FIR濾波器PPT課件

1、FIR濾波器 第四章 FIR濾波器的設計方法 線性相位FIR數字濾波器的特性 窗口設計法 IIR與FIR數字濾器的比較 FIR濾波器 學習要求：掌握線性相位的條件；熟練 掌握FIR線性相位濾波器的幅頻特性；會 用窗口法設計FIR濾波器。 FIR濾波器 1、FIR數字濾波器數字濾波器 FIR數字濾波器的差分方程描述 對應的系統函數為： FIR濾波器 FIR數字濾波器的特點(與IIR數字濾波器比較)： 優(yōu)點優(yōu)點 （1）很容易獲得嚴格的線性相位，避免被處理的信號 產生相位失真，這一特點在寬頻帶信號處理、陣列信號 處理、數據傳輸等系統中非常重要； （2）永遠穩(wěn)定，如果它的有限長單位脈沖響應是非因 果的

2、，總能夠通過適當的移位得到因果的，所以不存在 是否可實現的問題； FIR濾波器 FIR濾波器與IIR濾波器的設計方法大不相同， 對IIR數字濾波器，設計結果是系統函數H(Z)，而 FIR數字濾波器的設計結果是其單位脈沖響應h(k)。 FIR濾波器 4.1 線性相位線性相位FIR數字濾波器的特性數字濾波器的特性 4.1.1 4.1.1 線性相位特性線性相位特性 1、線性相位特性、線性相位特性 相位特性是系統的一個特性，要研究系統的相 位特性可求其傅立葉變換。 FIR濾波器 例：對于一個系統要實現無失真?zhèn)鬏攧t系統響應 y(t)與激勵f(t)的關系如下圖。 f(t) y(t)=Af(t-t0) 求其

3、傅立葉變換得： 0 ()() j t Y jAF je 0 () () ()( ) () j tj Y j H jAeHe F j 而： FIR濾波器 系統的幅頻特性為： | |()| 0| c c A H j 相頻特性： 0 ( )| c t c c A |()|H j 圖一：幅頻特性 c c ( ) 圖二：相位特性 FIR濾波器 線性相位線性相位：指 是w的線性函數， 即群時延是一個常數。 ( ) 0 ( )d t d （常數） 線性相 位類別： 第一類線性相位： 第二類線性相位： ( ) 0 ( ) FIR濾波器 2、FIR濾波器滿足第一類線性相位的條件濾波器滿足第一類線性相位的條件 條

4、件條件：h(k)是實數序列且對N/2點偶對稱，即 h(k)=h(N-1-k)。 1 1 2 0 1 ()( )cos() 2 N N j j k N H eeh kk 計算其頻率響應得（計算過程見板書）： FIR濾波器 因為：h(k)是實函數，正弦函數也是實函數 1 2 ()( ) N j j g H eHe 幅度函數 1 0 1 ( )( )cos() 2 N g k N Hh kk 相位函數 1N-1 ( ) 22 N 即 所以，只要h(k)是實序列，且h(k)為N/2點偶對 稱，則該濾波器就一定具有第一類線性相位。 FIR濾波器 3、FIR濾波器滿足第二類線性相位的條件濾波器滿足第二類線

5、性相位的條件 條件條件：h(k)是實數序列且對N/2點奇對稱，即 h(k)=-h(N-1-k)。 1 1 () 22 0 1 ()( )sin() 2 N N j j k N H eeh kk 其頻率 響應為： 1 0 1 ( )( )sin() 2 N g k N Hh kk 1 ( ) 22 N 幅度函數 相位函數 FIR濾波器 綜上，線性相位的條件： 即如果單位脈沖響應h(k)為實數，且具有偶對稱 或奇對稱性，則FIR數字濾波器具有嚴格的線性相 位特性。 FIR濾波器 4 4、線性相位、線性相位FIR濾波器的幅度特性濾波器的幅度特性 1 2 0 1 ( )( )sin() 2 N g k

6、 N Hh kk 1 1 0 1 ( )( )cos() 2 N g k N Hh kk N為奇數 N為偶數 偶對稱的幅度函數： 奇對稱的幅度函數： FIR濾波器 FIR濾波器 圖三：線性相位FIR濾波器幅度特性 FIR濾波器 1、h(n)偶對稱，偶對稱，N為奇數為奇數 w=0,2w=0,2偶對稱，因此偶對稱，因此 對這些頻率也呈偶對稱。對這些頻率也呈偶對稱。 2 2、h(n)h(n)偶對稱，偶對稱，N N為偶數為偶數 w= ,H(w)=0,H(w)=0，不能用這種情況設計高通、帶阻濾 波器。 3 、h(n)奇對稱，奇對稱，N為奇數為奇數 w=0,2w=0,2時時H(w)=0H(w)=0，不能

7、用作低通、高通或帶不能用作低通、高通或帶 阻，只能設計帶通。阻，只能設計帶通。 4 4、h(n)h(n)奇對稱，奇對稱，N N為偶數為偶數 w=0,2w=0,2時時H(w)=0H(w)=0，不能設計低通和帶阻，可設計不能設計低通和帶阻，可設計 高通和帶通。高通和帶通。 FIR濾波器 表表4.1 4.1 四種線性相位四種線性相位FIRFIR濾波器特性濾波器特性 第一種情況，偶對稱、奇數點，四種濾波器都可設 計； 第二種情況，偶對稱、偶數點，可設計低、帶通濾 波器不能設計高通和帶阻； 第三種情況，奇對稱、奇數點，只能設計帶通濾波 器，其它濾波器都不能設計； 第四種情況，奇對稱、偶數點，可設計高、帶

8、通濾 波器，不能設計低通和帶阻。 FIR濾波器 總結：總結： 可見，四種FIR數字濾波器的相位特性只取決于 h(n)的對稱性，而與h(n)的值無關，其幅度特性取 決于h(n)，所以，設計FIR數字濾波器時，在保證 h(n)對稱的條件下，只要完成幅度特性的逼近即可。 FIR濾波器 4.2 窗口設計法（時間窗口法）窗口設計法（時間窗口法） FIR濾波器的一般設計過程總是先給定一理想頻率 響應為 ，然后設計一FIR濾波器用它的頻率響 應 去逼近 。 在這種逼近中有兩種直接的方法，一是從時域入 手，這就是本節(jié)要講的時間窗口設計法，另一種從頻 域入手，即下節(jié)講的頻率采樣法。 FIR濾波器 時間窗口設計法

9、是從單位脈沖響應序列著 手，使h(n)逼近理想的單位脈沖響應序列hd(n)。 我們知道hd(n)可以從理想頻響通過付氏反變換獲 得。 FIR濾波器 線性相位理想低通濾波器的頻率響應： ,| () 0, j a jc d cc e He 相應的理想單位抽樣響應為： sin()1 ( ) 2() c j aj n cc d cc na h need na sin() ( ) () c d na h n na 即： 1、FIR低通濾波器的設計低通濾波器的設計 FIR濾波器 圖四：理想低通濾波器的單位脈沖響應hd(n)波形 FIR濾波器 由上圖可見，得到的理想單位脈沖響應hd(n)往往 都是無限長序列

10、，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有 限長的，問題是怎樣用一個有限長的序列去近似無限 長的hd(n)。 最直接簡單的辦法是直接截取其一段得到可實現的 有限長因果序列。 為了構造線性相位濾波器，應使截取的一段對N/2 對稱，如： h(n)= hd(n)RN(n) 其中RN(n)為矩形序列，也稱為窗函數。見下圖。 FIR濾波器 圖五：理想低通的單位脈沖響應及矩形窗 FIR濾波器 所以，實際可實現的濾波器為： 1 0 ( )( ) N n n H Zh n z 我們用一個有限長序列h(n)來代替hd(n)，肯定會引起 誤差。對實際得到的h(n)取頻率響應得其幅頻圖如下： FIR濾波器 Hd(w)

11、 1 w -wcwc 圖七：理想的幅頻特性曲線 圖六：實際濾波器的幅頻特性曲線圖 FIR濾波器 從實際濾波器的幅頻圖和理想的濾波器幅頻曲線比 較，可見加窗對理想頻響的影響： 1、在w=wc附近形成過渡帶，其寬度取決于窗函數 的主瓣寬度。 2、通帶內增加了波動，阻帶內產生了余震并減少 了阻帶的衰減。這是由窗函數旁瓣的作用引起的。 這種誤差表現在頻域上，稱為吉布斯效應。 FIR濾波器 如何減少吉布斯效應？ 加大N，只能使過渡帶變窄； 要減少帶內波動以及加大阻帶衰減，就需要選 擇合適的窗函數。 FIR濾波器 為了改善濾波器的特性，必須改變窗函數的形 狀，窗函數要滿足以下兩點要求： 窗譜主瓣寬度要窄，

12、以獲得較陡的過渡帶； 相對于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集 中在主瓣中，這樣就可以減小肩峰和余振，以提高阻帶 衰減和通帶平穩(wěn)性。 但實際上這兩點不能兼得，一般總是通過增加主瓣 寬度來換取對旁瓣的抑制。 FIR濾波器 2、幾種典型的窗函數 1）矩形窗 窗函數為： 1 0 ( )1( ) N N k W nRn FIR濾波器 FIR濾波器 2）漢寧窗（升余弦窗） 2 ( )(0.50.5cos)( ) 1 N n W nRn N 窗函數為： FIR濾波器 FIR濾波器 3）哈明窗（改進的升余弦窗） 2 ( )(0.540.46cos)( ) 1 N n W nRn N 窗函數為： FIR濾

13、波器 它是對漢寧窗 的改進，在主瓣寬 度（對應第一零點 的寬度）相同的情 況下，旁瓣進一步 減小，可使99.96% 的能量集中在主瓣 內。 FIR濾波器 4）布萊克曼窗 24 ( )(0.420.5cos0.08cos)( ) 11 N nn W nRn NN 窗函數為： FIR濾波器 增加一個二 次諧波余弦分量， 可進一步降低旁 瓣，但主瓣寬度 進一步增加，增 加N可減少過渡 帶。 FIR濾波器 5）凱塞窗 以上四種窗函數，都是以增加主瓣寬度為代價來 降低旁瓣。凱塞窗則可自由選擇主瓣寬度和旁瓣衰減, 如圖。 FIR濾波器 窗函數為： 2 0 0 2 1 (1) 1 ( ) n I N W n

14、 I 2 0 1 ( / 2) ( )1 ! j j x Ix j 其中 FIR濾波器 FIR濾波器 FIR濾波器 四種窗函數的比較四種窗函數的比較 四種窗函數的時域波形如圖4.6，幅度譜如圖4.7，用四 種窗函數所設計的濾波器的頻響特性如圖4.8。 FIR濾波器 從(a)(d)，旁瓣的衰減逐步增加，主瓣相應加寬。 FIR濾波器 （N=51， =0.8） FIR濾波器 圖4.8可見，用矩形窗設計的濾波器過渡帶最 窄，但阻帶最小衰減也最小，僅-21dB；布萊克 曼窗設計的阻帶最小衰減最大，達-74dB，但過 渡帶最寬，約為矩形窗的三倍。 FIR濾波器 3、用窗函數法設計FIR濾波器步驟 1) 根

15、據技術要求確定待求濾波器的單位脈沖響應hd(n); 2) 根據對過渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數的形式， 并估算窗口的長度N； 3) 計算濾波器的單位脈沖響應h(n)，h(n)=hd(n)w(n)，如 果要求是線性相位，則hd(n) 和w(n)均對N/2點對稱。 對于FIR濾波器，得h(n)就設計好了，當然要驗證 指標的話，還應求出頻率響應。 FIR濾波器 FIR濾波器 另一個FIR濾波器參數表 FIR濾波器 (模擬指標) FIR濾波器 優(yōu)點：1. 無穩(wěn)定性問題； 2. 容易做到線性相位； 3. 可以設計各種特殊類型的濾波器； 4. 方法特別簡單。 缺點：1. 不易控制邊緣頻率； 2. 幅頻

16、性能不理想； 3. 較長；( )h n 改進：1. 使用其它類型的窗函數； 2. 改進設計方法。 FIR DF 設計的窗函數法的特點： FIR濾波器 v 窗口法設計FIR高通帶通帶阻濾波器 1、線性相位FIR高通濾波器的設計 (第一類線性相位)理想高通的頻率響應為： |N-1 () 20 j cj d e He 其中 其他 第二類線性相位（有相移）(略) FIR濾波器 其單位抽樣響應為： ()() 1 h ( ) 2 sin ()sin() () c jkjk d c c keded kk k 相當于用一個截止頻率在 處的低通濾波器 （實際上是全通濾波器）減去一個截止頻率在c 處的低通濾波器。

17、 FIR濾波器 例例2:根據下列技術指標，設計一個FIR數字高通濾波器： wp=0.6 ,ws=0.4 ,Ap=0.25dB,As=40dB。選擇一個合適 的窗函數，確定單位沖激響應。（ex4_hp.m） 窗函數主瓣寬度過渡帶寬阻帶最小衰減 矩形4/N1.8/N-21 漢寧8/N6.2/N-44 漢明8/N6.6/N-53 布萊克曼12/N11/N-74 課本P150 表4.2 幾種窗函數的性能 FIR濾波器 解：wp=0.6;ws=0.4 tr_width=wp-ws=0.2 N=6.2 /tr_width=31 wc=(ws+wp)/2=0.5; sin ()sin() h ( ) ()

18、c d kk k k 理想高通 2 ( )(0.50.5cos)( ) 1 N n W nRn N 選擇漢寧窗 漢明窗函數為 所以，h(n)=hd(n)w(n) 注意與上次課例子做比較 FIR濾波器 2、線性相位FIR帶通濾波器的設計 理想帶通的頻率響應為： 12 0|N-1 () 20 j j d e He 其中 其他 FIR濾波器 其單位抽樣響應為： 12 ()() 21 21 1 h ( ) 2 sin()sin() () jkjk d keded kk k 可見，帶通濾波器可見，帶通濾波器(w1,w2)=低通低通(w2)-低通低通(w1) FIR濾波器 習題1：根據下列技術指標，設計一個FIR數字帶 通