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文檔簡介
1、學生實驗報告實驗課程名稱數(shù)值分析開課實驗室數(shù)學與統(tǒng)計學院實驗室學院 2010 年級 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)班01班學生姓名學 號開課時 間 2012 至 2013 學年第 一 學期總成績教師簽名課程名稱數(shù)值分析實驗項目名稱Gauss消兀法實驗項目類型驗證演示綜合設(shè)計其他指導教師何光輝成 績實驗目的:(1) 高斯列主元消去法求解線性方程組的過程(2) 熟悉用迭代法求解線性方程組的過程(3) 設(shè)計出相應的算法,編制相應的函數(shù)子程序?qū)嶒瀮?nèi)容分別用高斯列主元消元法和直接消元法求解線性方程組:2 1003X110341213X251 234X32414913X47三、實驗原理對于線性方程組a1 Xax?-弘
2、人=4a21X1a?%? a2nXn=b2(1)an1X1an2X2annXn=bn常記為矩陣形式Axb(2)根據(jù)高等代數(shù)的知識,若A0,上式的解存在且唯一。(1) Gauss直接消元法考慮上述線性方程組的增廣矩陣A:b,對增廣矩陣進行行變換,將(2)式化為等價的三角形方陣,然后回代解之,這就是Gauss消元法。具體如下:a)消元 令 a(1) ai,j 1,2,,n; b b,i 1,2,,n 對k=1到n-1,若akJ 0,進行21a(k 1) aik0,a(k 1a(k)likakjk)b(k 1b(k)1 ik S ,b)回代,若nann0b1Xnnnbnn(i)na(i)Xj)Xii
3、 (baiijk 1i k 1,k 2,,ni k 1,k 2,,ni, j k 1,k 2,,ni k 1,k 2,,nn 1)次消元,的到方程組(2) Gauss列主元消元法設(shè)列主元消元法已完成 Ax b的第k-1 (1Ax bA(k)x b(k)在進行第k次消元前,先進行 2個步驟:a)在ak/至a,這一列內(nèi)選出最大值,即I 牡) maXFik,右 aik,kk i n方程組無確定解,應給出退出信息。b)若akkk 0,則交換第ik行和k行,然后用Gauss消元法進行消元。四、MATLAB件實現(xiàn)(1) 寫出Gauss消元法和列主元消元法實現(xiàn)的MATLAB函數(shù)根據(jù)以上的算法,寫出如下程序:
4、%Gau消元法 %fun cti ony=Gauss1(A,b)m, n=size(A);%檢查系數(shù)正確性if m=nerror( 矩陣A的行數(shù)和列數(shù)必須相同); return ;endif m=size(b)error( b的大小必須和A的行數(shù)或A的列數(shù)相同); return ;end%再檢查方程是否存在唯一解if ran k(A)=ra nk(A,b)error( A矩陣的秩和增廣矩陣的秩不相同,方程不存在唯一解);return ;end%這里采用增廣矩陣行變換的方式求解c=n+1;A(:,c)=b;%肖元過程for k=1: n-1A(k+1:n, k:c)=A(k+1:n, k:c)-
5、(A(k+1:n,k)/ A(k,k)*A(k, k:c);end%徊代結(jié)果x=zeros(le ngth(b),1);x( n)=A( n,c)/A( n,n);for k=n-1:-1:1x(k)=(A(k,c)-A(k,k+1: n)*x(k+1: n)/A(k,k);end% 顯示計算結(jié)果%disp(x=);%disp(x);y=x;% %高斯列主元消元法求解線性方程組Ax=b%為輸入矩陣系數(shù),b為方程組右端系數(shù)% 方程組的解保存在x變量中fun cti ony=Gauss_li ne(A,b)format long ; %設(shè)置為長格式顯示,顯示15位小數(shù)m, n=size(A);%
6、先檢查系數(shù)正確性if m=nerror(矩陣A的行數(shù)和列數(shù)必須相同);return;endif m=size(b)error( b的大小必須和A的行數(shù)或A的列數(shù)相同);return;end%再檢查方程是否存在唯一解if ran k(A)=ra nk(A,b)error( A矩陣的秩和增廣矩陣的秩不相同,方程不存在唯一解);return;endc=n+1;A(:,c)=b;%(增廣)for k=1: n-1r,m=max(abs(A(k: n,k);%選主元m=m+k-1;%修正操作行的值if (A(m,k)=0)if (m=k)A(k m,:)=A(m k,:);%換行endA(k+1: n,
7、 k:c)=A(k+1: n, k:c)-(A(k+1: n,k)/ A(k,k)*A(k, k:c);%消去endendx=zeros(le ngth(b),1);%回代求解x( n)=A( n,c)/A( n,n);for k=n-1:-1:1x(k)=(A(k,c)-A(k,k+1: n)*x(k+1: n)/A(k,k);endy=x;format short ; %設(shè)置為默認格式顯示,顯示5位(2) 建立MATLAB界面利用MATLAB的GUI建立如下界面求解線性方程組:詳見程序五、計算實例、數(shù)據(jù)、結(jié)果、分析下面我們對以上的結(jié)果進行測試,求解:2 10 03 x110341213 x
8、251234 X32414913 x47輸入數(shù)據(jù)后點擊1鞋E和GL求錘方程,得到如下結(jié)果:Gauss直接法求解結(jié)果1234rGauss列主元法求解結(jié)果123L求毎忑理斗Copyright: yfg Tel改以上數(shù)據(jù)進行測試,求解如下1方程組:4321X113432X212343X311234X41得到如下結(jié)果:求解線性方程組Ax=b請按m atlab中輸入矩陣方式輸入矩陣A4321;3432;2343;1 2 34請按matlab中輸入矩陣方弍輸入b11 -1 -1)Gauss直接法求輕結(jié)果2r56e-0l71-1-1 WSe-0162775fie-IM7*Gauss
9、列主元法求解結(jié)果1-1-13323e-016T-六、實驗中遇到的問題及解決辦法在本實驗中,遇到的問題主要有兩個:(1)如何將上述的Gauss消元法的算法在 MATLAB中實現(xiàn)針對此問題我借鑒了網(wǎng)上以及課本上的算法的 MATLAB實現(xiàn)的程序;(2)如何將建立界面使得可以隨意輸入想要求解的相關(guān)矩陣后就可以直接求解針對此問題,我通過網(wǎng)上的一些關(guān)于MATLAB的GUI設(shè)計的相關(guān)資料,總結(jié)經(jīng)驗完成了此項任務。七、實驗結(jié)論通過以上的測試,我們發(fā)現(xiàn)以上算法和程序能夠求出線性方程組的比較精確解。八、參考文獻1 楊大地,王開榮.2006.數(shù)值分析.北京:科學出版社2 何光輝.2008.數(shù)值分析實驗.重慶大學數(shù)理
10、學院數(shù)學實驗教學中心3 百度文庫,百度知道教師簽名年 月曰課程名稱數(shù)值分析實驗項目名稱插值方法實驗項目類型驗證演示綜合設(shè)計其他指導教師何光輝成 績實驗目的:(1)學會拉格朗日插值、牛頓插值等基本方法(2)設(shè)計出相應的算法,編制相應的函數(shù)子程序(3)會用這些函數(shù)解決實際問題實驗內(nèi)容(1)設(shè)計拉格朗日插值算法,編制并調(diào)試相應的函數(shù)子程序(2)設(shè)計牛頓插值算法,編制并調(diào)試相應的函數(shù)子程序(3)給定函數(shù)四個點的數(shù)據(jù)如下:X1.12.33.95.1Y3.8874.2764.6512.117試用拉格朗日插值確定函數(shù)在x=2.101,4.234處的函數(shù)值。(4)已知1, 4 2, 9 3,用牛頓插值公式求
11、5的近似值。三、實驗原理(1)拉格朗日插值n 次拉格朗日插值多項式為:Ln(x)=yOIO(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+ynln(x)n=1 時,稱為線性插值,L1(x)=yO(x-x1)/(xO-x1)+ y1(x-xO)/(x1-xO)=yO+(y1-xO)(x-xO)/(x1-xO)n=2時,稱為二次插值或拋物線插值,精度相對高些1,而在其+ynln(x)L2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)/(x0-x2)+y1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)/(x1-x2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)/(x2-x1) 對節(jié)點xi(i=0,1,,中
12、任一點xk(O=k=n)作一 n次多項式lk(xk),使它在該點上取值為 余點 xi(i=0,1,-k,k+1,n上為 0,則插值多項式為Ln(x)=y0 l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+-上式表明:n個點xi(i=0,1,-k,k+1,n都是lk(x)的零點。(2) 牛頓插值插商公式仃為公2,乂3,.人_f (Xj)Xj i)(XjXji).(XjXk)Newton插值多項式為Nn(x) f(Xj fX1,X2(X Xj fX1,X2,X3(X xj(x x2) f X1,X2,X3,.Xn(X xj(x X2).(X Xn 1);四、MATLAB件實現(xiàn)(1) 分別寫出lagra
13、 nge插值法和Newt on插值法的求解函數(shù)%lagran 插值法求解函數(shù) % %x, y為初始數(shù)據(jù),z為插值點fun cti on z=lagra nge(x,y,a) format long ; % 顯示 15 位 n=length(x); % 取長度%初始計算s=0;% 進入公式計算for j=0:( n-1)t=1;for i=0:( n-1)if i=jt=t*(a-x(i+1)/(x(j+1)-x(i+1);endends=s+t*y(j+1);endz=s;%顯示輸岀結(jié)果format short ;%Ne插on法求解函數(shù) % %x, y為初始數(shù)據(jù),z為插值點fun cti on
14、j=Newt on( x,y,z)n=max(size(x);1=1;a=y(1);B=a;s=1;%次因子的乘積,預設(shè)為1dx=y;%差商for i=1: n-1dxO=dx;for j=1: n-i dx(j)=(dx0(j+1)-dx0(j)/(x(i+j)-x(j); enddf=dx(1);s=s*(z-x(i);%次因子乘積a=a+s*df;%計算各次Newt on插值的值1=1+1;B=a; %結(jié)果保存在變量 B中endj=B;(2)建立界面利用MATLAB中的GUI編程建立如下界面:五、計算實例、數(shù)據(jù)、結(jié)果、分析下面我們對以上的問題進行測試: 輸入數(shù)據(jù):請按m胡甜中的矩陣方式輸
15、入Xi請按iratl自b中的矩陣方式輸入i輸入插值點X3 &87 4.276 4.651 21172.101計算結(jié)果如下:Lagrange插值結(jié)果Newton插值結(jié)果F T?3I 忖Cofivrlaht: vfa Tel.135M3S8935當 x=2.101 時,x=4.234 時,Lagrange插值結(jié)果Newton插值結(jié)果Cnnvrinhrt- vfn TfjH飭MM的砧同理可以測試(4)中的,5的值。六、實驗中遇到的問題及解決辦法在本實驗中,遇到的問題主要有兩個:(3)如何將上述的插值的算法在MATLAB中實現(xiàn)針對此問題我借鑒了網(wǎng)上以及課本上的算法的 MATLAB實現(xiàn)的程序;(4)如何
16、將建立界面使得可以隨意輸入想要求解的相關(guān)矩陣后就可以直接求解針對此問題,我通過網(wǎng)上的一些關(guān)于MATLAB的GUI設(shè)計的相關(guān)資料,總結(jié)經(jīng)驗完成了此項任務。七、實驗結(jié)論通過以上的測試,我們發(fā)現(xiàn)以上算法和程序能夠求出插值的比較精確解。八、參考文獻1 楊大地,王開榮.2006.數(shù)值分析.北京:科學出版社2 何光輝.2008.數(shù)值分析實驗.數(shù)理學院數(shù)學實驗教學中心3 百度文庫,百度知道教師簽名年 月曰課程名稱數(shù)值分析實驗項目名稱數(shù)值微積分實驗項目類型驗證演示綜合設(shè)計其他指導教師何光輝成 績一、實驗目的:(1)學會復化梯形、復化辛浦生求積公式的應用(2)設(shè)計出相應的算法,編制相應的函數(shù)子程序(3)會用這些
17、函數(shù)解決實際問題二、實驗內(nèi)容(1)設(shè)計復化梯形公式求積算法,編制并調(diào)試相應的函數(shù)子程序(2)設(shè)計復化辛浦生求積算法,編制并調(diào)試相應的函數(shù)子程序(4)分別用復化梯形公式和復化辛浦生公式計算定積分i sin x , dx0 x三、實驗原理(1)復化梯形求積公式圖1復化梯形求積公式算法的流程圖Stepl給出被積函數(shù)f(x)、區(qū)間a,b端點a,b和等分數(shù)n ;Step2 求出 xkkh, hn 1Step3 計算 f(a), f(b),f(xk);k 0Step4 得 Tn11 hf(a)2f (Xk)k 0f(b)(2)復化辛普森求積公式圖2復化辛普森求積公式算法的流程圖Stepl給出被積函數(shù)f(x
18、)、區(qū)間a,b端點a,b和等分數(shù)n ;Step2 求出 Xkkh, hn 1n 1Step3 計算 f(a),f(b), f(xj, f (x 1); k k 0k 0Step4 得 SnA4 f (xk 1) 2f(Xk)k k 02k 1f(b)四、MATLAB件實現(xiàn)(1) 分別寫出復化梯形和復化辛浦生求積的求解函數(shù)% 復化梯形公式求積分值%fun cti on T=trap(f,a,b)%f為積分函數(shù)%a,b 為積分區(qū)間%門是等分區(qū)間份數(shù)n=200;h=(b-a)/n;% 步長T=0;for k=1:( n-1)xO=a+h*k;T=T+limit(f,xO);endT=h*(limit
19、(f,a)+limit(f,b)/2+h*T;T=double(T);%Simp公式求積分值 %fun cti onS=simps on( f,a,b)%f為積分函數(shù)%a,b為積分區(qū)間%門是等分區(qū)間份數(shù)n=200;h=(b-a)/(2*n);% 步長s1=0;s2=0;for k=1: nx0=a+h*(2*k-1);s1=s1+limit(f,x0);endfor k=1:( n-1)x0=a+h*2*k;s2=s2+limit(f,x0);endS=h*(limit(f,a)+limit(f,b)+4*s1+2*s2)/3;S=double(S);(2) 建立界面利用MATLAB中的GUI
20、編程建立如下界面:在本實驗中,遇到的問題主要有兩個:(5) 如何將上述的積分算法在MATLAB中實現(xiàn)針對此問題我借鑒了網(wǎng)上以及課本上的算法的 MATLAB實現(xiàn)的程序;(6) 如何將建立界面使得可以隨意輸入想要求解的相關(guān)矩陣后就可以直接求解針對此問題,我通過網(wǎng)上的一些關(guān)于MATLAB的GUI設(shè)計的相關(guān)資料,總結(jié)經(jīng)驗完成了此項任務。七、實驗結(jié)論通過以上的測試,我們發(fā)現(xiàn)以上算法和程序能夠求出積分的比較精確解。八、參考文獻1 楊大地,王開榮.2006.數(shù)值分析.北京:科學出版社2 何光輝.2008.數(shù)值分析實驗.數(shù)理學院數(shù)學實驗教學中心3 百度文庫,百度知道教師簽名年 月曰課程名稱數(shù)值分析實驗項目名稱
21、常微分方程的數(shù)值解法實驗項目類型驗證演示綜合設(shè)計其他指導教師何光輝成 績一、實驗目的:(1) 學會歐拉方法和四階龍格-庫塔方法的使用(2) 設(shè)計出相應的算法,編制相應的函數(shù)子程序(3) 會用這些函數(shù)解決實際問題二、實驗內(nèi)容用歐拉方法和四階龍格-庫塔方法求解微分方程初值冋題:y si n(y)*x , y(0)=10,求y(1)。三、實驗原理(1)歐拉法歐拉法是解初值冋題的最簡單的數(shù)值方法。從(9.2)式由于y (X0) = y0已給定,因而可以算出y(x) f(X0,y)設(shè)X1 = h充分小,則近似地有:y(X1)hy(X0)y(X0)f(X0,y)h記 yiy(Xi) i 0,1, ,n從而
22、我們可以取i6yi yo hf(x,y)作為y (xi)的近似值。利用yi及f (xi, yi)又可以算出y(x2)的近似值:y2 yi hf(Xi,yi)般地,在任意點Xn+i = (n + i)h處y(x)的近似值由下式給出yn i yn hf(Xnn)這就是歐拉法的計算公式,h稱為步長。在實際計算時,可將歐拉法與梯形法則相結(jié)合,計算公式為:(0) yn iyn(k i) yn iynhf區(qū)皿)h f(Xn,yn) f(Xn i,ynki)k 0,i,2,(2 )四階龍格-庫塔方法 四階龍格-庫塔法求解公式如下:ynkik2yn :(ki 2k2 2k3 k4)f(xn,yn)h, yn2
23、f Xnk3f Xn1,yn2h, ynhk22hk3四、MATLAB件實現(xiàn)(i)分別寫出歐拉方法和四階龍格-庫塔方法求解微分方程的求解函數(shù)%Euk法,初值 y(a)=c%fun cti ony=Euler(f,a,b,c)n=1000;h=(b-a)/n;X=a:h:b;Y=zeros(i, n+i);Y(i)=c;for i=2: n+ix=X(i-i);y=Y(i-i);Y(i)=Y(i-i)+eval(f)*h;end%?m?t ? - %fun cti on y=RK(f,a,b,c)n=1000;h=(b-a)/n;X=a:h:b;Y=zeros(1, n+1);丫(1)=c;fo
24、r i=1: nx=X(i);y=Y(i);K1=h*eval(f);x=x+h/2;y=y+K1/2;K2=h*eval(f);x=x;y=Y(i)+K2/2;K3=h*eval(f);x=X(i)+h;y=Y(i)+K3;K4=h*eval(f);Y(i+1)=Y(i)+(K1+2*K2+2*K3+K4)/6; end(2)建立界面利用MATLAB中的GUI編程建立如下界面:微分方程數(shù)值解二地旳)28請輸入函數(shù)f Cx_y)請輸入初值點K0和所求點請輸入初值點X0的畫數(shù) y(X0)Eli3法求解結(jié)果四階RK公式求解結(jié)果Cnnvrlmht- vfn tfsll詳見程序。五、計算實例、數(shù)據(jù)、結(jié)
25、果、分析下面我們對以上的問題進行測試: 輸入數(shù)據(jù):請輸入函數(shù)f仗小請輸入初值點X0和所求點幻請輸入初值點冥0的函計算結(jié)果如下:E U血法求解結(jié)果5 7605El爾堪帳四階R-K公式求解結(jié)果S.77W六、實驗中遇到的問題及解決辦法在本實驗中,遇到的問題主要有兩個:(7)如何將上述的求解微分方程的算法在MATLAB中實現(xiàn)針對此問題我借鑒了網(wǎng)上以及課本上的算法的 MATLAB實現(xiàn)的程序;(8)如何將建立界面使得可以隨意輸入想要求解的相關(guān)矩陣后就可以直接求解針對此問題,我通過網(wǎng)上的一些關(guān)于MATLAB的GUI設(shè)計的相關(guān)資料,總結(jié)經(jīng)驗完成了此項任務。七、實驗結(jié)論通過以上的測試,我們發(fā)現(xiàn)以上算法和程序能夠
26、求出微分方程組的比較精確解。八、參考文獻1 楊大地,王開榮.2006.數(shù)值分析.北京:科學出版社2 何光輝.2008.數(shù)值分析實驗.數(shù)理學院數(shù)學實驗教學中心3 百度文庫,百度知道教師簽名年 月曰課程名稱數(shù)值分析實驗項目名稱估計水塔的水流量實驗項目類型驗證演示綜合設(shè)計其他指導教師何光輝成 績一、實驗目的:(1) 學會對實際問題的分析方法(2) 學會利用所學的知識解決實際問題(3) 設(shè)計出相應的算法,編制相應的應用程序二、實驗內(nèi)容某居民區(qū),其自來水是有一個圓柱形水塔提供,水塔高12.2m,塔的直徑為17.4m,水塔是由水泵根據(jù)水塔中的水位自動加水,一般水泵每天工作兩次。按照設(shè)計,當水塔中的水位降低
27、至最低水 位,約8.2m時,水泵自動啟動加水。當水位升至最高水位,約10.8m時,水泵停止工作。表略。三、實驗原理計算中將流量定義為單位時間流出的水的高度乘以水塔橫截面積。把時間分成5段:第1未供水段、水泵開啟第1段、第2未供水段、水泵開啟第2段、第3未 供水段。先直接對第1、2、3未供水段進行5次曲線擬合。再對得到的曲線分別求 導,取得流速(即單位時間內(nèi)流出的水的高度)。水泵開啟第1、2段,分別在兩端 各取兩個點,用時刻流速進行擬合得到這兩段的流速。流速乘以水塔橫截面積就得 到任何時刻的水流量。對其進行分段積分,求和得到一天的總水流量。四、MATLAB件實現(xiàn)(1)程序fun cti onpu
28、shbutt on 1_Callback(hObject, eve ntdata, han dies)% hObject han dle to pushbutto n1 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% han dies structure with han dies and user data (see GUIDATA)figure(1);x=0,3316,6635,10619,13937,17921,21240,25223,28543,32284,39435,43318
29、,46636,4995;y=31.75,31.10,30.54,29.94,29.55,28.92,28.50,27.87,27.52,26.97,35.50,34.45,33.5 0,32.67,31.56,30.81,30.12,29.27,28.42,27.67,26.97,34.75,33.89,33.40;t=x/3600;%時間單位為小時h=y/3.281;%水位高度為米x1=t(1:10);y1=h(1:10);f1=poiyfit(x1,y1,5);t1=0:0.01:t(10);h1=poiyvai(f1,t1);piot(x1,y1, o,t1,h1,k);xiabei(
30、時間(h);ylabel( 水位(m);title(第一階段供水的時間水位圖)fun cti onpushbutt on 2_Callback(hObject, eve ntdata, han dies)% hObject han dle to pushbutto n2 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% han dles structure with han dles and user data (see GUIDATA)figure(2);x=0,3316,6635,10
31、619,13937,17921,21240,25223,28543,32284,39435,43318,46636,4995;y=31.75,31.10,30.54,29.94,29.55,28.92,28.50,27.87,27.52,26.97,35.50,34.45,33.50,32.67,31.56,30.81,30.12,29.27,28.42,27.67,26.97,34.75,33.89,33.40;t=x/3600;%時間單位為小時h=y/3.281;%水位高度為米x2=t(11:21);y2=h(11:21);f2=polyfit(x2,y2,5);t2=t(11):0.01
32、:t(21);h2=polyval(f2,t2);plot(x2,y2,o ,t2,h2,r);xlabel( 時間(h);ylabel( 水位(m);title(第二階段供水時段水位圖)% - Executes on butt on press in pushbutt on4.fun cti onpushbutt on 4_Callback(hObject, eve ntdata, han dles)% hObject han dle to pushbutto n4 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future vers
33、ion of MATLAB% han dles structure with han dles and user data (see GUIDATA)figure(3);x=0,3316,6635,10619,13937,17921,21240,25223,28543,32284,39435,43318,46636,4995;y=31.75,31.10,30.54,29.94,29.55,28.92,28.50,27.87,27.52,26.97,35.50,34.45,33.50,32.67,31.56,30.81,30.12,29.27,28.42,27.67,26.97,34.75,33
34、.89,33.40;t=x/3600;h=y/3.281;x3=t(22:24);y3=h(22:24);f3=polyfit(x3,y3,5);t3=t(22):0.01:t(24);h3=polyval(f3,t3);plot(x3,y3,o ,t3,h3,r);xlabel( 時間(h);ylabel( 水位(m);title(第三階段的時間水位圖)% - Executes on butt on press in pushbutt on7.fun cti onpushbutt on 7 Callback(hObject, eve ntdata, han dles)% hObject han die to pus
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