高中數(shù)學(xué)分析和解決問題能力的組成及培養(yǎng)策略

1、 高中數(shù)學(xué)分析和解決問題能力的組成及培養(yǎng)策略 （325804）蒼南縣錢庫高級中學(xué) 徐登群 分析和解決問題的能力是指能閱讀、理解對問題進(jìn)行陳述的材料；能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題，并能用數(shù)學(xué)語言正確地加以表述它是邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力等基本數(shù)學(xué)能力的綜合體現(xiàn)由于高考數(shù)學(xué)科的命題原則是在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，注重對數(shù)學(xué)思想和方法的考查，注重數(shù)學(xué)能力的考查，強(qiáng)調(diào)了綜合性這就對考生分析和解決問題的能力提出了更高的要求，也使試卷的題型更新，更具有開放性縱觀近幾年的高考，學(xué)生在這一方面失分的普遍存在，如97年的理科24題、98年的理科

2、24題、99年的理科23、24題、2000年的文科21題，這就要求我們教師在平時教學(xué)中注重分析和解決問題能力的培養(yǎng)，以減少在這一方面的失分筆者就分析和解決問題能力的組成及培養(yǎng)談幾點芻見一、分析和解決問題能力的組成 1審題能力 審題是對條件和問題進(jìn)行全面認(rèn)識，對與條件和問題有關(guān)的全部情況進(jìn)行分析研究，它是如何分析和解決問題的前提審題能力主要是指充分理解題意，把握住題目本質(zhì)的能力；分析、發(fā)現(xiàn)隱含條件以及化簡、轉(zhuǎn)化已知和所求的能力要快捷、準(zhǔn)確在解決問題，掌握題目的數(shù)形特點、能對條件或所求進(jìn)行轉(zhuǎn)化和發(fā)現(xiàn)隱含條件是至關(guān)重要的 例1 已知求的值分析：怎樣利用已知的二個等式？初看好象找不出條件和結(jié)論的聯(lián)系只

3、好從未知入手，當(dāng)然，首先想到的是把、分別求出，然后求出它們的乘積，這是個辦法，但是不好求；于是可考慮將寫成，轉(zhuǎn)向求、令，于是從方程的觀點看，只要有、的二元一次方程就可求出、于是轉(zhuǎn)向求 ，這樣把問題轉(zhuǎn)化為下列問題：已知 求、的值2+2得 2-2得， 這樣問題就可以解決從剛才的解答過程中可以看出，解決此題的關(guān)鍵在于挖掘所求和條件之間的聯(lián)系，這需要一定的審題能力由此可見，審題能力應(yīng)是分析和解決問題能力的一個基本組成部分2 合理應(yīng)用知識、思想、方法解決問題的能力高中數(shù)學(xué)知識包括函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等內(nèi)容；數(shù)學(xué)思想包括數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想、分類與討論和等價轉(zhuǎn)化等；數(shù)

4、學(xué)方法包括待定系數(shù)法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、配方法等基本方法只有理解和掌握數(shù)學(xué)基本知識、思想、方法，才能解決高中數(shù)學(xué)中的一些基本問題，而合理選擇和應(yīng)用知識、思想、方法可以使問題解決得更迅速、順暢例2 （2000年全國高考題）設(shè)函數(shù) 其中 （）解不等式； （）求的取值范圍，使函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)解：（）不等式 即 由此得即其中常數(shù) 所以，原不等式等到價于 ， 即 所以，當(dāng)時，所給不等式的解集為 當(dāng)時，所給不等式的解集為 （）在區(qū)間上任取使得 ()當(dāng)時， 又 即 所以，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù) （）當(dāng)時，在區(qū)間上存在兩點滿足所以函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上是單

5、調(diào)函數(shù)在上述的解答過程中可以看出，本題主要考查不等式的解法、函數(shù)的單調(diào)性等基本知識，分類討論的數(shù)學(xué)思想方法的運算、推理能力3 數(shù)學(xué)建模能力 近幾年來，在高考數(shù)學(xué)試卷中，都有幾道實際應(yīng)用問題，這給學(xué)生的分析和解決問題的能力提出了挑戰(zhàn)而數(shù)學(xué)建模能力是解決實際應(yīng)用問題的重要途徑和核心例3 （1999全國高考題）下圖為一臺冷軋機(jī)的示意圖冷軋機(jī)由若干對軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過各對軋輥逐步減薄后輸出 （）輸入帶鋼的厚度為，輸出帶鋼的厚度為，若每對軋輥的減薄率不超過問冷軋機(jī)至少需要安裝多少對軋輥？（）（）已知一臺冷軋機(jī)共有4對減薄率為20%的軋輥，所有軋輥周長為1600mm若第對軋輥有缺陷，每滾動一周

6、在帶鋼上壓出一個疵點，在冷軋機(jī)輸出的帶鋼上，疵點的間距為為了便于檢修，請計算、并填入下表（軋鋼過程中，帶鋼寬度為變，且不考慮損耗） 軋輥序號 1 2 3 4疵點間距（單位:mm） 1600 解：厚度為的帶鋼經(jīng)過減薄率均為的對軋輥后厚度為 為使輸出帶鋼的厚度不超過，冷軋機(jī)的軋輥數(shù)（以對為單位）應(yīng)滿足 ， 即 由于，對上式兩端取對數(shù)，得 ， 由于,所以 因此,至少需要安裝不小于的整數(shù)對軋輥（）第對軋輥出口處疵點間距離為軋輥周長，在此處出口的兩疵點間帶鋼的體積為 （其中%）， 而在冷軋機(jī)出口處兩疵點間帶鋼的體積為 因?qū)挾认嗟龋覠o損耗，由體積相等得 %）即 由此得 填表如下 軋輥序號 1 2 3 4

7、疵點間距（單位:mm） 3125 2500 2000 1600評述：（）題是一個常見的等比數(shù)列模型問題，即平均變化率類型，要解決該問題關(guān)鍵是理解題中“若每對軋輥的減薄率不超過”的含義；（）題若通過合理聯(lián)想，帶鋼從第對軋輥出口處兩疵點間的距離和冷軋機(jī)出口處兩疵點間的距離的關(guān)系，由于在此過程中，兩疵點間的鋼板體積相等，故是一等體積幾何模型問題，可列式：在該題的解答中，學(xué)生若沒有一定的數(shù)學(xué)建模能力，正確解決此題實屬不易因此，建模能力是分析和解決問題能力不可或缺的一個組成部分二、培養(yǎng)和提高分析和解決問題能力的策略1重視通性通法教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生概括、領(lǐng)悟常見的數(shù)學(xué)思想與方法數(shù)學(xué)思想較之?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，有更高

8、的層次和地位它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，它是一種數(shù)學(xué)意識，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、處理和解決數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)，具有模式化與可操作性的特征，可以作為解題的具體手段只有對數(shù)學(xué)思想與方法概括了，才能在分析和解決問題時得心應(yīng)手；只有領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思想與方法，書本的、別人的知識技巧才會變成自已的能力每一種數(shù)學(xué)思想與方法都有它們適用的特定環(huán)境和依據(jù)的基本理論，如分類討論思想可以分成：（1）由于概念本身需要分類的，象等比數(shù)列的求和公式中對公比的分類和直線方程中對斜率的分類等；（2）同解變形中需要分類的，如含參問題中對參數(shù)的討論、解不等式組中解集的討論等又如數(shù)學(xué)方法的選擇，

9、二次函數(shù)問題常用配方法，含參問題常用待定系數(shù)法等因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)重視通性通法，淡化特殊技巧，使學(xué)生認(rèn)識一種“思想”或“方法”的個性，即認(rèn)識一種數(shù)學(xué)思想或方法對于解決什么樣的問題有效從而培養(yǎng)和提高學(xué)生合理、正確地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法分析和解決問題的能力2加強(qiáng)應(yīng)用題的教學(xué)，提高學(xué)生的模式識別能力高考是注重能力的考試，特別是學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識和方法分析問題和解決問題的能力，更是考查的重點，而高考中的應(yīng)用題就著重考查這方面的能力，這從新課程版的考試說明與原來的考試說明中對能力的要求的區(qū)別可見一斑（新課程版將“分析和解決問題的能力”改為“解決實際問題的能力”）數(shù)學(xué)是充滿模式的，就解應(yīng)用題而言，對其數(shù)

10、學(xué)模式的識別是解決它的前提由于高考考查的都不是原始的實際問題，命題者對生產(chǎn)、生活中的原始問題的設(shè)計加工使每個應(yīng)用題都有其數(shù)學(xué)模型如1997年的“運輸成本問題”為函數(shù)與均值不等式；1998年的“污水池問題”為函數(shù)、立幾與均值不等式；1999年的“減薄率問題”是數(shù)列、不等式與方程；2000年的“西紅柿問題”是分段式的一次函數(shù)與二次函數(shù)等等在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不但要重視應(yīng)用題的教學(xué)，同時要對應(yīng)用題進(jìn)行專題訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、歸納各種應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型，這樣學(xué)生才能有的放矢，合理運用數(shù)學(xué)思想和方法分析和解決實際問題 3適當(dāng)進(jìn)行開放題和新型題的訓(xùn)練，拓寬學(xué)生的知識面要分析和解決問題，必先理解題意，才能進(jìn)一步

11、運用數(shù)學(xué)思想和方法解決問題近年來，隨著新技術(shù)革命的飛速發(fā)展，要求數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)出更高數(shù)學(xué)素質(zhì)、具有更強(qiáng)的創(chuàng)造能力的人才，這一點體現(xiàn)在高考上就是一些新背景題、開放題的出現(xiàn)，更加注重了能力的考查由于開放題的特征是題目的條件不充分，或沒有確定的結(jié)論，而新背景題的背景新，這樣給學(xué)生在題意的理解和解題方法的選擇上制造了不少的麻煩,導(dǎo)致失分率較高.如1999年理科的第16題和第22題,很多學(xué)生由于對“壟”和“減薄率不超過”不理解而不知所措；又如2000年文科第16題和第21題、2001年春季高考的第11題，只有在讀懂所給的圖形的前提下，才能正確作出解答因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)進(jìn)行開放題和新型題的訓(xùn)練，拓寬學(xué)生的知識面是提高學(xué)生分析和解決問題能力的必要的補(bǔ)充重視解題的回顧在數(shù)學(xué)解題過程中，解決問題以后，再回過頭來對自己的解題活動加以回顧與探討、分析與研究，是非常必要的一個重要環(huán)節(jié)這是數(shù)學(xué)解題過程的最后階段，也是對提高學(xué)生分析和解決問題能力最有意義的階段解題教學(xué)的目的并不單純?yōu)榱饲蟮脝栴}的結(jié)果，真正的目的是為了提高學(xué)生分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神，而這一教學(xué)目的恰恰主要通過回顧解題的教學(xué)來實現(xiàn)所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要十分重視解題的回顧，與學(xué)生一起對解題的結(jié)果