線性代數(shù)chapter方陣的特征值與特征向量PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 線性代數(shù)線性代數(shù)chapter方陣的特征值與特征向方陣的特征值與特征向 量量 教學(xué)要求： 1. 理解方陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì); 2. 會(huì)求方陣的特征值和特征向量. 第1頁(yè)/共29頁(yè) .義義特征值與特征向量的定特征值與特征向量的定一一 .質(zhì)質(zhì)特征值與特征向量的性特征值與特征向量的性二二 .法法特征值與特征向量的求特征值與特征向量的求三三 第2頁(yè)/共29頁(yè) .義義特征值與特征向量的定特征值與特征向量的定一一 . , , 的特征向量的特征向量的對(duì)應(yīng)于特征值的對(duì)應(yīng)于特征值稱為稱為 非零向量非零向量的特征值的特征值稱為方陣稱為方陣這樣的數(shù)這樣的數(shù)那末那末成立成立 使關(guān)系式使關(guān)系式 維

2、非零列向量維非零列向量和和如果存在數(shù)如果存在數(shù)階方陣階方陣是是設(shè)設(shè) A xA xAx xnnA 定義. 注意 ., 0言言的的特特征征值值問(wèn)問(wèn)題題是是對(duì)對(duì)方方陣陣而而特特征征向向量量 x 第3頁(yè)/共29頁(yè) .質(zhì)質(zhì)特征值與特征向量的性特征值與特征向量的性二二 .)0( , . 1 00 00 的特征向量的特征向量的對(duì)應(yīng)于的對(duì)應(yīng)于也是也是則則 的特征向量的特征向量的對(duì)應(yīng)于特征值的對(duì)應(yīng)于特征值是是如果如果 Akkp Ap Proof. , 000 pAp )()( 00 ApkkpA )( 00 pk )( 00 kp . 00 的特征向量的特征向量的對(duì)應(yīng)于的對(duì)應(yīng)于是是 Akp . )0,( , .

3、 2 0212211 021 特征向量特征向量 的的的對(duì)應(yīng)于的對(duì)應(yīng)于也是也是不同時(shí)為不同時(shí)為則則 的兩個(gè)特征向量的兩個(gè)特征向量的對(duì)應(yīng)于特征值的對(duì)應(yīng)于特征值是是與與如果如果 Akkpkpk App 第4頁(yè)/共29頁(yè) Proof. , 101 pAp )( 2211 pkpkA )()( 202101 pkpk )( 22110 pkpk , 202 pAp )()( 2211 ApkApk . 02211 的特征向量的特征向量的對(duì)應(yīng)于的對(duì)應(yīng)于是是 Apkpk 推廣: .)0,( , 01 2211 021 的特征向量的特征向量的對(duì)應(yīng)于的對(duì)應(yīng)于也是也是不同時(shí)為不同時(shí)為 則非零線性組合則非零線性組合

4、 的特征向量的特征向量的對(duì)應(yīng)于的對(duì)應(yīng)于是是如果如果 Akk pkpkpk Appp s ss s 第5頁(yè)/共29頁(yè) ., , , 3. 21 21 21 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)則則 向量向量依次是與之對(duì)應(yīng)的特征依次是與之對(duì)應(yīng)的特征 個(gè)特征值個(gè)特征值的各不相同的的各不相同的是方陣是方陣若若 m m m ppp ppp mA Proof. 使使設(shè)有常數(shù)設(shè)有常數(shù) m xxx, 21 . 0 2211 mm pxpxpx , 0 2211 mm pxpxpxA則則 , 0 222111 mmm pxpxpx 即即 類推之, 有 . 0 222111 mm k m kk pxpxpx 1, 2 , 1 mk

5、第6頁(yè)/共29頁(yè) 把上述各式合寫(xiě)成矩陣形式，得 mm m m mm m px px px 22 11 11 2 1 1 21 111 0 0 0 于于是是有有可可逆逆 從從而而該該矩矩陣陣該該行行列列式式不不等等于于不不相相等等時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)各各式式 列列陣陣的的行行列列式式為為范范德德蒙蒙行行上上式式等等號(hào)號(hào)左左端端的的系系數(shù)數(shù)矩矩 . , 0, i ,0 ,0 ,0, 2211 mm pxpxpx ., 2 , 10mjpx jj 即即, 0 j p但但 ., 2 , 10mjxj 故故 ., 21 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)所以向量組所以向量組 m ppp 第7頁(yè)/共29頁(yè) 注意 (1) 屬于不同特征值

6、的特征向量是線性無(wú)關(guān) 的 (2) 屬于同一特征值的特征向量的非零線性 組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量 (3) 矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征 值而言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一； 一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值 第8頁(yè)/共29頁(yè) .法法特征值與特征向量的求特征值與特征向量的求三三 ,xAx ,)(OxAE ,解解即上述矩陣方程有非零即上述矩陣方程有非零Ox 也就是含有n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的方程組有非0解. . 0 AE 0 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa 即即 由此可求得特征值. 第9頁(yè)/共29頁(yè) ; 的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式叫做叫做AAE

7、; )(的特征矩陣的特征矩陣叫做叫做AAE . 0的特征方程的特征方程叫做叫做AAE .0 )( 解解的非的非特征向量即為特征向量即為OxAE ,)( OxAE i 代入方程代入方程現(xiàn)將已求得的特征值現(xiàn)將已求得的特征值 , 0 1 的解的解若求得一個(gè)非若求得一個(gè)非 的全部特征向量為的全部特征向量為則對(duì)應(yīng)于則對(duì)應(yīng)于 i ).0( 1 kk , , 0 21 的解的解若求得兩個(gè)非若求得兩個(gè)非 的全部特征向量為的全部特征向量為則對(duì)應(yīng)于則對(duì)應(yīng)于 i ).0,( 212211 不同時(shí)為不同時(shí)為kkkk .)( , 21 的一個(gè)基礎(chǔ)解系的一個(gè)基礎(chǔ)解系就是就是且且OxAE i 第10頁(yè)/共29頁(yè) 求特征值與

8、特征向量的步驟: 0; )1( AEA 的特征方程的特征方程寫(xiě)出寫(xiě)出 ; 0 )2( i AE的全部根的全部根求出求出 . 0 , ,)( )3( 的全部特征向量的全部特征向量線性組合即為對(duì)應(yīng)于線性組合即為對(duì)應(yīng)于其非其非 求得一個(gè)基礎(chǔ)解系求得一個(gè)基礎(chǔ)解系代入代入將每個(gè)將每個(gè) i i OxAE . 1111 1111 1111 1111 . 1 量量的全部特征值與特征向的全部特征值與特征向 求矩陣求矩陣 Aex 第11頁(yè)/共29頁(yè) Solution. 1111 1111 1111 1111 AE)2()2( 3 ,0得得令令 AE . 2, 2 4321 為全部特征值為全部特征值 .)2(,2)

9、1( 1 OxAE 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 3111 1311 1131 1113 )2(AE而而 0000 1100 1010 1001 第12頁(yè)/共29頁(yè) 44 43 42 41 xx xx xx xx 從而從而 1 1 1 1 4 4 3 2 1 x x x x x ).0( )1 , 1 , 1 , 1(2 1 kk的全部特征向量為的全部特征向量為對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 .)2(,2)2( 432 OxAE 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 1111 1111 1111 1111 )2(AE而而 0000 0000 0000 1111 第13頁(yè)/共29頁(yè) 44 33 22 4321 xx xx xx xxxx 從而從而 1

10、0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 432 4 3 2 1 xxx x x x x 2的全部特征向量為的全部特征向量為對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 ).0,( )(1,0,0,1)(1,0,1,0)0 , 0 , 1 , 1( 321 321 不同時(shí)為不同時(shí)為kkk kkk 第14頁(yè)/共29頁(yè) . 201 034 011 . 2的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩陣求矩陣 Aex Solution. 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為A . 1, 2 321 的特征值為的特征值為所以所以A . 0)2(,2 1 xAE解方程組解方程組時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 201 034 011 AE,)1)(2( 2 第15頁(yè)/共

11、29頁(yè) 001 014 013 )2(AE 33 2 1 0 0 xx x x 從而從而 .2)0( 1111 的全部特征向量的全部特征向量是對(duì)應(yīng)于是對(duì)應(yīng)于所以所以 kpk . 0)(,1 32 xAE解方程組解方程組時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) , 000 010 001 , 1 0 0 3 3 2 1 x x x x , 1 0 0 1 p基礎(chǔ)解系為基礎(chǔ)解系為 第16頁(yè)/共29頁(yè) 101 024 012 )(AE 33 32 31 2 xx xx xx 從而從而 .1)0( 32222 的全部特征向量的全部特征向量是對(duì)應(yīng)于是對(duì)應(yīng)于所以所以 kpk , 000 210 101 , 1 2 1 2 p基礎(chǔ)解系為基

12、礎(chǔ)解系為 , 1 2 1 3 3 2 1 x x x x 第17頁(yè)/共29頁(yè) 注意: ,)1( 0 的特征值的特征值是是若若A AE 0 則則 )( 0 AEr OxAE )( 0 , 0 , n 有非0解. 的的為為則稱則稱重根重根的的為為若若 00 ,0)2( kkAE .代數(shù)重?cái)?shù)代數(shù)重?cái)?shù) 的的稱其為稱其為的個(gè)數(shù)為的個(gè)數(shù)為 的基礎(chǔ)解系中所含向量的基礎(chǔ)解系中所含向量得得對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 00 00 ),( )(, AErankn OxAE .幾何重?cái)?shù)幾何重?cái)?shù) 結(jié)論1. 方陣A的特征值的幾何重?cái)?shù)不超過(guò) 它的代數(shù)重?cái)?shù). 結(jié)論2. 對(duì)角陣、上三角陣、下三角陣的特征值 即為其主對(duì)角線上的元素. 結(jié)論3.

13、 .的特征值相同的特征值相同與與方陣方陣AA 第18頁(yè)/共29頁(yè) 結(jié)論4. ,)( 21 則則有有 的的特特征征值值為為階階方方陣陣設(shè)設(shè) nij aAn ; )1( 221121nnn aaa . )2( 21 A n 結(jié)論5. 若 是矩陣 A的特征值, x是 A的屬于 的特征 向量, 則 .)1(是任意常數(shù)是任意常數(shù)的特征值的特征值是是kkAk .,)3( 11 的特征值的特征值是是可逆時(shí)可逆時(shí)當(dāng)當(dāng) AA .)2(是正整數(shù)是正整數(shù)的特征值的特征值是是mAm m .,)4( *1 的特征值的特征值是是可逆時(shí)可逆時(shí)當(dāng)當(dāng)AAA .)()(,)5(的特征值的特征值是是為多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)為多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)

14、Afff 第19頁(yè)/共29頁(yè) Proof. ,)1(xAx ),()(xkAxk ,)()(xkxkA .的特征值的特征值是是kAk ,)2(xAx xAAxA Ax x 再繼續(xù)施行上述步驟 次，就得 2 mxxA mm . , 征向量征向量 的特的特對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于是是且且的特征值的特征值是矩陣是矩陣故故 mmmm AxA , 0,)3( 可可逆逆時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)A可得可得由由xAx , 11 xAAxA ),( 1x Ax 第20頁(yè)/共29頁(yè) xxA 11 . , 1111 的的特特征征向向量量 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故 AxA , 0,)4( 可可逆逆時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)A可得可得由

15、由xAx , * xAAxA ),( * xAxA , * x A xA . , * 的的特特征征向向量量 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故 A AxA A (5) 類似可證, 第21頁(yè)/共29頁(yè) xEaAaAaxAf n n n n )()( 0 1 1 ExaxAaxAa n n n n0 1 1 xaxaxa n n n n0 1 1 xaaa n n n n )( 0 1 1 xf)( . )()(,)()( 的的特特征征向向量量 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故 fAfxAff 第22頁(yè)/共29頁(yè) .5,5 , 2 , 1, 1 3 . 3 *

16、23 EABAAAB Aex 與與的特征值的特征值計(jì)算計(jì)算 設(shè)矩陣設(shè)矩陣的特征值為的特征值為階矩陣階矩陣已知已知 Solution. , 22)1(1 A , * A A 的特征值的特征值. 1, 2 , 2 即即 , 2 , 1, 1 時(shí)時(shí)的特征值為的特征值為當(dāng)當(dāng) A, 8 , 1, 1 3 的特征值為的特征值為A , 4 , 1 , 1 2的特征值為 的特征值為A ,12, 6, 4 的特征值為的特征值為B288)12)(6)(4( B , 3, 6, 4 )5( 的特征值為的特征值為EA .72)3)(6)(4(5 EA 第23頁(yè)/共29頁(yè) . 0,)2( . 10,(1) . 4 2

17、的特征值全為的特征值全為則則若若 和和的特征值只有的特征值只有則則若若 AOA AAAex k Solution. 則則對(duì)應(yīng)的特征向量為對(duì)應(yīng)的特征向量為有特征值有特征值設(shè)設(shè),xA xAx ,(1)得得左乘左乘A)( 2 xAxA x 2 , 2 AA 又又xAx 2 xx 2 , 0)1( x ,Ox 又又, 0)1( . 1, 0 或或 ,1(2)得得次左乘次左乘Ak xxA kk ,OAk ,Ox k ,Ox 又又. 0 第24頁(yè)/共29頁(yè) . 0 , 0, . 5 則則若若的特征值的特征值為方陣為方陣設(shè)設(shè)AAex Proof. xAx 法1. , 0 反設(shè)反設(shè))( 1 xAx 則則, 0

18、)( 1 xA . 0 矛盾矛盾與與 x . 0 法2. , 0 反設(shè)反設(shè), 0 xAx 則則, 0 x又又 ,00 解解有非有非則則 Ax, 0 A故故. 0 矛盾矛盾與與 A . 0 法3. , 0 反設(shè)反設(shè) , 0)1(0 AAAE n 故故 . 0 矛盾矛盾與與 A . 0 法4. , 0 21 n A . 0 i 第25頁(yè)/共29頁(yè) ex6. 設(shè)A是 階方陣，其特征多項(xiàng)式為 n 01 1 1 aaaAEf n n n A .的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式求求AT Solution. A Ef T AT 01 1 1 aaa n n n TAE AE 第26頁(yè)/共29頁(yè) .1, 1, . 7的特征值的特征值是是證明證明已知已知AAEAAex Proof. AEAE n )1(0 ? AA