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1、量子力學(xué)常用積分公式(1)x neax dx1x n eaxnx n1eax dx(n 0)aa(2)eaxsin bxdxeaxb 2 ( a sin bxb cosbx)a 2(3)eax cos axdxa2eaxb2(a cosbxb sin bx)(4)x sin axdx1sin ax1 x cosaxa 2a(5)x2sin axdx2x(2x 2a2 sin ax2a) cosaxa(6)x cos axdx1cosaxx sin axa2a(7x2 cos axdx2x2cosax( x 223 ) sin ax )aaaxax 2ccln(axax 2c )( a 0 )2

2、2a(8)ax 2cdxxax2c2carcsin(a x)(a0)2ac02 sin nxdx( n1)!( n正偶數(shù) )n!2(9)=02 cosnxdx(n1)!( n正奇數(shù) )n!( a0 )2sin ax(10)dx0 x( a0 )2(11)eaxxndxn!( n正整數(shù) , a 0 )an 10(12)e ax 2dx102a(13)0x2n e ax2dx(2nn1)!2 n 121a(14)x2n1ax2n!0edx2an1sin2ax dxa(15)02x2(16) xe ax0xe ax0sin bxdx2ab( a0 )2b2 ) 2(acosbxdxa 2b2(a0

3、)b2 ) 2(a2第二章：函數(shù)與波動方程1 試用量子化條件 ,求諧振子的能量 諧振子勢能 V (x)1m2 x 22(解)( 甲法 )可以用 Wilson-Sommerfeld 的量子化條件式 :pdqnh在量子化條件中,令 pm x 為振子動量 , qx 為振子坐標(biāo) ,設(shè)總能量 E則 EP 2m2 x 2p2m(Em 2 x2)2m22代入公式得 :2m(Em 2 x 2) dxnh2量子化條件的積分指一個周期內(nèi)的位移,可看作振幅 OA 的四倍 ,要決定振幅 a ,注意在 A 或B 點動能為 0, E1m2a 2,(1)改寫為 :2aa2x 2 dx nh(2)2 ma積分得 : m a

4、2nh遍乘 1得2hEn2 乙法 也是利用量子化條件 ,大積分變量用時間 t 而不用位移 x ,按題意振動角頻率為 ,直接寫出位移 x ,用 t 的項表示 :qxa sint求微分 : dqdxacos tdt(4)求積分 : p m xmacost(5)將(4)(5) 代量子化條件 :pdqma22Tcos2tdtnh02,求出積分 ,得T 是振動周期 ,T=m a2nhEhnn2n1,2,3正整數(shù)#2 用量子化條件 ,求限制在箱內(nèi)運動的粒子的能量,箱的長寬高分別為 a, b, c.(解 )三維問題 ,有三個獨立量子化條件 ,可設(shè)想粒子有三個分運動 ,每一分運動是自由運動.設(shè)粒子與器壁作彈性

5、碰撞 ,則每碰一次時 ,與此壁正交方向的分動量變號(如 pxpx ),其余分動量不變 ,設(shè)想粒子從某一分運動完成一個周期 ,此周期中動量與位移同時變號,量子化條件 :pxd qxnx h2 pxadx2a px(1)0pyd qyny h2 pyb2b py0dy(2)pzd qznz h2 pzcdz2c pz(3)0px , py , pz 都是常數(shù) ,總動量平方 ppx2p y2pz2 總能量是 :Ep212222m( pxp ypz )2m= 1( nx h ) 2( ny h ) 2( nz h) 2 2m2a2b2c=h 2x2(ny2( nz28m( n )abc但 nx , n

6、y , nz1,2,3正整數(shù) .#3 平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量為,求能量允許值 .(解)解釋題意 :平面轉(zhuǎn)子是個轉(zhuǎn)動體,它的位置由一坐標(biāo)（例如轉(zhuǎn)角）決定 ,它的運動是一種剛體的平面平行運動.例如雙原子分子的旋轉(zhuǎn) .按剛體力學(xué) ,轉(zhuǎn)子的角動量,但12是角速度 ,能量是 E2利用量子化條件 ,將 p 理解成為角動量 , q 理解成轉(zhuǎn)角,一個周期內(nèi)的運動理解成旋轉(zhuǎn)一周,則有2pdqd2nh(1)0(1)說明是量子化的(2)nh n1,2,3.)(2)( n2(3)12代入能量公式 ,得能量量子化公式 : E2( n ) 2n2 2(3)22#4 有一帶電荷e質(zhì)量 m 的粒子在平面內(nèi)運動,垂直于平面方向磁場

7、是B, 求粒子能量允許值.( 解)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中作勻速圓周運動,設(shè)圓半徑是 r ,線速度是 v ,用高斯制單位，洛倫茲與向心力平衡條件是:Bevmv2(1)cr又利用量子化條件,令 p電荷角動量q轉(zhuǎn)角2mrvd2 mrvnhpdq(2)0即mrvnh(3)由(1)(2) 求得電荷動能 =1 mv 2Be n22mc再求運動電荷在磁場中的磁勢能,按電磁學(xué)通電導(dǎo)體在磁場中的勢能=磁矩*場強(qiáng)電流 * 線圈面積 * 場強(qiáng)ev * r 2 * Bvcc, v 是電荷的旋轉(zhuǎn)頻率 , v,代c2 r入前式得運動電荷的磁勢能 = Be n(符號是正的 )2mcBe n點電荷的總能量 =動能 +磁勢能=E

8、=( n 1,2,3)2mc#5 對高速運動的粒子 (靜質(zhì)量 m )的能量和動量由下式給出 :Emc2(1)v 212cpmv2(2)v 212c試根據(jù)哈密頓量HEm 2c 4c2 p 2(3)及正則方程式來檢驗以上二式.由此得出粒子速度和德布羅意的群速度相等的關(guān)系.計算速度并證明它大于光速 .(解)根據(jù) (3) 式來組成哈氏正則方程式組: qiH,本題中 qiv , pip ,因而piv2c42p2c 2 p(4)mcm 2 c4pc2 p 2從前式解出 p (用 v 表示 )即得到 (2).又若將 (2) 代入 (3),就可得到 (1) 式 .其次求粒子速度v 和它的物質(zhì)波的群速度 vG

9、間的關(guān)系 .運用德氏的假設(shè) : pk 于(3) 式右方, 又用 E于 (3) 式左方 ,遍除 h :m2 c42k2(k )2c按照波包理論，波包群速度vG 是角頻率丟波數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)：vGm2 c4c 2k 2k2=c2 kc 2 pm2 c4c 2 p2m2 c 42 22c k最后一式按照（4）式等于粒子速度v ，因而 vG v 。又按一般的波動理論，波的相速度vG 是由下式規(guī)定vpk（是頻率）利用（ 5）式得知vpm2c 4c2c（ 6）2 k 2故相速度（物質(zhì)波的）應(yīng)當(dāng)超過光速。最后找出 vG 和 vp 的關(guān)系，將（1）（2）相除，再運用德氏波假設(shè)：Ec2c2， vpc2（ 7）pkv

10、vGvG#6 （ 1）試用 Fermat 最小光程原理導(dǎo)出光的折射定律n sinn sin1122（ 2）光的波動論的擁護(hù)者曾向光的微粒論者提出下述非難：如認(rèn)為光是粒子，則其運動遵守最小作用量原理pdl0認(rèn)為 pmv 則pdl0 這將導(dǎo)得下述折射定律n sinn sin1331這明顯違反實驗事實，即使考慮相對論效應(yīng)，則對自由粒子：pEv 仍就成立， Ec 2是粒子能量，從一種媒質(zhì)到另一種媒質(zhì)E 仍不變，仍有pdl0 ，你怎樣解決矛盾？（解）甲法：光線在同一均勻媒質(zhì)中依直線傳播，因此自定點 A 到定點 B 的路徑是兩段直線：光程In1 AQn2 QB設(shè) A ， B 到界面距離是a,b(都是常量

11、)有In1 a sec 1n2 b sec 2又 AB 沿界面的投影 c 也是常數(shù)，因而，存在約束條件：12atg1 btg2c（ 2）求 (1)的變分 ,而將1 ,2 看作能獨立變化的,有以下極值條件I n1 a sec 1 tg1 d1n2 b sec 2 tg2 d2再求（ 2）的變分a sec21 d 1 b sec22 d2(3)與 (4)消去 d 1 和 d2 得n1 sin 1 n2 sin2(5)乙法 見同一圖 ,取 x 為變分參數(shù) ,取 0 為原點，則有 :0 (3)c0I n1 a 2x 2n2 b 2(c x 2 )求此式變分 ,令之為零 ,有：In1 xxn2 (cx)

12、 x0a2x 2b2(c x)2這個式子從圖中幾何關(guān)系得知,就是 (5).(2)按前述論點光若看作微粒則粒子速度v 應(yīng)等于光波的群速度vG 光程原理作vGdl 0 ,依前題相速 vpc 2c 2,而 vGcn , n 是折射率 , n 是波前陣面更引起的,而vGvp波陣面速度則是相速度vp ,這樣最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.ndl0前一非難是將光子的傳播速度v 看作相速度 vp 的誤解 .#7 當(dāng)勢能 V (r ) 改變一常量C 時,即 V (r )V (r )c ,粒子的波函數(shù)與時間無關(guān)部分變否?能量本征值變否?(解 )設(shè)原來的薛定諤方程式是d 222m2 E V (x)0將方程式

13、左邊加減相等的量C 得 :dxd 222m2 E C V ( x) C 0dx這兩個方程式從數(shù)學(xué)形式上來說完全相同,因此它們有相同的解(x) ,從能量本征值來說,后者比前者增加了C。#8 設(shè)粒子勢能的極小值是EnV min(證 )先求粒子在某一狀態(tài)中的平均值能量E2E* 2V (r )d 3 x2m其中動能平均值一定為正:2T* (2 )d 3 x2m2*= d2m2*2*=()d2md2m22用高斯定理 : T(*)ds*d2m B2m2*=d2m中間一式的第一項是零,因為假定滿足平方可積條件 ,因而 T0因此ETVV ,能讓能量平均值V V min 因此 E V min 令n (本征態(tài) )

14、則 EEn 而EnV min 得證#9 設(shè)粒子在勢場 V (r ) 中運動(1) 證明其能量的平均值是 :EWdx 22*dx (1)2m其中 W 是能量密度(2)證明能量守恒公式WS 0(2)t2*其中 S(t2mt(證明 )(1) 三維粒子的能量算符是: H求H在狀態(tài)中的平均值2E* H dx* (2m由于*2(*)*2*E ()r 2m2*)dx32(2m r2m r最末一式按高斯定理化為面積分2*) dx3*(2m rS若滿足平方可積條件，則limr* ) (能流密度 )22V(3)2m2V)d 3 x，將此式代入前一式： dx3*dxr*dx3*dxrdS*0 ，S 考慮為無限遠(yuǎn)處的

15、界面。結(jié)果證得公式求式中能量密度 W 的時間偏導(dǎo)數(shù)，注意。* 一般都含時間，* 也是如W2*此，因而：2mtt2*ttt2mt2* 2*2ttt2mt*tt2*22tt2m2mt22* 2mt粒子滿足含時間薛定諤方程及其共軛方程式：22*22*ii2mt2mt2*則有又設(shè) St2mtW*SSttttt公式得證。10 設(shè) N 個粒子的哈密頓量為：?N22NHi 1 2m ii 1ij rir j (r1 r2 r N , t) 是它的任一態(tài)函數(shù)，定義：(r ,t)i ( r , t)j ( r , t)ji (r , t )1(r, t)d3 rd3 rd3 r*133Nj1 (r1 , t )

16、d 3r3 d 3 r3d 3rN (*11* )2im求證：j0t 證明 按定義：tt ii (r ,t )d 3r1d 3 ri 1d 3 ri 1d 3 rN*itd 3r1d 3 ri 1d 3 ri 1d 3 rN (*)itti ( ri ,t )i多粒子的體系的狀態(tài)(r1r 2rN ,t ) 應(yīng)當(dāng)滿足多粒子薛定諤方程式，寫出這個方程式和其22 )共軛方程式：i(v jk（ 6a）tk2mjk*22 )*i(kv jk(6b)tk2mjk*將前二式等式右方的式子代替左方的，代進(jìn)式ttid3r1d33ri 1(*22*)tri 1 dkkk2imd 3 r1d 3 ri 1d 3 r

17、i 1jki1 (* vjkvjk* )d 3 r1d 3ri 1 d 3ri 1d 3 rN(*22* )k2imkkd 3 r1d 3ri 1 d 3ri 1d 3 rNk2im, k (*kk* )又待證的公式的等號左方第二項是：jiji (ri ,t )ii( 12i ) j1 (r1 ,t )j i (ri ,t )1j1 (r1 , t)2j 2 (r2 , t)i j i (ri , t )ij i ( ri,t )i2imd 3r1d 3 ri 1d 3 ri 1d 3r N,i (*ii* )itid3r1d3ri 1d3ri 1d3rNk 2im ,k (*)itikk-將

18、式兩個求和合一，注意到i k 的項不存在，因而等值異號。11 設(shè)1 與2 是薛定諤方程式兩個解，證明*1 ( x, t) 2 ( x, t) dx3與時間無關(guān)。 證明 試將此式對時間求偏導(dǎo)數(shù)，再利用*1 ，2 所滿足的薛定諤方程式，有：* 12 d 3 x(1* 12 ) d 3 xt2tt*2因12*i2m11t2i2222t2mt* 12 d 3 x2mi( 2* 12* 122 ) d 3 x1 (* 12* 12 )d 3 xi2mi(* 12* 12 ) d 3 x(*2 )ds1212mi最后一道等號是利用高斯定理將題給的體積分（）變換成（）的包圍面S 的面積分，若 1， 2 滿足

19、平方可積條件lim10,lim10rr等，可使這面積分等于零。所以體積分*1 ( x, t )2 (x,t )dx 3 是與時間無關(guān)的。#12 考慮單粒子的薛定諤方程式：2i( x,t )2( x, t) V1( x)iV 2 (x) ( x, t)2mtV 1， V2 為實函數(shù)，證明粒子的幾率不守恒。求出在空間體積 內(nèi)，粒子幾率 “ 喪失 ” 或“ 增加 ”的速率。解：要證明幾率不守恒，可以計算總幾率的時間變化率，先考察空間一定體積 中粒子出現(xiàn)的總幾率，按 Born 假設(shè)，總幾率是P*d 3 x求總幾率的時間變化率P* d 3 x( *t)d 3 x（ 1）ttt*再根據(jù)薛定諤方程式和其共軛

20、方程式求出和，有tt21ViV2t2mii1（ 2）*1t2*V1iV 2 *2mii將（ 2）代入（ 1），化簡后得P(* 22 *2V2 *3)d xt2mi利用高斯定理將右方第一項變形：P(* ) d 3 x2* V2 d 3 xt2mi(* )dS2* V2 d 3 x（ 3）2mi如果粒子的運動范圍是無限的，并且符合平方可積條件，則在無限遠(yuǎn)處0 ，*0 ，因而（ 3）式的面積分等于0。P 2* V2 (x) d 3 x（4）t這證明總幾率 P*d 3 x 不守恒，因為P0 。t如果考察有限體積 之內(nèi)總幾率的變化率，令：*J()（3）式改寫為：PJd s2* V2 ( x)d 3 x（

21、 5）tsP 是空間內(nèi)粒子幾率減少或增加的速度，右方J d s 是指的包圍面S 上幾率流ts動的速度（流進(jìn)或流出） ，右方 2*V2 ( x)d 3 x 指由虛數(shù)勢能引起的，附加的幾率變化速率，題目所指的是這一項。13 對于一維自由運動粒子，設(shè)2(x,0)(x) 求 ( x,t ) 。（解）題給條件太簡單，可以假設(shè)一些合理的條件，既然是自由運動，可設(shè)粒子動量是 p ，能量是 E，為了能代表一種最普遍的一維自由運動，可以認(rèn)為粒子的波函數(shù)是個波包（許多平面波的疊加） ，其波函數(shù)：i( pxE i )( x, t)1d p（ 1）( p) e2p這是一維波包的通用表示法，是一種福里哀變換，上式若令t

22、0 應(yīng)有1ipx( x,0)( p) ed p（ 2）2p但按題意，此式等于(x) 。但我們知道一維函數(shù)一種表示是：( x)1eikx d k（3）2k將（ 2）（ 3）二式比較：知道 kp ，并且求得 ( p)1，于是（ 1）成為21i( px E i )( x, t)d p（ 4）e2p這是符合初條件的波函數(shù)，但p, E 之間尚有約束條件Ep 2 （因為是自由粒子，2m總能量等于動能） ，代入（ 4）1i( pxp2i)( x, t)e2md p（5）2p將此式變形成高斯積分，容易得到所需結(jié)果：1imx2itmxi )( x,t )e 2 t( p2e 2 m2d pp利用積分e2d：1i

23、mx 22m( x, t)e 2 t2i t寫出共軛函數(shù)（前一式i 變號）：1imx 2( x,t )2 te22mi t(x,t )212mm(2)2t2 t本題也可以用Fresnel 積分表示，為此可將（6）式積分改為：cost( pmx) 2 dpisint( pmx) 2 dp2mt2mt(x,t )1 (1mimx 2用課本公式得i )e 2 t，兩者相乘，可得相同的結(jié)果。* (x,t )2t#14 在非定域勢中粒子的薛定諤方程式是：2ix，t2x，tV x, xx ， t d3 x（ 1）t2mx/求幾率守恒對非定域勢的要求。此時，只依賴于波函數(shù)在空間一點的幾率波是否存在？解 按題

24、意，是要求寫出幾率守恒的條件，從這個條件尋出V x， x 應(yīng)當(dāng)遵守的要求。幾率守恒的條件是：*d 3 x0t*或*d 3 x 0(2 )t t與13 題類似，可寫出 1 的共軛方程式：2i* x， t2 * x， tV * x， x* x ， t d3 x (3 )t2mx*將1 和3 中的和t想等同的式子代入到2 式中去，就得到如下的條件：t2mi*22*d 3 x1i* x，tV x， xx ，tx， tV * x，x* x ， t d 3 x d 3 x 0xx將前式等號左方第一項變成面積分高斯定理 ，第二項變成六重積分：*1ds2misi(4 )* x， t V x， xx， t V

25、*x ， t d 3 x d 3 xx ， tx， x0x前式等號左方第一項由于波函數(shù)平方可積條件（*0，x0當(dāng)x時）可消去，因x， t 和x ， t 形式相同 , xx 對易：* x， tV x， xV * x， xx， t d 3 x d 3 x0（ 5）x這積分式定積分，它等于零的可能性要求被積函數(shù)為零，即：V x，x V*，x x因此 Vx， x必須是x與 x實函數(shù)。 #15 寫出動量表象中的薛定諤方程式。 解 本題可有二中 A 含時間薛定諤方程式，B 定態(tài)薛定諤方程式。A 寫出含時間薛氏方程式：22iVx（1）2mt為將前式變換成動量表象，可寫出含時間的表象變換式：2x，t eip

26、x / d 3 px，t23 / 2（2）2x，t eip x / d 3 xp，t23 / 2（ 3）為了能用（ 3）變換（ 1）式，將（ 1）式遍乘13 / 2 e ip x / h，對空間積分：213 / 2ite ip x / d 3 x2212 e ip x / d 3 x2m3 / 2221 3/2V x e ip x / d 3 x左方變形i21 3/2x， t e i p x / d 3 xt(4)i p， tt等號右方第一積分是可以用三重積分的分部積分來變形的，這式寫成標(biāo)量：12222ei px x p y y pz z /2x2y 2z2dxdydz(5)3 / 2 2m計算（ 5）的 x 部分分部積分法：22 ei p x