數(shù)列知識點總結(jié)及題型歸納,推薦文檔

1、數(shù)列一、數(shù)列的概念(1)數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項。記作an ,在數(shù)列第一個位置的項叫第 1項(或首項)，在第二個位置的叫第2項，序號為 n的項叫第n項(也叫通項)記作 an； 數(shù)列的一般形式：ai,a2,a3,，an,，簡記作an。(2)通項公式的定義：如果數(shù)列 an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式。例如：1 , 2 , 3 , 4, 5 ,：1口 h.2345說明:an表示數(shù)列，an表示數(shù)列中的第n項，an= f n表示數(shù)列的通項公式;1.n 2k 1 同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一。例如，an

2、= ( 1)n=,(k z)；1,n 2k不是每個數(shù)列都有通項公式。例如，1, 1.4, 1.41 ,1.414, (3)數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：從函數(shù)觀點看，數(shù)列實質(zhì)上是定義域為正整數(shù)集n (或它的有限子集)的函數(shù) f(n)當(dāng)自變量n從1開始依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值f(1), f(2), f(3),，f(n),.通常用an來代替f n ,其圖象是一群孤立點。(4)數(shù)列分類：按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列項與項之間的大小關(guān) 系分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動數(shù)列。例：下列的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列？(1) 1, 2, 3, 4, 5,

3、6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,s (n 1)sn sm(n2)(3) 1,0, 1,0, 1,0,(4)a, a, a, a, a,(5)數(shù)列 an的前n項和sn與通項an的關(guān)系：an二、等差數(shù)列(一)、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。用遞推公式表示為an an 1 d(n 2)重an 1 an d(n 1)例：等差數(shù)列an 2n 1 , an an 1 (二)、等差數(shù)列的通項公式：an a1 (n 1)d ；說明：等差數(shù)列(通?？煞Q為a p數(shù)列)的單

4、調(diào)性：d 0為遞增數(shù)列，d 0為常數(shù)列，d 0為遞減數(shù)列。例：1.已知等差數(shù)列 an中，a7 a9 16, a4 1,則a12等于()a. 15 b . 30 c . 31 d . 642. an是首項a1 1,公差d 3的等差數(shù)列，如果 烝 2005,則序號n等于(a) 667(b) 668(c) 669(d) 6703. 等差數(shù)列an 2n 1,bn2n 1 ,則an為 bn為 (填“遞增數(shù)列”或17“遞減數(shù)列”）（三）、等差中項的概念:定義：如果a, a, b成等差數(shù)列，那么 a叫做a與b的等差中項。其中 aa ba, a, b成等差數(shù)列a ab 即：2an1 an an 22(2ana

5、n m )例：1 .（全國i）設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,a. 120. 105名a a2 a15c. 90 daa2a3. 7580,則a11a2a13（四）、等差數(shù)列的性質(zhì):(1)在等差數(shù)列an中,從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項;(2)在等差數(shù)列an中,相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列；(3)在等差數(shù)列an中,對任意mn , an am(nm)ddanam /(mn)；(4)在等差數(shù)列an中,p,p q,則aman ap（五）、等差數(shù)列的前n和的求和公式:snn(a an)na1n(n-n2(a1-) no22(sn an2 bn（a,b為常數(shù)）是等差數(shù)列遞推公式：sn(a

6、an)n2(a man (m 1) )n例：1.如果等差數(shù)列 an中,a3a4a512,那么aa2a7(a) 14(b) 21(c) 28(d) 352.（湖南卷文）設(shè)sn是等差數(shù)列an的前n項和，已知a23a6 11,則s7等于（）a. 13633.（全國卷i）設(shè)等差數(shù)列 an的前n項和為sn,若s9 72 ,則a2 a4a9 =4.若一個等差數(shù)列前 3項的和為34,最后3項的和為146,且所有項的和為a.13 項b.12 項c.11 項390,則這個數(shù)列有（d.10 項5.已知等差數(shù)列an的前n項和為sn ,若&221,則 a2 a5 a86.（全國卷h）設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為sn,若

7、 a5 5a3 貝u s57.已知an數(shù)列是等差數(shù)列,a10 10 ,其前10項的和&070,則其公差d等于（）c.-d. 38.（陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為sn 若 a6 s3 12 則 anss=7, s15= 75, tn為數(shù)列 nan9.（全國）設(shè) an為等差數(shù)列，&為數(shù)列 an的前n項和，已知 前n項和，求tn。（6） .對于一個等差數(shù)列:（1）若項數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有 2n項，則s偶 s奇 nd ;（2）若項數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有 2n 1項，則s奇 s偶 an a中；1 .一個等差數(shù)列共 2011項，求它的奇數(shù)項和與偶數(shù)項和之比 2 .一個等差數(shù)列前 20項和為75,其中奇數(shù)項和

8、與偶數(shù)項和之比1: 2,求公差3 .一個等差數(shù)列共有10項，其偶數(shù)項之和是 15,奇數(shù)項之和是25,則它的首項與公差分別是2（7） .對與一個等差數(shù)列，sn,s2n sn,s3n s2n仍成等差數(shù)列。例：1.等差數(shù)列an的前m項和為30,前2m項和為100,則它的前3m項和為（）a.130b.170c.210d.2602.一個等差數(shù)列前n項的和為48,前2 n項的和為60,則前3n項的和為10,則前110項和為3.已知等差數(shù)列 an的前10項和為100,前100項和為4 .設(shè)sn為等差數(shù)列 an的前n項和，s414, s10s730,貝1j s9 =5 .（全國ii ）設(shè)&是等差數(shù)列 an的前

9、n項和，若s3s6s6 =s12d.a. a10（8） .判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法:定義法：an是等差數(shù)列中項法:2an 1 an an 2(n n )an是等差數(shù)列通項公式法:an kn b(k,b為常數(shù))是等差數(shù)列前n項和公式法:sn an2 bn (a, b為常數(shù))an是等差數(shù)列例：1.已知數(shù)列an滿足an ana.等差數(shù)列 b.等比數(shù)列2.已知數(shù)列an的通項為an2, c.則數(shù)列an為a.等差數(shù)列3 .已知一個數(shù)列a.等差數(shù)列4 .已知一個數(shù)列b.等比數(shù)列2nc.an的前n項和s b.等比數(shù)列 c. an的前n項和s既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列5,則數(shù)列an為（） 既不是等差

10、數(shù)列也不是等比數(shù)列2n2 4,則數(shù)列an為（既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列22n2,則數(shù)列*口為（）d.d.d.無法判斷無法判斷無法判斷a.等差數(shù)列b.等比數(shù)列c.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列d.無法判斷5 .已知一個數(shù)列an滿足an 2 2an 1 an 0 ,則數(shù)列an為()a.等差數(shù)列b.等比數(shù)列c.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列d.無法判斷6 .數(shù)列 an 滿足 a1 =8, a42,且 an 2 2an 1 an 0 ( n n)求數(shù)列an的通項公式；7 .(天津理，2)設(shè)&是數(shù)列an的前n項和，且 s=n2,則an是()a.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列b.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列c.等差數(shù)

11、列，而且也是等比數(shù)列d.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列(九).數(shù)列最值(1) a10, d 0時，sn有最大值；a10, d 0時，sn有最小值；2(2) sn最值的求法：若已知 sn, sn的最值可求二次函數(shù) sn an bn的最值;可用二次函數(shù)最值的求法(nn)；或者求出中的正、負分界項，即:若已知an ,則sn最值時n的值(n n )可如下確定anan 1an0an 10項的和最大。例：1.等差數(shù)列 an中，a1 0, s9 s12,則前2 .設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為sn ,已知a3 12, s12 0, s13 0求出公差d的范圍，3 .(上海)設(shè) an (ncn*)是等差數(shù)列,( )a.

12、dv0b.a7=0c.s9s5一，一一n 984 .已知數(shù)列 an的通項398 (nn % 99指出s1, s2, , s12中哪一個值最大，并說明理由。s是其前n項的和，且 svs,則下列結(jié)論錯誤 的是 d.s6與s7均為sn的最大值n )，則數(shù)列 an的前30項中最大項和最小項分別是 5.已知an是等差數(shù)列，其中a131 ,公差d 8。(1)數(shù)列an從哪一項開始小于0?(2)求數(shù)列an前n項和的最大值，并求出對應(yīng) n的值. (n 1)(十).利用an,求通項.& & 1 (n 2)1 .數(shù)列an的前n項和sn n2 1.（1）試寫出數(shù)列的前5項；（2）數(shù)列劣是等差數(shù)列嗎？ （ 3）你能寫出

13、數(shù)列an的通項公式嗎？2 .設(shè)數(shù)列an的前n項和為9=2n2,求數(shù)列an的通項公式；3 .（安徽文）設(shè)數(shù)列an的前n項和sn n2,則a8的值為（）(a) 15(b) 16(c) 49(d) 64，求a2, a3, a4的值及數(shù)列an14、北卷)數(shù)列an的刖n項和為3,且a1=1, an 1- sn, n=1, 2, 3,3的通項公式.三、等比數(shù)列等比數(shù)列定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)* * * * * *列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q 0）,即：an 1 - an q（q 0）（一）、遞推關(guān)系與通項

14、公式遞推關(guān)系：an 1 anq通項公式：ana1 qn 1推廣：an am qn m1 .在等比數(shù)列 an中，a1 4,q 2,則an 2 .在等比數(shù)列 an中，a7 12,q 3/2，則a19 .3 . （07重慶文）在等比數(shù)列an中，a2=8, a1 = 64,則公比0為（）（a） 2（b） 3（c） 4（d） 84 .在等比數(shù)列an中，a22 , a5 54,則a8=5 .在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項a1 3,前三項和為21,則a3 a4 a5（）a 33 b 72 c 84 d 189（二）、等比中項：若三個數(shù) a,b,c成等比數(shù)列，則稱b為a與c的等比中項，且為b 右 注：b

15、2 ac是成 等比數(shù)列的必要而不充分條件.例：1. 2 j3和2 j3的等比中項為（）(a)1(b) 1(c) 1(d)22.（重慶卷文）設(shè)an是公差不為0的等差數(shù)列,ai2且ai,a3,a6成等比數(shù)列，則an的前n項和sn =2 r2“ n 7nn 5na. 7 -bl. y c.2n 3n242d. n n（三）、等比數(shù)列的基本性質(zhì),1. (1)若m n p q,貝i am anap aq (其中 m,n, p,q n ) qn m a-，an2 an m an m （n n ） a m（3） an為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對應(yīng)項成等比數(shù)列.（4） an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列an是各

16、項不為零的常數(shù)列例：1 .在等比數(shù)列 an中，a1和a10是方程2x2 5x 1 0的兩個根，則a4 a7 （）5,2_11(a) -(b)(c) -(d)-22222 .在等比數(shù)列 an ,已知a15, a9a10 100 ,則a18 =3.等比數(shù)列an的各項為正數(shù)，且 a5a6 a4a7 18,則log 3 a1log 3 a2 llog3 a10a . 12 b . 10 c . 8 d . 2+|og354.（廣東卷）已知等比數(shù)列an滿足an0, n 1,2, l 且 a5 a2n 502n2 (n 3),則當(dāng)n 1時,log 2 a log 2 a3 l log 2 a2n 1一 一

17、，,、2ca. n(2n 1) b. (n 1) c. n d.(n 1)2（四）、等比數(shù)列的前 n項和,snna (q 1)a1(1 qn)a anq(q 1)1 q 1 q例:1 .已知等比數(shù)列an的首相a15 ,公比q 2 ,則其前n項和sn 2 .(北京卷)設(shè) f (n) 2 24 27 210 l23n 10(n n),則 f(n)等于().2 n2 n 12 n 32 n 4a. -(81)b. y(81) c . -(81) d . -(81)3 .(全國文，21)設(shè)等比數(shù)列 an的前n項和為s,若s3+s6=2s9,求數(shù)列的公比 q；（五）.等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)若數(shù)列an是

18、等比數(shù)列，sn是其前n項的和,sk, s2ksks3ks2k成等也數(shù)列.例：1.(遼寧卷)設(shè)等比數(shù)列 an的前n項和為sn,若s6s3 =3 ,則s9sa. 2 b.c.d.32. 一個等比數(shù)列前n項的和為48,前2 n項的和為60,則前3 n項的和為()a. 83 b108 c . 75 d . 63則s3m3 .已知數(shù)列an是等比數(shù)列，且 sm 10, s2m 30,(六)、等比數(shù)列的判定法(1)定義法：亙q (常數(shù))an為等比數(shù)列；an 2(2)中項法：an 1an an 2 (an 0)an為等比數(shù)列；(3)通項公式法：an k qn (k,q為常數(shù))an為等比數(shù)列；(4)前n項和法：

19、sn k(1 qn) (k,q為常數(shù))an為等比數(shù)列。snk kqn (k,q為常數(shù))an為等比數(shù)列。例：1.已知數(shù)列an的通項為an 2n,則數(shù)列an為()a.等差數(shù)列b.等比數(shù)列c.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列d.無法判斷22 .已知數(shù)歹u an滿足an 1an an 2(an 0),則數(shù)列an為()a.等差數(shù)列b.等比數(shù)列c.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列d.無法判斷3 .已知一個數(shù)列an的前n項和sn2 2n 1 ,則數(shù)列an為()a.等差數(shù)列b.等比數(shù)列c.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列d.無法判斷四、求數(shù)列通項公式方法(1).公式法(定義法)根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項例：1已知

20、等差數(shù)列an滿足：a37,a5 a726,求a0;2 .等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且 2al 3a2.2- .1, a3 9a2a6,求數(shù)列an的通項公式3 .已知數(shù)列an滿足a1 2, a2 4且an 2 an2an 1( n n ),求數(shù)列an的通項公式;n 14 .已知數(shù)列an滿足a1 2,且an1 52(an 5n) ( n n ),求數(shù)列an的通項公式;15.數(shù)列已知數(shù)列 an滿足a -,an 4an 1 1(n 1).則數(shù)列 an的通項公式= 2(2)累加法1、累加法適用于：an i an f(n)a2ai若 ani anf(n)(n 2),則f(1) f(2) lan 1 an

21、 f (n)n兩邊分別相加得an 1 af (n)k 11例：1.已知數(shù)列an滿足a-, 21an 1 an 2，求數(shù)列an的通項公式。4n 12 .已知數(shù)列an滿足an 1an 2n 1, a1 1 ,求數(shù)列an的通項公式。3 .已知數(shù)列an滿足an 1an 2 3n 1, a1 3,求數(shù)列an的通項公式。(3)累乘法適用于：an 1f(n)an若包f(n),則 a2 f(1),a3 ana1a2f(2),l l 4anf (n)n兩邊分別相乘得，a a1f(k)例：1.已知數(shù)列an滿足an 1ak 12(n 1)5n烝，a1 3,求數(shù)列an的通項公式。2.已知數(shù)列an滿足a1nn 1an，求 an。3.已知 a13 , an 13n 1- an3n 2(n1),求 an。(4)待定系數(shù)法適用于 an 1 qan f (n)例：1.已知數(shù)列an中，a11,an 2an 1 1(n 2),求數(shù)列 an的通項公式。2.(重慶，文,14)在數(shù)列an中，若a11,an 1 2an 3(n 1),則該數(shù)列的通項an 3.已知數(shù)列 an滿足a1 1,an 12an 1(n*、 n ).求數(shù)列an的通項公式;(5)遞推公式中既有sns,n 1分析：把已知關(guān)系通過 an轉(zhuǎn)化為數(shù)列 an或sn的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。sn sn