在個空檔中選個位置插個隔板，可把名額分成份，對應(yīng)地分給個可把名額分成

13、份，對應(yīng)地分給個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有共有_種分法。種分法。一班二班三班四班五班六班七班69C11mnC-練習(xí)題7 有編號為1、2、3的3個盒子和10個相同的小球，現(xiàn)把這10個小球全部裝入3個盒子中，使得每個盒子所裝球數(shù)不小于盒子的編號數(shù)，這種裝法共有多少種?2615C=八八. .正難則反間接法正難則反間接法例8. 四面體的頂點和各棱中點共四面體的頂點和各棱中點共10個點，個點，從中取從中取4個不共面的點，不同的取法有個不共面的點，不同的取法有多少種？多少種？44106(463)141CC-+=取出的取出的4點不共面情形復(fù)雜，故采用間接點不共面情形

14、復(fù)雜，故采用間接法。取出的法。取出的4點共面有三類：點共面有三類：464C（1）過四面體的一個面有）過四面體的一個面有 種；種；（2）過四面體的一條棱上的三個點和對棱）過四面體的一條棱上的三個點和對棱 的中點的平面有的中點的平面有6種；種；（3）過四面體的四條棱的中點且與另兩條棱平過四面體的四條棱的中點且與另兩條棱平 行的平面有行的平面有3種；種；故取故取4個不共面的點有個不共面的點有以一個正方體的頂點為頂點，能以一個正方體的頂點為頂點，能組成多少個不同的四面體？組成多少個不同的四面體？ 481258C -=練習(xí)8解排列組合題的常用方法6.排列組合混合題排列組合混合題先選后排法先選后排法1.特

15、殊元素優(yōu)先考慮特殊元素優(yōu)先考慮2.不相鄰問題不相鄰問題插空插空法法3.相鄰問題相鄰問題捆綁法捆綁法4. 定序問題定序問題縮倍法縮倍法5.多排問題多排問題直排法直排法7.相同元素分配問題相同元素分配問題隔板法隔板法8 8.正難則反正難則反間接法間接法練習(xí)1.（1）6本不同的書分給5名同學(xué)每 人一本，有多少種不同分法？（2）5本相同的書分給6名同學(xué)每人至 多一本，有多少種不同的分法？（3）6本不同的書全部分給5名 同學(xué)每人至少一本，有多 少種不同的分法？1.分配問題56A56C5526AC捆綁法 第2課時 排列組合綜合應(yīng)用練習(xí)1（5）6本不同的書分給甲、乙、丙3名同學(xué) 每人兩本，有多少種不同分法？

16、（4）6本不同的書分給3名同學(xué)，甲1本、乙2 本、丙3本，有多少種不同的分法？3333222426).(2AACCC：解2224261CCC：解332516CCC解：分配問題均分有序注：222426CCC捆綁法練習(xí)1（6）8本不同的書分給3名同學(xué)，其中1名同 學(xué)2本、另兩人3本，有多少種不同分法？3322333628).(AACCC解：分配問題練習(xí)1（7）7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社會公益活動，若每天安排3人，者有多少種不同的安排方法？34371CC：解分配問題22223437).(2AACC：解練習(xí)1：（8）將5名實習(xí)教師分配到高一年級的3個班實習(xí)，每個班至少1名，最多2名，則

17、不同的分配方案有多少？分配問題90).(33222325AACC解：練習(xí)2：（1）7個相同的小球，任意放入4個不同的盒子中，共有多少種不同的方法？分配問題解：相當(dāng)于將7個小球用3塊隔板分成4份隔板法3101037C共有不同方法數(shù)隔板數(shù)小球數(shù)解：練習(xí)2：（2）7個相同的小球，任意放入4個不同的盒子中，每個盒子至少有1個小球的不同放法有多少種？分配問題解：將7個小球用3塊隔板分成4份但盒子又不能空隔板法3667C有不同方法數(shù)個空隙個小球有解：練習(xí)3：四面體的一個頂點是A，從其它頂點和各棱中點中取3個點，使他們和點A在同一個平面上，則共有多少種不同的取法？2.組圖形問題3335C解：練習(xí)4：用正方體

18、的8個頂點共可以組成多少個不同的四面體？2.組圖形問題)246(4448CC解：練習(xí)5：10雙不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任取4只，試求符合下列各種情形的方法數(shù)？先成雙后成單3360.112121212410CCCCC：解210C解：3360.244114116118120 ACCCC：解（1）4只鞋子恰成兩雙；(2)4只鞋子沒有成雙；1140.121229110CCCC解：(3)4只鞋子恰有2只成雙；練習(xí)6：8名外交工作者，其中3人只會英語，2人只會日語，3人既會英語又會日語，現(xiàn)從則8人中選3個會英語，3個會日語的人去完成一項任務(wù)，有多少種不同的選法？3333342312351322.).().(CCCCCCCC解：3.選人問題例10：給下面的5個行政區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，問共有多少種不同的涂色方案？4.涂色問題23154種）共有種顏色涂色有：）用種顏色涂色有：）用解：分兩類完成(7242314412333444123334ACACACAC練習(xí)7：用4種顏色給下面的5個行政區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，問共有多少種不同的涂色方案？練習(xí)8：6本不同的書分給甲、乙、丙三人，