拉格朗日方程PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 拉格朗日方程拉格朗日方程 引引 言言 將達(dá)朗伯原理和虛位移原理結(jié)合起來推導(dǎo)出將達(dá)朗伯原理和虛位移原理結(jié)合起來推導(dǎo)出 動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程。動(dòng)力學(xué)普遍方動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程。動(dòng)力學(xué)普遍方 程中系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是直角坐標(biāo)來描述的，而拉格朗程中系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是直角坐標(biāo)來描述的，而拉格朗 日方程是用廣義坐標(biāo)來描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，兩者都日方程是用廣義坐標(biāo)來描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，兩者都 是用來解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題，它是用是用來解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題，它是用 分析的方法解決動(dòng)力學(xué)問題的出發(fā)點(diǎn)，因此它是分析的方法解決動(dòng)力學(xué)問題的出發(fā)點(diǎn)，因此它是 分析力學(xué)的基礎(chǔ)。對(duì)于解決復(fù)雜的非自由質(zhì)點(diǎn)系分

2、析力學(xué)的基礎(chǔ)。對(duì)于解決復(fù)雜的非自由質(zhì)點(diǎn)系 的動(dòng)力學(xué)問題，應(yīng)用拉格朗日方程往往要比用動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題，應(yīng)用拉格朗日方程往往要比用動(dòng) 力學(xué)普遍方程簡便得多。力學(xué)普遍方程簡便得多。 第1頁/共29頁 1.1 動(dòng) 力 學(xué) 普 遍 方 程 設(shè)由設(shè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，由達(dá)朗伯原理知，個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，由達(dá)朗伯原理知， 在質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，任一質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，任一質(zhì)點(diǎn) 上作用的主上作用的主 動(dòng)力動(dòng)力 ，約束反力，約束反力 及其慣性力及其慣性力 三者構(gòu)三者構(gòu) 成形式上的平衡力系，即成形式上的平衡力系，即 i M i F Ni F iiIi amF 0 IiNii FFF ),2, 1(ni

3、 對(duì)該質(zhì)點(diǎn)系應(yīng)用虛位移原理，為此，取質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該質(zhì)點(diǎn)系應(yīng)用虛位移原理，為此，取質(zhì)點(diǎn)系 的任何一組虛位移的任何一組虛位移 ，則得，則得), 2 , 1(niri 0)( 1 n i iIiNii rFFF 設(shè)該質(zhì)點(diǎn)受的是理想約束，則有設(shè)該質(zhì)點(diǎn)受的是理想約束，則有 0 iNi rF 故故0)( 1 iIi n i i rFF 第2頁/共29頁 1.1 動(dòng) 力 學(xué) 普 遍 方 程 即即 0)( 1 iii n i i ramF 將上式寫成解析式，則有將上式寫成解析式，則有 0)()()( 1 n i iiiZiiiiyiiiixi zzmFyymFxxmF 以上兩式是由達(dá)朗伯原理和虛位移原理相結(jié)合以上

4、兩式是由達(dá)朗伯原理和虛位移原理相結(jié)合 而得到的結(jié)果，稱為而得到的結(jié)果，稱為動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程，也稱，也稱達(dá)朗達(dá)朗 伯伯拉格朗日方程拉格朗日方程。動(dòng)力學(xué)普遍方程可以敘述如。動(dòng)力學(xué)普遍方程可以敘述如 下：下：在理想約束條件下，在任一瞬時(shí)作用在質(zhì)點(diǎn)系在理想約束條件下，在任一瞬時(shí)作用在質(zhì)點(diǎn)系 上所有的主動(dòng)力和虛加的慣性力，在該瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)系上所有的主動(dòng)力和虛加的慣性力，在該瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)系 所處位置的任何虛位移上的元功之和等于零所處位置的任何虛位移上的元功之和等于零。 第3頁/共29頁 1.1 動(dòng) 力 學(xué) 普 遍 方 程 例1 圖示滑輪系統(tǒng)中，動(dòng)滑輪上懸掛著重為 的重物，繩子繞過定滑輪后，掛著重為 的

5、重物， 設(shè)滑輪和繩子的重量不計(jì)，求重為 的重物下降的 加速度。 2 Q 1 Q 2 Q 2 Q 1 Q 解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)具 有理想約束，系統(tǒng)所受的主動(dòng)力 為 、 ，假想加上慣性力 、 。 1 Q 2 Q 2I F 1I F 1 a 2 a 1I F 2I F 其中 1 1 1 a g Q FI 2 2 2 a g Q FI 給系統(tǒng)以虛位移 和 ，由動(dòng)力 學(xué)普遍方程，得 1 s 2 s 1 s 2 s 0)()( 11 1 122 2 2 sa g Q Qsa g Q Q 由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系 21 2 1 ss 21 2 1 aa 代入上式得 第4頁/共29頁 1.1 動(dòng) 力 學(xué) 普 遍 方

6、 程 0) 4 1 () 2 1 ( 212 2 12 sQQ g a QQ g QQ QQ a 12 12 2 4 )2(2 0 2 s 例2 有兩個(gè)半徑皆為r的輪子，中心用連桿相連， 在傾角為 的斜面上作純滾動(dòng)，如圖。設(shè)輪重皆為P， 對(duì)輪心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量皆為J，連桿重量為Q，求連桿運(yùn) 動(dòng)的加速度。 解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象， 系統(tǒng)具有理想約束，系統(tǒng)所受 的主動(dòng)力有它們的重力。假想 加上慣性力，如圖。 P P Q a I P I P I Q I M I M 其 中 a g P P I r a JM I a g Q QI 第5頁/共29頁 1.1 動(dòng) 力 學(xué) 普 遍 方 程 P P Q a I P I

7、 P I Q I M I M 給連桿以平行斜面移動(dòng)的虛位移 ，則輪子有 相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)虛位移 ，根據(jù)動(dòng)力學(xué)普遍方程 s r s s 0sin)2(2)2(sQPMsQP III 即 0sin)2(2)2( 2 sQPsa r J sQP g a 0s g JgrQP rQP a 2)2( sin)2( 2 2 第6頁/共29頁 1.2 拉 格 朗 日 方 程 一、拉格朗日方程一、拉格朗日方程 設(shè)有設(shè)有n個(gè)知點(diǎn)組成的知點(diǎn)系，受完整的理想約束，個(gè)知點(diǎn)組成的知點(diǎn)系，受完整的理想約束， 具有具有N個(gè)自由度，其個(gè)自由度，其 位置可由位置可由N個(gè)廣義坐標(biāo)個(gè)廣義坐標(biāo) 來確定。則有來確定。則有 k kk Q q

8、T q T dt d )( ), 2 , 1(Nk 是廣義坐標(biāo)對(duì)是廣義坐標(biāo)對(duì)式中式中 2 1 2 1 ii n i vmT 為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能；為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能； k q 時(shí)間的變化率，稱為時(shí)間的變化率，稱為廣義速度廣義速度； 是對(duì)應(yīng)廣義坐是對(duì)應(yīng)廣義坐 標(biāo)標(biāo) k Q 的廣義力。的廣義力。 k q 這就是這就是拉格朗日方程拉格朗日方程，簡稱簡稱拉氏方程拉氏方程。它是由它是由N個(gè)個(gè) 二階常微分方程組成的方程組。將此微分方程組積二階常微分方程組成的方程組。將此微分方程組積 分，就可以得出以分，就可以得出以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。 第7頁/共29頁 1.2 拉 格 朗 日

9、 方 程 二、保守系統(tǒng)的拉格朗日方程二、保守系統(tǒng)的拉格朗日方程 在上述條件下，如果質(zhì)點(diǎn)系所受的主動(dòng)力都是在上述條件下，如果質(zhì)點(diǎn)系所受的主動(dòng)力都是 有勢力，就得到保守系統(tǒng)的拉格朗日方程有勢力，就得到保守系統(tǒng)的拉格朗日方程 0)( kk q L q L dt d ), 2 , 1(Nk 式中式中 為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能和勢能之差，稱為為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能和勢能之差，稱為拉格拉格 朗日函數(shù)。朗日函數(shù)。 VTL 這就是這就是保守系統(tǒng)的拉格朗日方程保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。 三、應(yīng)用拉格朗日方程解題的步驟三、應(yīng)用拉格朗日方程解題的步驟 1、確定研究對(duì)象，（一般以整個(gè)系統(tǒng)）判斷系、確定研究對(duì)象，（一般以整個(gè)系統(tǒng)）判斷系 統(tǒng)的

10、自由度數(shù)目，選取合適的廣義坐標(biāo)。統(tǒng)的自由度數(shù)目，選取合適的廣義坐標(biāo)。 2、分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，寫出用廣義坐標(biāo)及廣義速、分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，寫出用廣義坐標(biāo)及廣義速 度表示的系統(tǒng)的動(dòng)能。（速度及角速度均為絕對(duì)的）度表示的系統(tǒng)的動(dòng)能。（速度及角速度均為絕對(duì)的） 第8頁/共29頁 1.2 拉 格 朗 日 方 程 3、計(jì)算對(duì)應(yīng)每個(gè)廣義坐標(biāo)的廣義力、計(jì)算對(duì)應(yīng)每個(gè)廣義坐標(biāo)的廣義力 ；當(dāng)主；當(dāng)主 動(dòng)力為有勢力時(shí)，需要寫出用廣義坐標(biāo)表示的勢能動(dòng)力為有勢力時(shí)，需要寫出用廣義坐標(biāo)表示的勢能 及拉格朗日函數(shù)及拉格朗日函數(shù) 。 j Q VTL 4、計(jì)算諸導(dǎo)數(shù)：、計(jì)算諸導(dǎo)數(shù)： k q T kq T j )( k q T dt d

11、 或或 k q L k q L )( k q L dt d 5、寫出拉格朗日方程并加以整理，得到、寫出拉格朗日方程并加以整理，得到N個(gè)二個(gè)二 階常微分方程。由階常微分方程。由2 N個(gè)初始條件，解得運(yùn)動(dòng)方程。個(gè)初始條件，解得運(yùn)動(dòng)方程。 第9頁/共29頁 1.2 拉 格 朗 日 方 程 例例3 在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的行星齒在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的行星齒 輪機(jī)構(gòu)如圖。已知?jiǎng)育X輪半徑為輪機(jī)構(gòu)如圖。已知?jiǎng)育X輪半徑為r， 重為重為P，可視為均質(zhì)圓盤；曲柄，可視為均質(zhì)圓盤；曲柄OA 重重Q，可視為均質(zhì)桿；定齒輪半徑，可視為均質(zhì)桿；定齒輪半徑 為為R。今在曲柄上作用一不變的力。今在曲柄上作用一不變的力 偶，其矩為偶，其矩為

12、M，使機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)。求曲，使機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)。求曲 柄的運(yùn)動(dòng)方程。柄的運(yùn)動(dòng)方程。 O M r R A 解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)具有一個(gè)自 由度，取曲柄轉(zhuǎn)角 為廣義坐標(biāo)。 由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系知，動(dòng)齒輪的角速度 與曲柄的 角速度 的關(guān)系為 r Rr 則系統(tǒng)的動(dòng)能為 第10頁/共29頁 1.2 拉 格 朗 日 方 程 O M r R A 22 222222 )(92( 12 1 ) 2 1 ( 2 1 )( 2 1 )( 3 1 2 1 RrPQ g r g P Rr g P Rr g Q T 給曲柄以虛位移 ，則對(duì)應(yīng) 的廣義力為 M MW Q 求諸導(dǎo)數(shù) 2 )(92( 6 1 RrPQ g T 2 )(92(

13、 6 1 )(RrPQ g T dt d 0 T 第11頁/共29頁 1.2 拉 格 朗 日 方 程 Q TT dt d )( 由，得 MRrPQ g 2 )(92( 6 1 即 2 )(92( 6 RrPQ Mg 積分得曲柄的運(yùn)動(dòng)方程為 00 2 2 )(92( 3 tt RrPQ Mg 式中， 、 分別為初始轉(zhuǎn)角和初始角速度。0 0 第12頁/共29頁 1.2 拉 格 朗 日 方 程 R R A B C k 例例4 如圖輪如圖輪A的質(zhì)量為的質(zhì)量為 ，在水平面上只滾動(dòng)，在水平面上只滾動(dòng) 不滑動(dòng)，定滑輪不滑動(dòng)，定滑輪B的質(zhì)量為的質(zhì)量為 ，兩輪均為均質(zhì)圓盤，兩輪均為均質(zhì)圓盤， 半徑均為半徑均為R

14、，重物，重物C的質(zhì)量為的質(zhì)量為 ，彈簧的彈性系數(shù)，彈簧的彈性系數(shù) 為為 ，試求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。，試求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 1 m 2 m 3 m k 解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象， 系統(tǒng)具有一個(gè)自由度。取 x 為廣義坐標(biāo)，x 從重物的平 衡位置量起。系統(tǒng)的動(dòng)能為 x 2 321 2 3 22 2 22 1 )843( 16 1 2 1 )( 2 1 ( 2 1 ) 2 )( 2 3 ( 2 1 xmmm xm R x Rm R x RmT 設(shè)系統(tǒng)平衡時(shí)彈簧的靜伸長為 ，則有關(guān)系 式 st RgmRk st 2 3 即gmk st3 2 第13頁/共29頁 1.2 拉 格 朗 日 方 程 R R A

15、 B C k x 以系統(tǒng)平衡位置為彈力及重物C的零勢能位置， 則系統(tǒng)的勢能為 22 3 ) 2 ( 2 stst xk gxmV 利用前面的關(guān)系，整理得 2 8 1 kxV 22 321 8 1 )843( 16 1 kxxmmmVTL 代入保守系統(tǒng)的拉格朗日方程 得0)( x L x L dt d 02)843( 321 kxxmmm 即為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 則拉格朗日函數(shù)為 第14頁/共29頁 1.2 拉 格 朗 日 方 程 例例5 如圖，均質(zhì)圓輪的質(zhì)量為如圖，均質(zhì)圓輪的質(zhì)量為 ，半徑為，半徑為R，在，在 水平面上只滾動(dòng)不滑動(dòng)。桿長水平面上只滾動(dòng)不滑動(dòng)。桿長L質(zhì)量為質(zhì)量為 與輪在圓與輪在

16、圓 心心A鉸接，試求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。鉸接，試求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 1 m 2 m A C R 解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象， 系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度。取 x 和 為廣義坐標(biāo)。 x 系統(tǒng)的動(dòng)能為 x x 2 L 22 2 2 2 2 2 22 1 ) 12 1 ( 2 1 cos 2 2 42 1 )( 2 3 ( 2 1 Lmx LL xm R x RmT 整理后得 22 2 222 2 2 1 24 1 )cos 4 1 ( 2 1 4 3 LmxLLxmxmT 第15頁/共29頁 1.2 拉 格 朗 日 方 程 系統(tǒng)的勢能為 A C R x gm 2 cos 2 2 L gmV 則拉格朗日函數(shù)為

17、 cos 2 1 24 1 )cos 4 1 ( 2 1 4 3 2 22 2 22 2 2 2 1 gLmLm xLL xmxmL 代入拉格朗日方程0 x L x L dt d 得 0)cos( 2 1 2 3 221 dt d Lmxmxm 整理 得 0sincos)23( 2 2221 LmLmxmm（1） 第16頁/共29頁 1.2 拉 格 朗 日 方 程 代入拉格朗日方程 0 LL dt d 得 0sin 2 sin 2 1 12 1 )cos( 2 1 4 1 2 2 2 22 2 2 L gm xLmLmx dt d LmLm 整理后得0sin3cos32gxL （2） （1）、

18、（2）即為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 第17頁/共29頁 1.2 拉 格 朗 日 方 程 k O A R 例6 如圖輪為均質(zhì)圓盤，質(zhì)量為如圖輪為均質(zhì)圓盤，質(zhì)量為 ， 半徑為半徑為R，輪心，輪心O及重物及重物A只能沿鉛直方只能沿鉛直方 向運(yùn)動(dòng)，重物向運(yùn)動(dòng)，重物A的質(zhì)量為的質(zhì)量為 ，彈簧剛性系，彈簧剛性系 數(shù)為數(shù)為 ，原長為，原長為 。試求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微。試求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微 分方程分方程。 1 m 2 m k 0 L 解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)具兩個(gè) 自由度。取 x 和 為廣義坐標(biāo)。 x 系統(tǒng)的動(dòng)能為 2 2 22 1 2 1 )( 2 1 ) 2 1 ( 2 1 2 1 RxmRmxmT 系統(tǒng)的廣義力為

19、)()( )()( 021 021 )( Lxkgmm x xLxkxgmm x W Q x x 第18頁/共29頁 1.2 拉 格 朗 日 方 程 gRm gRmW Q 2 2 )( 代入拉格朗日方程 x Q x T x T dt d 得 )()()( 02121 LxkgmmRx dt d mxm 整理得 )()()( 021221 LxkgmmRmxmm （1） 代入拉格朗日方程 Q TT dt d 得 gRmxRmRmm 22 2 21 22)2( （2） （1）、（2）即為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 第19頁/共29頁 1.2 拉 格 朗 日 方 程 R A k B 例7 如圖，物體如圖，

20、物體A的質(zhì)量為的質(zhì)量為 ，B輪質(zhì)量為輪質(zhì)量為 ， 半徑為半徑為R，在水平面上只滾動(dòng)不滑動(dòng)，物體，在水平面上只滾動(dòng)不滑動(dòng)，物體A與水平與水平 面無摩擦，彈簧剛性系數(shù)為面無摩擦，彈簧剛性系數(shù)為 ，試求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微，試求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微 分方程。分方程。 1 m 2 m k 解：以系統(tǒng)為研究對(duì) 象，系統(tǒng)具兩個(gè)自由度。 選取 、 為廣義坐標(biāo)。 1 x 2 x 1 x 2 x 系統(tǒng)的動(dòng)能為 2 22 2 11 2 2 2 2 2 22 2 11 4 3 2 1 )( 2 1 ( 2 1 2 1 2 1 xmxm R x RmxmxmT 系統(tǒng)的廣義力為 )( )( 012 1 1012 1 )1( 1 lxx

21、k x xlxxk x W Qx )( )( 012 2 2012 2 )2( 2 lxxk x xlxxk x W Qx 第20頁/共29頁 1.2 拉 格 朗 日 方 程 代入拉格朗日方 程 1 11 )( x Q x T x T dt d 得 0)( 01211 lxxkx m （1） 代入拉格朗日方 程 2 22 )( x Q x T x T dt d 得 0)(23 01222 lxxkx m （2） （1）、（2）即為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 第21頁/共29頁 1.2 拉 格 朗 日 方 程 例8 實(shí)心均質(zhì)圓柱實(shí)心均質(zhì)圓柱A和質(zhì)量分布與邊緣的空心和質(zhì)量分布與邊緣的空心 圓柱圓柱B，質(zhì)

22、量分別為，質(zhì)量分別為 、 ，半徑均為，半徑均為R，兩者用通，兩者用通 過定滑輪的繩索相連，如圖。設(shè)圓柱過定滑輪的繩索相連，如圖。設(shè)圓柱A沿水平面作沿水平面作 純滾動(dòng)，滾動(dòng)摩擦不計(jì)，圓柱純滾動(dòng)，滾動(dòng)摩擦不計(jì)，圓柱B鉛直下降。試求兩鉛直下降。試求兩 圓柱的角加速度和質(zhì)心的加速度。圓柱的角加速度和質(zhì)心的加速度。 A m B m A B 解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象， 系統(tǒng)具兩個(gè)自由度。選取 、 為廣義坐標(biāo)。B y A x A x B y 系統(tǒng)的動(dòng)能為 BABBBABA AB B BB A AAA yxmymxmm R xy Rm ym R x RmxmT 2222 2222 )23( 4 1 )( 2 1

23、2 1 )( 2 1 ( 2 1 2 1 gmA gmB 系統(tǒng)所受主動(dòng)力只有重力，且皆為有勢力。取 過圓柱的水平面為零勢面，則系統(tǒng)的勢能為 第22頁/共29頁 1.2 拉 格 朗 日 方 程 BBgy mV 故拉格朗日函數(shù)為 BBBABBBABA gymyxmymxmmVTL 22 )23( 4 1 求諸導(dǎo)數(shù) 0 A x L BBABA A ymxmm x L )23( 2 1 BBABA A ymxmm x L dt d )23( 2 1 )( gm y L B B ABBB B xmym y L 2 ABBB B xmym y L dt d 2)( 代入拉格朗日方 程 0)( AA x L

24、 x L dt d 得 0)23( 2 1 BBABA ymxmm （1） 第23頁/共29頁 1.2 拉 格 朗 日 方 程 代入拉格朗日方 程 0)( BB y L y L dt d 得 02gmxmym BABBB （2） 聯(lián)立求解方程（1）、（2）得 g mm m xa BA B AA 3 g mm mm ya BA BA BB )3(2 23 于是角加速度為 g Rmm m R a BA BA A )3( g Rmm mm R aa BA BAAB B )3(2 23 第24頁/共29頁 1.2 拉 格 朗 日 方 程 例9 質(zhì)量為質(zhì)量為 的金屬板放置在光滑水平面上，的金屬板放置在光

25、滑水平面上， 板上有半徑為板上有半徑為 r 、 質(zhì)量為質(zhì)量為 的均質(zhì)圓柱，圓柱在板的均質(zhì)圓柱，圓柱在板 上作純滾動(dòng)而不滑動(dòng)，今有一水平常力上作純滾動(dòng)而不滑動(dòng)，今有一水平常力 拉動(dòng)金屬拉動(dòng)金屬 板，試求圓柱純滾的角加速度和金屬板的加速度。板，試求圓柱純滾的角加速度和金屬板的加速度。 1 m 2 m F F C A 解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象， 系統(tǒng)具兩個(gè)自由度。選取 、 為廣義坐標(biāo)。 A x A x x gm 1 gm 2 系統(tǒng)的動(dòng)能為 22 22 2 21 22 2 2 2 2 1 4 3 )( 2 1 ) 2 1 ( 2 1 )( 2 1 2 1 rmxrmxmm rmrxmxmT AA AA 系統(tǒng)的廣義力為 F x xF x W Q A A A A xA )( 0 )( W Q 第25頁/共29頁 1.2 拉 格 朗 日 方 程 求諸導(dǎo)數(shù)0 A x T rmxmm x T A A 221 )( rmxmm x T dt d A A 221