數(shù)學漫談論文

1、數(shù)學漫談論文 討論任意領域中智力活動的性質(zhì)是一件困難的任務，對處于人類智能中心領域的數(shù)學就更是如此。對人類智能的性質(zhì)作一般的討論，從本質(zhì)上來說是困難的，它在任何情況下總比只涉及那些特殊范圍的智能的討論要更為困難。理解飛機的結(jié)構(gòu)和升力、推力的力學原理，比乘坐飛機、以至駕駛它要更為困難。在沒有以直觀的和經(jīng)驗的方式獲得某些知識之前，在沒有預先了解、熟悉以及駕駛過飛機之前，人們就能理解原理及其過程，這是罕見的。 在數(shù)學領域中，這種討論如果以一種非數(shù)學的方式進行的話，限制將更為苛刻。討論必然會顯示出某些不良的特性，得到的結(jié)果所依據(jù)的材料決不可能充分;相反，面面俱到的膚淺的討論卻不可避免。盡管我甚至意識到

2、，我將要提出的說法有不少短處，但是很抱歉我還是得說下去。此外，我準備表述的觀點，也完全可能不為許多其他數(shù)學家所贊同。你可能獲得一個人為的不太系統(tǒng)的印象和解釋。我提出的看法，對這些討論究竟有多少價值，也許是很小的。在我看來，刻畫數(shù)學特點的最有力的事實，是它和自然科學的特有聯(lián)系?；蛘吒话愕卣f，它和任何一類比處于純粹描述水準更高級一些的、能對經(jīng)驗作出解釋的科學的特有聯(lián)系。大多數(shù)數(shù)學家和非數(shù)學家將會同意，數(shù)學不是一門經(jīng)驗科學，或者至少可以說它不是以某種來自經(jīng)驗科學技術(shù)的方法實現(xiàn)的，但是它的發(fā)展和自然科學卻緊密相聯(lián)。它的一個主要分支幾何學，買際上起源于自然科學、經(jīng)驗科學。某些現(xiàn)代科學中最大的靈感(我認

3、為是最大的)清楚地來源于自然科學，數(shù)學方法滲透和支配著自然科學的許多“理論”分支。在現(xiàn)代經(jīng)驗科學中，能否接受數(shù)學方法或與數(shù)學相近的物理學方法，已愈來愈成為該學科成功與否的主要標準。確實，整個自然科學一系列不可割斷的相繼現(xiàn)象的鏈，它們都被打上數(shù)學的標志，幾乎和科學進步的理念是一致的，這也變得越來越明顯了。生物學變得更受到化學和物理滲透，這些化學是實驗和理論的物理，而物理是形式甚為數(shù)學化的理論物理。 有一個甚為特殊的數(shù)學性質(zhì)的兩重性，人們必須理解它，接受它，并且把它吸收到自己正在思考的主題中去。這種兩重性是數(shù)學的本來面目，我不相信無需犧牲事物的實質(zhì)，就可能簡化和單一化對事物的看法。 因而我并不試圖

4、為你提供一種單一化的模式，我將盡可能地，描寫數(shù)學所具有的多重現(xiàn)象。無可否認，在人們能想象的那部分純粹數(shù)學中，某些最為激動人心的靈感來自自然科學，我將提及兩個最值得紀念的事實。 第一個例子是幾何學。幾何學是古代數(shù)學中的一個主要部分，現(xiàn)在仍然是現(xiàn)代數(shù)學中幾個主要分支之一。毋庸置疑，它的古代起源是經(jīng)驗的，它開始成為一門學科并不像當今的理論物理。離開這些跡象，就很難說“幾何學”是什么了，歐氏的公理化處理是幾何學脫離經(jīng)驗向前跨出一大步的標志，但是它全然不能簡單地被看成是決定性的、絕對的、最終的一步。歐氏的公理化在某些方面并不能滿足現(xiàn)代絕對的公理化對嚴格性的要求，當然這不是主要的方面。最本質(zhì)的是某些無疑是

5、經(jīng)驗的學科，如力學和熱力學，也或多或少地常常由某些作者提出一些公理化的處理。然而所有這些都很難超出Euclid的程序。我們時代的經(jīng)典理論物理，Newton原理，它的文字形式和最重要的實質(zhì)部分都是很像Euclid的。當然在所有這些例子中，提到的公設都是以支持這些定理的物理考察、實驗論證作為后盾的。但是人們可以論證：在幾何學獲得兩干多年的穩(wěn)定和權(quán)威之前(這種權(quán)威是理論物理的現(xiàn)代結(jié)構(gòu)所缺乏的)，特別從古代的觀點來看，提出一種類似于Euclid的解釋是可能的. 盡管自Euclid以來，在使幾何學與經(jīng)驗脫離方面已經(jīng)逐步地取得了進展，但是哪怕在今天，它也決沒有變得十分完備。非歐幾何學的討論提供了這方面的一

6、個好的說明。它也對數(shù)學思想的矛盾狀態(tài)提供了一種說明，盡管這種討論大部分發(fā)生在高度抽象的水平上，它所處理的是歐氏“第五公設”是否為其他公設的推論的純粹邏輯問題;形式上的論戰(zhàn)由Klein的純粹數(shù)學的典范作品所總結(jié)。他證明了一歐氏平面，可以通過形式地重新定義某些基本概念而成為非歐平面。這里從開始到結(jié)束，都還是由經(jīng)驗促進的。所有歐氏公設的原始根據(jù)顯然都是對整個無窮平面的概念所作出的非經(jīng)驗的刻畫，為什么只有第五公設會有問題呢?這種撇開所有數(shù)學的邏輯分析，堅持必須由經(jīng)驗來確定歐氏幾何是否有意義的思想，確實是由最偉大的數(shù)學家高斯提出的，后來由Bolyai，Lobachevsky，Riemann和Klein把

7、它變得更為抽象。然而我們今天所考察的關(guān)于最初爭論的形式上結(jié)果，不管是經(jīng)驗的或者物理學的，都已有定論。廣義相對論的發(fā)現(xiàn)，迫使人們對關(guān)于幾何學相互關(guān)系的觀點進行修正。這種修正是在全新的背景下進行的。最后，人們就能接觸到一幅完成了的可供比較的圖景。這最后的進展是由這樣一代人完成的，他們看到了歐氏公理方法已被現(xiàn)代公理派邏輯數(shù)學家處理成為完全非經(jīng)驗的和抽象的。這兩種表面上似乎是沖突的態(tài)度，完美地合并成一種數(shù)學思想;因此，Hilbert在公理幾何學和廣義相對論方面都作出了重要的貢獻。第二個例子是微積分，或者說是由它生成的數(shù)學分析。微積分是近代數(shù)學的最早的成果，對它的重要性，作任何估價都很難認為是過高的。盡

8、管我認為它的確定比現(xiàn)代數(shù)學發(fā)端中的任何其他事物具有更多的歧義性，但是數(shù)學分析的系統(tǒng)，它的邏輯展開仍然是精確思維方面最大的技術(shù)上的進步。微積分的起源顯然是經(jīng)驗的，Kepler嘗試著做的最早的積分，被叫做“dolichometry”小桶的量度即量度由曲面包圍起來的物體的容積。這是非公理化的，經(jīng)驗的幾何學，而不是Euclid以后的那種幾何學，Kepler是完全知道這些的。Newton和Leibniz的那些主要成果和主要發(fā)現(xiàn)確實起源于物理學。Newton發(fā)明的“流數(shù)”運算，本質(zhì)上是為了力學。事實上，這兩門學科，微積分和力學，是由它們或多或少地結(jié)合在一齊而得到發(fā)展的。微積分的最初的一些陳述，數(shù)學上甚至可

9、以是不嚴格的。一個不精確的半物理的陳述，是Newton以后一百五十多年來僅有的一種可供使用的陳述!這一時期數(shù)學分析取得了某些最重要的進步,而這種不精確性不能適應于基礎!這時期的某些主導的數(shù)學精神顯然是不嚴格的，如Euler;但是另外一些數(shù)學家，主要的如Gauss和Jacobi就并非如此。這種發(fā)展極為含混和模糊，它和經(jīng)驗的關(guān)系，確實不是按照我們(或Euclid)提出的抽象的和嚴格的想法那樣。但是并沒有數(shù)學家想排斥它。那個時期確實也產(chǎn)生了第一流的數(shù)學。即使在本質(zhì)上是由Cauchy重建的嚴格性盛行之后，一種特殊的半物理方法在Riemann那里仍然得到了復萌。Riemann的科學的個性本身就是一個數(shù)學

10、的兩重性的光輝榜樣，這些可以在Riemann和Weierstrass的爭論中見到，如果我詳細地列出這些，恐怕會使技術(shù)細節(jié)敘述得過分多了。自Weierstrass以來，分析數(shù)學似乎變得完全抽象、嚴格和非經(jīng)驗了，其實這也不是絕對真實的。在最近兩代人中發(fā)生的有關(guān)數(shù)學和邏輯的“基礎”的爭論，驅(qū)散了許多關(guān)于這方面的錯誤的幻想。 這為我?guī)砹说谌齻€例子，它和上述爭論的判斷是有關(guān)的，但是這個例子更多地是論述數(shù)學與哲學或認識的關(guān)系，而不是數(shù)學與自然科學的關(guān)系，它用一種引人注目的方式說明“絕對的”數(shù)學嚴格性的概念并不是不可改變的。嚴格性概念的可變性表明：在數(shù)學抽象之外的某些事物，作為補償不足必須進入數(shù)學。在分析

11、關(guān)于“基礎”的爭論時，我一直不能使自己確信：這種說法一定有利于外部成分的經(jīng)驗性質(zhì)，盡管在討論的某些言詞上，對這樣一種說明的支持是十分強有力的，但是我并沒有把它看作是絕對地不可爭議的。然而有兩件事是清楚的。第一，已經(jīng)引入某些非數(shù)學事物，這是本質(zhì)的，不管它與經(jīng)驗科學或者哲學或者與兩者如何聯(lián)系，它的非經(jīng)驗的特點，僅當人們假設哲學(更為專門的認識論)能夠獨立于經(jīng)驗而存在時才能使人注意(這個假設僅是必要的而不是充分的)。第二，不顧關(guān)于“基礎”的爭論可能作出的最好解釋，數(shù)學的經(jīng)驗來源是受到如我們較早提到的例子(幾何學和微積分)的強有力地支持的。在分析數(shù)學嚴格性概念的可變性時，我希望主要強調(diào)的是上面已談及的

12、“基礎”的論爭。但是，我喜歡首先簡要地考察問題的第二方面。盡管這方面也能加強我的論證，但是我把它看作第二位的，因為它的結(jié)論的終極性比“基礎”論證的分析要少，我正在把這個歸諸于數(shù)學“風格”的改變。大家知道，寫出的數(shù)學證明的風格已經(jīng)經(jīng)歷了相當大的起落，說起落比趨向要好一點，因為在某些方面，當代作者和18世紀或19世紀的某些作者之間的差別比當代的作者和Euclid之間的差別要更為大一些。此外，另一方面，它們有著值得注意的經(jīng)久不變的東西。在有些呈現(xiàn)了某些差別的領域，無需引進任何新的思想，它們的主要差別，就可能消除。但是在許多場合，這些差別是如此的廣泛，以致使人開始懷疑：在這種分歧的道路上，差別是否能僅

13、僅由作者的風格、試驗和教育上的差別來說明呢?他們實際上在構(gòu)成數(shù)學的嚴謹性方面是否具有同樣的思想呢?最后，在極端的情況下(例如：上面所說的18世紀后期分析方面的許多工作)，差別既是本質(zhì)的，如果完全只是為了有助于新的和意義深遠的已經(jīng)發(fā)展了一百多年的理論的話，它又是可以補救的，有些按此種不嚴格方式工作著的數(shù)學家(或者他們的某些對此持批評態(tài)度的同輩人)是意識到它們?nèi)狈栏裥缘??；蛘吒鼮榭陀^地說：他們關(guān)于什么是數(shù)學程序的想法是愿意遵循我們提出的觀點的，但他們的行動卻并非如此。但是另一些人，例如：這時期的最偉大的學者Euler似乎堅定地持有自己的標準，并且一直在按他自己標準行事。但是我不想進一步強調(diào)這件事

14、。我將回到剛才停下的關(guān)于“數(shù)學基礎”的論爭方面去。在19世紀末和20世紀初，抽象數(shù)學的一個新分支，GCantor的集合論，引出了困難。即某些推理引向了矛盾;當這些推理并不處于集合論的中心的和“普適”的地位時，總比較容易根據(jù)某些形式的標準消除它，但是為什么集合論的后繼部分比集合論自身更可信這是不清楚的。除了事后看到它們事實上引向災難之外，對什么是先驗的動因，什么是與之一致的哲學特征，人們?nèi)绾螐南胍鉀Q的集合論中去分離出它們也是不清楚的。緊接著對這種情況進行研究的主要是Russell和Weyl，后來由Brouwer作出結(jié)論，這些研究表明：不僅集合論，而且大部分現(xiàn)代數(shù)學所使用的“一般有效性”和“存在

15、性”概念，在哲學上是要引起異議的。一個較少地具有這種不可預料的特點的“數(shù)學系統(tǒng)”是“直覺主義”，它是由Brouwer發(fā)展的。但是按這種方式，現(xiàn)代數(shù)學中，特別是在分析數(shù)學中，百分之五十以上的最有生機的部分或者要被“清除”掉，或者將變得無效了，或者必須補加某些更為復雜的考察來進行論證。后一過程，常常使有效性的一般性和推導的漂亮方面會有所減色。但是Brouwer和Weyl認為：根據(jù)這些思想去修正數(shù)學嚴格性的概念是必要的。 不可能過高地估計這些事情的意義。在20世紀30年代，有兩位持第一種態(tài)度的數(shù)學家實際上提出了：數(shù)學的嚴格性概念和怎樣構(gòu)成一個精確證明的觀念應該是可以改變的!下列的展開是值得注意的：

16、1僅有很少的數(shù)學家，在他們自己日常工作中，愿意接受新的，苛刻的標準。盡管很多數(shù)學家稱頌Weyl和Brouwer的基本想法是正確的，但是他們自身繼續(xù)不受干涉地工作著，即按“老”的容易的方式搞他們自己的數(shù)學。 2Hilbert追隨著下面這個天才的思想去論證“經(jīng)典”的(即直覺主義以前的)數(shù)學：即使在直覺主義系統(tǒng)中，也可以對經(jīng)典數(shù)學是如何運算的給出嚴格的說明。也就是說人們可以描述經(jīng)典系統(tǒng)是如何工作的，盡管人們不能論證這種工作。因此有可能直覺主義地證明：經(jīng)典的程序決不可能引向矛盾。顯然這樣的證明是很困難的，但是對于怎樣才能達到它，有著某些啟示。按這個方案進行工作，有可能提供一個在與直覺主義系統(tǒng)相反的基礎

17、下證明經(jīng)典數(shù)學的最為值得重視的證明。至少，這個解釋在大多數(shù)數(shù)學家愿意接受的數(shù)學哲學系統(tǒng)中將是合法的! 3.在試圖建立這個規(guī)劃的大約十年之后，G6del作出了最為值得銘記的結(jié)果。這個結(jié)果，如果沒有某些附加的不引起誤解的說明，那是不能作絕對精確的陳述的。它的基本內(nèi)容是這樣的：如果一個數(shù)學系統(tǒng)并不引向矛盾，那么這件事實，使用該系統(tǒng)的程序是不可證明的。GOdel的證明滿足數(shù)學嚴謹性的最嚴格的標準直覺主義的標準。它對Hilbert綱領的影響作用引起了某些爭論，不過說理太技術(shù)化了。我現(xiàn)在的觀點也和許多人一樣，認為G6del已經(jīng)證明了Hilbert的綱領本質(zhì)上是無用的。 4在Hilbert或Brouwer意

18、義之下論證經(jīng)典數(shù)學的主要想法已經(jīng)過去了。大部分數(shù)學家決定使用任意的系統(tǒng)?？傊?jīng)典數(shù)學過去曾產(chǎn)生的結(jié)果既是雅致的又是有用的。即使人們不能絕對地確定它的現(xiàn)實性，但是把它作為基礎還是穩(wěn)妥的，如像電子的存在那樣。因此，如果人們愿意接受科學，人們就同樣能接受經(jīng)典的數(shù)學系統(tǒng)，甚至對直覺主義的某些最初的擁護者來說，這樣的觀點也成為可接受了。當前關(guān)于“基礎”的論爭，確實不太緊湊了，但是，經(jīng)典系統(tǒng)將被大多數(shù)人而不是少數(shù)人拋棄的想法，似乎最不受歡迎。 我對這個論爭的沿革，已經(jīng)作了如此詳細介紹，因為我想這是最謹慎的對數(shù)學的嚴格性是不可改變的說法的異議。這發(fā)生在我們自身的時代，我慚愧地知道自己關(guān)于絕對的數(shù)學真理性看法

19、，在這一時期是怎樣容易地改變的，并且是怎樣相繼地改變了三次的。我希望上述占了我文章一半篇幅的三個例子已足以說明許多最好的靈感來自于經(jīng)驗。很難相信，存在著與人類所有經(jīng)驗相聯(lián)的、絕對的、不可變動的數(shù)學嚴格性的概念。關(guān)于這個問題，我企圖采取一種低姿態(tài)，不管你對哲學或認識論持何種偏愛，任何一個了解數(shù)學的人，都會實際感受到一種經(jīng)驗，它很少會支持這樣的假設：存在一個先驗的數(shù)學嚴格性的概念。然而，我的文章還有另外一事，現(xiàn)在我試圖轉(zhuǎn)向這部分。 對任何數(shù)學家來說，很難相信數(shù)學是一門純粹經(jīng)驗科學，或者說，所有數(shù)學概念都起源于經(jīng)驗主體。首先讓我們來考察陳述的第二部分?，F(xiàn)代數(shù)學中有各種各樣重要部分，它的經(jīng)驗來源是不可

20、追溯的。或者說，如果可以追溯的話，也是如此間接，顯然地自它割斷它的經(jīng)驗根源之后，就面貌全非了。代數(shù)符號是為了數(shù)學本身的使用而發(fā)明的。當然也可以合理地斷言：它加強了與經(jīng)驗的聯(lián)系，但是，現(xiàn)代的抽象代數(shù)，已經(jīng)愈來愈朝著與經(jīng)驗很少相聯(lián)的方向發(fā)展。關(guān)于拓撲也可以這樣講。在所有這些領域，數(shù)學家主觀上的成功標準和作用價值，是自身相容、符合美學和脫離(或幾乎脫離)經(jīng)驗(關(guān)于這些，我將進一步敘述)。在集合論中，這更為明顯，一個無窮的“冪”和“序”，可以是有限數(shù)概念的推廣，但是在他們的無限形式中(特別是“冪”)，它們和這個世界很難有任何聯(lián)系。如果我不想避免某些技巧，我能夠用數(shù)集理論作為例子來詳細地敘述這一點?！斑x

21、擇公理”問題，無限“冪”的“可比較性”，“連續(xù)統(tǒng)”問題等等，也是如此。同樣的評述可以應用到實函數(shù)論和實點集論：盡管它們可以被設想成是抽象的，不可應用的學科，并且按這種精神來看，幾乎總是雅致的，然后在十年之后，有的可能在一個世紀之后，卻變得對物理學十分有用。它們主要地仍然是在追求象征性的、抽象的、非應用的精神。 所有這種情況，以及它們的各種組合的事例可以不斷重復，但是，我想轉(zhuǎn)到我前面指出過的第一方面去：數(shù)學是一門經(jīng)驗科學嗎?或者更精確地說，數(shù)學真的是按經(jīng)驗科學那樣實踐的嗎?或者，更一般地說：數(shù)學家和他的課題的標準關(guān)系是什么?他向往的成功標準是什么?什么影響、什么考慮在控制和指引著他的努力呢? 然

22、后，讓我們來看，數(shù)學家常規(guī)的工作方法和自然科學家工作方法的差別在哪里。這種差別的持續(xù)，顯然影響了從理論學科到實驗學科，繼而從實驗學科到描述學科之間的差別。因而讓我們把數(shù)學與最相近于數(shù)學范疇的學科理論學科作一比較。讓我們在這里選取一個與數(shù)學最相近的學科理論物理。數(shù)學和理論物理實際上有著許多共同之處。正如我前面已說過的，Euclid幾何系統(tǒng)是經(jīng)典力學公理描述的原型。類似的現(xiàn)象是熱力學的陳述，充滿著如同Maxwell的描述電動力學系統(tǒng)，以及狹義相對論的句子。此外認為理論物理不管是分類的還是綜合的，都不是解釋現(xiàn)象的態(tài)度，今天已為大多數(shù)理論物理學家所接受。這意味著，這理論成功的標準，只需看一看它是否能建

23、立一個簡單的和雅致的，分類的或綜合的能概括許多現(xiàn)象的框架;這些現(xiàn)象如果沒有這個框架將會顯得復雜和參差不齊的，進而看它是否能概括沒有考察到的或者提出框架時尚不知曉的現(xiàn)象(這后面兩種說法代表一個理論的統(tǒng)一性和預見力)?，F(xiàn)在展示在這里的標準顯然極大地擴充了美學的性質(zhì)，由于這個理由，它和你將要看到的對數(shù)學來說幾乎完全是美學的成功的標準是很密切相聯(lián)的。因此，我們現(xiàn)在可以把數(shù)學和與它最相近的自然科學作比較，與我想我已說明了的和數(shù)學有許多共同之處的理論物理相比較。然而在實際的慣用的方法中差別是巨大的和基本的，理論物理的目標主要來自“外界”，大部分是由于實驗物理學的需要。他們幾乎總是起因于想解決某一難題，預見

24、和協(xié)調(diào)的成功通常會跟著到來。這看來是相似的，進展(預見和協(xié)調(diào))來自研究過程，這種研究對解決某些原先存在的難題是必然要經(jīng)歷的。理論物理中的一部分工作是為了探索某種障礙，這種障礙的“突破”提供了發(fā)展，如我已提及的，這些難題通常源于實驗;但是有時它們卻是可接受的理論本身中各部分之間的不協(xié)調(diào)之處，當然，例子也是不少的。Michelson實驗導致狹義相對論，某些電離電位和光譜結(jié)構(gòu)的難題導致量子力學，這些就是第一種情況的例子;狹義相對論和Newton引力理論之間的沖突導致廣義相對論，這是第二種情況的例子，這里從任何方面看，理論物理的問題都是客觀地給定的，而作為衡量成功的標準，如我在上面所指出的，主要是美學

25、的。但是也有一部分，我們上面提及過的具有基本的“突破”的問題，很難說它起源于客觀實在。據(jù)此可見，理論物理的課題幾乎各個時期都是非常集中的，一切物理學家的最重要的努力都集中在一、二個十分尖銳的領域，1920年代和1930年代初，集中在量子理論，1930年代后半期集中在基本粒子和核結(jié)構(gòu)方面就是一些例子。 總的說來，數(shù)學的情況就不同了。由于在特點、風格、目標和影響方面相互之間廣泛的差別，數(shù)學被分成許多分支。它顯得和理論物理極為集中的情況十分相反。今天大多數(shù)物理學家仍然需要具備有關(guān)他的課題的有用知識一半以上，我懷疑，任何一個現(xiàn)在在世數(shù)學家會具備四分之一以上與他的課題有關(guān)的有用知識。在一個數(shù)學分支中“客觀地”給出的“重要”問題可以相去甚遠。數(shù)學家選這個課題，或者選其他課題，基本上是自由的，然而理論物理的一個“重要”問題常常是一種必須加以解決的一個沖突、矛盾。數(shù)學家有廣泛的領域供他轉(zhuǎn)換選題，他在選題方面可以有適當?shù)淖杂?，而對于決定選題，選題的標準和成功的標準，主要是美學的說法是正確的。我感到這個斷言是會引起爭論的，這是不可能“證明”的。有充分的理由可以說，這里的美學特點甚至比我們前面討論理論物理時所提到的例子還要更為突出。人們期待一條數(shù)學定理或者理論，不僅要能用簡單的和雅致的方式去描述而且還要能去劃分大量的原先根本不同的各別情況。人們也期待它的構(gòu)造在“美學上”的“雅致性”和在敘述問題時的