高一數學用二分法求方程的近似解蘇教版

1、課題：用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 長龍中學 胡小琴 中學電視臺中學電視臺 “幸運幸運52”錄制現(xiàn)場錄制現(xiàn)場 有獎競猜有獎競猜 問題情境：問題情境： 請同學們猜一猜某物品的價格請同學們猜一猜某物品的價格 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 教學目標教學目標： （1）知識目標：掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借）知識目標：掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借 助計算機或計算器求方程的近似解；理解二分法求方程助計算機或計算器求方程的近似解；理解二分法求方程 近似解的算法原理，進一步理解函數與方程的關系；近似解的算法原理，進一步理解函數與方程的關系； （2）能力目標：

2、培養(yǎng)學生利用現(xiàn)代信息技術和計算工具的能）能力目標：培養(yǎng)學生利用現(xiàn)代信息技術和計算工具的能 力；培養(yǎng)學生探究問題的能力與合作交流的精神，以及力；培養(yǎng)學生探究問題的能力與合作交流的精神，以及 辯證思維的能力；辯證思維的能力； （3）情感目標：鼓勵學生大膽探索，激發(fā)學生學習數學的興）情感目標：鼓勵學生大膽探索，激發(fā)學生學習數學的興 趣，培養(yǎng)學生探尋和欣賞數學美，形成正確的數學觀。趣，培養(yǎng)學生探尋和欣賞數學美，形成正確的數學觀。 教學重點教學重點：用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 教學難點教學難點：二分法求方程近似解的算法二分法求方程近似解的算法 四大數學思想：等價轉化,函數與方程,數形結

3、合,分類討論 問題問題1.能否求解以下幾個方程能否求解以下幾個方程 (1) 2x=4-x (2) x2-2x-1=0 (3) x3+3x-1=0 問題問題2. 不解方程不解方程,能否求出方程（能否求出方程（2）的近似解？）的近似解？ 指出：用配方法可求得方 程x2-2x-1=0的解，但此法不 能運用于解另外兩個方程。 學生活動 與討論 學生活動 與討論 四大數學思想：等價轉化,函數與方程,數形結合,分類討論 學生活動：學生活動： 可得：方程x2-2x-1=0 一個根x1在區(qū)間(2,3)內， 另一個根x2在區(qū)間(-1,0)內 問題問題3不解方程，如何求方程不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的

4、的 一個正的近似解（精確到一個正的近似解（精確到0.1）? x y 1 2 03 y=x2-2x-1 -1 由此可知：借助函數f(x)= x2-2x-1的圖象， 我們發(fā)現(xiàn)f(2)=-10，這表明此函數 圖象在區(qū)間(2,3)上穿過x軸一次，可得出方 程在區(qū)間(2,3)上有惟一解. 畫出y=x2-2x-1的圖象，如圖 四大數學思想：等價轉化,函數與方程,數形結合,分類討論 思考：如何進一步思考：如何進一步 有效縮小根所在的區(qū)間？有效縮小根所在的區(qū)間？ 學生活動學生活動 討論討論 由于2.375與2.4375的近似值都為 2.4,停止操作,所求近似解為2.4。 數離形時少直觀，形離數時難入微！數離形

5、時少直觀，形離數時難入微！ 四大數學思想：等價轉化,函數與方程,數形結合,分類討論 2 - 3 + x y 1 2 03 y=x2-2x-1 -1 2 - 3 + 2.5 + 2.25 - 2.375 - 2 - 3 + 2.25 - 2.5 + 2.375 - 2.4375 + 2 - 2.5 + 3 + 232.5 2 - 3 + 2.5 + 2.25 - 22.5 2.25 由于由于2.375與與2.4375的近似值都為的近似值都為 2.4,停止操作停止操作,所求近似解為所求近似解為2.4。 1簡述上述求方程近似解的過程 構建數學： x1(2,3) f(2)0 x1(2,2.5) f(2

6、)0 x1(2.25,2.5) f(2.25)0 x1(2.375,2.5) f(2.375)0 x1(2.375,2.4375) f(2.375)0 f(2.5)=0.250 f(2.25)= -0.43750 f(2.375)= -0.23510 通過自己的語言表達，有助于對概念、方法的理解! 2.375與2.4375的近似值都是2.4, x12.4 四大數學思想：等價轉化,函數與方程,數形結合,分類討論 解：設f (x)=x2-2x-1，設x1為其正的零點 問題問題4能否描述二分法？能否描述二分法？ 對于在區(qū)間對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷，且上連續(xù)不斷，且f (a)f (b)0 的函數的函

7、數y=f (x)，通過不斷地把函數，通過不斷地把函數f(x)的零點所的零點所 在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩端點逐步逼近在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩端點逐步逼近 零點，進而得到零點零點，進而得到零點( (或對應方程的根或對應方程的根) )近似解近似解 的方法叫做二分法。的方法叫做二分法。 四大數學思想：等價轉化,函數與方程,數形結合,分類討論 數學建構 問題問題5：二分法實質是什么？：二分法實質是什么？ 用二分法求方程的近似解，實質上就是通用二分法求方程的近似解，實質上就是通 過過“取中點取中點”的方法，運用的方法，運用“逼近思想逐步縮逼近思想逐步縮 小零點所在的區(qū)間。小零點所在的區(qū)間。 例題：

8、利用計算器，求方程例題：利用計算器，求方程2x=4-x的近似解的近似解 （精確到（精確到0.1） 12 x y 4 04 y=2x y=4-x 1 怎樣找到它的解所在的區(qū)間呢？ 在同一坐標系內畫函數在同一坐標系內畫函數y=2x 與 與y=4-x的圖象，如圖：的圖象，如圖： 提問：能否不畫圖確定根所在的區(qū)間？提問：能否不畫圖確定根所在的區(qū)間？ 得得:方程有一個解方程有一個解x0 (0,4) 四大數學思想：等價轉化,函數與方程,數形結合,分類討論 如果畫得很準確，可得如果畫得很準確，可得x0 (1,2) 數學運用 解：設函數f (x)=2x+x-4 則f (x)在R上是增函數f (0)= -30

9、f (x)在(0,2)內有惟一零點， 方程2x+x-4 =0在(0,2)內有惟一解x0。 由f (1)= -10得：x0(1,2) 由f (1.5)= 0.330, f (1)=-10得：x0(1,1.5) 由f (1.25)= -0.370得：x0(1.25,1.5) 由f (1.375)= -0.0310得：x0(1.375,1.5) 由f (1.4375)= 0.1460, f (1.375)0得：x0(1.375,1.4375) 1.375與1.4375的近似值都是1.4, x01.4 四大數學思想：等價轉化,函數與方程,數形結合,分類討論 四大數學思想：等價轉化,函數與方程,數形結合

10、,分類討論 歸納總結總結 問題問題6：能否給出二分法求解方程：能否給出二分法求解方程f(x)=0(或或 g(x)=h(x)近似解的基本步驟？近似解的基本步驟？ 四大數學思想：等價轉化,函數與方程,數形結合,分類討論 1利用（利用（1）圖象法；（）圖象法；（2）函數狀態(tài)法，尋找確）函數狀態(tài)法，尋找確 定近似解所在的區(qū)間定近似解所在的區(qū)間 ； ba ,，驗證，驗證 0)()( bfaf ； 2不斷二分解所在的區(qū)間，即取區(qū)間不斷二分解所在的區(qū)間，即取區(qū)間),(ba 的中點的中點 2 1 ba x 3計算計算 ：)( 1 xf 若若 101 , 0)(xxxf 則則 若若),(0)()( 1011 x

11、axxbxfaf （此此時時，則則令令 若若),(0)()( 1011 bxxxaxfbf （此此時時，則則令令 ； 4、判斷是否達到給定的精確度，若達到，則得出近、判斷是否達到給定的精確度，若達到，則得出近 似解；若未達到，則重復步驟似解；若未達到，則重復步驟24。 練習練習1： 求方程求方程x3+3x-1=0的一個近似解的一個近似解(精確到精確到 0.01) 畫y=x3+3x-1的圖象比較困難， 變形為x3=1-3x，畫兩個函數的圖象如何？ 四大數學思想：等價轉化,函數與方程,數形結合,分類討論 知識拓展知識拓展 介紹如何利用介紹如何利用excel來來 幫助研究方程的近似解？幫助研究方程的

12、近似解？ x y 10 y=1-3x y=x3 1 有惟一解有惟一解x0(0,1) excel 四大數學思想：等價轉化,函數與方程,數形結合,分類討論 練習練習2: 下列函數的圖象與下列函數的圖象與x軸均有交點軸均有交點,其中不能其中不能 用二分法求其零點的是用二分法求其零點的是 （ ） C x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 問題問題7:根據練習根據練習2，請思考利用二分法求函數，請思考利用二分法求函數 零點的條件是什么？零點的條件是什么？ 1 1、函數函數y=f (x)在在a,b上上連續(xù)不斷。連續(xù)不斷。 2、 y=f (x)滿足滿足 f (a)f (b)0，則在，則在(a,b)

13、內必有零點內必有零點 思考題思考題 從上海到美國舊金山的海底電纜有從上海到美國舊金山的海底電纜有15 個接點，現(xiàn)在某接點發(fā)生故障，需及時修個接點，現(xiàn)在某接點發(fā)生故障，需及時修 理，為了盡快斷定故障發(fā)生點，一般至少理，為了盡快斷定故障發(fā)生點，一般至少 需要檢查幾個接點？需要檢查幾個接點？ 四大數學思想：等價轉化,函數與方程,數形結合,分類討論 1 2 34 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15 課堂小結課堂小結 1.明確二分法是一種求一元方程近似解的常用方明確二分法是一種求一元方程近似解的常用方 法。法。 2.二分法求方程的近似解的步驟，以及計算機二分法求方程的近似解的步驟，以及計算機 （器）的使用，讓我們感受到程序化的方法即（器）的使用，