(人教版數(shù)學(xué))七年級(jí)競(jìng)賽專題講解：第六講計(jì)算——工具與算法的變遷

1、精品資源第六講計(jì)算一一工具與算法的變遷研究數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)總離不開計(jì)算，隨著時(shí)代的變遷，計(jì)算工具在不斷地改變，從中國(guó)古老的算盤、紙筆運(yùn)算發(fā)展到利用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)運(yùn)算.初中代數(shù)中運(yùn)算貫穿于始終， 運(yùn)算能力是運(yùn)算技能與邏輯能力的結(jié)合， 它體現(xiàn)在對(duì)算理 算律的理解與使用，綜合運(yùn)算的能力及選擇簡(jiǎn)捷合理的運(yùn)算路徑上，這要求我們要善于觀察問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活選用算法和技巧，有理數(shù)的計(jì)算常用的方法與技巧有：1 .巧用運(yùn)算律；2 .用字母代數(shù)；3 .分解相約；4 .裂項(xiàng)相消；5 .利用公式等.【例1】 現(xiàn)有四個(gè)有理數(shù)3, 4, 6, 10,將這4個(gè)數(shù)(每個(gè)數(shù)用且只用一次)進(jìn)行加、 減、乘、除四則運(yùn)算，使其結(jié)果等

2、于24,其三種本質(zhì)不同的運(yùn)算式有：； (2)； (3).(浙江省杭州市中考題)思路點(diǎn)撥 從24最簡(jiǎn)單的不同表達(dá)式人手，逆推，拼湊.注： 今天，計(jì)算機(jī)泛應(yīng)用于社會(huì)生活各個(gè)方面，計(jì)算機(jī)技術(shù)在數(shù)學(xué)上的應(yīng)用，不但使許多繁難計(jì)算變得簡(jiǎn)單程序化，而且還日益改變著我們的觀念與思維.著名的計(jì)算機(jī)專家沃斯說過：程序=算法十?dāng)?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)” .有理數(shù)的計(jì)算與算術(shù)的計(jì)算有很大的不同，主要體現(xiàn)在：(1)有理數(shù)的計(jì)算每一步要確定符號(hào)；(2)有理數(shù)計(jì)算常常是符號(hào)演算；(3)運(yùn)算的觀念得以改變，如兩個(gè)有理數(shù)相加，其和不一定大于任一加數(shù)；兩個(gè)有理數(shù) 相減，其差不一定小于被減數(shù).【例2】 如果4個(gè)不同的正整數(shù) m、n、p、q滿足(7

3、 - m)(7 - n)(7 - p)(7 - q) = 4 ,那么，m+n+p+q等于().(新加坡數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥解題的關(guān)鍵是把【例3】計(jì)算：11(1)1 1 2 12 34表示成4個(gè)不同整數(shù)的形式.a. 10 b. 21 c. 24 d. 26 e. 281“、，+;(“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題)123100(2)1949 1950 +1951 1952 + -+1997 1998 +1999(北東市競(jìng)賽題) (3)5+52+53+十 52002思路點(diǎn)撥 對(duì)于(1),首先計(jì)算每個(gè)分母值，則易掩蓋問題的實(shí)質(zhì)，不妨先從考察一般 情形人手；(2)式使人易聯(lián)想到平方差公式，對(duì)于 (3),由于相鄰

4、的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是 5,可從用字母表示和式著手.【例4】(1)若按奇偶分類,則22004+32004+72004+92004是(2)設(shè)a=355, b= 444, c= 533 ,則a、b、c的大小關(guān)系是 (用“”號(hào)連接);求證：32002 +42002是5的倍數(shù).思路點(diǎn)撥乘方運(yùn)算是一種特殊的乘法運(yùn)算，解與乘方運(yùn)算相關(guān)問題常用到以下知識(shí)：乘方意義；乘方法則； a2n之0；an與a的奇偶性相同；在n4k卡中（k, r為非負(fù)整數(shù)，n。0 , 0w r4）,當(dāng)r=0時(shí)，n4k*的個(gè)位數(shù)字與n4的個(gè)位數(shù)字相同；當(dāng)r 0時(shí)，？ n4k 的個(gè)位數(shù)字與nr的個(gè)位數(shù)字相同.注：在求和中錯(cuò)位相減、倒序相加

5、是計(jì)算中常用的技巧.【例5】有人編了一個(gè)程序：從 1開始，交替地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以 是乘法），每次加法，將上次運(yùn)算結(jié)果加2或加3;每次乘法，將上次運(yùn)算結(jié)果乘2或乘3,例如，30可以這樣得到：， 一，t m3（1）證明：可以得到 22;（2）證明；可以得到 2100 +297 2.學(xué)力訓(xùn)練1. (1)計(jì)算：211x (-455) +365x455-211 x 545+545x 365+h 2004,2003(2)右 a = -, b = -20032002號(hào)連接=.2.計(jì)算：2002,，一,則a、b、c的大小關(guān)系是2001（用歡迎下載(1)(2)1919197676(3)76

6、7676,一19191997 199943510.7 1- 2- (-15) 0.7(-15)=949 4(4) (13.672 黑 125 +136.72 m 12.25 1367.2 =1.875)-17.09 =3.在下式的每個(gè)方框內(nèi)各填入一個(gè)四則運(yùn)算符號(hào)（不再添加括號(hào)），使得等式成立:6 |_3 l_2 口12=241 _ ,，1，14. 1999加上它的1得到一個(gè)數(shù)，再加上所得的數(shù)的1又得到一個(gè)數(shù)，再加上這次得數(shù)的231又得到一個(gè)數(shù)，依次類推，一直加到上一次得數(shù)的,那么最后得到的數(shù)1999是.5 .根據(jù)圖所示的程序計(jì)算，若輸入的1c.一2（北京市海淀區(qū)中考題6 .已知a =1999

7、1999 -1999 -，b1998 1998 19983x值為一，則輸出的結(jié)果為(29d .一22000 2000 - 2000一, c 一1999 1999 1999).2001 2001 - 20012000 2000 2000則 abc=().a. 1 b. 3 c. 3 d. 1(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題).bc - ac ,一7.如果有理數(shù)a、b、c滿足關(guān)系ab0c,那么代數(shù)式 一打丁的值()ab ca.必為正數(shù) b.必為負(fù)數(shù) c.可正可負(fù)d.可能為08,將322、414、910、810,由大到小的排序是().a.322、910、810、414b.322、910、414、810c.91

8、0、810、414、322 d,322、414、910、810(美國(guó)猶他州競(jìng)賽題)9.閱讀下列一段話，并解決后面的問題：觀察下面一列數(shù)：1, 2, 4, 8,，我們發(fā)現(xiàn)，這一列數(shù)從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一 項(xiàng)的比都等于2.一般地，如果一列數(shù)從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，這一列數(shù)就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比.等比數(shù)列5, 15, 45,的第4項(xiàng)是;a2(2)如果一列數(shù)&,a2,a3,a4, 是等比數(shù)列，且公比為q ,那么根據(jù)上述的規(guī)定， 有二二q ,a1a3a423一 =q, =q,所以a2=a1q,a3=a2q= (a1q)q = a1q,a4=a3q= &

9、q ,a2a3an = (用a與q的代數(shù)式表示).(3)一個(gè)等比數(shù)列的第 2項(xiàng)是10,第3項(xiàng)是20,求它的第1項(xiàng)與第4項(xiàng).(廣西省中考題)10.(1)已知 a、b、c都不等于零,且a b c同網(wǎng)id十 ab：的最大值是 abcm，最小值為m,nn,求m n的值.(2)求證：5353 3333是10的倍數(shù).11.計(jì)算2_ (1)2003 -4004 2003 2002 4008-2003 200420032 -3005 2003-2003 2005 2005 30052345678910(2) 2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 +2 =c 1 2 3 3 6 9 5 10 15

10、 7 14 21(3) =;1 3 5 3 9 15 5 15 25 7 21 35(4) 98+998+9998+99二98二50各9200120022003、12 . (1) 3 父7 父13所得積的末位數(shù)字是 ;(江蘇省競(jìng)賽題)(2)若 is+z+b% +15= 14400 ,貝u 23+43+63+ +303 =13 .若a、b、c、d是互不相等的整數(shù)（abcd ）,且abcd = 121 ,則14 .你能比較2001200% 20022001的大小嗎?為了解決這個(gè)問題，我們先寫出它的一般形式，即比較nn+1與（n+1）n的大?。╪是自然數(shù)）,然后，我們從分析 n= l, n=2, n

11、=3中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)歸納，猜想得出結(jié)論。：、“ 1223；2332； 3443； 4554;56（2）從第（1）題的結(jié)果經(jīng)過歸納，可以猜想出nn+1和（n+1）n的大小關(guān)系是 .（3）根據(jù)上面歸納猜想得到的一般結(jié)論，試比較下列兩個(gè)數(shù)的大小20012002 20022001 .11t2t 3tt2t 3的值為（）.（江蘇省常州市中考題）15 .如果 m +m+m =1 ,則 n t2| ha. 1 b. 1（2003年河北省競(jìng)賽題c. 土)1 d.不確定16.如果ac0,那么下面的不等式-:二 0 c2ac:二 02-a c ： 03 一 3c a 0 , ca 0中必定成立的有（a. 1).個(gè)b

12、. 2個(gè)c. 3個(gè)d.17.設(shè) s =2322+ +3 5 5 797 99_2_4812 22,t = +，則99s-t=()24999b.1-29c.?1d.談1 99“五羊杯”競(jìng)賽題）18. 10個(gè)互不相等的有理數(shù)，每9個(gè)的和都是約數(shù)的真分?jǐn)?shù)）”，則這a. 1 b.2（江蘇省競(jìng)賽題）10個(gè)有理數(shù)的和為1118c.d.“分母為 22的既約真分?jǐn)?shù)（分子與分母無(wú)公 ）.5919.圖中顯示的填數(shù)“魔方”只填了一部分,將下列1x的值.32, 64填入方格中，使得所有行、列及對(duì)角線上各數(shù)相乘的積相等，求 （上海市競(jìng)賽題）20.設(shè)三個(gè)互不相等的有理數(shù)，既可分別表示為1,a+b, a的形式，又可分別表示

13、為0b的形式，求a2002+b2001的值.21 . （1）三個(gè)2,不用運(yùn)算符號(hào)，寫出盡可能大的數(shù)；（2）三個(gè)4,不用運(yùn)算符號(hào)，寫出盡可能大的數(shù)；（3）用相同的3個(gè)數(shù)字（19）,不用運(yùn)算符號(hào)，寫出最大的數(shù).22 .如圖，是一個(gè)計(jì)算裝置示意圖，ji,j2是數(shù)據(jù)輸入口，c是計(jì)算輸出口，計(jì)算過程是由j1j2分別輸入自然數(shù) m和n,經(jīng)計(jì)算后得自然數(shù)k由c輸出，此種計(jì)算裝置完成的計(jì)算滿足以下三個(gè)性質(zhì)：(1)若ji, j2分別輸入1,則輸出結(jié)果為1;(2)若ji輸入任何固定的自然數(shù)不變，j2輸入自然數(shù)增大1,則輸出結(jié)果比原來增大2;(3)若j2輸入l, j1輸人自然數(shù)增大1,則輸出結(jié)果為原來的2倍.試問：

14、(1)若j1輸入l, j2輸入自然數(shù)n,輸出結(jié)果為多少？(2)若j2輸入l, j1輸入自然數(shù)m,輸出結(jié)果為多少？(3)若j1輸入自然數(shù)m, j2輸入自然數(shù)n,輸出的結(jié)果為多少？(2002年揚(yáng)州中學(xué)招生試題)參考答案回計(jì)工具與尊法的變遷1例題求解】例1下列算式供參考i3x4 + 】0-6仃，門0如一 3hl 6),4 專3x10.例工選e 提示-幻乂 i 乂(一1例3門；翟 提示工14,+1 k= / ln = -r匕4-二兀j011十2十3十十h 時(shí):什 f#(h4- 1) ri 師+1-2-s3 r小)38973即1 .據(jù)示：設(shè)5=5十臚+5*+，+5制、則5,=守十5工十”。卜31二例*因

15、為3%一于所啜之皿與皿的個(gè)位就學(xué)分別身手.尸的個(gè)位數(shù)字相同+即九6.以耐3*- + 4m的十位數(shù)字為5 ,因此.3皿+4而是6的拈效._ _ xj +2 xi , +3 x2 +例 s (1)1 * 2 一, 4 8=*- 10 *1 20 叩之鼻6drr 2.41)一43. g11g 3胃 3;賽(4)4的注意 13性=8火 ims. 3.略4. 1999cc0 提示；第式=1騏9 50 +工13 + !)乂父口 +金1u. (11- is5. c b. a 7. b h. a * 口 : - 135tg。，=山爐川/箝山= 科=蚪倡72提示|百 =土1，忖= *e= - 4mg53”與 招

16、”的個(gè)牧勁宇相同,1l (1)粉近幻e提示i2#l-少-2、中冬近4”11僦12. (119,)115200dqts。 r4g個(gè)i14 (口喏卻當(dāng)k芬3時(shí)e*-am+】，的).ls-a 皿c提示,洋r+d去，聞a這9個(gè)數(shù)的枳力1乂；*1乂2乂4*白乂15乂猊陽(yáng)=6，所以,每行、等列、擇條對(duì)南戰(zhàn)上三個(gè)數(shù)字科幻自， 將近=11/=1.工=,分別為4,4，,4申的某個(gè)數(shù)推得=心卻，提示:這兩個(gè)二數(shù)組在送當(dāng)?shù)念}序下對(duì)誦相等，于是可以斷定十后與u中有一個(gè)為g,、l與&中有一個(gè)為1,再時(shí)由得 = -1 .fr=l.2l i)2jc,(2)14 -4申(箝或所用霰字為叫叫得下面4種寫法；：荔,e1一,，.者1