九年級幾何證明-旋轉(zhuǎn)綜合專題

1、知識點一（旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)）【知識梳理】（1）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等（意味著：旋轉(zhuǎn)中心在對應(yīng)點連線段的垂直平分線上）；（2）對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等?！纠}精講】考點一：旋轉(zhuǎn)線段問題例1、如圖，在RtABC中，ZABC=90, AB=BC= 272將AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到ADE, 連接BE,則BE的長是.1/3例2、如圖，已知ABC中，ZC=90, AC=BC=V2將AABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60。到四的位置，連接CB.則CB的長為（）A. 2-V2 B.苧 C.1乙D. 1例3、如圖，四邊形ABCD中，AB=3, BC=2,若AC

2、=AD且NACD=60。，則對角線BD的長最大值為D,廿例 4、如圖，在 RtZABC 和 RtBCD 中，NBAC=NBDC=90。，BC=8, AB=AC, NCBD=30。，BD=4V3M, N分別在BD, CD上，NMAN=45。，則DMN的周長為.A考點二：四邊形的旋轉(zhuǎn)鄰角相等對角互補模型【條件】如圖，四邊形.158 中，三切，ZBAD = ZBCD = 90s【結(jié)論】ZACB = ZACD = 45 BC + CD = 42AC例5、如圖，在正方形ABCD內(nèi)作/EAF=45。，AE交BC于點E, AF交CD于點F,連接EF,過點A作AH EF,垂足為H,將ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90

3、。得到ABG,若BE=2, DF=3,則AH的長為 .例6、如圖，正方形ABCD的邊長為6, E, F分別是AB, BC邊上的點，且NEDF=45。，將aDAE繞點D逆 時針旋轉(zhuǎn)90。，得到DCM.(1)求證：EF=FM.(2)當(dāng)AE=2時，求EF的長.例7、如圖，已知四邊形ABCD是正方形，AAEF是等邊三角形，E、F分別位于DC邊和BC邊上.(1)求NDAE的度數(shù)；(2)若正方形ABCD的邊長為1,求等邊三角形AEF的面積：(3)將aAEF繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn)m (0m180)度，使得點A落在正方形ABCD的邊上，求m的值.例8、如圖1,四邊形ABCD,將頂點為A的NEAF繞著頂點A順時針旋

4、轉(zhuǎn)，角的一條邊與DC的延長線交 于點F,角的另一邊與CB的延長線交于點E,連接EF.(1)如果四邊形ABCD為正方形，當(dāng)NEAF=45。時，有EF=DF - BE.請你思考如何證明這個結(jié)論(只需思 考，不必寫出證明過程)；(2)如圖 2,如果在四邊形 ABCD 中，AB=AD, ZABC=ZADC=90,當(dāng)NEAFNBAD 時，EF 與 DF、 2BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出它們之間的關(guān)系式（只需寫出結(jié)論）:（3）如圖3,如果在四邊形ABCD中，AB=AD, /ABC與NADC互補，當(dāng)NEAFNBAD時，EF與DF、 2BE之間有怎樣的數(shù)學(xué)關(guān)系？請寫出它們之間的關(guān)系式并給予證明;求4CEF

5、的周長（直接寫出結(jié)果即可）.(4)在(3)中，若 BC=4, DC=7, CF=2,例9、如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且EF分別與AB、AD的延長線交于點M、N, ZEAF=ZCEF=45.點G在邊AB的延長線上，將ADF繞著點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。后能與AAGH 重合，連接EH.（1）求證:EH=EF：知識點三（知識點名稱）考點三：等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)例10、如圖所示，已知AABC中，AB=AC, NBAC=90。，直角4EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分 別交AB、AC于點E, F,給出以下四個結(jié)論：AE=CF；AEPF是等腰直角三角形：S四邊形aepf=

6、5s.abc： EF=AP.乙當(dāng)NEPF在陽（：內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A, B重合），上述結(jié)論中始終正確的有（）A.B.C. D.詼）例n、已知：ZkAOB和ACOD均為等腰直角三角形，ZAOB=ZCOD=90.連接AD, BC,點H為BC中 點，連接OH.（1）如圖1所示，易證：OHAD且OHLAD （不需證明） 2（2）將ACOD繞點O旋轉(zhuǎn)到圖2,圖3所示位置時，線段OH與AD又有怎樣的關(guān)系，并選擇一個圖形證明 你的結(jié)論.例12、已知AABC與4DEC是兩個大小不同的等腰直角三角形.（1）如圖所示，連接AE, DB,試判斷線段AE和DB的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖所示，連接

7、DB,將線段DB繞D點順時針旋轉(zhuǎn)90。到DF,連接AF,試判斷線段DE和AF的數(shù) 量和位置關(guān)系，并說明理由.例 13、如圖 1,在4ACB 和aAED 中，AC=BC, AE=DE, NACB=/AED=90。，點 E 在 AB 上，F(xiàn) 是線段 BD 的中點，連接CE、FE.（1）請你探究線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不需說明理由）；（2）將圖1中的aAED繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使4AED的一邊AE恰好與4ACB的邊AC在同一條直線上（如圖2）,連接BD,取BD的中點F,問（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由：（3）將圖1中的AAED繞點A順時針旋轉(zhuǎn)任意的角度（如圖3）,連接BD,

8、取BD的中點F,問（1）中的 結(jié)論是否仍然成立，并說明理由.【課堂練習(xí)】1、如圖，回(：與ACDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點M, N分別是斜邊AB, DE的中點，點P為AD的中點，連接AE、BD、NIN.(1)求證：PMN為等腰直角三角形；(2)現(xiàn)將圖中的4CDE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)a (00aAB.操作發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，點D在GC上，連接AC、CF、CG、AG,則AC和CF有何數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并說明理 由.實踐探究：（2）如圖2,將圖1中的紙片CEFG以點C為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點D落在GE上時停止旋轉(zhuǎn)，則AG 和GF在同一條直線上嗎？請判斷，并說明理由.3、

9、如圖（1）,在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF=BE.容易證得：CE=CF； （1）在圖1中，若G在AD上，且NGCE=45。.試猜想GE、BE、GD三線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.（2）運用（1）中解答所積累的經(jīng)驗和知識，完成下而兩題：如圖（2）,在四邊形ABCD中NB=ND=90。，BC=CD,點E,點G分別是AB邊，AD邊上的動點.若/ BCD=a。，ZECG=p0,試探索當(dāng)a和0滿足什么關(guān)系時，圖（1）中GE、BE、GD三線段之間的關(guān)系仍然成 立，并說明理由.在平面直角坐標(biāo)中，邊長為1的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點0在原

10、 點.現(xiàn)將正方形OABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點第一次落在直線尸x上時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊 交直線y=x于點M, BC邊交x軸于點N （如圖（3）.設(shè)MBN的周長為p,在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程 中，p值是否有變化？請證明你的結(jié)論.【課后作業(yè)】1、如圖，已知AABC和AADE都是等腰直角三角形，NACB=NADE=90。，點F為BE的中點，連接CF,DF.（1）如圖，當(dāng)點D在AB上，點E在AC上時，請判斷線段CF, DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？為什么？（2）如圖，將圖中的aADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖位置時，請判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并證明你2、如圖1,已知ABAD和4BCE均為等腰直角三角形，NBAD=NBCE=90,點M為DE的中點，過點E與 AD平行的直線交射線AM于點N.（1）將圖1中的4BCE繞點B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A, B, E三點在同一直線上時（如圖2）,判斷AACN的形狀并說 明理由：（2）將圖1中4BCE繞點B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時（A, B, M三點在同一直線上），（1）中的結(jié)論是否仍成立？3、在正方形ABCD的邊AB上任取一點E,作EFJ_AB交B