常微分方程練習(xí)題及答案復(fù)習(xí)題

1、常微分方程練習(xí)試卷填空題。1.3 d2x 萬程x打(線性、非線性)微分方程2.x dy方程一dxf(xy) 經(jīng)變換，可以化為變量分離方程3.微分方程d3ydx32-y -x-0滿足條件 y(0) =1,y(0) =2 的解有4.*2設(shè)常系數(shù)方程y 亠二y y = e 的一個特解y(x)=e +e +xe ，則此方程的系數(shù)a5.朗斯基行列式 W(t) 0 是函數(shù)組 X1(t), X2(t),川，Xn(t)在awx 蘭b 上線性相關(guān)的條件6.2 2方程xydx (2x 3y 20)dy =0的只與y有關(guān)的積分因子為7.已知X = A(t)X的基解矩陣為4(t)的，則A(t)-8.2 01方程組x

2、二：0 5的基解矩陣為9.可用變換將伯努利方程dy 33= y+y:上化為線性方程.10是滿足方程 y 2y 5y y = 1和初始條件的唯一解.(I) _ 2的形式：11.方程-_ -的待定特解可取12.三階常系數(shù)齊線性方程 y -2y y =0 的特征根是計算題1.求平面上過原點的曲線方程，該曲線上任一點處的切線與切點和點(1,0)的連線相互垂直dy x + y_12 .求解方程dx x - y + 3d2x3. 求解方程xdt24. 用比較系數(shù)法解方程.詳）2=0。xl，L4iW=&-8r + 5.求方程 y = y sin x 的通解.2 26,驗證微分方程(cos xsin x 一

3、xy )dx y(1 - x )dy = 0是恰當(dāng)方程，并求出它的通解7設(shè)A廠一1 dX,-i ，試求方程組的一個基解基解矩陣-1dt門，求dX_AX滿足初始條件x(0)_的解.dt通過點 (1,0) 的第二次近似解.dy28.求方程2x - 1 - 3 ydx9.燈)3一4磴8y2 = 0的通解10.若A=2 們 4 一試求方程組rn ix= Ax的解甲(t),申(o)=u = | 1并求expAt三、證明題1.若叮(t), ?(t)是 X JA(t)X 的基解矩陣，求證：存在一個非奇異的常數(shù)矩陣C，使得 ?(t) ：(t)C2.設(shè)(x) (：r x,x ：) 是積分方程y(x) = y。十

4、G2yC)我dj “x迂口，0的皮卡逐步逼近函數(shù)序列 n(x)在：,訂 上一致收斂所得的解，而(x) 是這積分方程在上的連續(xù)解，試用逐步逼近法證明：在 :,訂上(x)(x).3.設(shè)| .i 都是區(qū)間i 上的連續(xù)函數(shù)，且(.是二階線性方程.+；.+I的一個基本解組.試證明:(i)都只能有簡單零點(即函數(shù)值與導(dǎo)函數(shù)值不能在一點同時為零);(ii)廠丫和/門 沒有共同的零點(iii)4.試證：如果(t)是dXdt二 AX 滿足初始條件(to)二 的解，那么 (t)二 ep A(t - to)沒有共同的零點答案一.填空題。1.二，非線性 2.1u(f(u) 1)duJdx3.無窮多 4.- -3, -

5、 _ 2,- -15.必要 6.3y 7. 門(t)，(t)8.Ate 二10.用)二 l(0)二 0/(0)二 021e o_oe5t11.1土厲12. 1,二、計算題1.求平面上過原點的曲線方程，該曲線上任一點處的切線與切點和點（1,0）的連線相互垂直解：設(shè)曲線方程為y=y)y切點為（x,y）,切點到點（1,0）的連線的斜率為.1則由題意可得如下初值問題代入初始條件可得分離變量，積分并整理后可得y(0) = 0fx + J 二因此得所求曲線為_.dy2.求解方程dxx y -1解：由x y+,求得xx -y 3=0X 一 -1,y 二 2,則有(1 -z)dz1 Z2,積分得 arctan

6、 z-bn(1 z2) = In | | C， j2y 2故原方程的解為 arctanIn2 2x 1)2 (y -2)2 c.3.求解方程xdt2吐（dx）2dt解令丄:，直接計算可得 didx ，于是原方程化為，積分后得廠一d）就是原方程的通解，這里q向為任意常數(shù)。4.用比較系數(shù)法解方程解：特征方程為:二二II,特征根為對應(yīng)齊方程的通解為% (t) = 5 + c/ +C*/設(shè)原方程的特解有形如 代如原方程可得-一二-：二-x利用對應(yīng)系數(shù)相等可得是任意常數(shù))原方程的通解可以表示為j(f) =州(0+也 J + G+Q0 + c腫5.求方程y sin x 的通解.解：先解y 二y得通解為y二

7、cex，令y二c(x)ex為原方程的解，代入得 c(x)ex +c(x)ex =c(x)ex +sin x, 即有 c(x) = esin x積分得c(x)二-1e(sin x cosx) c， 所以y二cex 舟(sinx cosx)為原方程的通解.226.驗證微分方程(cos xs in x - xy )dx y(1 - x )dy = 0是恰當(dāng)方程，并求出它的通解.一2xy=衛(wèi)所以原方程為恰當(dāng)方程.ex22M解：由于 M (x, y)二 cosxsin x xy ,N(x,y)二 y(1 x )，因為 2 2把原方程分項組合得cosxsin xdx (xy dx yx dy) ydy二0

8、,y212 1 2 2 1 2 .2 2 2 或?qū)懗?sin x) d ；x y ) d(y ) = 0, 故原方程的通解為sin x x y7設(shè) A =2-312-4 一| 1 |dX，試求方程組-IL-1dtdtdX二 AX 滿足初始條件 x(0)二的解.解：特征方程為 det(A- .E)=求得特征值1可得一個基解矩陣于是，所求的解為dy&求方程-dx一3 - 乂 2)(，5) = 0,=2, 崩 =-5,對應(yīng)入1 = 2,入2 = -5的特征向量分別為,G，亠 0)._e-2e，又因為片4(0)二123：11 Xe*t一：(t)(0) ee=2x T - 3y2通過點 (1,0) 的第

9、二次近似解.1TT 一解：令：0(x) =0，于是x1(x) = y0V 2x -1 -3 2(x)dx = X2 -X,X2122(x)二 y?！?2x 一1 一3 1 (x)dx = 10 x x3 3 43 5-x x x ,259.解：方程可化為霽+8y2dx y4y巴d齊p令dx則有32x = y_4yp(*),2y(p34y2)乎+p(8y2(*)兩邊對y求導(dǎo)得dy-p3)2=4y p(p3即(2廉心 2ydp -，由dy=02p 二 cy2，即y = (E)2c2cX =+將y代入(*)得42pc2c2x 二4即方程的含參數(shù)形式的通解為:-(f)2,p為參數(shù);又由p3-4y2 =

10、0 得1P =(4y2)3y代入(*)得x327也是方程的解.10.若2A 二_-1試求方程組x=Ax的解(t),:(o)=, 并求expAt-2-1解：特征方程p()=-4，解得1,2 = 3，此時 k=1, n1- 2(t)=匸(A-3E)叮二 e3tt(_ 12)1-2 t(- 12)_求(夠)3 _ 4乂丫也8y2 = 0的通解 dxdx，+nTfe t (A- E)| i!由公式expAt：i =0 expAt 二 e3t l-E t(A-3E)匚 e3t廣1101-1+ t 111卜=少t 1丄01 一冷1 一Jt1+t一三、證明題1.若：:迫),？(t)是 X： =A(t)X 的

11、基解矩陣，求證：存在一個非奇異的常數(shù)矩陣C，使得 ?(t) = G(t)C證:，(t) 是基解矩陣，故 (t) 存在，令 X(t) =：(t)?(t),則 X (t)可微且 detX(t) =0，易知 T(t)=：(t)X(t).所以 7 (t)(t)X(t)亠(t)X (t) = A(t)G(t)X(t)亠癥(t)X (t) =A(t)?(t)亠(t)X (t)而廠(t) =A(t)?(t)，所以：:(t)X (t) =0X(t) =0, X(t)二 C (常數(shù)矩陣)，故 宇(t) h：(t)C .2.設(shè)(x) ( :_ x0 ,x “： l ：,) 是積分方程xy(x) = y。+ J 2

12、y(我djg,B的皮卡逐步逼近函數(shù)序列 n(x)在:，訂上一致收斂所得的解，而 (x)是這積分方程在上的連續(xù)解，試用逐步逼近法證明：在:，訂上(x)(X)(X - x0)n，則有 n!X(x) n(x)| 1( 2( )一 z( )l)dX0x n J J 人n !X0(- X0)“d旦(XM (n 1) !x證明：由題設(shè)，有 屮(X)三 y。+ jR(E)+dxx，0(x)二 y, ；(x) =y. 2 2( ) d , x,x ；，(n 十,)x下面只就區(qū)間x0_ x _:上討論，對于芒 x冬x0的討論完全一樣。x因為 L (x)- 0(x)國2|-()| 1 |)d 丄 M(x-x),其

13、中 M = maxx2(x)|x|X 可 Ot,px0XX所以冋(即(-咖屈乩問 j)dEp(x-x。)2,XoXoML” J 其中Lmaxx2，設(shè)對正整數(shù)n有一 (x)(x)匸故由歸納法，對一切正整數(shù) k，有k 4MLk4z xk. ML # R 、k (X-X)( - - ：).k!k!而上不等式的右邊是收斂的正項級數(shù)的通項，故當(dāng)因而函數(shù)序列 n(x) 在 Xq X-上一致收斂于-(x).根據(jù)極限的唯一性即得(x)二：(x), X。遼 x 乞3設(shè)匚二上二 都是區(qū)間 (-00 柯 上的連續(xù)函數(shù)，且是二階線性方程 卩卄(莎+g尸0 的一個基本解組試證明：(i)廠工和j ：.-| 都只能有簡單零點(即函數(shù)值與導(dǎo)函數(shù)值不能在一點同時為零)；(ii)認(rèn)工和I 沒有共同的零點；(iii)匚廠和I 沒有共同的零點證明：廠丄和J J 的伏朗斯基行列式為因廠H 是基本解組，故W(x)hO 化阿啊).若存在.二二汀，使得-;:1 ,則由行列式性質(zhì)可得,矛盾即(X) 最多只能有簡單零點.同理對 譏X) 有同樣的性質(zhì)，故(i)得證.若存在.-,使得l J-.l|?|，則由行列式性質(zhì)可得 r I ，矛盾即I與 JL. I無共同零點故(ii)得證若存在. S網(wǎng),使得0仏)=叭鬲)=0 ,則同樣由行列式性質(zhì)可得盾.即門與二| 無共同零點故(iii) 得證