考點(diǎn)05導(dǎo)數(shù)的概念與應(yīng)用(解析版)

1、考點(diǎn)05導(dǎo)數(shù)的概念與應(yīng)用14【知識(shí)框圖】【自主熱身歸納提煉】考點(diǎn)05導(dǎo)數(shù)的概念與應(yīng)用【問(wèn)題探究開(kāi)狂思維】【自主熱身，歸納提煉】1、 (2021蘇州期末) 曲線y = x+ 2ex在x = 0處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 .【答案】3【解析】由y = x + 2ex，得y= 1 + 2ex，切點(diǎn)為(0 , 2)，切線斜率為3，切線方程為y= 3x + 2.切線與坐標(biāo)2 1 2 2軸的交點(diǎn)為 A 3， 0 , B(0 , 2)，所以 Saaob= 2 3 2= 3.2、 (2021蘇錫常鎮(zhèn)、宿遷一調(diào))假設(shè)曲線G: y= ax3 6x2+ 12x與曲線G: y= ex在x= 1處的兩條切線互

2、相垂直，那么實(shí)數(shù)a的值為.1【答案】3e【解析】：因?yàn)閥 = 3ax2 12x + 12, y = e：所以兩條曲線在 x = 1處的切線斜率分別為 匕=3a, k2 = e,1即 k1 k2= 1，即 3ae = 1，所以 a= .3e3、(2021南通期末)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，記曲線y= 2x -(x R, m存一2)在x= 1處的切線為直線xI.假設(shè)直線I在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12,那么實(shí)數(shù)m的值為.【答案】3或4【解析】ym=2 + x2, yx= 1= 2 + m 所以直線 l 的方程為 y (2 m) = (2 + m)( x 1)，即 y = (2 + m)x 2m令

3、x= 0,得 y= 2m 令 y = 0,2mx= t+ 2.由題意得m+2 2m= 12,IT+ 2解得m= 3 或 m= 4.4、(2021蘇北三市期末)函數(shù)f(x)322x 3x mx 5,m, 0x仝1,假設(shè)函數(shù)f(x)的圖象與x軸有且只有兩個(gè) x1.不同的交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù) m的取值范圍為 .【答案】(5, 0)【解析】由 f(x) 2x3 3x2 m，所以，f (x) 6x2 6x，所以，f(x)在 0,1上單調(diào)遞增，即至多有一個(gè)交點(diǎn)，要使函數(shù)f (x)的圖象與x軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即 m 50，從而可得m ( 5,0)m 05、(2021六市二模聯(lián)考)點(diǎn)A(1,1)和B( 1，

4、 3)在曲線C： y= ax3+ bx2 + d( a, b, d均為常數(shù))上.假設(shè)曲線C在點(diǎn)A, B處的切線互相平行，那么a3 + b2 + d=.【答案】7【解析】由題意得 y= 3ax2 + 2bx，因?yàn)?ki= k2,所以 3a+ 2b= 3a 2b,即 b= 0.又 a+ d= 1, d a=323，所以 d= 1, a= 2，即 a + b + d = 7.6、 (2021南通二模聯(lián)考) 函數(shù)f(x) = In x夕* R)在區(qū)間1 , e上取得最小值 4,貝U m=.【答案】3e【解析】：因?yàn)閒 (x)在區(qū)間1 , e上取得最小值 4,所以至少滿足f (1) 4, f(e) 4,

5、解得m 3e，又f (x)=竺毀 且 x 1 , e，所以 f (x)0，即 f (x)在1 , e上單調(diào)遞減，所以 f (x) min= f (e) = 1 史=xe4，即 m= 3e.精彩點(diǎn)評(píng)：此題的解法采用了逐步逼近的方法，此題題干中所給條件為f(x)在區(qū)間1 , e上取得最小值4，那么f(1) 0時(shí)，實(shí)數(shù)b的最小 值是.【答案】 1【解析】因?yàn)橹本€y x b是曲線y al nx的切線，令切點(diǎn)為(x0, x0 b)所以 y lx xo a 1, x0 a, a b aln a,b alna a。令函數(shù) g(a) alna a(a 0)g (a) In a 1 1 In a=0 時(shí)，a 1

6、 當(dāng) 0 a 1 時(shí)，g (a)0，當(dāng) a 1 時(shí)，g (a) 0 ,所以函數(shù)g(a)在(0,1)上遞減，在(1,)上遞增g(a)最小值為g(1)1所以b最小值為 1.【關(guān)聯(lián)2】假設(shè)函數(shù)f(x) x3 ax2 bx為奇函數(shù)，其圖象的一條切線方程為 y 3x 4血，那么b的值為.【答案】3.【解析】因?yàn)閒 (x)是奇函數(shù)，所以a=0, f(x) = x3+bx.設(shè)f(x)在點(diǎn)(X。，y)處的切線為：y 3x 4,2，得y 0 x3 bx03 3x( b ，解得 b= 3.y 3x)4 2【關(guān)聯(lián)3】(2021泰州調(diào)研)1曲線y = x(x0)與曲線y= In x公切線(切線相同)的條數(shù)為x【答案】

7、1【解析】：令公切線與曲線1f(x)=-切于點(diǎn)AX1, x (x10).因?yàn)?f (x)1 1X2，g (X)= Xx xIn X2+ 112X11所以 2 =, 即 X2 = X 1 .又 kAB= = 2，所以X1X2X2 X1X112ln X1+X112= 2，所以 2X1l n( X1) = X1 2.令一X1 = t 0,所以一2t I nt = t 2，即 2t I nt = t + X1 X1X11 1 1 12(t0)，所以Int = t + 2(t0)，畫(huà)出函數(shù)y= In t與y=t + 2的圖像(如圖)，在(0，+m )上只有一解，所以公切線只有一條.解后反思 此題也可用圖

8、像分析如圖，必定存在一條公切線，設(shè)這條切線與y= lnx的切點(diǎn)為P.向右11移動(dòng)點(diǎn)P,那么切線的斜率變小，切線與y = -(x0)相交；向左移動(dòng)點(diǎn) P,那么切線的斜率變大，與y = -Xx(x o)在x= 1X I I處的切線為I，那么點(diǎn)(2 , - 1)到直線I的距離的最大值為【答案】2解法1由題意，切點(diǎn)坐標(biāo)為1, m，因?yàn)?y =m(x+ 1)m m為 y 2 = 4 (- 1)，即 I(m+4) 28m2= i 1 +2m+ 16m+ 16取等號(hào))，那么dw 2,故點(diǎn)(2 ,2,所以切線I的斜率k=-m，故切線I的方程|2m 3 m- 4|:mx+ 4y 3m= o,那么點(diǎn)(2 , 1)

9、到直線 I的距離 d =2=扌m+ 416，又因?yàn)閞nQ所以rn+ m21)到直線I的距離的最大值為2.m-蘭=8(當(dāng)且僅當(dāng)m= 4時(shí) mmmm解法2由題意，切點(diǎn)坐標(biāo)為 1, ,因?yàn)閥=2，所以切線I的斜率k =-,故切線I的2(- + 1)4方程為y m= ?x 1)，那么直線I : m(x 3) + 4y = o恒過(guò)定點(diǎn)(3 , o)，故當(dāng)直線I與兩點(diǎn)(3 , o) , (2 , 1)的連線垂直時(shí)，點(diǎn)(2 , 1)到直線I的距離的最大，且為 2.【關(guān)聯(lián)2】(2021南京、鹽城、連云港二模)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線C: xy = , 3上任意一點(diǎn)P到直線I : x+Q3y = 0的距

10、離的最小值為 .【答案】 3解法1根本不等式設(shè)曲線C: xy =、/3上任意一點(diǎn)P xo,右，它到直線I : x +寸3y = 0的距離3Xo+ xo3 |x o| + xo233,當(dāng)且僅當(dāng)|x o| =|x|，即xo = 3時(shí)取等號(hào).Xo解法2導(dǎo)數(shù)設(shè)過(guò)曲線C: xy = Q3上任意一點(diǎn)Pxo,習(xí) 的切線與直線I : x +3y = o平行.xo因?yàn)?y =亠2，所以 y |x = xo=亠2 = ，解得 xo= 3.xxo 3中當(dāng) xo=3時(shí)，P 3 , 1到直線 I : x + 3y = o 的距離 d=13；31 =3;當(dāng)xo=時(shí)，P護(hù),-1到直線I : x+Q3y = o的距離d =

11、1 =、/3,所以曲線C: xy = 3上任意一點(diǎn)到直線I : x + 3y = o的距離的最小值為3.【關(guān)聯(lián)3】2。17年?yáng)薏柚袑W(xué)模擬分別在曲線y ex與直線y ex 1上各取一點(diǎn)M,N那么MN的最小值解析：如下圖，在兩個(gè)函數(shù)圖像上分別取一點(diǎn)，求距離最小值等價(jià)為將直線y ex 1平移與y ex相切時(shí)的兩條平行線的距離設(shè)y ex上的任一點(diǎn)P x,y，那么在該點(diǎn)處的切線斜率 k ex e，所以x。 1 點(diǎn)評(píng)：一直線上任一點(diǎn)到另一曲線上任一點(diǎn)的距離最值問(wèn)題可以不要用函數(shù)思想建立函數(shù)研究，可以直接即切線方程為y ee x 1，所以兩條平行線間的距離為根據(jù)最值的幾何特征，再進(jìn)行代數(shù)計(jì)算X 【關(guān)聯(lián)4】(

12、2021宿遷期末)函數(shù)f(x) = l, g(x) = kx + b(k , b R).in x(1) 求函數(shù)y= f(x)的定義域和單調(diào)區(qū)間；2(2) 當(dāng)b=專且x1時(shí)，假設(shè)直線y = g(x)與函數(shù)y = f (x)的圖像相切，求 k的值；2 一 1 一(3) 當(dāng)b=- k時(shí)，假設(shè)存在x e , e ，使得f (x) 1)，然后應(yīng)用斜率的兩種算法(一是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，一是解in xo釋幾何中斜率的定義即兩點(diǎn)坐標(biāo)形式)建立方程，解方程即可，解方程可先觀察出它的解，再用函數(shù)的單調(diào)性判斷其解的唯一性.(3)角度一，令$ (x) = f(x) g(x)( e x0 得 x (1 , e);由 h

13、(x)0,lnx 1f (x) = |n 2x, (2 分)lnx 1由 f (x) =20 得 x (e,+m );in xin x 1由 f (x) = in2x 1)，切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)2X0ein X0 1in X0 4所以 k =f (X。)=從0，且 k = X0 0 .2X。e,in X。4 in X0 1 八 “口 e2 2八由 X0 0 = in 2X0，化簡(jiǎn)得 4in X0= X0.(6 分 )2 l1 1 e x e xex因?yàn)?X01,所以 in X0= $/x0.21令 h(x) = in xx(x1)，所以 h (x)= 一ex所以y = h(x)在(1 , e2)上單調(diào)遞

14、增，在(e2,+ )上單調(diào)遞減，(8分)所以y = h(x)極大值=h(e) = 0,2 L2所以方程in X0= $X0在x (1 ,+s )上有唯一解X0 = e ,2 ine 11所以 k = f (e)= in 2e2 = 4.(10 分)X21 解法 1 令0 (x) = f(x) g(x) = mx kx + k( ewxw e)，依題意知 0 (x) minw空,In x 10(x) = ln2x k =1 1ln x 22+4 - k的值域?yàn)閗, : k .(12 分)當(dāng)一k 0,即卩k w 0時(shí),e2上單調(diào)遞增,1所以 0 (x) min=0 (e) = e k( e 1) w ?,1e2解得k ，與kw 0矛盾，不合題意.e 11 1當(dāng) 4 kw 0，即 k 4 時(shí)，0 (x) w 0, 0 (x)在e,-2 e221所以0 (x) min=