高中數(shù)學(xué)必修2直線和平面所成的角

1、 第二課時(shí)第二課時(shí) 直線和平面所成的角直線和平面所成的角 2.3.1 2.3.1 直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定 問題提出問題提出 1. 1.直線和平面垂直的定義和判定直線和平面垂直的定義和判定 定理分別是什么？定理分別是什么？ 定義：定義：如果一條直線與平面內(nèi)的任如果一條直線與平面內(nèi)的任 意一條直線都垂直，則稱這條直線意一條直線都垂直，則稱這條直線 與這個(gè)平面垂直與這個(gè)平面垂直. . 定理：定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩 條相交直線都垂直，那么這條直線垂直條相交直線都垂直，那么這條直線垂直 于這個(gè)平面于這個(gè)平面. 2. 2.當(dāng)直線與平面相交時(shí)，對(duì)于直

2、線當(dāng)直線與平面相交時(shí)，對(duì)于直線 與平面垂直的情形，我們已作了一些相與平面垂直的情形，我們已作了一些相 關(guān)研究，對(duì)于直線與平面不垂直的情形，關(guān)研究，對(duì)于直線與平面不垂直的情形， 我們需要從理論上作些分析我們需要從理論上作些分析. . 知識(shí)探究（一）：知識(shí)探究（一）：平面的斜線平面的斜線 思考思考1:1:當(dāng)直線與平面相交時(shí)，它們可當(dāng)直線與平面相交時(shí)，它們可 能垂直，也可能不垂直，如果一條直能垂直，也可能不垂直，如果一條直 線和一個(gè)平面相交但不垂直，這條直線和一個(gè)平面相交但不垂直，這條直 線叫做這個(gè)平面的線叫做這個(gè)平面的斜線斜線，斜線和平面，斜線和平面 的交點(diǎn)叫做的交點(diǎn)叫做斜足斜足. .那么過一點(diǎn)作

3、一個(gè)平那么過一點(diǎn)作一個(gè)平 面的斜線有多少條？面的斜線有多少條？ l P 斜線斜線 斜足斜足 思考思考2:2:過斜線上斜足外一點(diǎn)向平面過斜線上斜足外一點(diǎn)向平面 引垂線，連結(jié)垂足和斜足的直線叫引垂線，連結(jié)垂足和斜足的直線叫 做這條斜線在這個(gè)平面上的做這條斜線在這個(gè)平面上的射影射影.那那 么斜線么斜線l在平面在平面內(nèi)的射影有幾條？?jī)?nèi)的射影有幾條？ l P AB 思考思考3:3:兩兩條平行直線、相交直線、條平行直線、相交直線、 異面直線在同一個(gè)平面內(nèi)的射影可異面直線在同一個(gè)平面內(nèi)的射影可 能是哪些圖形？能是哪些圖形？ 思考思考4:4:如圖，過平面如圖，過平面外一點(diǎn)外一點(diǎn)P P引平引平 面面的兩條斜線段

4、的兩條斜線段PAPA、PBPB，斜足為，斜足為A A、 B B，再過點(diǎn)，再過點(diǎn)P P引平面引平面的垂線，垂足的垂線，垂足 為為O O，如果，如果PAPAPBPB，那么，那么OAOA與與OBOB的大的大 小關(guān)系如何？反之成立嗎？小關(guān)系如何？反之成立嗎？ PAPBOAOB O P A B 思考思考5:5:如圖，過平面如圖，過平面內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)P P引平引平 面面的兩條斜線的兩條斜線PAPA、PBPB，這兩條斜，這兩條斜 線段在平面線段在平面內(nèi)的射影分別為內(nèi)的射影分別為PCPC、 PDPD，如果，如果PAPAPBPB，那么，那么PCPC與與PDPD的大的大 小關(guān)系確定嗎？小關(guān)系確定嗎？ C P A B

5、 D 思考思考6:6:如圖，直線如圖，直線l是平面是平面的一條的一條 斜線，它在平面斜線，它在平面內(nèi)的射影為內(nèi)的射影為b b，直，直 線線a a在平面在平面內(nèi)，如果內(nèi)，如果abab，那么直，那么直 線線a a與直線與直線l垂直嗎？為什么？反之成垂直嗎？為什么？反之成 立嗎？立嗎？ a l babal 知識(shí)探究（二）：知識(shí)探究（二）：直線和平面所成的角直線和平面所成的角 思考思考1:1:平面的一條斜線與這個(gè)平面總存平面的一條斜線與這個(gè)平面總存 在一個(gè)相對(duì)傾斜度，我們?cè)O(shè)想用一個(gè)平在一個(gè)相對(duì)傾斜度，我們?cè)O(shè)想用一個(gè)平 面角來反映這個(gè)傾斜度，并且這個(gè)角的面角來反映這個(gè)傾斜度，并且這個(gè)角的 大小由斜線與平

6、面的相對(duì)位置關(guān)系所確大小由斜線與平面的相對(duì)位置關(guān)系所確 定，那么角的頂點(diǎn)宜選在何處？定，那么角的頂點(diǎn)宜選在何處？ l 思考思考2:2:如圖，如圖，ABAB為平面為平面的一條斜的一條斜 線，線，A A為斜足，為斜足，ACAC為平面為平面內(nèi)的任意內(nèi)的任意 一條直線，能否用一條直線，能否用BACBAC反映斜線反映斜線ABAB 與平面與平面的相對(duì)傾斜度？為什么？的相對(duì)傾斜度？為什么？ C A B 思考思考3:3:反映斜線與平面相對(duì)傾斜度反映斜線與平面相對(duì)傾斜度 的平面角的頂點(diǎn)為斜足，角的一邊的平面角的頂點(diǎn)為斜足，角的一邊 在斜線上，另一邊在平面內(nèi)的哪個(gè)在斜線上，另一邊在平面內(nèi)的哪個(gè) 位置最合適？為什么

7、？位置最合適？為什么？ P A B 思考思考4:4:我們把平面的一條斜線和它在平我們把平面的一條斜線和它在平 面上的射影所成的銳角，叫做面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線這條斜線 和這個(gè)平面所成的角和這個(gè)平面所成的角. .在實(shí)際應(yīng)用或解題在實(shí)際應(yīng)用或解題 中，怎樣去求這個(gè)角？中，怎樣去求這個(gè)角？ P A B 思考思考5:5:特別地，當(dāng)一條直線與平面垂特別地，當(dāng)一條直線與平面垂 直時(shí)，規(guī)定它們所成的角為直時(shí)，規(guī)定它們所成的角為9090；當(dāng)；當(dāng) 一條直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，一條直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí)， 規(guī)定它們所成的角為規(guī)定它們所成的角為0 0. .這樣，任何這樣，任何 一條直線和一個(gè)平面

8、的相對(duì)傾斜度都一條直線和一個(gè)平面的相對(duì)傾斜度都 可以用一個(gè)角來反映，那么直線與平可以用一個(gè)角來反映，那么直線與平 面所成的角的取值范圍是什么？面所成的角的取值范圍是什么？ 0 ,90 思考思考6:6:如圖，如圖，BADBAD為斜線為斜線ABAB與平面與平面 所成的角，所成的角，ACAC為平面為平面內(nèi)的一條內(nèi)的一條 直線，那么直線，那么BADBAD與與BACBAC的大小關(guān)的大小關(guān) 系如何？系如何？ D C A B BACBAC BADBAD 思考思考7:7:兩條平行直線與同一個(gè)平面兩條平行直線與同一個(gè)平面 所成的角的大小關(guān)系如何？反之成所成的角的大小關(guān)系如何？反之成 立嗎？一條直線與兩個(gè)平行平面

9、所立嗎？一條直線與兩個(gè)平行平面所 成的角的大小關(guān)系如何？成的角的大小關(guān)系如何？ 思考思考8:8:過平面過平面外一點(diǎn)外一點(diǎn)P P引平面引平面的的 斜線，斜足為斜線，斜足為A A，若斜線，若斜線PAPA與平面與平面 所成的角為所成的角為5050，那么點(diǎn)，那么點(diǎn)A A在平面在平面 內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么圖形？?jī)?nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么圖形？ P AO 理論遷移理論遷移 例例1 1 在正方體在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中. . （1 1）求直線）求直線A A1 1B B和平面和平面ABCDABCD所成的角；所成的角； （2 2）求直線）求直線A A1 1B B和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角. . D1 1 A B A1 1 C B1 1 C1 1 D O 例例2 2 如圖，如圖，ABAB為平面為平面的一條斜線，的一條斜線， B B為斜足，為斜足，AOAO平面平面，垂足為，垂足為