3.3.1幾何概型(優(yōu)質(zhì)課)

1、（1 1）所有可能出現(xiàn)的基本事件只有）所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)有限個(gè)( (有限性有限性) ) （2 2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等（可能性相等（等可能性等可能性） 我們將具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，我們將具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型， 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱古典概型古典概型. . 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 1.1.古典概型古典概型 2.2.古典概型的概率公式古典概型的概率公式 P(A)=P(A)= A包含的基本事件的個(gè)數(shù)包含的基本事件的個(gè)數(shù) 基本事件的總數(shù)基本事件的總數(shù) 復(fù)習(xí)題：在復(fù)習(xí)題：在0至至10中，任意取出一整數(shù)，中，任意取出一整數(shù)， 則該整數(shù)小于則該整數(shù)小于5

2、的概率的概率. 問(wèn)題問(wèn)題2 2（轉(zhuǎn)盤(pán)游戲）：（轉(zhuǎn)盤(pán)游戲）：圖中有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)圖中有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán). .甲乙兩甲乙兩 人玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲人玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲, ,規(guī)定當(dāng)指針指向規(guī)定當(dāng)指針指向B B區(qū)域時(shí)區(qū)域時(shí), ,甲獲勝甲獲勝, , 否則乙獲勝否則乙獲勝. .在兩種情況下分別求甲獲勝的概率在兩種情況下分別求甲獲勝的概率 是多少是多少? ? 問(wèn)題問(wèn)題1：在：在0至至10中，任意取出一實(shí)數(shù)，中，任意取出一實(shí)數(shù)， 則該數(shù)小于則該數(shù)小于5的概率的概率. 定義：定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu) 成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積面積或體積)成比例，成比例， 則稱這樣的概率模型為則稱這樣

3、的概率模型為幾何概率模型幾何概率模型(geometric models of probability)，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱幾何概型幾何概型。 特征：特征： （1）、）、無(wú)限性無(wú)限性：基本事件的個(gè)數(shù)無(wú)限：基本事件的個(gè)數(shù)無(wú)限 （2）、）、等可能性等可能性：基本事件出現(xiàn)的可能性相同：基本事件出現(xiàn)的可能性相同 P(A)= 構(gòu)成事件構(gòu)成事件A的測(cè)度的測(cè)度 (區(qū)域長(zhǎng)度、面積或體積區(qū)域長(zhǎng)度、面積或體積) 試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的測(cè)度試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的測(cè)度 (區(qū)域長(zhǎng)度、面積或體積區(qū)域長(zhǎng)度、面積或體積) 記為：記為： 幾何概型的概率公式幾何概型的概率公式： mA PA m A p A 包含的基本事件的個(gè)數(shù) 基本事件的

4、總數(shù) m A p A m 判斷以下各題的是何種概率模型，并求相應(yīng)概率判斷以下各題的是何種概率模型，并求相應(yīng)概率 （1 1）在集合）在集合 A= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 A= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取一個(gè)中任取一個(gè) 元素元素 , ,則則 的概率為的概率為 （2 2）已知點(diǎn)）已知點(diǎn)O O（0 0，0 0），點(diǎn)），點(diǎn)M M（6060，0 0），在線段），在線段OMOM上任取一上任取一 點(diǎn)點(diǎn)P P ，則，則 的概率為的概率為 3aa 10PM （1）為古典概率模型）為古典概率模型, P（ ）=7/10 （2）為幾何概率模型）為幾何概率模型, P（ ） =1/6 是

5、與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型問(wèn)題是與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型問(wèn)題 3a 10PM 口答：口答： 1. 1.長(zhǎng)度問(wèn)題：長(zhǎng)度問(wèn)題：取一根長(zhǎng)度為取一根長(zhǎng)度為3m3m的繩子，的繩子， 拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段 的長(zhǎng)度都不小于的長(zhǎng)度都不小于1m1m的概率有多大？的概率有多大？ 基礎(chǔ)訓(xùn)練：基礎(chǔ)訓(xùn)練： 解：解：由題意可得由題意可得 故由幾何概型的知識(shí)可知，事件故由幾何概型的知識(shí)可知，事件A A發(fā)生的概率為：發(fā)生的概率為： 1 () 3 mA pA m 設(shè)設(shè) “ “剪得兩段繩長(zhǎng)都不小于剪得兩段繩長(zhǎng)都不小于1m1m”為事件為事件A A。 則把線段三等分，當(dāng)剪斷中間一段時(shí)，事件則把線

6、段三等分，當(dāng)剪斷中間一段時(shí)，事件A A發(fā)生發(fā)生 3m 1m1m 2. 2.面積問(wèn)題：面積問(wèn)題：如右下圖所示的單位圓如右下圖所示的單位圓, ,假假 設(shè)你在每個(gè)圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆設(shè)你在每個(gè)圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆, ,分分 別計(jì)算它落到陰影部分的概率別計(jì)算它落到陰影部分的概率. . 解：解：由題意可得由題意可得 從而：基本事件的全體從而：基本事件的全體 對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域?yàn)閷?duì)應(yīng)的幾何區(qū)域?yàn)槊娣e為的單位圓面積為的單位圓 事件事件A A對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域?yàn)閷?duì)應(yīng)的幾何區(qū)域?yàn)榈谝粋€(gè)圖形的陰影部分面積第一個(gè)圖形的陰影部分面積 事件事件B B對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域?yàn)閷?duì)應(yīng)的幾何區(qū)域?yàn)榈诙€(gè)圖形的陰影部分面積第二個(gè)圖形的陰影部分面

7、積 故幾何概型的知識(shí)可知，事件故幾何概型的知識(shí)可知，事件A A、B B發(fā)生的概率分別為：發(fā)生的概率分別為： 設(shè)設(shè) “ “豆子落在第一個(gè)圖形的陰影部分豆子落在第一個(gè)圖形的陰影部分”為事件為事件A A， “ “豆子落在第二個(gè)圖形的陰影部分豆子落在第二個(gè)圖形的陰影部分”為事件為事件B B。 1 ( ) 2 m A p A m 3 () 8 mB p B m 思考思考: : 在單位圓內(nèi)有一點(diǎn)在單位圓內(nèi)有一點(diǎn)A A，現(xiàn)在隨，現(xiàn)在隨 機(jī)向圓內(nèi)扔一顆小豆子。機(jī)向圓內(nèi)扔一顆小豆子。 （1 1）求小豆子落點(diǎn)正好為點(diǎn)）求小豆子落點(diǎn)正好為點(diǎn)A A的概率。的概率。 （2 2）求小豆子落點(diǎn)不為點(diǎn)）求小豆子落點(diǎn)不為點(diǎn)A

8、A的概率。的概率。 結(jié)論：結(jié)論：若若A A是不可能事件，則是不可能事件，則P(A)=0P(A)=0； 反之不成立反之不成立 即：概率為即：概率為0 0的事件不一定是不可能事件。的事件不一定是不可能事件。 若若A A是必然事件，則是必然事件，則P(A)=1P(A)=1； 反之不成立反之不成立 即：概率為即：概率為1 1的事件不一定是必然事件。的事件不一定是必然事件。 A 鏈接鏈接 3. 3.體積問(wèn)題：體積問(wèn)題：有一杯有一杯1 1升的水升的水, ,其中含有其中含有1 1 個(gè)細(xì)菌個(gè)細(xì)菌, ,用一個(gè)小杯從這杯水中取出用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.10.1 升升, ,求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率求小杯水中

9、含有這個(gè)細(xì)菌的概率. . 解：解：由題意可得由題意可得 則：基本事件的全體則：基本事件的全體 對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域?yàn)閷?duì)應(yīng)的幾何區(qū)域?yàn)轶w積為體積為1 1升的水升的水 事件事件A A對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域?yàn)閷?duì)應(yīng)的幾何區(qū)域?yàn)轶w積為體積為0.1升的水升的水 故由幾何概型的知識(shí)可知，事件故由幾何概型的知識(shí)可知，事件A A發(fā)生的概率為：發(fā)生的概率為： 設(shè)設(shè) “ “取出的取出的0.10.1升水中含有細(xì)菌升水中含有細(xì)菌”為事件為事件A A。 1 () 10 mA pA m 1.1.某人午覺(jué)醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開(kāi)收音某人午覺(jué)醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開(kāi)收音 機(jī)，想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于機(jī)，想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間

10、不多于 1010分鐘的概率。分鐘的概率。( (電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí)電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí)) ) 解：設(shè)解：設(shè)A=A=等待的時(shí)間不多于等待的時(shí)間不多于1010分鐘分鐘 ， 事件事件A A恰好是打開(kāi)收音機(jī)的時(shí)刻位于恰好是打開(kāi)收音機(jī)的時(shí)刻位于5050，6060 內(nèi)內(nèi) 因此由幾何概型的求概率公式得：因此由幾何概型的求概率公式得： P P（A A）= =（60-5060-50）/60=1/6/60=1/6 “ “等待報(bào)時(shí)的時(shí)間不超過(guò)等待報(bào)時(shí)的時(shí)間不超過(guò)1010分鐘分鐘”的概率為的概率為1/61/6 提升訓(xùn)練：提升訓(xùn)練： . 3 1 P 析：析：如圖所示如圖所示, ,這是長(zhǎng)度型幾何概型問(wèn)題這是長(zhǎng)度型幾何概型問(wèn)題, ,當(dāng)硬幣

11、中心當(dāng)硬幣中心 落在陰影區(qū)域時(shí)，硬幣不與任何一條平行線相碰落在陰影區(qū)域時(shí)，硬幣不與任何一條平行線相碰, , 故由幾何概型的知識(shí)可知所求概率為：故由幾何概型的知識(shí)可知所求概率為： 2.2.平面上有一組平行線平面上有一組平行線, ,且相鄰平行線間的且相鄰平行線間的 距離為距離為3 cm,3 cm,把一枚半徑為把一枚半徑為1 cm1 cm的硬幣任意的硬幣任意 平拋在這個(gè)平面上平拋在這個(gè)平面上, ,求硬幣不與任何一條平求硬幣不與任何一條平 行線碰的概率。行線碰的概率。 課堂小結(jié)課堂小結(jié) 1.1.幾何概型的特征：無(wú)限性、等可能性、可區(qū)域化幾何概型的特征：無(wú)限性、等可能性、可區(qū)域化 2.2.幾何概型主要用

12、于解決與測(cè)度有關(guān)的題目幾何概型主要用于解決與測(cè)度有關(guān)的題目 3.3.注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別。注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別。 4.4.如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問(wèn)題，利用幾如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問(wèn)題，利用幾 何概型公式求解何概型公式求解。 m A P A m 1.1.在區(qū)間在區(qū)間1,31,3上任取一數(shù)上任取一數(shù), ,則這個(gè)數(shù)大于則這個(gè)數(shù)大于1.51.5的概率為的概率為 ( )( ) A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75 A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75 D 當(dāng)堂檢測(cè)：當(dāng)堂檢測(cè)： A. B. C. D.A. B. C. D.無(wú)法計(jì)算無(wú)法計(jì)算

13、 3 4 3 8 3 2 B , 3 2 2.2.如圖所示如圖所示, ,邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為2 2的正方形中有一封閉曲線圍成的正方形中有一封閉曲線圍成 的陰影區(qū)域的陰影區(qū)域, ,在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子, ,它落在陰它落在陰 影區(qū)域內(nèi)的概率為影區(qū)域內(nèi)的概率為 則陰影區(qū)域的面積為則陰影區(qū)域的面積為 ( )( ) 3.3.在在RtRtABCABC中中,A=30,A=30, ,過(guò)直角頂點(diǎn)過(guò)直角頂點(diǎn)C C作射線作射線CMCM交交 線段線段ABAB于于M,M,求求|AM|AC|AM|AC|的概率的概率. . 1/6 析析:如圖所示如圖所示, , 因?yàn)檫^(guò)一點(diǎn)作射線是均勻的因?yàn)檫^(guò)一點(diǎn)作射線是

14、均勻的 , ,因而應(yīng)把在因而應(yīng)把在ACBACB內(nèi)作射內(nèi)作射 線線CMCM看做是等可能的看做是等可能的, ,基本基本 事件是射線事件是射線CMCM落在落在ACBACB內(nèi)內(nèi) 任一處任一處, ,使使|AM|AC|AM|AC|的概的概 率只與率只與BCCBCC的大小有關(guān)的大小有關(guān) , ,這符合幾何概型的條件這符合幾何概型的條件. . 1/6 檢測(cè)檢測(cè)3 3： 題組一：與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型題組一：與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型 1、當(dāng)你到一個(gè)紅綠燈路口時(shí)，紅燈的時(shí)間、當(dāng)你到一個(gè)紅綠燈路口時(shí)，紅燈的時(shí)間 為為30秒，黃燈的時(shí)間為秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為秒，綠燈的時(shí)間為 45秒，你看到黃燈的概率是多少秒，你

15、看到黃燈的概率是多少_. 2、在單位圓、在單位圓 O的一條直徑的一條直徑MN上隨機(jī)地取上隨機(jī)地取 一點(diǎn)一點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作弦與作弦與MN垂直且弦的長(zhǎng)度超垂直且弦的長(zhǎng)度超 過(guò)過(guò)1的概率是的概率是_. 2 3 16 1 題組二：與角度有關(guān)的幾何概型題組二：與角度有關(guān)的幾何概型 變變1:在等腰直角在等腰直角ABC中中,在斜邊在斜邊AB上任取上任取 一點(diǎn)一點(diǎn)M,求使求使ACM為鈍角三角形的概率為鈍角三角形的概率. 變變2:在等腰直角在等腰直角ABC中中,在斜邊在斜邊AB上任取上任取 一點(diǎn)一點(diǎn)M,求求AM小于小于AC的概率的概率. 在等腰直角在等腰直角ABC中中,過(guò)直角頂點(diǎn)過(guò)直角頂點(diǎn)C任作一條任作一條

16、 射線射線L與斜邊與斜邊AB交于點(diǎn)交于點(diǎn)M,求求AM小于小于AC的概的概 率率. 4 3 2 1 2 2 題組三：與體積有關(guān)的幾何概型題組三：與體積有關(guān)的幾何概型 1、已知棱長(zhǎng)為、已知棱長(zhǎng)為2的正方體，內(nèi)切球的正方體，內(nèi)切球O，若在，若在 正方體內(nèi)任取一點(diǎn)，則這一點(diǎn)不在球內(nèi)的概正方體內(nèi)任取一點(diǎn)，則這一點(diǎn)不在球內(nèi)的概 率為率為_(kāi). 2、用橡皮泥做成一個(gè)直徑為、用橡皮泥做成一個(gè)直徑為6cm的小球，的小球， 假設(shè)橡皮泥中混入了一個(gè)很小的沙礫，試求假設(shè)橡皮泥中混入了一個(gè)很小的沙礫，試求 這個(gè)沙礫距離球心不小于這個(gè)沙礫距離球心不小于1cm的概率的概率. 6 1 27 26 例例2:2: 假設(shè)你家訂了一份

17、報(bào)紙假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙, ,送報(bào)人可能在早上送報(bào)人可能在早上 6:307:306:307:30之間把報(bào)紙送到你家之間把報(bào)紙送到你家, ,你父親離開(kāi)家去工作你父親離開(kāi)家去工作 的時(shí)間在早上的時(shí)間在早上7:008:007:008:00之間之間, ,問(wèn)你父親在離開(kāi)家前能問(wèn)你父親在離開(kāi)家前能 得到報(bào)紙得到報(bào)紙( (稱為事件稱為事件A)A)的概率是多少的概率是多少? ? 問(wèn)題問(wèn)題1：如果用如果用X表示報(bào)紙送到時(shí)間表示報(bào)紙送到時(shí)間,用用Y表示父親離表示父親離 家時(shí)間家時(shí)間,請(qǐng)問(wèn)請(qǐng)問(wèn)X與與Y的取值范圍分別是什么？的取值范圍分別是什么？ 6.57.5x78y 問(wèn)題問(wèn)題2：父親要想在離開(kāi)家之前拿到報(bào)紙，請(qǐng)問(wèn)父

18、親要想在離開(kāi)家之前拿到報(bào)紙，請(qǐng)問(wèn)x與與y 除了要滿足上述范圍之外，還要滿足什么關(guān)系？除了要滿足上述范圍之外，還要滿足什么關(guān)系？ xy 例例2:2: 假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙, ,送報(bào)人可能在早上送報(bào)人可能在早上 6:307:306:307:30之間把報(bào)紙送到你家之間把報(bào)紙送到你家, ,你父親離開(kāi)家去工作你父親離開(kāi)家去工作 的時(shí)間在早上的時(shí)間在早上7:008:007:008:00之間之間, ,問(wèn)你父親在離開(kāi)家前能問(wèn)你父親在離開(kāi)家前能 得到報(bào)紙得到報(bào)紙( (稱為事件稱為事件A)A)的概率是多少的概率是多少? ? 問(wèn)題問(wèn)題3：這是一個(gè)幾何概型嗎？那么事件這是一個(gè)幾何概型嗎？那么事件A的概率與的概率與 什么有關(guān)系？長(zhǎng)度、面積、還是體積？什么有關(guān)系？長(zhǎng)度、面積、還是體積？ 問(wèn)題問(wèn)題4：怎么求總區(qū)域面積？怎么求事件怎么求總區(qū)域面積？怎么求事件A包含的區(qū)包含的區(qū) 域面積？域面積？ 我們畫(huà)一個(gè)與x、y有關(guān)系的圖像 例例2:2: 假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙, ,送報(bào)人可能在早上送報(bào)人可能在早上 6:307:306:307:30之間把報(bào)紙送到你家之間把報(bào)紙送到你家, ,你父親離開(kāi)家去工作你父親離開(kāi)家去工作 的時(shí)間