理學矩量法PPT學習教案

1、會計學1 理學矩量法理學矩量法 矩量法矩量法(簡稱簡稱MoM)，就其數值分析而言就是廣義，就其數值分析而言就是廣義 Galerkin(伽略金伽略金)法。矩量法包括兩個過程，法。矩量法包括兩個過程，離散化過程離散化過程 和選配和選配過程過程，從而把線性算子方程轉化為矩陣方程。這，從而把線性算子方程轉化為矩陣方程。這 里先舉一個簡單的例子。里先舉一個簡單的例子。 第1頁/共62頁 例例1無限薄導體圓盤上的電荷分布問題。無限薄導體圓盤上的電荷分布問題。 試討論半徑為試討論半徑為a的無限薄理想導體圓盤，在中心線的無限薄理想導體圓盤，在中心線 距離距離d處有一點電荷處有一點電荷 ，如圖，如圖5-17-1

2、所示，求解導體圓盤所示，求解導體圓盤 上的電荷分布。上的電荷分布。 解解 假設導體圓盤上電荷密度為假設導體圓盤上電荷密度為 ，根據電，根據電 磁學的基本概念可知：磁學的基本概念可知： (1) 由外加電荷由外加電荷Q在導體圓盤上產生的電位在導體圓盤上產生的電位e 和導體圓和導體圓 盤本身感應電荷密度盤本身感應電荷密度所產生的電位所產生的電位i之和之和U 在盤上處在盤上處 處相等，即保證導體圓盤是等位面。處相等，即保證導體圓盤是等位面。 (2) 由于本問題中是感應電荷，因此總電荷由于本問題中是感應電荷，因此總電荷Qi0，其中，其中 ( ,)x y 第2頁/共62頁 圖圖5-17-1導體圓盤上的電荷

3、分布導體圓盤上的電荷分布 (5-17-1) (5-17-2) (5-17-3) 222 0 4 e Q xyd 0 ( ,) 4 i s x y dS r ( ,) i s Qx y dS 第3頁/共62頁 于是，問題可寫為于是，問題可寫為 (5-17-4) 式中式中r= ，其中打撇的表示源點，不打撇的表，其中打撇的表示源點，不打撇的表 示場點。示場點。 這個問題，采用電磁學經典解析方法不能很好的解決，這個問題，采用電磁學經典解析方法不能很好的解決， 因為未知量因為未知量 處于積分內部，是一個典型的積分方程。為此處于積分內部，是一個典型的積分方程。為此 ，把圓盤分割成兩部分：中心小圓和外部環(huán)帶

4、，把圓盤分割成兩部分：中心小圓和外部環(huán)帶(如圖如圖5-17-1所所 示示)，并，并假定每一部分內的電荷密度假定每一部分內的電荷密度 (i=1,2)近似為常數近似為常數，于，于 是是 (5-17-5) 式中式中 (5-17-6) 0() ei i U Q 約束條件 22 ()()xxyy i 2 1122 1 ( ,)()() i x yP SP S 1 () 0 i i i SS P S SS 第4頁/共62頁 稱為脈沖函數，這時問題方程稱為脈沖函數，這時問題方程(5-17-4)成為成為 (5-17-7) (5-17-8) 把問題方程把問題方程(5-17-4)近似的轉化為式近似的轉化為式(5-

5、17-7)和式和式(5-17-8)的過的過 程稱為離散化過程。但是，必須注意到方程程稱為離散化過程。但是，必須注意到方程(5-17-7)中，場點中，場點r 表示圓盤上的任意點表示圓盤上的任意點(x，y)，換句話它們是不定的，因而式，換句話它們是不定的，因而式(5- 17-7)中包含著無限個方程。另一方面，離散后的方程組中包含著無限個方程。另一方面，離散后的方程組(5-17- 7)和方程組和方程組(5-17-8)內只有三個未知數內只有三個未知數 、 和和 ，于是，于是 方程組超定。方程組超定。 () i P S 2 1 0 2 1 4 0 i e i i S ii i dS U r S 1 2

6、U 第5頁/共62頁 為了把為了把超定方程組超定方程組轉化為轉化為唯一解唯一解的方程組，可以采用很的方程組，可以采用很 多辦法。矩量法中，習慣用選配過程解決這個問題。簡單說多辦法。矩量法中，習慣用選配過程解決這個問題。簡單說 來，即在來，即在每個離散的單元每個離散的單元上上只選取一個場點只選取一個場點作為代表來建立作為代表來建立 方程。例如，在方程。例如，在例例1中對于離散的中對于離散的 和和 分別取分別取 和和 兩點做試驗點，如圖兩點做試驗點，如圖5-17-2所示。具體寫出方程組所示。具體寫出方程組 (5-17-9) 其中其中 1111221 2112222 1122 0 e e llU l

7、lU SS 第1試驗點 第2試驗點 1 S 11 (,)x y 22 (,)xy 2 S 第6頁/共62頁 1 2 11 22 0 11 12 22 0 11 21 22 0 22 1 (5-17-10) 4 ()() 1 (5-17-11) 4 ()() 1 4 ()() S S dS l xxyy dS l xxyy dS l xxyy 1 2 22 22 0 22 (5-17-12) 1 (5-17-13) 4 ()() S S dS l xxyy 圖圖5-17-2 圓盤上的試驗點圓盤上的試驗點 1111221 2112222 1122 0 e e llU llU SS 第1試驗點 第2

8、試驗點 第7頁/共62頁 其中其中 表示表示 面元電荷面元電荷在在 處產生場的自作用單元；處產生場的自作用單元； 表示表示 面元電荷在面元電荷在 處產生場的自作用單元；處產生場的自作用單元； 表示表示 面元電荷在面元電荷在 處產生場的互作用單元；處產生場的互作用單元； 表示表示 面元電荷在面元電荷在 處產生場的處產生場的互互作用單元。作用單元。 1 S 1 S 2 S 2 S 11 l 22 l 12 l 21 l 11 (,)x y 11 (,)x y 22 (,)xy 22 (,)xy 1 2 11 22 0 11 12 22 0 11 21 22 0 22 1 (5-17-10) 4 (

9、)() 1 (5-17-11) 4 ()() 1 4 ()() S S dS l xxyy dS l xxyy dS l xxyy 1 2 22 22 0 22 (5-17-12) 1 (5-17-13) 4 ()() S S dS l xxyy 第8頁/共62頁 又有又有 (5-17-14) 經過經過離散化過程和選配離散化過程和選配過程，將積分方程組過程，將積分方程組(近似地近似地)轉化為矩轉化為矩 陣方程陣方程 (5-17-15) 由此得出電荷分布的解為由此得出電荷分布的解為 (5-17-16) 1 222 0 11 2 222 0 22 1 4 1 4 e e Q xyd Q xyd 1

10、11211 212222 12 1 1 00 e e ll ll SSU 1 111121 221222 12 1 1 00 e e ll ll USS 第9頁/共62頁 圖圖 5-17-3 矩量法的一般過程矩量法的一般過程 圖圖5-17-3所示的矩量法求解問題的一般過程。所示的矩量法求解問題的一般過程。 討論討論 (1)矩量法的原問題并不限于積分方程，也可以是微分矩量法的原問題并不限于積分方程，也可以是微分 方程或其他方程。但必須能抽象成方程或其他方程。但必須能抽象成算子方程算子方程。從這一點而言。從這一點而言 ，它是普遍的；另一方面，矩量法最終要轉化為，它是普遍的；另一方面，矩量法最終要轉

11、化為矩陣方程矩陣方程加加 以解決。因此，原問題必須屬于線性算子范疇。例如，最速以解決。因此，原問題必須屬于線性算子范疇。例如，最速 下降線所構成的積分方程下降線所構成的積分方程 不是線性泛函，所以不是線性泛函，所以 無法采用矩量法。無法采用矩量法。 (2) 電磁理論中計算的矩陣單元，一般均表示某個源在一個區(qū)電磁理論中計算的矩陣單元，一般均表示某個源在一個區(qū) 域所產生的場，而實際產生的場往往都隨著源的距離增加而域所產生的場，而實際產生的場往往都隨著源的距離增加而 減少。換句話說，矩量法中矩陣一般是對角占優(yōu)的：自作用減少。換句話說，矩量法中矩陣一般是對角占優(yōu)的：自作用 單元單元 比互作用單元比互作

12、用單元 所起的作用要大。這一點在概念所起的作用要大。這一點在概念 上十分重要。上十分重要。 2 1 2 y Jdy gy nn l() mn lmn 第10頁/共62頁 矩量法的研究對象是一般非齊次方程矩量法的研究對象是一般非齊次方程 (5-17-17) 線性算子線性算子 的運算空間稱為定義域，而的運算空間稱為定義域，而 組成的空間稱為值組成的空間稱為值 域。式域。式(5-17-17)中中 是已知的是已知的激勵函數激勵函數， 為為未知函數未知函數。令。令 在在 的定義域內展開成的定義域內展開成 的組合，有的組合，有 (5-17-18) 2.2 矩量法的一般過程矩量法的一般過程 ( )L ug

13、( )L u g u L 12 , nn uu uu即 1 N T nn n uuu 其中其中 1 N 為展開系數矩陣 u 第11頁/共62頁 表示矩陣轉置，應該注意到：表示矩陣轉置，應該注意到：展開函數與基函數展開函數與基函數是有區(qū)是有區(qū) 別的。一般來說，基函數是一無限展開。從完備基轉化為近別的。一般來說，基函數是一無限展開。從完備基轉化為近 似有限截斷基已經構成誤差了，再從有限截斷基轉化為有限似有限截斷基已經構成誤差了，再從有限截斷基轉化為有限 展開函數就很難保證展開函數就很難保證 能收斂于能收斂于 ，這也是矩量法的，這也是矩量法的 研究中需要深入研究的一個問題。這里且寫出研究中需要深入研

14、究的一個問題。這里且寫出 (5-17-19) 而而 1 N u u u 為展開函數 1 N nn n u u 1 () N nn n L ug 從算子方程從算子方程(5-17-17)到式到式(5-17-19)即構成離散化過程。它可以即構成離散化過程。它可以 是是函數離散函數離散，也可以是，也可以是區(qū)域離散區(qū)域離散，或兩者兼有。，或兩者兼有。 T 第12頁/共62頁 現在規(guī)定適當的內積現在規(guī)定適當的內積 。在算子。在算子L的值域內定義一類的值域內定義一類 權函數權函數(或檢驗函數或檢驗函數) ,作用于式作用于式(5-17-19)兩邊兩邊 ，且取內積，有，且取內積，有 (5-17-20) 這就是所

15、謂的選配過程或試驗過程，矩量法的名稱也由這就是所謂的選配過程或試驗過程，矩量法的名稱也由 此而來，即把激勵矢量此而來，即把激勵矢量 和和 分別向權空間投影，分別向權空間投影， 取它的矩，根據矩的大小確定展開系數。取它的矩，根據矩的大小確定展開系數。 如果展開函數的數目與權函數數目相等，則可把式如果展開函數的數目與權函數數目相等，則可把式 (5-17-20)寫成矩陣形式寫成矩陣形式 (5-17-21) 其中其中 (5-17-22) 于是可以解出于是可以解出 (5-17-23) ,g 12 , N 1 , (), N nn n mm L ug 1,2,mN g () n L u mnnm lg ,

16、 () mnnm lL u 1 nmnm lg 第13頁/共62頁 若規(guī)定函數矩陣若規(guī)定函數矩陣 (5-17-24) 于是待求的函數為于是待求的函數為 (5-17-25) 矩量法的一般過程的數學表示如圖矩量法的一般過程的數學表示如圖5-17-4所示。所示。 十分清楚，矩量法的結果優(yōu)劣取決于：離散化程度；十分清楚，矩量法的結果優(yōu)劣取決于：離散化程度； 和和 的選??；線性方程組的求解。在的選取；線性方程組的求解。在 = 的特的特 殊情況下，可稱為殊情況下，可稱為Galerkin(伽略金伽略金)法法，于是矩量法也稱于是矩量法也稱 為廣義為廣義Galerkin法。法。 12 , T nN uu uu

17、1TT nnmnm uuu lg n u n u m m 第14頁/共62頁 圖圖5-17-4 矩量法一般過程的數學表示矩量法一般過程的數學表示 第15頁/共62頁 例例2研究研究 ，其中，其中 解解 已經知道，此問題存在精確解已經知道，此問題存在精確解 本例采用矩量法求解，選擇本例采用矩量法求解，選擇 再選擇權函數再選擇權函數 ( )L ug 2 2 2 ,14, (0)(1)0 d Lgx uu dx 24 0 511 ( ) 623 uxxxx 1 1,2,.(,) n n uxnxxN 1m uxx mm 第16頁/共62頁 即采用即采用Galerkin法，內積定義為法，內積定義為 于

18、是可給出一般計算結果于是可給出一般計算結果 1 0 ,( ) ( )gx g x dx 1 2 11 2 0 d , ()()()d d mn mnmn lL uxxxxx x 1 0 (1)()d 1 nm n mn n nxxx mn 第17頁/共62頁 歸納起來有歸納起來有 1 12 0 ,()(14)d m mm ggxxxx 1 133 0 (44)d mm xxxxx 114(38) 1 2242(2)(4) mm mmmm (38)(38) , 12(2)(4) mnm mmmm lg mnmm 第18頁/共62頁 情況情況1：N=1 1111 11111 , 33010 lg

19、于是有于是有 2 1 ( )() 10 u xxx 情況情況2: N=2 1 2 1111 3230 147 2512 1 2 41111 521030 60 1127 23312 2323 122312 ( )()() 10330103 u xxxxxxxx 第19頁/共62頁 情況情況3: N=3 1 2 3 11311 32530 147 1 2512 5139 1 7057 363336191 det( ) 105101012532810500 l 1 2 3 13111 1 35705030 2 33617 105000 705253012 1 51111 3 70503060 24

20、24 0 11511 ( )()()( ) 23623 u xxxxxxxxux 第20頁/共62頁 十分明顯，十分明顯，N=3時已得到了精確解時已得到了精確解 。 矩量解的曲矩量解的曲 線如圖線如圖5-17-5所示。所示。 0( ) ux( )u x 圖圖5-17-5 u (x)矩量解矩量解 第21頁/共62頁 第二章第二章 矩量法矩量法(Method of Moment) 2.3 選配和離散過程選配和離散過程 2.3.1 點選配點選配 2.3.2 脈沖分域基脈沖分域基 2.3.3 三角形函數分域基三角形函數分域基 2.4 算子研究算子研究 2.4.1 近似算子近似算子 2.4.2 擴展算子

21、擴展算子 2.4.3 微擾算子微擾算子 第22頁/共62頁 2.3 選配和離散過程選配和離散過程 從上面的典型例子可知，矩量法的精華在于選配和從上面的典型例子可知，矩量法的精華在于選配和 離散過程，值得單獨進行研究。離散過程，值得單獨進行研究。 2.3.1點選配點選配 點選配是一種最簡單而最典型的選配函數。因為矩點選配是一種最簡單而最典型的選配函數。因為矩 陣單元為陣單元為 ，一般說來，其中所含的積分計，一般說來，其中所含的積分計 算十分困難，這種情況下，最簡單的辦法是做某些點的算十分困難，這種情況下，最簡單的辦法是做某些點的 投影，即所謂的點選配，實際上相當于把投影，即所謂的點選配，實際上相

22、當于把權函數權函數取為取為 函數。函數。 , () mnmn lL u Dirac 第23頁/共62頁 例例3 任研究任研究 。 解解 設設 ， 在這個例子中取在這個例子中取 函數為權函數即函數為權函數即 其中，其中， 是這個問題的選配點，于是有是這個問題的選配點，于是有 2 2 2 d( ) 14, (0)(1)0 d u x x uu x 1 ( ) n n uxxx () ,1,2,., 1 mm m xx m xmN N m x 第24頁/共62頁 例例3 任研究任研究 。 解解 設設 ，可得到，可得到 在這個例子中取在這個例子中取 函數為權函數即函數為權函數即 其中，其中， 是這個問

23、題的選配點，于是有是這個問題的選配點，于是有 2 2 2 d( ) 14, (0)(1)0 d u x x uu x 1 ( ) n n uxxx 2 12 2 1 d ()14 d N n n n xxx x () ,1,2,., 1 mm m xx m xmN N m x 12 1 (1)14 N n n n n nxx 第25頁/共62頁 1 11 0 , ()(1)()d(1)() 1 nn mnmnm m lL un nxxxxn n N 1 22 0 ,(14) ()d14() 1 mmm m ggxxxx N 歸結起來，可寫出歸結起來，可寫出 1 (1)() 1 n mn m l

24、n n N 2 14() 1 m m g N 第26頁/共62頁 情況情況1: N=1 111 1 2 2,2 ( )u x lg xx 情況情況2: N=2 1 2 13 22 9 2425 9 1 2 131 42 1 918 222624 93 2323 121312 ( )()() 18318183 u xxxxxxxx 第27頁/共62頁 情況情況3: N=3 1 2 3 335 2 244 2332 92713 2 244 可以得出可以得出 3 1 2 1 4 13 4 5 2 9 2 15 4 9 4 27 4 27 3 2 1 02 363 12 9 2 )( 3 1 2 1

25、6 5 )( 3 1 )( 2 1 )( 0 4242 xuxxxxxxxxu 對于點選配情況對于點選配情況N=3，又一次回復到精確解。，又一次回復到精確解。 第28頁/共62頁 討論討論 (1) 對于點選配的情況，對于點選配的情況，N+1階矩陣中的階矩陣中的N階主子陣并不階主子陣并不 等于在等于在N時的系數矩陣時的系數矩陣(和和Galerkin情況不同情況不同)。因此當。因此當N 逐漸變大時計算量無法節(jié)約。逐漸變大時計算量無法節(jié)約。 (2) 點選配雖然看起來非常簡單，然而其內在的道理極其點選配雖然看起來非常簡單，然而其內在的道理極其 深刻。這一點可以從數值積分看出。研究表明任何數值深刻。這一

26、點可以從數值積分看出。研究表明任何數值 積分方法，不論矩形、梯形、二次樣條等，說到底都是積分方法，不論矩形、梯形、二次樣條等，說到底都是 選擇積分區(qū)域的點和區(qū)域點所對應的系數，由此產生選擇積分區(qū)域的點和區(qū)域點所對應的系數，由此產生 Gauss積分的思想。所以在矩量法中，研究最佳點選配將積分的思想。所以在矩量法中，研究最佳點選配將 是一個十分有意義的課題是一個十分有意義的課題 。 第29頁/共62頁 2.3.2脈沖分域基脈沖分域基 矩量法在離散化過程中用展開函數取代基函數，帶矩量法在離散化過程中用展開函數取代基函數，帶 來了方便和自由。但是，隨之而來的如何確保解的收斂來了方便和自由。但是，隨之而

27、來的如何確保解的收斂 性的問題卻值得人們重視。性的問題卻值得人們重視。 在尚未了解在尚未了解u(x)函數性態(tài)的條件下，采用有限個展開函數性態(tài)的條件下，采用有限個展開 函數函數ui(x)，i=1，2，.，N時要確保解收斂顯然在理論時要確保解收斂顯然在理論 上存在不少困難，采用分域基函數可以說是比較穩(wěn)妥的上存在不少困難，采用分域基函數可以說是比較穩(wěn)妥的 一種解決方案。因為大多數良態(tài)函數一種解決方案。因為大多數良態(tài)函數(不做高速振蕩不做高速振蕩)均可均可 以采用有限段直線或樣條加以逼近，如圖以采用有限段直線或樣條加以逼近，如圖5-17-6所示。所示。 第30頁/共62頁 圖圖5-17-6 分域基函數

28、近似分域基函數近似 第31頁/共62頁 下面從最簡單的脈沖函數著手展開討論。下面從最簡單的脈沖函數著手展開討論。 一般的脈沖函數可以表述為一般的脈沖函數可以表述為 11 2(1)2(1) 11 2(1)2(1) (,) 1 () 0(,) iiNN i iiNN xxx P xx xxx (5-17-26) 式式(5-17-26)表示以表示以i為中點，密度為為中點，密度為1/(N+1)的脈沖函數的脈沖函數 ，在實際情況下，密度可以根據問題靈活改變，如圖，在實際情況下，密度可以根據問題靈活改變，如圖5- 17-7所示。所示。 圖圖5-17-7 脈沖函數脈沖函數 圖圖5-17-8 三角形函數三角形

29、函數 第32頁/共62頁 2.3.3三角形函數分域基三角形函數分域基 三角形函數也是常用的一種分域基，如圖三角形函數也是常用的一種分域基，如圖5-17-8所示。所示。 若采用三角形函數展開未知函數若采用三角形函數展開未知函數(x)，則有，則有 (5-17-27) 所得的所得的解的合成相當于折線連接解的合成相當于折線連接，分段三角形函數所得，分段三角形函數所得 的折線包絡如圖的折線包絡如圖5-17-9所示。所示。 為了研究具體例子，這里先給出三角形函數的導數概為了研究具體例子，這里先給出三角形函數的導數概 念。引入如圖念。引入如圖5-17-10所示的階梯函數所示的階梯函數H(x-xi)，其定義為

30、，其定義為 )( 0 1 )( 1, 1 1, 1 1 ii ii xx xx i xxx xxx xxT ii i )()( 1 n N n n xxTxu 第33頁/共62頁 圖圖5-17-9 分段三角形函數所得的折線包絡分段三角形函數所得的折線包絡 圖圖5-17-10 H(x-xi) 函數函數 1 2 1 () 0 i ii i xx H xxxx xx (5-17-28) 第34頁/共62頁 再引入大家熟悉的再引入大家熟悉的Dirac-函數，也即脈沖函數，其定義函數，也即脈沖函數，其定義 為為 (5-17-29)() 0 i i i xx xx xx 如圖如圖5-17-11所示。所示。

31、 圖圖5-17-11 (x-xi)函數函數 第35頁/共62頁 Dirac-函數有兩個重要的性質：函數有兩個重要的性質： 1.歸一性歸一性 (5-17-30) 2.選擇性選擇性 (5-17-31) 這里不加證明的給出這里不加證明的給出Dirac-函數和階梯函數之間的函數和階梯函數之間的 重要關系。重要關系。 (5-17-32) 有了以上基礎就可以把三角形函數的導數用階梯函數有了以上基礎就可以把三角形函數的導數用階梯函數H表表 示，具體為示，具體為 (5-17-33) ()() ii d H xxxx dx 1111 1111 11 () ()()()() iiiiiiii i iiiixxxx

32、xxxx d T xx dx H xxH xxH xx ()1 i xx dx ( ) ()( ) ii f xxx dxf x 第36頁/共62頁 圖圖5-17-12給出形象的幾何表示。給出形象的幾何表示。 圖圖5-17-12 三角形函數導數的幾何表示三角形函數導數的幾何表示 例例4 重新研究重新研究Harrington(哈林登哈林登)問題，問題，L(u)=g，其中，其中 L= ，g= ，邊界條件為，邊界條件為u(0)=u(1)=0。 試用以三角函數作為展開函數，脈沖函數作為權函數的試用以三角函數作為展開函數，脈沖函數作為權函數的 矩量法求解。矩量法求解。 2 2 d dx 2 41x 第3

33、7頁/共62頁 解解 根據要求可寫出根據要求可寫出 于是有于是有 上式已計及上式已計及 選擇權函數選擇權函數 于是矩陣單元于是矩陣單元 上式要分三種情況討論。上式要分三種情況討論。 )()( 1 n N n n xxTxu 2 2 11 ()()(1)()2 ()() d nnnnn dx L T xxT xxNxxxxxx 1 )( N m m mm x xxP 1 0 () mnmn lL T xxdx 1 11 0 ()(1)()2 ()() mnnn P xxNxxxxxxdx 11 11 1 iiii N xxxx 第38頁/共62頁 此外，激勵單元為此外，激勵單元為 結果可歸納為結

34、果可歸納為 1 2(1) 1 2(1) 11 222 00 (14)()(14)(14) m N m N x mmm x gxdxP xxxdxxdx 1 1 0 ) 1( ) 1(2 nm nm nm N N lmn 2 1 3 2 4 1 1 (1) 1 m mN N g 1 m mN x 1 0 () mnmn lL T xxdx 1 11 0 ()(1)()2 ()() mnnn P xxNxxxxxxdx 第39頁/共62頁 情況情況1：N=1 考慮到對比：考慮到對比： 則有則有 和和 的對比如圖的對比如圖5-17-13所示。所示。 11 4,L 1 25 24 g 25 0.260

35、416 96 i 24 0 511 623 uxxxx 0 113 0.2708333 248 u 1 ux 0( ) ux 圖圖 5-17-13 和 1 ux 0( ) ux 第40頁/共62頁 情況情況2：N=2 l= g= 容易得到容易得到 同樣對比有同樣對比有 和和 的的 對比圖如圖對比圖如圖5-17-14所示。所示。 63 36 40 1 27 763 27 1 2 6340 1 36762187 4680.2139917 1 5760.26237442187 0 0 1 53 0.2181073 243 650.26748972 2433 u u 2 ux 0( ) u x 圖圖

36、5-17-14 和 2 ux 0( ) u x 第41頁/共62頁 情況情況3：N=3 于是有于是有 同樣對比有同樣對比有 和和 的的 對比圖如圖對比圖如圖5-17-15所示所示 840 484 048 l 61 48 197 448 157 48 g 1 2 3 48321661 1 32643297 49152 163248157 85440.1738281 1 131840.2682291 49152 116160.2363281 0 0 0 1 4 1350.1757812 11 2080.2708333 2768 1830.2382812 3 4 u u u 0( ) u x 3 u

37、x 第42頁/共62頁 圖圖 5-17-15 和 3( ) u x 0( ) ux 討論討論 分域基在分域基在N不大的情況下與精確解的差距是明顯的不大的情況下與精確解的差距是明顯的 。但是它的相應矩陣是三條帶矩陣，可較明顯地縮小計。但是它的相應矩陣是三條帶矩陣，可較明顯地縮小計 算量。因此選擇算量。因此選擇N不大的分域基并進行頂點擬合將會是一不大的分域基并進行頂點擬合將會是一 個比較好的方案。個比較好的方案。 第43頁/共62頁 2.4 算子研究算子研究 算子方程是矩量法建模的關鍵。它應該有兩個方面算子方程是矩量法建模的關鍵。它應該有兩個方面 的要求：的要求： 一方面算子方程必須符合物理一方面

38、算子方程必須符合物理(或工程或工程)問題的主要本問題的主要本 質；質； 另一方面它又必須適合數值計算。另一方面它又必須適合數值計算。 這兩個方面構成了算子研究的基礎。這兩個方面構成了算子研究的基礎。 第44頁/共62頁 2.4.1 近似算子近似算子 細心的讀者一定會提出這樣一個問題，即細心的讀者一定會提出這樣一個問題，即例例4中為什么不采用脈沖函數作為分域基展開？其實原因十分簡單，因為脈沖函數的二階導數表示有很大困難。但是，倘若引進近似算子的概念，則可以較好地解決這個問題。中為什么不采用脈沖函數作為分域基展開？其實原因十分簡單，因為脈沖函數的二階導數表示有很大困難。但是，倘若引進近似算子的概念

39、，則可以較好地解決這個問題。 算子近似含義相當廣泛。作為例子，可采用有限差分代替微分。算子近似含義相當廣泛。作為例子，可采用有限差分代替微分。 1 ()() 22 du xxx u xu x dxx 2 22 11 ()()()2() 22 d u xxx u xu xu xxu xu xx dxx x 第45頁/共62頁 例例5 研究研究 的的Harrington問題，即問題，即 , ,試采用差分近似算子試采用差分近似算子 ,脈沖脈沖 展開點選配的矩量法求解。展開點選配的矩量法求解。（做一般了解）（做一般了解） 解解 為確保為確保 的邊界條件，在兩端各留出半的邊界條件，在兩端各留出半 段為強

40、制零段。因此當選擇段為強制零段。因此當選擇N個脈沖函數時，全部區(qū)域個脈沖函數時，全部區(qū)域 (0,1)應分成應分成(N+1)段。即段。即 于是有于是有 L ug 2 2 , d L dx 2 14gx 010uuLL 010uu 1 1 x N 211 12 ( )() 11 a LuNu xu xu x NN 且做點選配有且做點選配有 mm xx 1 m m x N 第46頁/共62頁 這樣可以獲得矩陣單元這樣可以獲得矩陣單元 的表示式的表示式 ,m n l 1 2 ,n 0 1 0 P1 11 2 111 a m nm m lLdxN nnn P xP xP xxxdx NNN 11 2 0

41、0 14 mmm ggdxxxxdx 可以歸納為可以歸納為 2 2 , 21 11 01 m n N mn LNmn mn 2 14 1 m m g N 第47頁/共62頁 情況情況1： N=1 =8 ， 于是得到于是得到 對比對比 這里的這里的 和和 的對比如圖的對比如圖5-17-16所示所示 表面看來，與圖表面看來，與圖5-17-13類似，實際上脈沖函數和三類似，實際上脈沖函數和三 角函數意義有很大不同，又注意到圖角函數意義有很大不同，又注意到圖5-17-16中中 和和 各強制置零半段。各強制置零半段。 1,1 L 1 2g 1 1 0.25 4 a 0 113 0.270833 248

42、u 1 ux 0( ) u x 1 0 4 ， 3 1.0 4 ， 圖圖5-17-16 和和 1 ux 0( ) ux 第48頁/共62頁 情況情況2: 于是有于是有 對比對比 和和 如圖如圖5-17-17所示。所示。 189 9 18 l 131 259 g 1 2 189131 918252187 4590.209 87651 5670.259 25922187 0 0 1 0.218 1073 0.267 489 72 3 u u 0( ) ux 2 ux 圖圖5-17-17 和和 0( ) ux 2 ux 2N 第49頁/共62頁 情況情況3: 于是有于是有 作為對比有作為對比有 和和

43、 的對比如圖的對比如圖5-17-18所示。所示。 3N 32160 163216 01632 l 5 1 8 4 13 g 1 2 3 7685122565 1 512 10245128 65536 25651276813 11 2640.171 875 1 17 4080.265625 65536 15 3600.234375 0 0 0 1 4 0.175 7812 1 0.270 8333 2 0.238281 2 3 4 u u u 3 ux 0( ) ux 圖圖5-17-18 和和 3 ux 0( ) ux 第50頁/共62頁 2.4.2擴展算子擴展算子 算子包括定義域和運算域。如同

44、數學上經常所做的算子包括定義域和運算域。如同數學上經常所做的 那樣，可以采用擴展算子來增加展開函數或權函數選擇那樣，可以采用擴展算子來增加展開函數或權函數選擇 的自由度。的自由度。 原算子和擴展算子的邏輯關系如圖原算子和擴展算子的邏輯關系如圖5-17-19所示。很所示。很 明顯，擴展算子不改變原算子的運算。明顯，擴展算子不改變原算子的運算。 圖圖5-17-19 原算子和擴展算子的邏輯關系原算子和擴展算子的邏輯關系 第51頁/共62頁 例例6 希望希望Harrington問題問題 采用脈沖函數作為展采用脈沖函數作為展 開函數的并引入擴展算子概念。開函數的并引入擴展算子概念。（做一般了解）（做一般

45、了解） 解解 從上面論述中已知從上面論述中已知 在原來的定義域中不存在。但在原來的定義域中不存在。但 深入研究矩量法后發(fā)現，矩量法并不要求深入研究矩量法后發(fā)現，矩量法并不要求 有定義，而有定義，而 只要內積只要內積 有定義即可。有定義即可。 (5-17-36) 于是可以放松要求為，所選擇的權函數于是可以放松要求為，所選擇的權函數 滿足定義域，滿足定義域， 即即 (5-17-37) 則可引入擴展算子則可引入擴展算子 (5-17-38) L ug L P L P ,L u 2 11 2 00 1 1 0 0 , ddu L uu dxd dxdx duddu dx dxdxdx 010 1 0 ,

46、 ddu L udx dxdx 第52頁/共62頁 從而避免從而避免 問題，于是設問題，于是設 L u 1 N nn n mm ua P xx T xx 則可知矩陣單元為則可知矩陣單元為 1 0 1 0 , 11 12 111 2121 2121 mn mnmn dT xxdP xx lL P xxdx dxdx mmm NH xH xH x NNN nn xxdx NN 以及激勵單元以及激勵單元 11 2 00 11 3313 0 00 1 3 11 0 m 33 1 1 1 14 444 333 411 1 322 44 11 33 mmm mmm mmmm N m N ggdxT xxx

47、dx T xxd xxT xxxxxxdT xx NxxP xxxP xxxdx NxxdxNxx m+1 1 1 N m N dx 第53頁/共62頁 歸納起來是歸納起來是 它和三角函數展開脈沖函數檢驗所得到的公式差距極其它和三角函數展開脈沖函數檢驗所得到的公式差距極其 細微。細微。 當當N增大時，增大時， 彼此相當接近。彼此相當接近。 情況情況1: 這種情況與這種情況與 完全吻合。完全吻合。 21 11 01 mn Nmn lNmn mn 2 2 2 4 1 3 1 1 1 m m g N N m g 1N 111 26 4 24 lg 1 26 0.2708333 96 0 113 0.270833 248 u 第54頁/共62頁 情況情況2: 容易得到容易得到 同樣對比有同樣對比有