北極星教育培訓學校---高二期末模擬(一)文--教師匯總

1、絕密啟用前2017學年度北極星教育培訓學校-高二期末模擬(1)文考試范圍：高中文科數(shù)學；考試時間：120分鐘；命題人：黃佑彬學校:姓名：班級：考號：一、選擇題1.曲線y = sinx + e (其中e=2. 71828是自然對數(shù)的底數(shù))在點(0, 1)處的切線的斜率為()(a) 2(b) 3(c) -(d)-32【答案】a【解析】試題分析：先求導，根據導數(shù)的幾何意義，斜率&=k = yk0,解得即可；,/ y = cosx + exf k = y |e= coso += 2,故選 a.考點：導數(shù)的幾何意義及導數(shù)的運算，72.曲線三+二=1與曲線+=16716.曲線石三十 占 =1也9)表示焦點

2、在x軸上，長軸長為2jfe,短軸長為2j4,離心率為/ 4,焦距為16.則d正確.考點：橢圓的幾何性質3.設i是虛數(shù)單位，好數(shù)/ z,在更平面內的對應點關于實軸對稱，則亙= z2()(a) 2(b) 1 + i(c) i(d) -i【答案】d【解析】試題分析：由對稱性可得z=l+i,代入要求的式子化簡即可.亞數(shù)zn z二在復平面內的對應點關于實軸對稱且z尸1-i,由對稱性可得z2=l+i,（1-）2 * i （i+oo-o考點：復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算試卷第11頁，總11頁4 .雙曲線上-上=1的漸近線方程是() 42(a) y = y/2x(b) y = -x(c) y = -x(d) y

3、= 2x2【答案】b【解析】試題分析：直接利用雙曲線方程求漸近線方程即可.雙曲線二-工=1可得七-巨=04242所以雙曲線的漸近線方程為：)，= 土正x,故選：b. 2考點：雙曲線的簡單性質5 .設函數(shù)/( = ：03+反(4。0),若/(3) = 3/&),則與等于()(a) 1(b) 3(c)應(d) 2【答案】c【解析】試題分析：將3代入函數(shù)解析式求出f (3)；求出函數(shù)的導函數(shù)，將x。代入求出函數(shù)值f( xo ), 列 出 方 程 求 出 4；,/ f(3) = 9a + 3b, , /(x) = ax2 + b,:. fkx) = ax + b,;f (3) = 3/*(x0),/.

4、 9a + 3b = 3ov02 4- 3z?, /. xq = 5/3 ,故選 c考點：抽象函數(shù)的性質6 .若函數(shù)x) = sinx+ar在r上單調遞增，則實數(shù)。的取值范圍為()(a) -1, 1(b) s，-1(c) (t, 1(d) 1, +8)【答案】d【解析】試題分析：求函數(shù)的導數(shù)，要使函數(shù)單調遞增，則f (x) 20成立，然后求出實數(shù)a的取值范圍.因為f (x);sinx+ax,所以f (x)=cosx+a.要使函數(shù)單調遞增，則f(x) 20成立.即cosx+ao恒成立.所以a2-cosx,因為-1 wcosxwl,所以a21.故 選：d.考點：導數(shù)的基本運算,利用導數(shù)研究函數(shù)的單

5、調性【答案】a【解析】試題分析：:/(x) = x+cosx,.=si內,/(-x) =/(工)，故 f (x) 試卷第2頁，總11頁為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，排除bd ,又當x = 2 時，2f(-) = -sin- = -l0, b0)的左焦點寫作圓a：/+9=/的切線，設 a b切點為m，延長尸附 交拋物線c3： y2 =2px(p0)于點n ,其中g，c3有一個共同的(b)回 (c)有2(d) /5 + 1焦點，若|m|=|mn|,則雙曲線c1的離心率為()(a) 75-1【答案】b 【解析】 試題分析：雙曲線的右焦點的坐標為(c, 0),利用。為艮艮的中點，m為n的中點,可得0m

6、為nfh的中位線，從而可求inf/，再設n(x, y)過點f作x軸的垂線，由 勾股定理得出關于a, c的關系式，最后即可求得離心率.設雙曲線的右焦點為f則莊的坐標為(c, 0),因為曲線q與c3有一個共同的焦點， 所以yj4cx ,因為。為fr的中點，m為fn的中點，所以0m為anf艮的中位線，所 以0mpf因為|0m|二a,所以|附|=2且,又nfnf“ |ff=2c所以|nf=2b，設n (x, y),則由拋物線的定義可得x+c=2a, .x=2a-c ,過點f作x軸的垂線，點n到該垂線的距離為2a ,由勾股定理y：+4a：=4b：即4c (2a-c ) +4a：=4 ( c：_a：)得

7、e-e-l=0, /. evs+i2考點：雙曲線、拋物線的幾何性質10 .若函數(shù)/(x) = v+2+bx + c (a, b, cer)有極值點玉，%，且/(石)=%，則關于試卷第11頁，總11頁x的方程3(x)f+2叭x) + 6 = 0的不同實根的個數(shù)是()(a) 5(b) 4(c) 3(d) 2【答案】a【解析】試題分析：求導數(shù)f (x),由題意知xx, x?是方程3/+2ax+br的兩根，從而關于f (x)的方程再人月?+2如(x) + b = o有兩個根，作出草圖，由圖象可得答案. (x) =3x：+2ax+b, xx, x：是方程 3x?+2ax+b=0 的兩根，由 3/(4)f

8、 + 2。工)+ 6 = 0 , 則有兩個f (x)使等式成立，xi=f (x1), x2xi=f(xx),如下示意圖象:如圖有三個交點，故選a. 考點：函數(shù)零點的概念二、填空題11 .拋物線3= tx的準線方程為【答案】1【解析】試題分析：根據拋物線的標準方程及基本概念，結合題中數(shù)據加以計算，可得答 案.y2 = 4x, ：.2p = 4,段=1,因此,拋物線的焦點為f(-i,o),準線方程為x=l故答案為：x=l.考點：拋物線的簡單性質12 .執(zhí)行下圖所示的程序框圖，若輸入x = 2,則輸出y的值為/輸物/【答案】12【解析】試題分析：根據程序框圖中的條件，進行求解即可.若x=2,則y=+

9、2x=8+4=12；故答試卷第2頁，總11頁案為：12考點：程序框圖13 .函數(shù)=-inx的單調減區(qū)間為.【答案】(0, 1【解析】試題分析：對于函數(shù)/(x) = ax2-hix易得其定義域為x|x 0,1 y* _ 1y _ 1f(x = x一一=二二，令一40,又由x0,則可得ovxwl單調遞減區(qū)間為 x xx(0, 1.考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性14.定義在r上的函數(shù)/(x)滿足1) = 1,且對任意xer都 有/則不等式f(x)巖的解集為.【答案】(-1,1)【解析】試題分析：設g(x)=/(x)-苫l=1-1=0,/. (x)=/z(x)-l.對任意xwr,都有:(x)vg,/.

10、gx) =，即為 g(x2) 0=g (1).則 xvi,解得-ivxvl，的解集為(t, 1).考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性15.拋物線y2=4x的焦點為尸，過點p(2, 0)的直線與該拋物線相交于a b兩點,直線，游分別交拋物線于點g d.若直線45, c0的斜率分別為& k、，則土 = k2【答案】-2【解析】試題分析：設af的方程是y =1)與拋物線方程聯(lián)立，求出c的坐標，同理求xx-l出d的坐標，可得k,即可求出.設 a(x, %) , b(&, y2) , c(x3, y3) , dcx4, y4) ,:. af 的方程是y = -(x d石-1設&0 =2；，則af ： )，=

11、 %(x-d,與拋物線方程聯(lián)立，可得x, +1試卷第11頁，總11頁攵o、2_（2%2+4） x + %2 =0, 利用韋 達定理 不為=1二.演=一 -,必=c（,-）,工+三同理“j_,_匹）./,=4a=2人,.亂=上 x2 x2 j k2 2演公考點：直線與圓錐曲線的位置關系三、解答題2216.（本題滿分12分）求與橢圓三十二=1有公共焦點，且離心率e =-的雙曲線方程. 49 244【答案】-21=1 169【解析】試題分析：根據題意雙曲線方程可設為= 1（。0, 60）可得關于a, b的方程a b-組，進而求出a, b的數(shù)值即可求出雙曲線的方程.7*試題解析：橢圓三+匯=1的焦點坐

12、標為（-5, 0）, （5, 0）,49 24設雙曲線的方程為1-左= 1（。0, b0）, a b則 c? =a +b2 =25 ,試卷第2頁，總11頁解得 tz = 16 b = 9 .所以雙曲線的方程是二-=i. 169考點：圓錐曲線的性質17.（本題滿分12分）斜率為;的直線/經過拋物線/= 4），的焦點，且與拋物線相交于a b兩點,求線段的長.【答案】5【解析】試題分析：求得拋物線的焦點，可得直線1的方程，代入拋物線方程，由韋達定理和弦 長公式，計算即可得到.試題解析：由已知可知,拋物線x2= 4y的焦點為尸（0,1），所以直線/的方程為y =+1 .v = x+l,，由2 得(2y

13、-2)-=4y,即 y-3y + l = 0. /=4y,設4（冷弘）,8區(qū),%），則%+%=3, 所以 | ab |=+ % + p = 3 + 2 = 5 .考點：直線和拋物線的位置關系18 .(本題滿分12分)已知函數(shù)/(x) = x(x-c)2 ( cer)在x = 2處有極小值.(i )求c的值；(ii)求/xx)在區(qū)間0,4上的最大值和最小值.【答案】(i ) 2或6；( ii ) 0, 16.【解析】試題分析：(i )求出廣(幻=3爐43 +，2 ,令/(2) = 0 ,解得c,再分別討論,利用函數(shù)/(x) = mxc)2(cwr)在x=2處有極小值，從而得出答案；(h)確定函數(shù)

14、 的單調性，即可求f (x)在區(qū)間0, 4上的最大值和最小值.試題解析：(i )因為八力=(%一以+ 21(工一 =3/一40：+02,又f(x) = x(x- c)2在x = 2處有極小值，所以/(2) = 12 8。+ /=0 =。= 2或0 = 6，當 c = 2 時，f (x) = 3x2 -8x + 4 = (3x- 2)(x- 2),當 f(x) = (3x 2)(x-2)z0 = x：或xn2 時，/(x)單調遞增，當 /(x) = (3x- 2乂x- 2) k 0 = | x4 2 時，/(x)單調遞減，此時x)在x = 2處有極小值，符合題意；當 c = 6 時，f(x) =

15、 3x2- 24x+ 36 = 3(x-2)(x-6),當/(工)=3(工一2)(工一6)20 =工4 2或工之6時，f(x)單調遞增，當/(工)=3(工一2)(工一6)0 = 24%46時，/(x)單調遞減，此時x)在x = 2處有極大值，不符題意，舍去.綜上所述，c = 2.(h)由(i )知，f(x) = x(x-2)2 f 0(x) = (3x-2)(x-2),2令八x) = (3x-2)(x-2) = 0,得x = 或x = 2,當變化時，/。),/(冷的變化情況如下表：x02(09232(2,4)4/w+00+/w0/極大值必 27極小值0/16由上表可知：刈叫=0,/(刈3=16

16、.考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的性質19 .(本題滿分12分)某商場的銷售部經過市場調查發(fā)現(xiàn)，該商場的某種商品每口的銷試卷第11頁，總11頁售量 )，(單位：千克)與銷售價格% (單位：元/千克)滿足關系式y(tǒng) =，一+10(x-6) x-3其中3vx = 11,所以巴+ 10 = 11,解得4 = 2.2(h)由(i )可知，該商品每日的銷售量 =:_ + 10。-6)2,x-3所以商場每口銷售該商品所獲得的利潤為：2/(x) = (x-3)+10(x - 6): = 2 +10(x - 3xx - 6)2,3 x 0)的離心率為立，且它的一個焦點 a- b-3片的坐標為(0, 1).(i)求橢圓的

17、標準方程；(ii)設過焦點工的直線與橢圓相交于a 8兩點，n是橢圓上不同于a 5的動點，試求aa5的面積的最大值.【答案】(i)21+.=i ；(ii)324【解析】試題分析：(i)根據橢圓的離心率和焦距即可求出標準方程；(ii)設過焦點e的直線 為1,分兩類，若1的斜率不存在，求出答案，若1的斜率存在，不妨設為k,則1的 方程為y=kx+1,根據韋達定理，弦長公式，點到直線的距離公式，得到 5-=6(ll)2(l),構造函數(shù)八八=6(1-八2(1 /)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最值, 問題得以解決試卷第2頁，總11頁試題解析：(i)設橢圓的半焦距為c,則c = l.又由e= =立，可解得。=6,

18、a 3所以=/- = 2 ,*7所以，橢圓的標準方程為二+二=1. 32(ii)設過焦點鳥的直線為/.若/的斜率不存在，則a(0,jj),8(0,g),即|a8|=2jj,顯然當n在短軸頂點(0,0)或(-0,0)時，的面積最大，此時，aa5的最大面積為:x2vjx/i=#.若/的斜率存在，不妨設為k,則/的方程為y = h + l.設人(冷弘),83,兄).y = kx + l,聯(lián)立方程：r 消去y整理得：(3+2-)/+4h-4 = 0, - l32_ -4kx所以 ：產，則.1= 7t7f|= f ； 1).x.x =-t,- 3 + 2 公因為，當直線與/平行且與橢圓相切時，此時切點n

19、到直線/的距離最大, 設切線 /: y =丘 + m(m /2),y = kx + m聯(lián)立x2 / 消去x整理得：(3 + 2-)/+46加:+2疝-6 = 0 ,+ = 132由 a = (4如?一4(3 + 2公)(2疝-6) = 0 ,解得：m = 3 + 24(機0,當/e(-g,0)時，fw0,所以/(f)在(一弓上是增函數(shù)，在(一；,0)上是減函數(shù)，所以人) = /(；) = .試卷第11頁，總11頁故公=時，am48面積最大值是處.顯然病心， 244所以，當/的方程為），=乎1時，的面積最大，最大值為孚.考點：直線與圓錐曲線的關系；橢圓的標準方程；橢圓的簡單性質.21.（本題滿分

20、 14 分）已知函數(shù)/（x） = x2 -2x+alnx（aer）.（i ）當。=2時，求函數(shù)/（x）在（1, 1）處的切線方程；（ii）求函數(shù)/（x）的單調區(qū)間；（iii）若函數(shù)f（x）有兩個極值點不，七（內x2）,不等式/（xj 九0恒成立，求實數(shù)m的 取值范圍.【答案】（i） y = 2x-3 ;（ii）當時，函數(shù)/（x）的增區(qū)間為在（0,一）,無減區(qū) 間；當0a；時，x）的單調遞增區(qū)間是（0,匕手巨）,（匕與至,”）；單調遞減 區(qū)間是（匕昨至，匕半至）；當。0時，“x）的單調遞增區(qū)間是（上半至,位）， 單調遞減區(qū)間是（0,匕正至）；（ju） m-n222【解析】試題分析：（i ）求當a

21、=2時，函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程即 可得到切線方程；（ii ）求出f （x）的導數(shù)，令r （x） =0,得2f-2x+ar,對判別式 討論，令導數(shù)大于0,得增區(qū)間，令導數(shù)小于0,得減區(qū)間；（iii）函數(shù)f （x）在（0, +8 ）上有兩個極值點，由（ii ）可得0 a1不等式f（x。亙成立即為小j n m 2x2即為叁i2=i_&+l-+ 2811】演，h（x） = 1 -x+ + 2xhix（0 x -）求出導數(shù)， x2再一1x-12判斷單調性，即可得到h （x）的范圍，即可求得m的范圍.試題解析：（i）因為當。=2 時，/（x） = x2 -2x+2inx ,所以 fx） = 2x-2 + -. x因為1） = -1,/（1） = 2，所以切線方程為y = 2x-3.（ii）/（x） = 2a - 2 + =2, a （x0）,令r（x） = 0, bp 2x2 -2x + a = 0. x x（i ）當 = 4一8。40,即。之g時，f （x）0 ,函數(shù)f（x）在（0