鋼絲的切變模量與扭轉(zhuǎn)角度關(guān)系的研究

1、鋼絲的切變模量與扭轉(zhuǎn)角度關(guān)系的研究 - 一個值得重視的力學(xué)實驗條件的探索與分析常帥* 王淵敏* 陳駿逸 陸申龍（復(fù)旦大學(xué) 物理系，上海 200433）摘 要：研究了鋼絲的切變模量隨其扭轉(zhuǎn)角度變化而變化的情況，觀察到扭轉(zhuǎn)角大于某一角度時，切變模量趨于定值的規(guī)律，得出扭擺實驗準(zhǔn)確測量的方法，此測量方法在其他許多力學(xué)實驗中也可應(yīng)用。關(guān)鍵詞：扭轉(zhuǎn)周期；切變模量；轉(zhuǎn)動慣量中圖分類號：O313.31 引 言材料在彈性限度內(nèi)應(yīng)力同應(yīng)變的比值是度量物體受力時形變大小的重要參量。正應(yīng)力同線應(yīng)變的比值稱楊氏模量，剪應(yīng)力同剪應(yīng)變的比值稱剪切彈性模量，簡稱切變模量。通常認(rèn)為鋼絲的切變模量為定值，但筆者發(fā)現(xiàn)鋼絲扭轉(zhuǎn)不同

2、的角度測得的切變模量并非定值，這在扭轉(zhuǎn)角較小時相當(dāng)明顯。必須當(dāng)其扭轉(zhuǎn)超過一定角度后，才趨于一定值。這個規(guī)律在其他的力學(xué)實驗中也存在。如在彈簧勁度系數(shù)實驗，剛體轉(zhuǎn)動慣量實驗，摩擦系數(shù)實驗，楊氏模量實驗等實驗中，也有類似規(guī)律。在力學(xué)實驗教學(xué)中，對于類似大于克服“靜摩擦力”的條件下，待測量才為定值，這一規(guī)律須引起實驗者重視。2 原 理設(shè)某一彈性固體的一個長方形體積元，它的底面固定，如圖1所示。在它頂面A上作用著一個與平面平行且均勻分布的切力F，在這個力的作用下，兩個側(cè)面將轉(zhuǎn)過一定角度，通常這樣一種彈性形變?yōu)榍凶?。在切變較小的情況下，作用在單位面積上的切力F/A與切變角成正比 （1）其中A為受切力的面

3、積，G是一個物質(zhì)常數(shù)，稱切變模量，單位是N/m2。 圖1 圖2 由（1）式可知，G值大，表示該材料在受外力作用時，其切變較小。在實*作者簡介：常帥（1984），男，河北人，復(fù)旦大學(xué)物理系2003級本科生指導(dǎo)老師：陳駿逸（1963），男，浙江鄞縣人，復(fù)旦大學(xué)物理系講師，理學(xué)學(xué)士，從事物理實驗教學(xué)工作驗中，待測對象是一根上下均勻而細(xì)長的鋼絲，從幾何上說，就是一個細(xì)長圓柱體，如圖2所示。設(shè)圓柱體的半徑為R，高為L,其上端固定，下端面受到一個外加扭轉(zhuǎn)力矩的作用（即沿著圓面上各點的切向施加外力），于是圓柱體中各體積元（取半徑為r，厚為dr的圓環(huán)狀柱體為體積元）均發(fā)生切變。總的效果是圓柱體下端面繞中心軸線

4、OO扭轉(zhuǎn)了一個角，也即底周上的P點轉(zhuǎn)至P位置。因為圓柱（鋼絲）很長，各體積元均能滿足的條件，利用關(guān)系式L=R及式（1），通過積分可求得如下關(guān)系式： （2）其中為外力矩。設(shè)圓柱體內(nèi)部的反向彈性力矩為，在平衡時則有，可見 。令 D (3)則 D （4） 對一定的物體（如上述鋼絲），D為常數(shù)，稱扭轉(zhuǎn)系數(shù)。扭擺的結(jié)構(gòu)如圖3所示。若使爪手繞中心軸轉(zhuǎn)過某一角度，然后放開，則爪手將在鋼絲彈性扭轉(zhuǎn)力矩M作用下，做周期性的自由振動，這就構(gòu)成了一個扭擺。如鋼絲在扭轉(zhuǎn)振動中的角位移以表示，若爪手整個裝置對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為，根據(jù)轉(zhuǎn)動定律有： 圖3 即 此方程是一個常見的簡諧振動微分方程，它的振動周期是 (5) 如

5、果測得、R 、L、值，可由（3）式和（5）式求得G。但由于圖3中這套裝置的轉(zhuǎn)動慣量較難計算，故在測得后，尚需利用一金屬圓環(huán)作進(jìn)一步測試，圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為 其中m為圓環(huán)質(zhì)量，分別為其內(nèi)外半徑。在盤上放置圓環(huán)后的總轉(zhuǎn)動慣量為+，其振動周期為 (6)由（5）式和（6）式消去后，得： (7) 由式（3）式和（7）式得： （8）3 實驗裝置 實驗裝置由支架、軋具、爪手、圓環(huán)、待測物（琴鋼絲）、圓柱剛體、霍耳開關(guān)、小磁鋼、數(shù)字式智能計時計數(shù)儀等組成，其結(jié)構(gòu)如圖4所示。 圖4 圖4中： 1 爪手，頂部帶軋具。環(huán)狀剛體可水平和垂直放置在爪盤上繞軸扭轉(zhuǎn)。2 環(huán)狀剛體（水平放置和垂直放置二種狀態(tài)）。 3

6、待測材料：鋼絲。 4 集成霍耳開關(guān)，直流電源工作電壓5V。 5 釹鐵硼小磁鋼。 6 可調(diào)節(jié)底座水平的支架。 7 數(shù)字式智能計時計數(shù)儀。量程0199s，分辨率0.01s。8 標(biāo)志旋鈕。 9 扭動旋鈕。 4 實驗方法1）用電子天平稱圓環(huán)的質(zhì)量 ；游標(biāo)卡尺測圓環(huán)內(nèi)徑、外徑；千分尺測琴鋼絲直徑2R 。2） 將爪盤上端夾緊鋼絲，夾緊支點為O；鋼絲上端通過夾具固定在支架上（支點為O），使爪盤懸起。用米尺測量鋼絲O、O間距L 。3） 轉(zhuǎn)動爪盤到不同的角度，用霍耳開關(guān)計時計數(shù)儀測量扭轉(zhuǎn)不同角度所對應(yīng)的擺動周期。每隔測量一次。再將環(huán)狀鋼體水平放置在爪手上，測量扭轉(zhuǎn)動不同角度所對應(yīng)的擺動周期，所測的扭轉(zhuǎn)角度與上一

7、步一致。最后分別計算不同的扭轉(zhuǎn)角度對應(yīng)的切變模量，列表作圖并進(jìn)行分析討論。5 實驗數(shù)據(jù)及分析圓環(huán) 79.94mm ,110.14mm ,560.43g 。鋼絲 L70.48cm ,2R = 0.400mm 。轉(zhuǎn)動爪盤到不同角度,對應(yīng)測得擺動的周期如表1所示。 表1扭轉(zhuǎn)角/ 306090120150180210周期/s5.4955.6465.6815.7135.7455.7455.765扭轉(zhuǎn)角/240270300330360450630周期/s5.7725.7815.7825.7825.7885.7835.792 將環(huán)狀剛體水平放置爪盤上，轉(zhuǎn)動整個裝置到不同角度,對應(yīng)測得擺動周期見表2所示。表2

8、扭轉(zhuǎn)角/ 306090120150180210周期/s13.73814.47714.57914.62514.67214.71314.753扭轉(zhuǎn)角/240270300330360450630周期/s14.76114.77414.78714.78214.80614.77014.791將上述R、r1、r2、L、m、T0、T1代入公式（8）,求不同扭轉(zhuǎn)角度對應(yīng)的切變模量，得表3和圖5結(jié)果。扭轉(zhuǎn)角/306090120150180210切變模量/()8.2248.0797.9647.9197.8777.8237.787扭轉(zhuǎn)角/240270300330360450630切變模量/()7.7687.7687.

9、7547.7627.7347.7687.754表3 由圖5及表1、表2得： 鋼絲的切變模量隨扭轉(zhuǎn)角度增加而減小，當(dāng)剛體扭轉(zhuǎn)角大于時，切變模量G趨于穩(wěn)定。而這個值正是實驗者在實際中所希望測得的鋼絲的切變模量值。 圖5據(jù)廠方提供的該琴鋼絲G值為7.80，與本實驗中扭轉(zhuǎn)角大于所測得的鋼絲穩(wěn)定切變模量正好相符。所以可得結(jié)論：爪手與環(huán)的扭轉(zhuǎn)角大于后，其切變模量才趨于定值。而此時琴鋼絲扭轉(zhuǎn)角度= 將一個已知轉(zhuǎn)動慣量的長方體剛體置于爪手上，并使其作扭轉(zhuǎn)振動，測出爪手和長方形剛體放置在一起時，扭轉(zhuǎn)不同角度所對應(yīng)的周期，由此算出不同的扭轉(zhuǎn)角對應(yīng)的長方形剛體的轉(zhuǎn)動慣量。與理論計算值對比，其規(guī)律也相同，即長方形剛體

10、的轉(zhuǎn)動慣量理論值與扭轉(zhuǎn)角大于時所測得的實驗值符合的很好。說明當(dāng)轉(zhuǎn)角大于時，由趨于常數(shù)的鋼絲的切變模量來計量負(fù)載物的轉(zhuǎn)動慣量具有可行性。也就是鋼絲扭轉(zhuǎn)角度必須大于某一角度之后，它的切變模量值才有實際意義。本實驗用秒表或光電傳感器也進(jìn)行過周期的測量，其規(guī)律相同。6 實驗結(jié)論切變模量值與扭轉(zhuǎn)角度有關(guān)這個實驗現(xiàn)象，在其他力學(xué)實驗中也出現(xiàn)類似的情況。在測量彈簧的勁度系數(shù)時，利用公式，在垂直的彈簧上所加重力應(yīng)與鋼絲伸長量成正比。但在實驗中，當(dāng)開始的砝碼重量比較小時，彈簧的鋼絲各匝之間未被拉開，或僅僅部分被拉開，此時測得的彈簧勁度系數(shù)偏小，必須將砝碼加到一定質(zhì)量后，使得彈簧的鋼絲各匝之間均存在一定間隙，此時

11、測得的彈簧勁度系數(shù)才符合實際值。說明必須將加在彈簧上的力大至某一“閾值力”，其勁度系數(shù)才趨向定值，并且符合實際值。在本實驗中，有類似的關(guān)系式，同樣鋼絲扭轉(zhuǎn)系數(shù)D也是在扭轉(zhuǎn)角度達(dá)到一定值后才趨向定值。聯(lián)系具有相同關(guān)系式的摩擦力來比較。，其中為摩擦力， 為摩擦系數(shù)，N為壓力。當(dāng)物體靜止時，必須當(dāng)推力大于某閾值力時，物體才能移動，此時靜 變?yōu)?，靜為可變量，而為不變量。類似地，在本實驗中，當(dāng)扭轉(zhuǎn)角比較小時，其扭轉(zhuǎn)系數(shù)可視為“靜扭轉(zhuǎn)系數(shù)”，是一個可變的量，它比“動扭轉(zhuǎn)系數(shù)”大。當(dāng)扭轉(zhuǎn)角超過時，“靜扭轉(zhuǎn)系數(shù)”變?yōu)椤皠优まD(zhuǎn)系數(shù)”，是一個不變的量。在實際測量和手冊中列出的扭轉(zhuǎn)系數(shù)，正是這定值的扭轉(zhuǎn)系數(shù)，只是不

12、用“靜”和“動”兩個詞冠。所以在實驗教學(xué)和科研中必須重視這一實驗規(guī)律的分析和研究。為了使教和學(xué)更進(jìn)一步，達(dá)到深入了解的目的，應(yīng)該在物理實驗教材中，將這一規(guī)律補(bǔ)充進(jìn)去，使學(xué)生了解其中的物理規(guī)律，而不是單純作一個規(guī)定。參考文獻(xiàn)：1賈玉潤、 王公治、凌佩玲。大學(xué)物理實驗M。上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1987。2丁慎訓(xùn)、張連芳。物理實驗教程第二版。北京：清華大學(xué)出版社，2000.9 。3德威廉H.衛(wèi)斯特發(fā)爾著，王福山譯。物理實驗。上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1964.7。 A research of the relation between a steel wires shear modulus and r

13、everse angle -Exploration and analysis of a noticeable mechanics experimental conditionChang Shuai* Wang Yuanmin* Chen Junyi Lu shenlong (Department of Physics, Fudan University, Shanghai 200433, China)Abstract: The situation of changes of the steel wires shear modulus along with the reverse angles changes is studied, a rule is observed that when the reverse angle is bigger than a certain angle, the shear modulus tends to the definite value,