854611274AR模型的功率譜估計BURG算法的分析與仿真論文

1、ar模型的功率譜估計burg算法的分析與仿真錢平（信號與信息處理 s101904010）一引言現(xiàn)代譜估計法主要以隨機過程的參數(shù)模型為基礎(chǔ)，也可以稱其為參數(shù)模型方法或簡稱模型方法。現(xiàn)代譜估計技術(shù)的研究和應(yīng)用主要起始于20世紀60年代，在分辨率的可靠性和濾波性能方面有較大進步。目前，現(xiàn)代譜估計研究側(cè)重于一維譜分析，其他如多維譜估計、多通道譜估計、高階譜估計等的研究正在興起，特別是雙譜和三譜估計的研究受到重視，人們希望這些新方法能在提取信息、估計相位和描述非線性等方面獲得更多的應(yīng)用?，F(xiàn)代譜估計從方法上大致可分為參數(shù)模型譜估計和非參數(shù)模型譜估計兩種?；趨?shù)建摸的功率譜估計是現(xiàn)代功率譜估計的重要內(nèi)容，

2、其目的就是為了改善功率譜估計的頻率分辨率，它主要包括ar模型、ma模型、arma模型，其中基于ar模型的功率譜估計是現(xiàn)代功率譜估計中最常用的一種方法，這是因為ar模型參數(shù)的精確估計可以通過解一組線性方程求得，而對于ma和arma模型功率譜估計來說，其參數(shù)的精確估計需要解一組高階的非線性方程。在利用ar模型進行功率譜估計時，必須計算出ar模型的參數(shù)和激勵白噪聲序列的方差。這些參數(shù)的提取算法主要包括自相關(guān)法、burg算法、協(xié)方差法、 改進的協(xié)方差法，以及最大似然估計法。本章主要針對采用ar模型的兩種方法：levinson-durbin遞推算法、burg遞推算法。實際中，數(shù)字信號的功率譜只能用所得的

3、有限次記錄的有限長數(shù)據(jù)來予以估計，這就產(chǎn)生了功率譜估計這一研究領(lǐng)域。功率譜的估計大致可分為經(jīng)典功率譜估計和現(xiàn)代功率譜估計，針對經(jīng)典譜估計的分辨率低和方差性能不好等問題提出了現(xiàn)代譜估計，ar模型譜估計就是現(xiàn)代譜估計常用的方法之一。信號的頻譜分析是研究信號特性的重要手段之一，通常是求其功率譜來進行頻譜分析。功率譜反映了隨機信號各頻率成份功率能量的分布情況，可以揭示信號中隱含的周期性及靠得很近的譜峰等有用信息，在許多領(lǐng)域都發(fā)揮了重要作用。然而，實際應(yīng)用中的平穩(wěn)隨機信號通常是有限長的，只能根據(jù)有限長信號估計原信號的真實功率譜，這就是功率譜估計。二ar模型的構(gòu)建假定u(n)、x(n)都是實平穩(wěn)的隨機信號

4、，u(n)為白噪聲，方差為，現(xiàn)在，我們希望建立ar模型的參數(shù)和x(n)的自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系，也即ar模型的正則方程(normal equation)。由 (1) 由于u(n)是方差為的白噪聲，有 （2）由z變換的定義，當時，有h(0)=1。綜合（1）及（2）兩式， （3） 在上面的推導(dǎo)中，應(yīng)用了自相關(guān)函數(shù)的偶對稱性。上式可寫成矩陣式： (4) （4）上述兩式即是ar模型的正則方程，又稱yule-walker方程。系數(shù)矩陣不但是對稱的，而且沿著和主對角線平行的任一條對角線上的元素都相等，這樣的矩陣稱為toeplitz矩陣。若x(n)是復(fù)過程，那么，系數(shù)矩陣是hermitian對稱的toeplitz

5、矩陣。（4）式可簡單地表示為式中，為全零列向量，r是的自相關(guān)矩陣?？梢钥闯觯粋€p階的ar模型共有p+1個參數(shù)，即，只要知道x(n)的前p+1個自相關(guān)函數(shù)，由(1)，(2)及(3)式的線性方程組即可求出這p+1個參數(shù)，即可求出x(n)的功率譜。三ar模型階數(shù)的選擇ar模型的階次p一般事先是不知道的，需要事先選定一個稍大的值，在遞推的過程中確定。在使用levinson遞推時，可以給出由低階到高階的每一組參數(shù)，且模型的最小預(yù)測誤差功率是遞減的。直觀上講，當達到所指定的希望值，或是不再發(fā)生變化時，其時的階次即是應(yīng)選的正確階次。因為是單調(diào)下降的，因此，的值降到多少才合適，往往不好選擇。為此，有幾個不同

6、的準則被提出，其中較常用的兩個是：最終預(yù)測誤差準則：(1)(2) 信息論準則：式中n為數(shù)據(jù)的長度，當階次k由1增加時，fpe(k)和aic(k)都將在某一個k處取得極小值。將此時的k定為最合適的階次p。在實際運用時發(fā)現(xiàn)，當數(shù)據(jù)較短時，它們給出的階次偏低，且二者給出的結(jié)果基本上是一致的。應(yīng)該指出，上面兩式僅為階次的選擇提供了一個依據(jù)，對所研究的某一個具體信號x(n)，究竟階次取多少為最好，還要在實踐中所得到的結(jié)果作多次比較后，予以確定。四burg算法的理論分析burg算法是較早提出的建立在數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的ar系數(shù)求解的有效算法7。其特點是：(1) 令前后向預(yù)測誤差功率 （5）為最小。(2) 和的求和

7、范圍從p至n-1，即，前后都不加窗，這時 （6） 在上式中，階次m由1至p時， （7） 下式的遞推關(guān)系，即 （8） （9） （10）式中。這樣，(5)式的僅是反射系數(shù)的函數(shù)。在階次m時，令相對為最小，即可估計出反射系數(shù)。將(6)、(7)及(8)式代入(5)式，令，可得使為最小的為 式中。按此式估計出的滿足。按上式估計出后，在階次m時的ar模型系數(shù)仍然由levinson算法遞推求出 （11） （12） 式中。上面三式是假定在第(m-1)階時的ar參數(shù)已求出。burg算法的遞推步驟是：(1) 由初始條件，再由(11)式求出；(2) 由得m=1時的參數(shù)：；(3) 由求出，再估計；(4) 依照(11)

8、、(12)式的levinson遞推關(guān)系，求出m=2時的及。(5) 重復(fù)上述過程，直到m=p，求出了所有階次時的ar參數(shù)。上述遞推過程是建立在數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的，避開了先估計自相關(guān)函數(shù)的這一步。若定義：可以證明可以由和遞推計算：這樣，可以有效地提高計算速度。五burg算法的matlab仿真%burg算法%生成信號xnf1=30;f2=60;f=f1;f2;a=1 2;fs=200; % 取樣頻率n=0:1/fs:1;x=a*sin(2*pi*f*n);%生成噪聲n和被污染的信號xnrandn(state,0);n=0.1*randn(size(n);xn=x+n;% 設(shè)置參數(shù)order=10;nfft

9、=512;% burg算法pxx1,f=pburg(xn,order,nfft,fs); pxx1=10*log10(pxx1);subplot(1,1,1),plot(f,pxx1);xlabel(頻率(hz);ylabel(功率譜密度(db/hz);title(burg算法(階數(shù)=15);grid on;圖1 階數(shù)為10，噪聲為0.1時的burg算法得到的仿真結(jié)果圖2 階數(shù)為10，噪聲為1時的burg算法得到的仿真結(jié)果圖3 階數(shù)為15，噪聲為0.1時的burg算法得到的仿真結(jié)果仿真結(jié)果：burg算法得到的譜線分辨率很高，譜的波動性不大，能清晰的分辨出兩個頻率值，且沒有出現(xiàn)假峰。從圖中可以看

10、出在兩個階數(shù)不同的情況下都能很好的分辨出兩個頻率的峰值，說明增加階數(shù)并沒有增大頻率分辨率，而增加的階數(shù)反而使計算量加大。相比較levinson-durbin算法而言，burg算法因為沒有使用自相關(guān)估計法，結(jié)果與真實值更加接近，而且可以進行外推，所以burg算法要比levinson-durbin算法要好。當噪聲方差加大為原來的10倍時，還能比較清楚的分辨出兩個頻率值如圖2所示，說明burg算法的抗干擾能力比較好。六總結(jié)參數(shù)建模譜估計方法是現(xiàn)代譜估計的重要內(nèi)容，ar 模型譜估計隱含著數(shù)據(jù)和自相關(guān)函數(shù)的外推，其長度可能超過給定的長度，分辨率不受信源信號長度的限制，所以現(xiàn)代譜估計研究主要是用基于ar模型的方法估計功率譜，這是經(jīng)典譜估計無法做到的。通過實踐，ar模型的burg法也存在問題：(1)計算量大；(2)信號起始相位變動可導(dǎo)致譜線偏移和分裂；(3)低信噪比可導(dǎo)致譜分辨率下降、譜線偏移、甚至丟失；(4)階數(shù)的確定還沒有找到確切有效準則。這些是ar模型估計的不足之處。功率譜估計是信息學(xué)科中的研究熱點?，F(xiàn)代譜估計主要是針對經(jīng)典譜估計(周期圖和自相關(guān)法)的分辨率低和方差性能不好的問題而提出的。其內(nèi)容極其豐富,涉及的學(xué)科和領(lǐng)域也相當廣泛,按是否有參數(shù)大致可分為參數(shù)模型估計和