數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)-成都市中考數(shù)學(xué)壓軸題分析論文

1、摘 要本文以成都市2014-2019近六年的中考數(shù)學(xué)壓軸題（通常指試卷最后一道題，綜合性強，難度大）為研究對象，主要對壓軸題的分值分布情況、所考查的主要知識點、命題規(guī)律及題型特點等進行歸納總結(jié)，并結(jié)合前人的研究探討其解題思路與解題方法，在此基礎(chǔ)上重點解析了成都市2017-2019三年的中考數(shù)學(xué)壓軸題，在相關(guān)計算與知識的綜合應(yīng)用等方面進行分析，提出自己初淺的看法。關(guān)鍵詞：中考；數(shù)學(xué)；壓軸題；解析；解題策略AbstractIn this paper, we take the final question of mathematics in the middle school entrance ex

2、amination of Chengdu in the past six years (usually the last question in the test paper, which is comprehensive and difficult) as the research object. We mainly summarize the score distribution of the final question, the main knowledge points examined, the rule of the proposition and the characteris

3、tics of the question type, and discuss the thinking and method of solving the question based on the previous research ,this paper analyzes the final math questions of 2017-2019 senior high school entrance examination in Chengdu, analyzes the relevant calculation and comprehensive application of know

4、ledge, and puts forward my own preliminary views.Key words: high school entrance examination; mathematics; final question; analysis; solution strategy 目 錄1 引言12 成都市中考數(shù)學(xué)壓軸題現(xiàn)狀分析22.1 壓軸題目的構(gòu)成22.1.1 壓軸題分值分布22.1.2 壓軸題知識點的考查22.2 壓軸題命題規(guī)律22.3 壓軸題題型分析33 成都市中考數(shù)學(xué)壓軸題解法分析33.1 成都市中考壓軸題解題策略33.2.解法分析44 小結(jié)15致謝16參考文獻1

5、7成都市中考數(shù)學(xué)壓軸題分析 1 引 言中考數(shù)學(xué)的壓軸題主要是對學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識進行綜合能力的考查，每年壓軸題也是老師和學(xué)生所關(guān)心的一道大題。作為中考壓軸題，它所考察的知識點比較廣泛，涉及函數(shù)與平面幾何綜合內(nèi)容。前者如運用一般式，頂點式或者交點式等方法來求解拋物線表達式；后者如三角形的性質(zhì)與判定；四邊形的性質(zhì)和判定定理；此外還涉及圖形的對稱性，大部分是考查學(xué)生對中心對稱，軸對稱等知識點的掌握。每個題目中各個知識點互相交錯，一道題目所覆蓋的知識點由簡到繁，各個小題也是由淺入深，從簡單的帶點求函數(shù)解析式，再到具體問題的求解坐標或直線解析式，再是最難的動點類問題。本文以成都市近六年的壓軸題為例，對壓

6、軸題分值分布、知識點的考查、命題規(guī)律、題型等進行總結(jié)，并探討綜合題的解題策略，對2017、2018、2019這三年的中考壓軸試題進行具體的解法分析，最后根據(jù)自己對試卷的分析，總結(jié)自己對壓軸題的看法與思考。2 成都市中考數(shù)學(xué)壓軸題現(xiàn)狀分析2.1 壓軸題目的構(gòu)成2.1.1 壓軸題分值分布從近幾年的中考試卷分析，成都市的中考試卷一共150分，一共有兩個部分組成：100分的A卷和50分的B卷。試卷中壓軸題題目一般為12分，占B卷的百分之二十四，占總分數(shù)的百分之八。該題目一共被分為三個小問，這三個小問的分值分布分別為3分，4分，5分。 2.1.2 壓軸題知識點的考查在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，一次函數(shù)，二次

7、函數(shù)和反比例這三種函數(shù)是初中函數(shù)主要學(xué)習(xí)的知識點，其中壓軸題主要考查求解函數(shù)解析式，求函數(shù)的最值問題、求點坐標或根據(jù)已知條件和圖像來解決問題。在求解問題時，解方程或方程組、不等式、銳角三角函數(shù)，求點坐標等這些代數(shù)方面的知識也很多。對于幾何的知識點來說，主要學(xué)習(xí)了三角形，四邊形以及圓，其中壓軸題主要考查圖形形狀的判定，運用題目給出的已知條件求解點坐標，或討論有關(guān)點是否存在直線上或拋物線上等問題。壓軸題中還有一類問題，即動態(tài)型問題也是難點，其主要有三種情況，直線上的不確定點；某條直線的平移或旋轉(zhuǎn)；圖像中已知圖形的旋轉(zhuǎn)，平移或翻折。2.2 壓軸題命題規(guī)律 根據(jù)近幾年成都市中考數(shù)學(xué)壓軸題題目的分析，不

8、難看出對于壓軸題而言，其命題規(guī)律大致為第（1）小問為：求解拋物線解析式。而對于第（2）和（3）小問來說，其題型具有不確定性，但不外乎也就是考查動態(tài)幾何；圖形位置關(guān)系；或者是直線解析式與二次函數(shù)。對于壓軸題中的動點問題一般分為代數(shù)和幾何兩類。對于代數(shù)類的題目，因為題目給出的已知條件會涉及到不確定的點或直線，所以對于這種不確定的點和線都需要根據(jù)已知去分情況討論。而對于幾何類的題目，該類題目主要會涉及三角形和多邊形，在圖形中或圖形上給出不確定的點或線，或者給出的某個圖形進行整體翻折，對于這種在圖形中存在不確定的點和直線問題同樣也是根據(jù)具體問題進行分類討論，而此類題目更多是應(yīng)用三角形全等，直線等知識點

9、解決。對于題目中圖形位置關(guān)系：該類題型一般會和函數(shù)、坐標系和幾何問題相聯(lián)系。對于題目中位置關(guān)系：該類題型包括點、線、三角形、多邊形、圓等，解決這種類型的題目通常需要應(yīng)用圖的折疊、面積關(guān)系、比例等知識點。2.3 壓軸題題型分析從2014年到2019年成都市中考數(shù)學(xué)試卷的真題上可以發(fā)現(xiàn)：近幾年的中考壓軸題都為平面幾何綜合題型。以二次函數(shù)為載體考查多邊形或者直線等。2016-2014這三年的中考壓軸題都是以拋物線為圖像背景的綜合題。其中，2016年主要考查了多邊形（菱形）的判定與性質(zhì)，要求會分類討論問題，會靈活運用參數(shù)和方程思想來解決問題。2015年除去運用最基本的待定系數(shù)法來解決問題，還考查了矩形

10、的判定，比例線段求坐標的知識點。2014年壓軸題題目中同樣考查了分類討論思想，同時還考查了圖形轉(zhuǎn)化的思想。2014-2019這六年的試卷題目來看，在2018和2019這兩年的第（2）小問為求點坐標，其中主要涉及到比例、翻折、三角形、勾股定理等知識點；2017年和2015年第（2）小問主要考查的是不等式組，一個為求解取值范圍，另一個為求解最值；2016年和2014年的第（2）小問分別為求直線解析式、求K值，圍繞直線這個知識點。雖然第二小問每年的問題都不相同，但本質(zhì)都是考查基礎(chǔ)知識，由簡到難。對于第三小問，2014年-2017年這四年其實都是探究性動點問題，除去2014年考查的是運動過程中用時最少

11、的問題以外；2015-2017都為考查多邊形，而近兩年2018和2019的第三小問則都為考查的直線問題。3 成都市中考數(shù)學(xué)壓軸題解法分析3.1 成都市中考壓軸題解題策略1.數(shù)形結(jié)合思想的靈活運用。該思想從字面上來看其實就是數(shù)學(xué)與圖形相結(jié)合的一種思想方法。即會根據(jù)題中的已知條件以及已知圖形，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言表達出來，比如轉(zhuǎn)化為方程（組），或不等式等這類的數(shù)學(xué)語言。2.函數(shù)與方程思想的靈活運用。該思想其實也就是初中數(shù)學(xué)所學(xué)的，例如：一次函數(shù)，二次函數(shù)以及反比例函數(shù)，和方程或方程組的轉(zhuǎn)化。需要學(xué)會函數(shù)與方程的靈活互換，將函數(shù)中得到的已知條件用方程的等式表達出來。3.分類討論思想的靈活運用。該思想一

12、般運用于動點型問題。對于這類問題，題目所給出的條件一般會比較模棱兩可，所以需要分情況討論該問題。分類討論的思想一般很考查思維邏輯的嚴謹性，需要找出解法中所有有可能的情況。4.等價轉(zhuǎn)換思想的靈活運用。該思想重在轉(zhuǎn)化。如何轉(zhuǎn)化，這個是運用該思想的一個難點。這種數(shù)學(xué)思想，一般會利用題目及圖形中的相等關(guān)系將未知化已知，化繁為簡，將抽象的圖形化為具體的數(shù)字等式或其他的數(shù)學(xué)符號表達出來，將題目的實際問題化成含有數(shù)學(xué)符號，思想的數(shù)學(xué)問題。3.2 解法分析當面對中考壓軸題時，首先要弄明白題目的考查內(nèi)容，對于以函數(shù)為載體的綜合題，這種類型的題目一般是題目給定已知點坐標和圖形，要求求解拋物線解析式；而相對于難度加

13、深一點的題目則會給出除題目以外的一些坐標或圖形，求出點坐標或直線解析式。對于這類問題的解決方法基本都是用待定系數(shù)法解方程（組）。而以幾何為主體的綜合題難度會比函數(shù)綜合題難度更大。其中一般涉及動點，動直線等需要分情況討論的題目。這種題目主要是要學(xué)會找等量關(guān)系，學(xué)會轉(zhuǎn)換和有必要時添加輔助線。在解決有以四邊形為載體的題目時，一般會運用到四邊形（平行四邊形、正方形、矩形、菱形）的性質(zhì)和判定定理。對于以三角形為載體的題目時，主要要會靈活運用勾股定理、線段比例、三角形相似、面積相等等方法去建立等量關(guān)系；根據(jù)圖形的特殊位置或運用題中解析式來求解函數(shù)的自變量的取值范圍。雖然每年的壓軸題都不一樣，但是想要解決這

14、類問題，就需要熟練的掌握解方程（組）、不等式（組），三角形、四邊形的相關(guān)定理和知識等。下面以成都市2019、2018、2017三年的中考壓軸題為例進行具體分析：例1：（如下為成都市2019年中考壓軸題：本小題滿分12分）如圖3-1，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(-2,5),與x軸相交于B(-1,0),C(3,0)兩點。（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點D在拋物線的對稱軸上，且位于x軸的上方，將BCD沿直線BD翻折得到B CD,若點C恰好落在拋物線的對稱軸上，求點C和點D的坐標；（3）設(shè)P是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一點，點Q在拋物線的對稱軸上，當CPQ為等邊三角形時，求直線BP的函數(shù)表達

15、式。 圖3-1分析（1）：由題目的已知條件可以知道圖像與x軸的交點坐標，所以可以根據(jù)兩點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2),將B,C兩點代入，最后代入點A的坐標求出a，這樣即可得出拋物線的表達式。解：由題意得，y=a(x+1)(x-3)將A（2，5）代入方程可得 拋物線解析式為y=(x+1)(x-3)分析（2）：根據(jù)第（2）小問的已知條件可以知道BCD與B CD全等，即BC=B C。在已知B C長度的前提下，想求解 C的坐標，即要知道點C的縱坐標，所以設(shè)H為圖像對稱軸與x軸的交點，（1）求解出了拋物線解析式，就可得出其對稱軸x=1,則H點的坐標為（1，0），BH2，由翻折得CBCB4，則求出CH

16、的長，由三角函數(shù)可得CBH60，再根據(jù)三角函數(shù)就可求出DH的長，則D坐標可求。解：由題目已知B（1，0），C（3，0），BC4，又由（1）可知圖像對稱軸為如圖3-1，H是圖像對稱軸和x軸的交點，即可知H（1，0），BH2，又BC=B C=2在RtBHC中，A C= CB2+BH2= 42-22 = 23，點C的坐標為（1，23），又在RtBHC中，tanCBH=CHBH=232=3CBH60，由翻折得DBH =12CBH30，在RtBHD中，DHBHtanDBH2tan30=233，點D的坐標為（1，233）分析（3）:由第（3）小問可知，P是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一點，但是不知道P點是位于

17、x軸上方還是下方，所以本小題得分兩種情況討論。 當點P在第一象限時：由題目已知可以確定點Q在第一象限，連接BQ，CP。題目要求解直線BP的解析式，由圖3-2不難可以看出B,D,P三點共線，即只需求證點D是直線BP上一點就可用點B,D兩點坐標求出直線BP。那如何證明D在直線BP上呢？即需要證出BCQ與CCP全等，可說明BP垂直平分CC，利用垂直平分線的逆定理，即可說明B、D、P三點共線，最后帶點就可解出直線BP的表達式。當點P在第四象限時：因為點P不確定，所以設(shè)E為y軸和BP的交點，求直線BP就可轉(zhuǎn)化為求解直線BE。由第（2）小問的解法可知，要想求出點E需要求OE的長度，同理可利用銳角三角函數(shù)解

18、，最后利用B，E兩點求出BP。解：?。?）中的點C，D，連接CC， 圖3-2BCBC，CBC60，CCB為等邊三角形當點P在第一象限時，連接BQ，CPPCQ，CCB為等邊三角形，CQCP，BCCC，PCQCCB60，BCQCCP，BCQCCP（SAS），BQCP點Q在拋物線的對稱軸上，BQCQ，CPCQCP，又BCBC，由垂直平分線逆定理可知：BPCC且BP平分C C，由題目可知BDC C且BD平分C C，B、D、P三點共線，設(shè)直線BP解析式為y=kx+b，則 0=-k+b 解得 k=33 233=k+b b=33直線BP表達式為y=33x+33 。當點P在第四象限時，點Q在x軸下方 圖3-3

19、PCQ，CCB為等邊三角形，CPCQ，BCCC，CCBQCPCCB60BCPCCQ，BCPCCQ（SAS），CBPCCQ，BCCC，CHBC，C CQ=12C CB=30CBP30，在RtBOE中，OEOBtanCBPOBtan30133 = 33設(shè)BP與y軸相交于點E，點E的坐標為（0，-33）設(shè)BP的表達式為y=mx+n，有 0=-m+n 得 m=-33 -33=n n=-33直線BP解析式為y=-33x-33 綜上可知，BP解析式為y=33x+33或y=-33x-33 .該題是以二次函數(shù)拋物線為載體，題目主要涉及了運用方程組求解函數(shù)解析式以及直線解析式?？疾榱藙狱c型問題，運用翻折、軸對稱

20、、銳角三角函數(shù)、勾股定理、垂直平分線等知識點。整體來說，題目綜合型較強，既考查了邏輯的嚴謹性也考查了解題計算的準確性。例2：（如下為成都市2018年中考壓軸題：本小題滿分12分）如圖3-4，在平面直角坐標系xOy中，以直線x=52 對稱軸的拋物線yax2+bx+c與直線l：ykx+m（k0）交于A（1，1），B兩點，與y軸交于C（0，5），直線l與y軸交于點D（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）設(shè)直線l與拋物線的對稱軸的交點為F，G是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一點，若 AFFB=34 ,且BCG與BCD面積相等，求點G的坐標；（3）若在x軸上有且僅有一點P，使APB90，求k的值 圖3-4分析（1

21、）：根據(jù)題目已知，由拋物線的對稱軸，可得出-b/2a=5/2，由拋物線與y軸的交點坐標，即可得出c=5，最后將A點坐標代入，列出方程組求解即可。解：由題意可得， -b2a=52 c=5 a+b+c=1解得；二次函數(shù)的解析式為：yx25x+5，分析（2）：由上可知G點是圖像對稱軸右方一點，但不確定點G是位于直線BC上方還是下方，所以需要分情況討論。因為題目已知AF/FB=3/4 ,所以可以先根據(jù)比例這個條件出發(fā)，過A、B兩點分別向x軸做垂線，垂足為M、N，再根據(jù)已知條件求出B點，繼而可解出直線l和直線BC的表達式。又因為BCG與BCD面積相等，所以現(xiàn)在分情況G在BC下方：面積相等的情況下，可知直

22、線BC與直線DG1平行，從而得出直線DG1的解析式，最后求出G坐標；G在BC上方：同理可得點G。解： 過A、B兩點分別向x軸做垂線，垂足為M、N，設(shè)對稱軸交x軸于Q 圖3-5則AFFB=MQQN=34 ,MQ= 32 ,NQ2，B（92，114）； k+m=192k+m=114 解得 k=12 m=12 y1= 12x+12 , D(0, 12 ) 同理可求，yBC=-12x+5 SBCDSBCG，G在BC下方，DG1BC，yDG1=-12x+12 -12x+12=x25x+5，解得，x1=32 ，x23，x52，x3，G1（3，1）G在BC上方時，直線G2G3與DG1關(guān)于BC對稱，yG2G3

23、=-12x+192 -12x+192 = x25x+5，解得x1=9+3174 , x2= 9-3174 x52 ，x=x1=9+3174G2（9+3174 ，67-3178 ），綜上所述點G的坐標為G（3，1），G（9+3174 ，67-3178 ）.分析（3）：根據(jù)題意要求在x軸上有且僅有一點P，使得APB90，首先看到90和線段AB，結(jié)合所學(xué)圓的知識，知道圓周角為90，則可以以AB為直徑畫圓，發(fā)現(xiàn)該圓與x軸只有一個交點，即該點則為題目所求的點P，P又為切點，假設(shè)以AB為直徑的圓圓心為O，則連接點P，P為MN的中點，運用三角形相似建立等量關(guān)系列出方程求解即可解：由題意可知：k+m1，m1k

24、，ylkx+1k，kx+1kx25x+5，解得，x11，x2k+4，B（k+4，k2+3k+1），設(shè)以AB為直徑的圓的圓心為O，x軸上僅有一點P，點P為圓的切點，根據(jù)圓切線的性質(zhì)可知OPx軸，P為MN的中點，P（K+5 2 ，0）， AMP PNB ,AMPM=PNBN ,AMBNPNPM，1（k2+3k+1）（k+4-K+5 2）（K+5 2-1），k0，k= -6+466 = -3+263本道題目是以二次函數(shù)為載體的綜合題，要會靈活根據(jù)題意求拋物線解析式，會分類討論各種情況，可以結(jié)合直線平行斜率相等，圓切點，切線等知識點的綜合應(yīng)用題目。例3：（如下為成都市2017年中考壓軸題：本小題滿分1

25、0分）如圖3-6，在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：yax2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，頂點為D（0，4），AB42，設(shè)點F（m，0）是x軸的正半軸上一點，將拋物線C繞點F旋轉(zhuǎn)180，得到新的拋物線C（1）求拋物線C的函數(shù)表達式；（2）若拋物線C與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個不同的公共點，求m的取值范圍（3）如圖3-7，P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點，它到兩坐標軸的距離相等，點P在拋物線C上的對應(yīng)點P，設(shè)M是C上的動點，N是C上的動點，試探究四邊形PMPN能否成為正方形？若能，求出m的值；若不能，請說明理由 圖3-6 圖3-7分析（1）：由圖3-6可知拋物線的對稱軸為y軸，由圖3-6 知D

26、（0，4）是其頂點坐標，則可用頂點式設(shè)二次函數(shù)為ax2+4，又因為AB42 ，則點A（22，0）可直接代入二次函數(shù)中求出a；解：由題意拋物線的頂點D（0，4），A（22，0），設(shè)二次函數(shù)的表達式為ax2+4，把A（22，0）代入可得a=-12，C的解析式為y=-12x2+4 . 分析（2）：由題可知新的拋物線C是由拋物線C旋轉(zhuǎn)所得，所以拋物線C的開口大小和C一樣，其頂點坐標也可得出為（2m，4），則根據(jù)頂點式可設(shè)拋物線C的解析式為y=-12(x-2m)2-4，因為兩個拋物線有交點，所以聯(lián)系兩拋物線的解析式即可得到一個關(guān)于x與m的方程：x22mx+2m280，由題和圖可知，兩拋物線在y軸的右方有

27、兩個不重合的交點，則有 (2m)2-42m2-80 2m02m2-80 最后解出不等式組即可；解：由題意可知旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)C頂點坐標為（2m，4），設(shè)函數(shù)C的表達式為y=-12(x-2m)2-4 ，由 y=-12x2+4y=-12(x-2m)2-4，消去y得到x22mx+2m280，由題意可知，兩個拋物線有交點，兩交點不重合且都在y軸右側(cè)。則有 (-2m)2-42m2-802m2-80， 得出22，綜上可得m的取值范圍為22 分析（3）：根據(jù)題意可知要四邊形PMPN成為正方形，但不知道該正方形是出現(xiàn)在拋物線C的內(nèi)部還是外部，所以該題目得分情況討論。 PMPN在C的里面。因為拋物線C上有一點P，該

28、點不僅到兩軸距離相等，而且在第一象限，所以根據(jù)拋物線解析式不難得出P點坐標為（2，2）。因為正方形對角線互相平分且垂直，所以想要證明PMPN為正方形，只需證明PFM是等腰直角三角形即可。分別過點P和點M作x軸的垂線，垂足分別為E、H。因為PFM是等腰直角三角形，所以可證PFEFMH，得出PEFH2，EFHM2m，可得M（m+2，m2），再將點M代入拋物線C上即可求出m的值；正方形在拋物線C的外部。和同理，先表示出點M坐標，然后就可求出m的值。解：結(jié)論：四邊形PMPN能成為正方形理由：PMPN在C的里面。如圖3-8，由上可得P（2，2），分別過點P，M作x軸的垂線，垂足分別為E、H。 圖3-8當

29、PFM是等腰三角形且PFM=90時，PMPN為正方形，三角形兩直角邊相等PFFM，PEF和FHN相等，都為直角，則有PFE與HFM互余，HFM與FMH互余，PFE=FMH，PFEFMH（AAS）由上可得PEFH2，EFHM2m，則M（m+2，m2），點M在y=-12x2+4上，且m0m2=-12(m+2)2+4，解得m=17-3或m=-17-3（舍棄），當m=17-3時，滿足題意正方形在拋物線C的外部。如圖3-9，同法可得M（m2，2m），且m0 圖3-9把M（m2，2m）代入y=-12x2+4中，2-m=-12(m-2)2+4 ,解得m6或m=0（舍棄）當m6時，滿足題意。綜上所述，當m=17-3或m=6時，四邊形PMPN是正方形。本道題目是以二次函數(shù)為載體的綜合題，該題目考查了求解方程組；運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想求未知數(shù)的取值范圍，并穿插了解不等式組的知識點；借動點問題，考查等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的證法以及正方形的性質(zhì)和判定。 4 小結(jié)縱觀2014-201