數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)-全概率公式及其應(yīng)用論文

1、全概率公式及其應(yīng)用摘要 全概率公式是概率論中的一個重要公式，它是解決復(fù)雜事件的一條行之有效的途徑，是化繁為簡解決復(fù)雜事件的概率計算的重要手段，它的根本作用就是將復(fù)雜事件的概率化簡為求解多個簡單事件概率之和.文中一方面對全概率公式的有關(guān)理論進行了介紹，并且探討了全概率公式在流水線生產(chǎn)口罩、新型冠狀病毒的核酸檢測等方面的問題，給出了相應(yīng)的一些有意義的結(jié)果,證明了全概率公式在經(jīng)濟、醫(yī)療等很多情況下可以進行運用，同時說明全概率公式在生活中滲透越來越深；另一方面對全概率公式進行推廣，介紹了推廣的全概率公式的理論知識，然后將其運用到生活中可能遇到的抓鬮和摸球模型這一類的實際問題中，解決了這類復(fù)雜問題中事件

2、的概率.通過這樣的案例說明全概率公式可以應(yīng)用到更復(fù)雜的生活實例中.關(guān)鍵詞 全概率公式 復(fù)雜事件 應(yīng)用 推廣 完備事件組Law of Total Probability and Its ApplicationsAbscrat Law of total probability is an important formula in probability theory, it is an effective way to solve complex events, and it is an important means to simplify the probability calculation

3、 of complex events, its basic function is to simplify the probability of complex events to the sum of simple events. On the one hand, the paper introduces the theory of Law of total probability, and discusses the problems of Law of total probability in the production line of masks, nucleic acid dete

4、ction of 2019-ncov, etc. , the results show that Law of total probability can be used in many situations, such as economy and medical treatment, and that Law of total probability is penetrating more and more deeply into peoples life On the other hand, the paper generalizes the Law of Total Probabili

5、ty, introduces the theory of Law of total probability, and then applies it topractical problems such as the lottery and the ball model, solving the probability of an event in such a complex problem shows that Law of total probability can be applied to more complex life examples.Key words The total p

6、robability formula Complexevent Application AGeneralization Exhaustive events 目 錄引言11全概率公式31.1完備事件組31.2全概率公式31.3全概率公式的內(nèi)涵31.3.1數(shù)學(xué)思想31.3.2運算本質(zhì)41.3.3“全”的含義41.3.4運用關(guān)鍵41.3.5意義價值51.4全概率公式的應(yīng)用51.4.1全概率公式在經(jīng)濟方面的運用51.4.2全概率公式在醫(yī)學(xué)方面的運用82全概率公式的推廣102.1推廣的全概率公式102.2推廣的全概率公式的應(yīng)用122.2.1推廣的全概率公式在抓鬮問題上的應(yīng)用122.2.2推廣的全概率公式

7、在摸球問題上的應(yīng)用13結(jié)論15參考文獻16致謝17引 言全概率公式是概率論中一個重要公式，它的根本作用就是將復(fù)雜事件的概率化繁為簡，求解多個簡單事件概率之和.隨著日新月異的社會的進步和發(fā)展，全概率公式的研究與發(fā)展許多日常問題被用這些辦法給解決，同時把全概率公式進一步推廣使適用范圍變得廣闊而又有效，這逐漸就成為我們解決更困難問題的有效手段之一.生活許多事件并不是簡單通過最簡單的運算就可以算出其中的概率，大部分的復(fù)雜事件我們無法直接解決，這就需要我們考慮是否可以通過簡單地方法將概率計算出來.簡單事件我們會進行運算，我們是否可以將一個復(fù)雜的事件拆分成簡單的事件進行計算.然后通過不停地努力全概率公式應(yīng)

8、運出生.1這樣生活中的許多實際問題就可以很方便的進行解決，全概率公式慢慢就成為生活中不可或缺的一條有效的工具.好的數(shù)學(xué)方法的正確使用是必不可少的，這就需要我們把對定量地問題用全概率公式進行有效地分析使用，這是為了保證結(jié)論的有效性和采取率，這樣才會使生活中的許多問題得以解決的.越來越明顯的滲透與結(jié)合使得生活中的概率論變得不可或缺，這就很明白的凸顯全概率公式的重要性.如全概率公式被用來解決像投資、保險這樣的等一系列難以主觀直觀判斷的問題，把全概率公式靈活方便的運用可以使生活中許多難題得以方便而又簡練的解決，而且這些推廣形式的研究是有效拓展了全概率公式的適用范圍，推廣形式的研究就會被當(dāng)作解決更復(fù)雜問

9、題的有效手段.這些有效手段的利用會被人們充分的認識到，從而知道推廣形式的全概率公式它的重要性和價值.全概率公式及推廣形式的不斷在生活實際中的運用會激發(fā)人們進一步研究全概率，相關(guān)事件間的有關(guān)影響關(guān)系會被更好的理解掌握，從而發(fā)揮更加有效的為生產(chǎn)實踐提供能夠快速解決問題的信息的能力.隨著我們更加深入地學(xué)習(xí)，我們可以發(fā)現(xiàn)生活中許多那已解決問題會被全部概率公式以一種全新的的思維方式也即是化整為零給解決掉了 2，而且通過不同方面的對公式推廣后全概率公式適用范圍就更加大，它的作用就變得更加不可或缺，慢慢全概率公式就會變成解決日常生活中有效得工具.當(dāng)今社會的飛速發(fā)展下，有綜合判斷信息的能力變得尤其重要.如果決

10、策者不能較好的選取一種有效的方法，從而導(dǎo)致的運算步數(shù)過多、數(shù)據(jù)處理量大、數(shù)據(jù)內(nèi)容遺漏嚴(yán)重，那會使信息綜合判斷出現(xiàn)較大誤差，使得各方面出現(xiàn)重大損失.通過全概率公式及其推廣形式的運用，不斷在經(jīng)濟，醫(yī)療等生活情景下的大展身手，大大縮短時間，爭取更大的利用率.較快幫助人們解決一些難以確定的問題.利用好全概率公式有利于加快了解研究目標(biāo)事件與完備事件組的關(guān)系，為生活實際中提供更多直接有價值有效的決策性的信息.對于一個問題的解決我們需要考慮其可能性也就是估算其實施后的有效性，全概率公式就有這樣的作用，所以它就這樣被不斷地應(yīng)用于實際的生活、生產(chǎn)等各個領(lǐng)域中，從而幫助人們解決問題.在全概率公式的應(yīng)用逐漸顯得重要

11、的今天，很多專家學(xué)者在這些方面做了詳細地研究和調(diào)查，以下就是概述.“簡單的研究和探討了全概率公式及其應(yīng)用，通過全概率公式在具體例題中的運用出發(fā)，說明了生活實際運用的一個重要公式全概率公式”，這是杜鎮(zhèn)中的研究解釋3；在此之后為了全概率公式更好的利用在實際中，李全忠，劉長文，王希超在大學(xué)數(shù)學(xué)中指公式的不足與缺陷并進行改進，通過有效的改進將全概率公式能夠?qū)⑵浒凑战鉀Q實際問題的邏輯過程進行描述，有效的幫助使用者理解4；紀(jì)宏偉,李衛(wèi)平在呼倫貝爾學(xué)院學(xué)報中又對全概率公式的內(nèi)涵進行深度解釋和剖析，深入掌握和利用了全概率公式理論及其應(yīng)用5；為了適用范圍更廣，曹宇菁在數(shù)學(xué)的實踐與認識中以簡練的語言探討了在條件概

12、率下的全概率公式及其應(yīng)用，并且給出了一個新形式即獨立條件下的全概率公式6；唐旭暉,李冱岸,段利霞在高等數(shù)學(xué)研究中把全概率公式的條件進行減弱，有限事件組以及無限可列事件組的應(yīng)用可能性被在這個減弱的條件的情況下給出，更給出全概率應(yīng)用于敏感性問題的具體實例7；在成都師范學(xué)院學(xué)報中李佳,鄧有蓮對全概率公式進行了兩點批注作為對全概率公式地解釋和說明，全概率公式被進行了充足的填補，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣被激發(fā)，全概率公式的各個方面的知識被了解，掌握和運用同時被進行了加深8；何春花，張曉梅在高等函授學(xué)報中通過具體實例由淺入深，由易到難讓學(xué)生學(xué)習(xí)，了解全概率公式的應(yīng)用技巧，以便學(xué)生理解，掌握有關(guān)知識并運用到生活實際9；

13、王鵬風(fēng)在忻州師范學(xué)院學(xué)報之中，從比較簡單的兩個公式出發(fā)推導(dǎo)出全概率公式的定義，并且為了全概率公式的理解和教學(xué)進行了推廣和研究給出了五步教學(xué)法10.本文在以上的研究者研究的基礎(chǔ)上進一步將全概率公式在實際各領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用進行了歸納和討論，特別地利用全概率公式給出了當(dāng)下熱點問題新冠病毒的核酸檢測問題和口罩生產(chǎn)問題的一些有意義的結(jié)果,并進一步探討了一些復(fù)雜試驗中全概率公式的推廣使用.1全概率公式1.1完備事件組定義 設(shè)隨機試驗的樣本空間為，為一組事件.如果（1） , （2）則稱為樣本空間 的一個劃分，或稱為完備事件組.11p12-13為了給出全概率公式，先介紹下面兩個公式：加法公式：對于任意兩個事件，有

14、，乘法公式：對于任意兩個事件，若則1.2全概率公式定理 設(shè)為隨機試驗的樣本空間，為樣本空間的一個完備事件組，且,則對任一事件,有. （1）公式（1）稱為全概率公式.1.3全概率公式的內(nèi)涵1.3.1數(shù)學(xué)思想復(fù)雜事件的概率的求解需要一種簡單方法，這就避不開全概率公式了.復(fù)雜事件被分解，就變成了兩個或者若干個互不相容的簡單事件，分解之后將這些簡單事件相加起來，也就是求出簡單事件的和的概率，最后利用加法公式求出這個比較復(fù)雜的事件的概率.通過上述解釋我們可以看出全概率公式中包含著化整為零的數(shù)學(xué)思想，而在全概率公式的應(yīng)用中又需要注意具體問題具體分析，這就免不了分類討論.由此可見全概率公式蘊含了化歸和分類的

15、數(shù)學(xué)思想.121.3.2運算本質(zhì)通過定義我們可以輕易的看出，將加法公式和乘法公式綜合運用并加以推導(dǎo)就可以得到全概率公式.其中包括“加”“乘”的綜合運用，將難點分離簡化，逐步簡化步驟從而得出答案.生活應(yīng)用中許多方面都用到了利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，全概率公式也是這樣.平面圖形下的全概率公式就更易于理解，全概率公式的圖形運算理解就是把求不規(guī)則圖形的面積的問題通過已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識把它們進行轉(zhuǎn)化成規(guī)則小圖形面積的的求解,從而進行計算.1.3.3“全”的含義要求事件的發(fā)生概率，你會發(fā)現(xiàn)由多種原因引起，這些原因記作,假如事件由兩兩互斥的n個原因所引起，則事件發(fā)生的概率為；又由于每一個事件都有一個引起，于是的發(fā)

16、生的概率為,通過上面的分析可以看出全的含義就是“總和”的意思.直觀形象由定義可以知道，每一個都是引發(fā)的原因，那就看作完備事件組是引發(fā)事件的全部原因.我們也可以通過概率分支圖直觀表示直觀特點連線相乘，分支相加.見圖B1 圖B11.3.4運用關(guān)鍵運用全概率公式的根本點在于不能遺漏地尋找完備事件組和產(chǎn)生結(jié)果的原因，并且需要保證為兩兩互不相容的事件.弄清目標(biāo)事件與完備事件組的關(guān)系.目標(biāo)事件的元素不一定有中的全部元素，有時只被完備事件組中的部分事件所劃分.應(yīng)用全概率公式的時候要注意條件概率的計算.1.3.5意義和價值通過化歸的數(shù)學(xué)的思想方法，選擇正確的樣本空間將事件分解成若干個簡單事件進行處理，從而將分

17、析問題的思路變得條里清晰，達到化繁為簡，化難為易的效果.從而幫助我們算出一復(fù)雜事件的概率.當(dāng)今社會的飛速發(fā)展下，有綜合判斷信息的能力變得尤其重要.全概率公式在生活中的應(yīng)用就會越來越來廣泛.全概率公式的運用可以大大地縮減時間，從而更好更加有效地解決它在經(jīng)濟、醫(yī)療、物質(zhì)敏感性等方面的問題.從而簡單的給出決策性的知識.1.4全概率公式的應(yīng)用全概率公式在經(jīng)濟和醫(yī)療方面有較為廣泛的應(yīng)用.1.4.1全概率公式在經(jīng)濟方面的運用在經(jīng)濟的最終決定被認可之前，投資商或者決策者都需要初步選擇幾個自己認為可行的方案，然后評估判斷自己預(yù)測的那幾個可能性，評估過后最終決定那個對自己最有利的方案，從而達到經(jīng)濟收益的最有利化

18、.全概率公式就是一個行之有效的工具.13例1 (疫情期間的口罩生產(chǎn)問題) 工廠生產(chǎn)一次性口罩有四條流水線，這四條流水線產(chǎn)量分別為30%，30%，25%，15%.四條流水線分別生產(chǎn)口罩的不合格率為.現(xiàn)在有商家從出場的口罩中任意抽取一件，問剛好抽到不合格口罩的概率為多少？分析 當(dāng)抽取到不合格口罩的時候我們就需要考慮該口罩來自哪一條流水線，顯然這口罩來自的流水線有四種可能性，分別為來自第一條流水線，來自第二條流水線，來自第三條流水線，來自第四條流水線，從而使用全概率公式估測抽取到不合格口罩的概率.解 令， .因此，由全概率公式可得答 剛好抽到不合格口罩的概率為3.05%.所以全概率公式在疫情期間也有

19、著重要的作用.例2 某五金店進了兩箱產(chǎn)品，這兩箱里都裝有準(zhǔn)備出售的燈泡，其中第一個箱子中裝有10個合格的燈泡和40個不合格的燈泡，第二個箱子中裝有18個合格的燈泡和12個不合格的的燈泡，先隨機挑選兩個燈泡箱子中的一個箱，再依次拿出兩個燈泡.如果第一次拿出的燈泡是個合格品，問第二次拿出的燈泡仍是個合格品的概率是多少呢?分析 這道題就比較有趣，你需要先考慮你抽到的是哪一個箱子，可能是第一個也可能是第二個箱子，在抽完箱子后我們就需要再思考我們是第幾次拿到合格品，這又有兩種可能性第一次或者第二次，在這些都思考清楚之后，就可以使用全概率公式計算概率了.解 令, , ,根據(jù)全概率公式我們就可以得出以下結(jié)果

20、.答 第二次拿出合格品的概率例3 有一家牛奶廠準(zhǔn)備選擇合適的奶源地，現(xiàn)在有三個可供選擇的奶源地，經(jīng)過調(diào)查顯示這三家的合格率分別為.三個奶源地的供奶量分別占本場總產(chǎn)量的.現(xiàn)在該廠決定將牛奶都運到A地，然后在A地集中出售.現(xiàn)有一名投資商打算投資該廠，假若投資商隨機抽取了一件牛奶，其合格率能夠達到就進行投資，現(xiàn)在問他會不會進行投資？分析 由題意可知，投資商是否會投資只需要計算一下，隨機抽取的這件牛奶為合格品的概率是否不低于96%即可.可以將三個來源地看作成一個完備事件組，這也就是說我們需要考慮抽到的牛奶來自于哪一個奶源地，通過題目我們很清晰地可以了解到有三種可能性:一是這件牛奶來源于第一個奶源地，二

21、是這件牛奶來源于第二個奶源地，三是這件牛奶來源于第三個奶源地,然后由全概率公式可得出合格率.解 ， 根據(jù)題意可得 , 從而再根據(jù)全概率公式，我們可以得因為，所以該投資商不會投資這個廠.例4 某商場有冰箱10臺，進貨的時候就被告知里面只有7臺合格品，現(xiàn)在已經(jīng)有顧客先后買走了2臺，現(xiàn)在又有顧客準(zhǔn)備進行購買，問這名顧客從剩下的冰箱中買到合格品的概率是否能達到80%？分析 從剩下的冰箱中去買冰箱明顯就受之前賣出的2臺的影響，就這需要我們考慮之前賣出去的可能性，一是2臺都是合格品，二是一臺合格另一臺不合格，三是2臺都是不合格品.然后就可以通過全概率公式進行估算.解 設(shè) 則，.應(yīng)用全概率公式得，.顯然該顧

22、客買到合格品的概率達不到80%.1.4.2全概率公式在醫(yī)學(xué)方面的運用在醫(yī)學(xué)的應(yīng)用的問題上主要需要考慮兩個角度，一是控制，二是治療。而直接有效的步驟就是對這種病進行控制，而診斷判斷出疾病來自哪里是治療的前提.要對患者進行診斷，按傳統(tǒng)的方法一一進行排除就會發(fā)現(xiàn)檢驗會繁瑣，但假如提前用全概率公式，可簡化化驗過程，縮短治療時間，讓醫(yī)生更好的對癥下藥，能夠更快的治療病患.利用好全概率公式就可以更加有效的分析定性問題，從而更好地提高病人的治愈率.例5 針對某冠狀病毒進行核酸檢驗，患這中病毒的人中呈陽性反應(yīng)，而未患該冠狀病毒的人中也有呈陽性，假設(shè)人群中有的患有這種病 ，問某人做這種核酸檢驗呈陽性反應(yīng)的概率為

23、多少；若呈陽性反應(yīng)，則患這種病的概率又是多少？分析 想要解決這一問題，我們就需要思考呈陽性的人是什么情況，是患有該病的還是不患有這種病癥的，然后可以運用全概率公式計算出概率.解 設(shè)， , 由題意知則呈陽性的概率為 若此人呈陽性反應(yīng)，則他患這種病的概率為 答 這個人呈陽性的概率為，在呈陽性的狀態(tài)下患這種病的概率為.這說明在題設(shè)條件下，此人檢測出陽性的可能性很小，但一旦檢測呈陽性，他患這種病的可能性會大大提高，所以不可忽視. 由此可見，全概率公式對病毒的核酸檢測預(yù)測有較好的效果.例6 在疫情爆發(fā)的期間某地禽流感爆發(fā)，為了疫情有效抑制，有關(guān)人士對得病的禽類進行分析檢驗后，簡單預(yù)測這種禽流感可能是型,

24、型,型這三類病菌引起.現(xiàn)在知道感染型病菌可能性為，感染型病菌的可能性為，感染型病菌可能性為.感染這幾種致命病菌發(fā)病概率分別為.現(xiàn)在問流感為型病菌的可能性大小為多少？分析 對待禽流感我們需要對癥下藥，現(xiàn)在某地爆發(fā)禽流感了，就需要考慮這種禽流感是由哪一種病菌引起的，通過題意我們可以很快給出這四種可能性，一是由型病菌引發(fā)的禽流感，二是由型病菌引發(fā)的禽流感，三是由型病菌引發(fā)的禽流感，然后就可以利用全概率公式得到各種題目所需要的概率.解 設(shè)， 由題意知，根據(jù)全概率公式我們就可以得出 又根據(jù)條件概率公式和乘法公式 故答 流感為型病菌的可能性為.例7 某甲級醫(yī)院采用,四種方法醫(yī)療某種新型流感.在該流感患者身

25、上采用這四種方案醫(yī)療這種新型流感的百分比分別.他們的治療效果治愈率分別,假設(shè)該醫(yī)院接受治療患者，問患者的治愈率為多少呢？分析 倘若該甲級醫(yī)院對該流感患者進行收治，這就需要考慮用哪種方案才能最有效的幫助病患治療出院.這個醫(yī)院很明顯可以為患者提供四種治療方案，分別可能為一是采用型方法醫(yī)療該流感患者，二是采用型方法醫(yī)療該流感患者，三是采用型方法醫(yī)療該流感患者，四是采用型方法醫(yī)療該流感患者，然后就可以通過全概率公式計算出該患者的治愈出院可能性.解 令 ， 由題意可知 ,再根據(jù)全概率公式我們可以得到 .答 如果該醫(yī)院接受患者，患者治愈率為.2全概率公式的推廣在生活問題的許多實際問題中并不是由原因直接產(chǎn)生

26、結(jié)果的.而是先從原因開始經(jīng)過一系列中間變化過程得到一個結(jié)果，再將這些結(jié)果視作原因才得到結(jié)果的.為了應(yīng)對這些情況，解決這樣的問題，我們需要對全概率公式進行推廣.這樣的推廣的全概率公式就可以幫助我們解決更大范圍的問題，下面我們開始介紹推廣的全概率公式.2.1推廣的全概率公式定理2 設(shè)為兩兩互不相容事件，且,又為個兩兩互不相容的事件組,且.則 （2） 證明 由全概率公式可得 （3）而 （4）將（4）式代入（3）式中得到（2）式.在這樣的一個復(fù)雜定理中，我們可以將看作引發(fā)事件的原因，而由這些原因產(chǎn)生的結(jié)果為我們可以將這些看為中間過程，然后我們再通過這一系列中間結(jié)果推出最終結(jié)果.在之后做例題的時候，我們

27、需要注意將引發(fā)事件的原因全部一一找出來，不能出現(xiàn)遺漏、重復(fù)的問題，也就是；我們也要將中間結(jié)果表達出來，也就是都要有，不應(yīng)該出現(xiàn)遺漏的現(xiàn)象.在應(yīng)用推廣的全概率公式時要知道并了解以下三點：一要了解,二要了解，三要了解然后就可以通過這個推廣的全概率公式去解決有一系列中間結(jié)果的更復(fù)雜事件的概率，這樣的推廣的全概率公式適用范圍廣泛，可以幫助我們解決更復(fù)雜的概型.這樣的概型我們就可以概括為“原因中間過程結(jié)果”這樣的結(jié)構(gòu).這就幫助我們更方便的理解推廣的全概率公式，并快速地應(yīng)用到生活中地實際問題中.14 推廣的全概率公式在使用時，因為借助于樹狀結(jié)構(gòu)圖來寫出全概率公式.如畫出的圖B2.圖中只需要把直線上的數(shù)據(jù)相

28、乘，然后各分支相加這樣就可以得到的概率.這也可以概括為“連線相乘，支線相加.”這樣的數(shù)形結(jié)合方便快捷.15 圖B2 2.2推廣的全概率公式的應(yīng)用推廣的全概率公式在生活中有更廣的適用范圍，下面就舉出其在兩種模型中的應(yīng)用.2.2.1推廣的全概率公式在抓鬮問題上的應(yīng)用例8 小明和他的朋友參加一個抽獎活動，其中“一等獎”1個，“二等獎”2個，3個“三等獎”，現(xiàn)在抽獎負責(zé)人規(guī)定每人只能抽一次，試問我們能否說明不管先后順序他們抽到“一等獎”，“二等獎”，“三等獎”的機會是相等的嗎？證明 設(shè)分別表示為第一人抽到“一等獎”，“二等獎”，“三等獎”；又設(shè)分別表示第一人抽取“一等獎”，“二等獎”，“三等獎”后盒內(nèi)

29、的情況；表示為第二人抽到“一等獎”. 由題意知，從而設(shè)分別表示第二人抽到“一等獎”，“二等獎”，“三等將”；又設(shè)分別表示第二人抽到“一等獎”，“二等獎”“三等獎”后盒內(nèi)的情況；D表示第三人抽到“一等獎”.此時可得，；，；，；，；，；，；由此，三人抽到“一等獎”的概率為 同理可得，第四人，第五人，第六人這些人抽到“一等獎”的概率均為；同理，我們也可算出小明和他的朋友抽到“二等獎”的概率均為；抽到“三等獎”的概率均為.通過上述證明我們可以知道小明和他的朋友們抽到各種獎項的機會是均等的.這個題目就可以幫助我們理解生活中的一些誤區(qū).并不是第一人抽到“一等獎”的機會更大一些.通過題目數(shù)據(jù)的驗證我們可以知

30、道，不管先后抽取的順序如何，這些人抽到各種獎的可能性都是均等的.2.2.2推廣的全概率公式在摸球問題上的應(yīng)用例9 現(xiàn)有兩個粉筆盒，第一盒裝有藍色粉筆1支，白色粉筆2支,這只盒子視為A盒；第二個盒子中裝有白色粉筆1支，藍色粉筆2支，這只盒子視為B盒.現(xiàn)在有兩個朋友小白和小蘭在老師的幫助下準(zhǔn)備玩一個游戲，先從A盒中拿一個粉筆到B盒中，再從B盒子中拿一個粉筆到A盒子中，經(jīng)過這一系列的行為后，從A盒中拿出一個粉筆，粉筆是藍色的概率是多少？解 設(shè)為從A盒子中拿一個粉筆分別為白色或藍色放入B盒子中的情況；分別為從中拿出一個粉筆分別為白色或藍色放入A盒子中的情況.分別表示從A盒子中拿出粉筆是白色、藍色；分別表示從B盒子中拿出的粉筆是白色、藍色；表示最后從A盒子中出的粉筆是藍色的.我們可以通過圖B3進行理解.由題意知，；，；，故最后從A盒子中拿出藍色粉筆的概率為.C圖B3結(jié) 論隨著我們更加深入地學(xué)習(xí)，我們可以發(fā)現(xiàn)生活中許多那已解決的問題會被全概率公式以一種新的數(shù)學(xué)思維方式給解決掉，且之后在不同方面對公式的推廣后，越來越大的全概率公式的適用范圍使它的作用就變得更加不可或缺、更加重要，從而慢慢地，全概率公式也就會變成人們解決日常生活中難以判斷的一類問題的行之有效的工具.在當(dāng)今社會的飛速發(fā)展下，綜合判斷信息的能力變得尤其重要.如果決策者不能較好的選取