工學(xué)理論力學(xué)平面匯交力系與平面力偶系PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 工學(xué)理論力學(xué)平面匯交力系與平面力偶工學(xué)理論力學(xué)平面匯交力系與平面力偶 系系 力系分為：平面力系(planar force system) 空間力系(space force system) 匯交力系(planar concurrent force system) 平面力系 平行力系(平面力偶系是其中的特殊情況 ) (planar parallel force system) 一般力系(平面任意力系) (planar general force system) 匯交力系 空間力系 平行力系(空間力偶系是其中的特殊情況 ) 一般力系(空間任意力系) 第1頁(yè)/共75頁(yè) （1） 匯交力系： 平

2、面匯交力系 空間匯交力系 第2頁(yè)/共75頁(yè) 平面力偶系 空間力偶系 作用在物體上的一群力偶稱為力偶系 （2） 力偶系： 第3頁(yè)/共75頁(yè) （3）平行力系： 作用在物體上的一各力作用線互相平行，稱為平行力系。 平面平行力系 第4頁(yè)/共75頁(yè) （4）任意力系： 人字形閘門模型及其受力圖 第5頁(yè)/共75頁(yè) （4）任意力系： 重力壩及斷面及受力圖 第6頁(yè)/共75頁(yè) 2-1 平面匯交力系合成與平衡的幾何法 2-2 平面匯交力系合成與平衡的解析法 平面匯交力系與平面力偶系是兩種簡(jiǎn)單力系， 是研究復(fù)雜力系的基礎(chǔ)，本章開始將分別研究?jī)煞N 力系的合成與平衡問(wèn)題。 第7頁(yè)/共75頁(yè) A 1 F R F 2 F 三

3、角形abc稱為力三角形;上述作圖方法稱為力的三角形法則. a b 1 F c 2 F R F 2.1 平面匯交力系合成與平衡的幾何法 2.1.1 平面匯交力系合成的幾何法、力多邊形法則 第8頁(yè)/共75頁(yè) 2.1.1 平面匯交力系合成的幾何法、力多邊形法則 F3 F2 F1 F4 A F1 F2 F3 F4 FR a b c d e a b c d e F1 F2 F4 F3 FR 各力矢與合力矢構(gòu)成的多邊形稱為力多邊形。 用力多邊形求合力的作圖規(guī)則稱為力的多邊形法則。 力多邊形中表示合力矢量的邊稱為力多邊形的封閉邊。 第9頁(yè)/共75頁(yè) 結(jié)論：平面匯交力系可簡(jiǎn)化為一合力，其合力的大小與方向等于各

4、分力的矢量和(幾何和)，合力的作用線通過(guò)匯交點(diǎn)。 用矢量式表示為： R12n FFFFF 如果一力與某一力系等效，則此力稱為該力系的合力。 若力系的各力作用線相同，則該力系為共線力系。其 力的多邊形實(shí)際為一直線段，合力的作用線于力系中 各力的作用線相同，可將各力作為代數(shù)量 第10頁(yè)/共75頁(yè) 在平衡的情形下，力多邊形中最后一力的終點(diǎn)與第一力的起點(diǎn)重合，此時(shí)的力多邊形稱為封閉的力多邊形。于是，平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的力多邊形自行封閉，這是平衡的幾何條件。 0i F 平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力等于零。用矢量式表示為： 第11頁(yè)/共75頁(yè) 已知壓路機(jī)碾子重F

5、P=20kN, R=60cm, 欲拉過(guò)h=8cm的障礙物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子對(duì)障礙物的壓力。 選碾子為研究對(duì)象 取分離體畫受力圖 解： 當(dāng)碾子剛離地面時(shí)FNA=0,拉力F最大,這時(shí)拉力F和自重及支反力FNB構(gòu)成一平衡力系。 由平衡的幾何條件，力多邊形封閉，故 例2-1 FP R F h B A FP F FB FA O 第12頁(yè)/共75頁(yè) 由作用力和反作用力的關(guān)系，碾子對(duì)障礙物的壓力等于23.1kN。 此題也可用力多邊形方法用比例尺去量。 F=11.5kN , FNB=23.1kN 所以 577. 0 )( tg 22 hr hrr 又由幾何關(guān)系： tgPF cos P FN

6、B 例2-1 第13頁(yè)/共75頁(yè) 2.2.1 力在坐標(biāo)軸上的投影 F x y X Y b O 即力在某軸上的投影，等于力的大小乘以力與投影 軸正向間夾角的余弦。 FY FX cos cos 第14頁(yè)/共75頁(yè) 2.2.2力在坐標(biāo)軸上的投影和力沿坐標(biāo)軸的分力的關(guān)系 x F y F F jFiFF yx 若X、Y表示力 F在各坐標(biāo)軸上的投影，則明顯有： YFXF yx , 通常，我們將一個(gè)力分解為相互垂直的兩個(gè)力， 2.2 平面匯交力系合成與平衡的解析法 第15頁(yè)/共75頁(yè) 力的投影是代數(shù)量，而分力是矢量；并且在非直角坐標(biāo)系中 不一定成立。 XFx 力的投影無(wú)所謂作用點(diǎn)，而分力必須作用在原力的作用

7、點(diǎn)。 2.2.2力在坐標(biāo)軸上的投影和力沿坐標(biāo)軸的分力的關(guān)系 2.2 平面匯交力系合成與平衡的解析法 第16頁(yè)/共75頁(yè) F Fx Fy x y i j xy xy FF FFFij O 2.2 平面匯交力系合成與平衡的解析法 第17頁(yè)/共75頁(yè) 由圖可看出，各分力在x軸和在y軸投影的和分別為： XXXXR x421 YYYYYRy 4321 YRyXRx 合力投影定理：合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。 即： 2.2.4 合力投影定理 2.2 平面匯交力系合成與平衡的解析法 第18頁(yè)/共75頁(yè) Rxxi FF 平面匯交力系的合力在某軸上的投影，等于力系中各個(gè)分力在同一軸上

8、投影的代數(shù)和。 Ryyi FF 2.2 平面匯交力系合成與平衡的解析法 第19頁(yè)/共75頁(yè) 2.2.5力的解析表達(dá)式 x y A B O F x F y F X Y i j 力在直角坐標(biāo)軸上的投影 ),cos( ),cos( jFFjFY iFFiFX 已知投影力的大小和方向?yàn)?F Y jF F X iF YXF ),cos(,),cos( 22 在直角坐標(biāo)系中 jYiXFFF yx 此式即為力的解析表達(dá)式。 第20頁(yè)/共75頁(yè) 2222 RRR ()() xyxiyi FFFFF R R R cos(, ) x F F Fi R R R cos(, ) y F F Fj 合力的大小： 方向：

9、 作用點(diǎn)： 為該力系的匯交點(diǎn) 第21頁(yè)/共75頁(yè) 22 R ()()0 xiyi FFF 0 xi F 0 yi F 平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：各力在作用面內(nèi)兩個(gè)任選的坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零。上式稱為平面匯交力系的平衡方程。 第22頁(yè)/共75頁(yè) 應(yīng)用平衡方程時(shí)應(yīng)注意： 1.兩個(gè)方程，一般只能求解兩個(gè)未知量 2.所選投影軸不一定正交，但不能平行 3.為求解方便，未知力應(yīng)盡可能與投影軸垂直或 平行 4.共線力系，平衡方程只有一個(gè)，只能求解一個(gè) 未知量 第23頁(yè)/共75頁(yè) 已知： FP=20kN，R=0.6m, h=0.08m,求： 1、欲將碾子拉過(guò)障礙物，水平拉力F 至少多大？ 2、

10、F 沿什么方向拉動(dòng)碾子最省力，此時(shí)力F 多大？ 例2-2 【解】 FP R F h A B O 取碾子為研究對(duì)象，畫其受力圖(b)。 (a) FP F FA FB O (b) 第24頁(yè)/共75頁(yè) 利用上述平衡方程求得： kNFF P 55.11tan 1、碾子拉過(guò)障礙物，應(yīng)有 0 B F ，如圖(c) 0sinFF A :0 Y 0cos AP FF 建立坐標(biāo)系，列投影方程 :0 X 例2-2 【解】 FP F FA O (c) 第25頁(yè)/共75頁(yè) 2、求最小力Fmin 設(shè)此時(shí)力F與水平線夾角為，建立圖（d）所示坐標(biāo)系。 , 0 i X 0)cos(sinFFP )cos( sin P F F

11、 kNFF P 10sin min 顯然，當(dāng)=時(shí)，有 例2-2 【解】 FP F FA O (d) x 第26頁(yè)/共75頁(yè) 0 X 0 Y 045coscos 0 CDASR 045sinsin 0 CDA SRP 已知 P=2kN 求SCD , RA 解: 1. 取AB桿為研究對(duì)象 2. 畫AB的受力圖 3. 列平衡方程 由EB=BC=0.4m， 3 1 2.1 4.0 tg AB EB 解得： kN 24. 4 tg45cos45sin 00 P SCDkN 16. 3 cos 45cos 0 CDA SR 4. 解方程 例2-3 第27頁(yè)/共75頁(yè) 例2-4 【解】 重物A質(zhì)量m=10k

12、g,懸掛在支架鉸接點(diǎn) B 處，A、C 為固定鉸支座，桿件位置如圖示，略去支架桿件重量，求重物處于平衡時(shí)，AB 、BC 桿的內(nèi)力。 （a） A B C 0 45 0 60 y （b） x 0 45 0 30 BC F BA F B T F 取銷釘B為研究對(duì)象，畫其受力圖(b)。 第28頁(yè)/共75頁(yè) 例2-4 【解】 045cos30cos, 0 00 BABC FFX i 045sin30sin, 0 00 BABCTi FFFY 聯(lián)立上述兩方程，解得： =88 ， =71.8 。 BC F BA FNN 取銷釘B為研究對(duì)象，畫其受力圖(b)。 列平衡方程 y x 0 45 0 30 BC F

13、BA F B T F （b） 第29頁(yè)/共75頁(yè) 求圖示平面剛架的支反力。 P F A B A F B F x y 解：以剛架為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。 0cos:0 PA FFX P F AB m4 m8 由幾何關(guān)系， 5 52 cos, 5 5 sin 解得 PFPF BA 2 1 , 2 5 例2-5 0sin:0 BA FFY 第30頁(yè)/共75頁(yè) 用AB桿在輪心鉸接的兩均質(zhì)圓輪A、B，分別放在兩個(gè)相交 的光滑斜面上，如圖所示。不計(jì)AB桿的自重，求：（1）設(shè) 兩輪重量相等，求平衡時(shí)的角；（2）已知A輪重GA，平 衡時(shí)，欲使=00的B輪的重量。 A B 300600 例2-6 第

14、31頁(yè)/共75頁(yè) B A GA GB FAB F/AB NA 300 NB 600 x y 600 300 x/ y/ 300 300 X= 0GAcos600 - FAB cos(+300)= 0 (1) X/ = 0 - GBcos300 + F/AB sin(+300)= 0 (2) 先取A輪為研究對(duì)象，受力分析： 取B輪為研究對(duì)象，受力分析： A B 300600 例2-6 【解】 第32頁(yè)/共75頁(yè) GAcos600 - FAB cos(+300)= 0 (1) - GBcos300 + F/AB sin(+300)= 0 (2) FAB =F/AB (3) 由以上三式可得： 00

15、60)30(tg G G tg A B （1）當(dāng)GB=GA時(shí)， = 300 （2）當(dāng)= 00時(shí)， GB=GA /3 例2-6 第33頁(yè)/共75頁(yè) 圖示吊車架，已知P，求各桿受力大小。 1、研究對(duì)象： 整體 或鉸鏈A AB F AC F P A AB F AC F 60 2、幾何法： P AB F AC F 60 FAC=P/sin600 FAB=Pctg600 例2-7 【解】 第34頁(yè)/共75頁(yè) 3、解析法： P A AB F AC F 60 X=0FAC cos600 FAB = 0 Y=0FAC sin600 P = 0 解得： FAC=P/sin600 FAB= FAC cos600

16、=Pctg600 x y 例2-7 第35頁(yè)/共75頁(yè) A B F O （B） A B F O （A） 結(jié)構(gòu)如圖所示，已知主動(dòng)力F，確定鉸鏈O、B約束力的方向（不計(jì)構(gòu)件自重） 1、研究OA桿 2、研究AB桿 o F A F B F A F B F o F 例2-8 第36頁(yè)/共75頁(yè) 1、一般地，對(duì)于只受三個(gè)力作用的物體，且角度 特殊時(shí)用 幾 何法（解力三角形）比較簡(jiǎn)便。 解題技巧及說(shuō)明： 3、投影軸常選擇與未知力垂直，最好使每個(gè)方程中 只有一個(gè)未知數(shù)。 2、一般對(duì)于受多個(gè)力作用的物體，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。 第37頁(yè)/共75頁(yè) 5、解析法解題時(shí)，力的方向可以任意設(shè)，如果求出 負(fù)值

17、，說(shuō)明力方向與假設(shè)相反。對(duì)于二力構(gòu)件，一般 先設(shè)為拉力，如果求出負(fù)值，說(shuō)明物體受壓力。 4、對(duì)力的方向判定不準(zhǔn)的，一般用解析法。 列平衡方程 取研究對(duì)象 畫受力圖 第38頁(yè)/共75頁(yè) 2.3 平面力對(duì)點(diǎn)之矩的概念及計(jì)算 力對(duì)物體可以產(chǎn)生 移動(dòng)效應(yīng)-取決于力的大小、方向 轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)-取決于力矩的大小、方向 第39頁(yè)/共75頁(yè) MO(F ) Oh r F A B 2.3.1 力對(duì)點(diǎn)之矩（力矩） 力F與點(diǎn)O位于同一平面內(nèi)，點(diǎn)O稱為矩心，點(diǎn)O到力的作用線的垂直距離h稱為力臂。 力對(duì)點(diǎn)之矩是一個(gè)代數(shù)量，它的絕對(duì)值等于力的大小與力臂的乘積，它的正負(fù)可按下法確定：力使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正，反之為負(fù)。 (

18、)2 OOAB MFhA F 力矩的單位常用Nm或kNm。 力使剛體繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量 第40頁(yè)/共75頁(yè) 平面匯交力系的合力對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于所有各分力對(duì)于該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。 R 1 ()() n i OO i MM FF F Fx Fy x y O x y A ()sincos O yx MxFyF xFyF F (1) 合力矩定理 (2) 力矩的解析表達(dá)式 第41頁(yè)/共75頁(yè) 支架如圖所示，已知AB=AC=30cm, CD=15cm,F=100N, 30 求 對(duì)A、B、C三點(diǎn)之矩。 F F A B CD A d C d 解：由定義 mNADFFdFM AA 5 2230sin)

19、( 由合力矩定理 mNADFABF ADFABFFM yxB 48.4830sin30cos )( 例2-9 mNCDFFdFM CC 5 730sin)( 第42頁(yè)/共75頁(yè) O x y F A 1 r 2 r B d 如圖所示，求F對(duì)A點(diǎn)的矩。 解一：應(yīng)用合力矩定理 )cos( )cos(sincos sinsin)cos(cos )()()( 21 22 12 112 rrF FrFr rFrrF FMFMFM yAxAA 解二：由定義 cos 1 r OB cos 1 2 r rAB 12 coscosrrABd )cos()( 21 rrFFdFM A 例2-10 第43頁(yè)/共75頁(yè)

20、 2.4 平面力偶 2.4.1力偶與力偶矩 第44頁(yè)/共75頁(yè) 由兩個(gè)大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系，稱為力偶，記為(F, F)。力偶的兩力之間的垂直距離d稱為力臂，力偶所在的平面稱為力偶作用面。 力偶不能合成為一個(gè)力，也不能用一個(gè)力來(lái)平衡。力和力偶是靜力學(xué)的兩個(gè)基本要素。 2.4.1力偶與力偶矩 第45頁(yè)/共75頁(yè) F F d D A B C 力偶是由兩個(gè)力組成的特殊力系，它的作用只改變物體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)用力偶矩來(lái)度量。平面力偶對(duì)物體的作用效應(yīng)由以下兩個(gè)因素決定： (1) 力偶矩的大?。?(2) 力偶在作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向。 平面力偶可視為代數(shù)量，以M或M(F, F

21、)表示， 2 ABC MFdA 平面力偶矩是一個(gè)代數(shù)量，其絕對(duì)值等于力的大小與力偶臂的乘積，正負(fù)號(hào)表示力偶的轉(zhuǎn)向：一般以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎粗畡t為負(fù)。力偶的單位與力矩相同。 第46頁(yè)/共75頁(yè) FF/ a b c d a b F 2.4.2 平面力偶的性質(zhì) 第47頁(yè)/共75頁(yè) 力偶矩：力與力偶臂的乘積 記作M（F，F(xiàn)/） 簡(jiǎn)記為M 2.4.2 平面力偶的性質(zhì) 第48頁(yè)/共75頁(yè) 2.4.2 平面力偶的性質(zhì) 第49頁(yè)/共75頁(yè) 推論： (1) 任一力偶可以在它的作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，而不改變它對(duì)剛體的作用。因此，力偶對(duì)剛體的作用與力偶在其作用面內(nèi)的位置無(wú)關(guān)。 (2) 只要保持力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向不

22、變，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變力偶對(duì)剛體的作用。 2.4.2 平面力偶的性質(zhì) 第50頁(yè)/共75頁(yè) 力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如圖所示的符號(hào)表示力偶。M為力偶的矩。 第51頁(yè)/共75頁(yè) O F r O r M =Fr 試分析圖中圓輪O的受力，比較二圖的異同。 第52頁(yè)/共75頁(yè) = = 111 dFM 222 dFM 1 F 2 F 1 F 2 F 1 d 2 d 2P F d 1P F 1P F 2P F d R F R F 21 21 PPR PPR FFF FFF dFM P11 dFM P22 212121 )

23、(MMdFdFdFFdFM PPPPR 2.4.3 平面力偶系的合成 作用面共面的力偶系稱為平面力偶系。 推廣得： MMMMM n 21 平面力偶系合成的結(jié)果還是一個(gè)力偶（稱為合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代數(shù)和。 第53頁(yè)/共75頁(yè) 2.4.4 平面力偶系的平衡條件 平面力偶系總可以簡(jiǎn)化為圖示情形。若FR=0，則力偶系平衡，而力偶矩等于零。反之，若已知合力偶矩等于零，則或是FR=0或是d=0，無(wú)論哪種情況，該力偶系均平衡。因此可得結(jié)論： d R F R F 平面力偶系平衡的必要與充分條件是：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零。即： 0M 上式稱為平面力偶系的平衡方程。 第54頁(yè)/共7

24、5頁(yè) 圖示矩形板，邊長(zhǎng)分別為a、2a，各受大小相等、方向相反的力偶作用，試畫出整體和兩板的受力圖。 M A B M C M C A F C F M M A B C A F B F B F M C F 思考題1 第55頁(yè)/共75頁(yè) 剛體上A、B、C、D四點(diǎn)組成一個(gè)平行四邊形，如在其四個(gè)頂點(diǎn)作用有四個(gè)力，此四力沿四個(gè)邊恰好組成封閉的力多邊形，如圖所示。此剛體是否平衡？ F1 F3 B A C D F2 F4 第56頁(yè)/共75頁(yè) P O R M 從力偶理論知道，一力不能與力偶平衡。圖示輪子上的力P為什么能與M平衡呢？ FO 第57頁(yè)/共75頁(yè) 長(zhǎng)為 4 m 的簡(jiǎn)支梁的兩端 A、B 處作用有二個(gè)力偶其

25、力偶矩分別為 ， 。求 A、B支座的約束反力。 mNM16 1 mNM 4 2 B F A F d A B ( )b 例2-11 【解】 1 M A B 1 M 2 M 。 60 4m ( )a 2 M AB梁上作用有二個(gè)力偶組成的平面力偶系，在 A、B 處的約束反力也必須組成一個(gè)同平面的力偶。作AB 梁的受力圖，如圖（b）所示。 第58頁(yè)/共75頁(yè) 故 NFFBA6 解得 NFB6 得 060cos 0 21 lFMMB FA 、FB為正值，說(shuō)明圖中所示FA 、FB 的指向與實(shí)際相同。 【解】 由平衡方程 0 i M A B ( )b B F A F d 1 M 2 M 例2-11 第59頁(yè)

26、/共75頁(yè) 鉸接四連桿機(jī)構(gòu)OABO1在圖(a)所示。已知：OA=4a，O1B=6a。作用在OA上力偶的力偶M1 和O1B上的力偶M2。要使系統(tǒng)平衡，求M1/ M2的比值。 例2-12 第60頁(yè)/共75頁(yè) （1）選OA為研究對(duì)象，受力圖如圖（b），列平衡方程 ,0 i M030sin4 1AB MaF （2）選O1B為研究對(duì)象，受力圖如圖（d），列平衡方程 06 BA2 aFM, 0 i M 由以上兩式可得 M1/ M21/3 【解】 例2-12 第61頁(yè)/共75頁(yè) 圖示結(jié)構(gòu)，已知M=800N.m，求A、C兩點(diǎn)的約束反力。 ).(255. 0mNFdFM CCAC 0 i M 0 MM AC N

27、FF CA 3137 例2-13 【解】 第62頁(yè)/共75頁(yè) 圖示桿系，已知m，l。求A、B處約束力。 1、研究對(duì)象二力桿：AD AD F C F 2、研究對(duì)象： 整體 AD F B F l m FF BAD 思考：CB桿受力情況如何？ B F C F m 練習(xí)： 例2-14 【解】 第63頁(yè)/共75頁(yè) 1、研究對(duì)象二力桿：BC 2、研究對(duì)象： 整體 AD F B F B F C F AD F m C F l m l m FF BAD 2 45sin 0 例2-14 【解】 第64頁(yè)/共75頁(yè) 不計(jì)自重的桿AB與DC在C處為光滑接觸,它們分別受力偶矩為M1與M2的力偶作用 ，轉(zhuǎn)向如圖。問(wèn)M1與M2的比值為多大，結(jié)構(gòu)才能平衡? 60o 60o A B C D M1M2 例2-15 第65頁(yè)/共75頁(yè) 【解】取桿AB為研究對(duì)象畫受力圖。 桿A B只受力偶的作用而平衡且C處為光 滑面約束，則A處約束反力的方位可定。 A B C M1 FA FC Mi = 0 FA =