【精品】導數(shù)講義(學生新版)(2)

1、導數(shù)f (XoX)f (Xo)。X例、假設(shè)lim血X 。X)f(X。)Xk，那么 limX 。f(x。2 x) f(x。)等于X、導數(shù)的概念函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x0處有增量 x，那么函數(shù)y相應地有增量 y=f(Xo+ x ) -f (x。)，比值 丄叫做函數(shù)y=f (x)在X。到Xo+ x之間的平均變x化率，即 丄=x) f(x。)。如果當X 。時，有極限，我們就說函XXX數(shù)y=f(x)在點Xo處可導，并把這個極限叫做f (x)在點Xo處的導數(shù)，記作f(X。)或 y丨 X X。f (x 0)= limX 。1A . 2k B . k C .丄k D .以上都不是2變式訓練：設(shè)函數(shù)f

2、(x)在點x0處可導，試求以下各極限的值.X 23假設(shè) f(X。)2，那么 lim f(X k)仏)=?k 02k二、導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f (x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義是曲線y=f (x)在點p (x0, f (x0) 處的切線的斜率。也就是說，曲線 y=f (x)在點p(x0，f (x0)處的切線的 斜率是f(X。)。切線方程為 y-yo=fz (x。) (x-x。)。三、導數(shù)的運算1 .根本函數(shù)的導數(shù)公式：C 0; ( C為常數(shù))Xnn 1 nx (sin x) cosx ; (cosx) si nx; (ex)ex； (ax) axlna; In x -; I oga X1 lo

3、gae.x(1)f(x)( 2)f(x)4 x3f(x),x(4)f (x) sin x(5)f (x)cosx6f(x)3x7f(x) ex(8) f (x) log2 x(9)f (x) ln x10f(x)111y31cosxx4 4(12y產(chǎn)13) ylg xx e14y3x cosx1 x習題：求以下函數(shù)的導數(shù):8分鐘獨立完成2、導數(shù)的四那么運算法那么:f(x)g(x)f (x)g(x)f(x)g(x)f (x)g(x)f(x)g(x) f (x)g(x) f(x)g(x)f(x) f (x)g(x) f(x)g(x) g(x)g2(x)練習:求以下函數(shù)的導數(shù)：1y2xx 2 ；2y

4、、x ln x ；3y.xsin x ；4yxln x o5ysin x6y2xoxln x3、復合函數(shù)求導:如果函數(shù)x在點x處可導，函數(shù)f u在點u= x處可導，那么復合函數(shù)y f ( u) =f (x)在點x處也可導，并且(例、求以下函數(shù)的導數(shù)(1) y= 1 2xcos x 練習：求以下函數(shù)的導數(shù)(1)y=(3x 1)f (x) / = f (x)(x)(2) y=ln ( x+ . 1 x2 )(2)y=sin (3x+)4?？碱}型：類型一、求導數(shù)相關(guān)問題例1、假設(shè)曲線y二ex上點P處的切線平行于直線2X+ y+ 1二0,那么點P的坐標是例2、曲線y = xexT在點(1 , 1)處切

5、線的斜率等于()A. 2e B . eC. 2 D . 1例3、2021 新課標全國卷U 設(shè)曲線y = ax- ln( x + 1)在點(0 , 0)處的切線方 程為y = 2x，那么a=()A. 0 B . 1 C . 2 D . 3類型二、求切線方程(一) 切點坐標，求切線方程例1.曲線y x3 3x2 1在點(1, 1)處的切線方程(二) 切點斜率，求切線方程例2.與直線2x y 4 0的平行的拋物線y x2的切線方程(三) 曲線外一點，求切線方程例3.求過點(2,0)且與曲線y丄相切的直線方程.x(四) 曲線上一點，求過該點的切線方程例4.求過曲線y x3 2x上的點(1, 1)的切線

6、方程.變式訓練：1、 2021 廣東卷曲線y二一5ex+ 3在點(0，- 2)處的切線方程為 .b2、2021 江蘇卷在平面直角坐標系xOy中，假設(shè)曲線y = ax2 +-(a, b為常數(shù))x過點P(2 , - 5)，且該曲線在點P處的切線與直線7x + 2y+ 3= 0平行，那么a+ b的值是.23、與直線x y 1= 0平行,且與曲線y= 1相切的直線方程3類型三、求單調(diào)區(qū)間及極值、最值考點一求不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1.求函數(shù)y=x2(1 x)3的單調(diào)區(qū)間.變式訓練：1. 函數(shù)y xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. (e 1,) B. ( ,e 1)C. (0,e 1)D. (e,)2.

7、 (05年廣東高考題)函數(shù)f (x) x3 3x2 1是減函數(shù)的區(qū)間為()(A) (2,) (B)(,2) (C)(,0) (D)(0,2)考點二 求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1考例1、函數(shù)f(x) - x2 ml nx (m 1)x , m R .當m 0時，討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性.例 2、設(shè)函數(shù) f(x)= 2x3 3(a 1)x2 1,其中 a 1.求f(x)的單調(diào)區(qū)間；例3、設(shè)函數(shù)f(x)=ax (a+1)ln( x+1)，其中a -1 ,求f (x)的單調(diào)區(qū)間。變式訓練：x 一 11、2021 山東卷設(shè)函數(shù)f (x) = aln x+ ,其中a為常數(shù).x十I(1) 假設(shè)a= 0,求曲

8、線y= f(x)在點(1 , f(1)處的切線方程；(2) 討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.2、【2021 安徽卷】設(shè)函數(shù) f (x) = 1 + (1 + a)x x2 x3,其中 a0.(1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；考點三：利用單調(diào)區(qū)間求未知參數(shù)取值范圍：例1、2021 新課標全國卷U 假設(shè)函數(shù)f (x) = kx ln x在區(qū)間(1 , +)單調(diào)遞增，貝U k的取值范圍是()A. ( x, 2 B . ( x, 1C. 2 , +x) D . 1 , +x)例2、2021 全國新課標卷I 函數(shù)f (x) = ax3 3x2 + 1,假設(shè)f (x)存在唯一的零點xo,且x0,那么a的取

9、值范圍是()A. (2 ,+x)B . (1 ,+x)C. ( x, 2) D . ( x, 1)例3、2021 遼寧卷當x 2, 1時，不等式ax3 x2 + 4x + 30恒成立， 那么實數(shù)a的取值范圍是()9A. 5, 3 B. 6, 8C. 6, 2 D 4, 3變式訓練：(山東省煙臺市2021屆高三上學期期末考試試題(數(shù)學文)函數(shù)f (x) ax3 bx2的圖像經(jīng)過點M(1,4)，曲線在點M處的切線恰好與直線x 9y 0垂直.(I)求實數(shù)a,b的值；(U)假設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間m, m 1上單調(diào)遞增，求m的取值范圍.考點四：結(jié)合單調(diào)性求極值問題求函數(shù)的極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定

10、義域，求導數(shù)f(x).求方程f(x)0的根.用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義域分成假設(shè)干小開區(qū)間，并列成表 格.檢查f(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號， 那么f(x)在這個根處無極值.注：可導函數(shù)y f(x)在x X。處取得極值是fix。)0的充分不必要條件.例1、函數(shù)f(x) 2ax b 4lnx在x 1與x 1處都取得極值.x3(1)求a、b的值；變式訓練：設(shè)x 1,x 2是f x al nx bx x函數(shù)的兩個極值點.(1) 試確定常數(shù)a和b的值；(2) 試判斷x 1，x

11、 2是函數(shù)f x的極大值點還是極小值點，并求相應極值.例 2、(06 安徽卷)設(shè)函數(shù) f x x3 bx2 cx(x R)， g(x) f (x) f (x)是奇函數(shù)。(I)求b、c的值。(U)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。例3、函數(shù)f (x) ax3 bx2 (c 3a 2b)x d的圖象如下圖.(I )求c,d的值；(II )假設(shè)函數(shù)f(x)在x 2處的切線方程為3x y 11 0，求函數(shù)f(x)的解析式;例4、2021 江西卷函數(shù)f(x)=1-f (x) 5x m的圖象有三個不同3(III )在(II )的條件下，函數(shù)y f(x)與y 的交點，求m的取值范圍. R).(2)假設(shè)f(x)在區(qū)

12、間0，3上單調(diào)遞增,(1)當b= 4時，求f(x)的極值;變式訓練：1、函數(shù)f(x) x b的圖象與函數(shù)g(x) x2 3x 2的圖象相切，記 F(x) f(x)g(x).(I)求實數(shù)b的值及函數(shù)F(x)的極值；(U)假設(shè)關(guān)于x的方程F(x) k恰有三個不等的實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍322、(2021 全國U文 20)函數(shù) f(x) x 3ax (3 6a)x 12a 4(a R)(I )證明：曲線y f (x)在x 0的切線過點(2,2);(U)假設(shè)f(x)在x xo處取得極小值，xo (1,3),求a的取值范圍考點五：結(jié)合單調(diào)性求最值問題求函數(shù)在a,b上最值的步驟：(1)求出f(x)在(

13、a,b)上的極值.(2) 求出端點函數(shù)值f(a), f(b).(3) 比擬極值和端點值，確定最大值或最小值. 例1、(2021年重慶卷)函數(shù)f(x) = ax3 + x2+ bx(其中常數(shù)a，b R)，g(x)=f(x) + f (x)是奇函數(shù).(1)求f(x)的表達式； 討論g(x)的單調(diào)性，并求g(x)在區(qū)間1,2上的最大值與最小值.例2、設(shè)函數(shù)f(x) = ax3 + bx+ c(a工0)為奇函數(shù)，其圖象在點(1，f(1)處的切 線與直線x 6y 7= 0垂直，導函數(shù)f (x)的最小值為12.(1)求a，b，c的值； 求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)f(x)在1,3上的最大值和最小

14、值.1例 3、函數(shù) f (x)x2 aln x, g(x) (a 1)x ,a 1 .2(I )假設(shè)函數(shù)f (x), g(x)在區(qū)間1,3上都是單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，求實數(shù)a的取值范圍；(II )假設(shè) a (1,e(e 2.71828L )，設(shè) F(x) f (x) g(x)，求證：當 x,x2 1,a 時，不等式| F(xJ F(X2)| 1成立.例 4、2021 安徽卷設(shè)函數(shù) f(x) = 1+ (1 + a)x-x2 x3，其中 a 0.(1) 討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；(2) 當x 0 , 1時，求f(x)取得最大值和最小值時的x的值.四、導數(shù)與不等式恒成立問題：可將恒成

15、立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。兩個根本思想解決“恒成立問題思路1、mf (x)在x D上恒成立mf ( x) max思路2、mf (x)在x D上恒成立mf (x) min例1.設(shè)函數(shù)f (x)2x3 3ax2 3bx 8c 在 x1及x 2時取得極值.求a、b的值；假設(shè)對于任意的x0,3，都有 f(x) c成立,求c的取值范圍.例2、函數(shù)fa 33 2.xxx a 132x 1,其中a為實數(shù)。不等式f xx2 x a 1對任意a0,都成立，求實數(shù)x的取值范圍例3、設(shè)函數(shù)f xx4 ax3 2x2 b, (xR),其中a,b R。假設(shè)對于任意的a2,2，不等式f x1在1,1上恒成立，求b的

16、取值范圍。例4、假設(shè)實數(shù)a 0且a 2，函數(shù)f x1 3 ax31 2a 2 x22x1。2(1)證明函數(shù)f x在x 1處取極值，并求出函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間(2)假設(shè)在區(qū)間0,上至少存在一點X。，使得f X。 1，求實數(shù)a的取值范圍變式訓練：1、(2021遼寧文)函數(shù) f (x) (a 1)lnx ax2 1.(I)討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性；(U)設(shè) a 2，證明：對任意為風(0,)， | f (xj f (x2) | 4 | x1 x21.2、 函數(shù)f (x) = x + 3| x a|( a0).假設(shè)f (x)在1,1上的最小值記為g(a). (1)求 g(a)；證明：當 x 1，1時，恒有 f(x) g( a) + 4.3、設(shè)函數(shù) f (x) (x a)2x, a R.(I)假設(shè)x 1為函數(shù)y f (x)的極值點，求實數(shù)a ；(U)求實數(shù)a的取值范圍，使得對任意的x (,2，恒有f (x) 4成立.4、設(shè)函數(shù)f(x)-x3 2ax2 3a2x b (0 a 1, b R). 3(I)求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間和極值;(U)假設(shè)對任意的x a 1,a 2,不等式fx a成立，求a的取值范圍存在性問題:x能成立a