學(xué)生講義-巧解外接球問題.doc

1、優(yōu)質(zhì)參考文檔快速解決巧解外接球問題如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球 的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱為多面體的外接球有關(guān)多面體外接球的問題，是立體 幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的外接球問題，既 要運(yùn)用多面體的知識(shí)，又要運(yùn)用球的知識(shí)，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何 元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會(huì)起到至 關(guān)重要的作用.一、直接法公式法1、求正方體的外接球的有關(guān)問題【例1】上海中學(xué)假設(shè)棱長為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，那么該球的外表積為.【例2】交大附中一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球

2、面上，假設(shè)該正方體的外表積為24，那么該球的體積為2、求長方體的外接球的有關(guān)問題點(diǎn)上的三條棱長分別為1,2,3【例3】復(fù)興高級(jí)中學(xué)一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂，貝吐匕球的外表積為 二_棱柱高為 4，體積【例4】七寶中學(xué)各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四 為16，那么這個(gè)球的外表積為A.16二 二 c.24 D.323. 求多面體的外接球的有關(guān)問題【例5】上海實(shí)驗(yàn)中學(xué)一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底9面，該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為8，底面周長為3，那么這個(gè)球的體積為 .二、構(gòu)造法補(bǔ)形法1、構(gòu)造正方體【例6】2021年上海高考題假設(shè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，

3、且側(cè)棱長均 為3，那么其外接球的外表積是.【例7】上海中學(xué)假設(shè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為匕，那么其外接球的外表積是.【小結(jié)】一般地，假設(shè)一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為a b c，那么就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，于是長方體的體對(duì)角線的長 就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為R，那么有2R二V2 b2 c2 .出現(xiàn)“墻角結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長方體。【原理】長方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為?，：，那么體對(duì)角線長、/1 J 二+/十/為，:七+幾何體的外接球直徑為二：體對(duì)角線長即：優(yōu)質(zhì)參考文檔【例8】：在四面體血用V，假設(shè)該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)中,共頂點(diǎn)的

4、三條棱兩兩垂直，其長度分別為【例9】建平中學(xué)上，那么此球的外表積為A.3二 二 c.3 忌 二2,四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面B球的外表積。例 10】華二附中在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2憶D為AB的中點(diǎn)，將AADE與ABEC分布沿ED、EC向上折起，/=60吏A/B重合于點(diǎn)P，那么三棱錐P-DCE的外接球的體積為()Tt JI JI JEA. 27 B. 2 C. 8 D. 24例 11】交大附中球的面上四點(diǎn)A、B、C、D，da 一平面ABC，C圖5三多面體幾何性質(zhì)法【例13】大同中學(xué)各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4 ,體積為16，那么這個(gè)球的外表積是兀 兀 兀 兀【小結(jié)】此題是運(yùn)用“

5、正四棱柱的體對(duì)角線的長等于其外接球的直徑這一性質(zhì)來求解的四.尋求軸截面圓半徑法【例14】西南位育中學(xué)正四棱錐S-ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為S 2，點(diǎn)S A B、C、D都在同一球面上，那么此球的體積 為【小結(jié)】根據(jù)題意，我們可以選擇最正確角度找出含有正 棱錐特征元素的外接球的一個(gè)軸截面圓，于是該圓的半徑就 是所求的外接球的半徑此題提供的這種思路是探求正棱錐外 接球半徑的通解通法，該方法的實(shí)質(zhì)就是通過尋找外接球的 一個(gè)軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來 研究這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí)五.確定球心位置法【例15】上海第二中學(xué)在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，沿AC將矩 形ABCD折成一個(gè)直二面角B - AC - D，那么四面體ABCD的外接球的 體積為Q12512512512531JE JI 31A. 12 B. 9 C. 6 D. 3【原理】：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半。球心為直角三角形 斜邊中點(diǎn)。DOO圖4 B【例16】復(fù)旦附中三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球 的球面上, 且-，乂一-,求球：的體積