北京理工大學(xué)數(shù)值分析課件6

1、2021/6/211 第六章第六章 函數(shù)逼近函數(shù)逼近 插值法 - 近似函數(shù)經(jīng)過(guò)給定數(shù)據(jù)點(diǎn) 函數(shù)逼近 - 最小二乘法 - 殘差最小 2021/6/212 ), 2 , 1( ),( : niyx ii 已已知知數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)表表問(wèn)問(wèn)題題 . ),( 趨趨勢(shì)勢(shì) 反反映映數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)點(diǎn)點(diǎn)的的基基本本 地地好好使使其其盡盡可可能能 求求一一近近似似函函數(shù)數(shù)x 插插值值 2021/6/213 )( ), 2 , 1)(,(xniyx ii 近近似似函函數(shù)數(shù)為為，已已知知數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)表表 ), 2 , 1( )( nixy iii 殘殘差差： 2021/6/214 的的常常用用規(guī)規(guī)則則：求求逼逼近近函函數(shù)數(shù))(x mi

2、n1 1 n i i 、 min 2 1 2 n i i 、最佳平方逼近（最小二乘擬合）最佳平方逼近（最小二乘擬合） minmax3 1 i ni 、 最佳一致逼近最佳一致逼近 2021/6/215 1 1數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法 H選選定定近近似似函函數(shù)數(shù)類類 )(使使得得，求求Hx n i ii H n i ii xyxy 1 2 1 2 )(min)( 的的最最小小二二乘乘函函數(shù)數(shù)稱稱為為數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)組組), 2 , 1)(,()(niyxx ii 這種確定近似函數(shù)的方法這種確定近似函數(shù)的方法 稱為數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法。稱為數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法。 ，問(wèn)問(wèn)題題：已已知知數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)

3、組組), 2 , 1)(,(niyx ii 2021/6/216 )( nmmH 次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式全全體體至至多多 滿滿足足如如果果 m k k km xaxP 0 )( n i m k k iki Raaa n i m k k iki xayxay m 1 2 0 , 1 2 0 10 min )(次次擬擬合合多多項(xiàng)項(xiàng)式式。為為數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)組組的的最最小小二二乘乘稱稱mxPm 1.1 多項(xiàng)式擬合多項(xiàng)式擬合 2021/6/217 n i m k k iki Raaa n i m k k iki xayxay m 1 2 0 , 1 2 0 10 min 滿滿足足條條件件，極極值值點(diǎn)點(diǎn)由由多多元元函

4、函數(shù)數(shù)極極值值的的必必要要),( 10m aaa n i k i m k kim xayaaaF 1 2 0 10 ),( 記記 , 1 ,0 ,0 mk a F k 的的極極小小值值點(diǎn)點(diǎn)求求擬擬合合多多項(xiàng)項(xiàng)式式相相當(dāng)當(dāng)于于求求),( 10m aaaF 0 2 10 n i k i l i m l li k xxay a F , 1 ,0mk 2021/6/218 m i n i i n i m im n i m i n i m i n i m i i n i i n i m im n i i n i i n i i n i n i i m im n i i n i i xyxaxaxaxa

5、xyxaxaxaxa yxaxaxana 11 2 1 2 2 1 1 1 1 0 11 1 1 3 2 1 2 1 1 0 111 2 2 1 10 稱此方程組為正則方程法方程組。稱此方程組為正則方程法方程組。 0 2 10 n i k i l i m l li k xxay a F , 1 ,0mk 2021/6/219 超定線性方程組的最小二乘解超定線性方程組的最小二乘解 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 , )(),( 1 2 1 21 的的極極小小值值點(diǎn)點(diǎn) m i n j jijin xabxxxF

6、 .的解的解是正則方程組的是正則方程組的bAAxA TT ,時(shí)為超定方程組時(shí)為超定方程組當(dāng)當(dāng)nm :其其最最小小二二乘乘解解為為 2021/6/2110 , ),2 , 1( ),( 方方程程組組的的最最小小二二乘乘解解次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式等等價(jià)價(jià)于于解解超超定定 的的最最小小二二乘乘擬擬合合求求數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)表表 m niyx ii n m n mm n m m nn m m m n mm n y y y xxx xxx a a a xx xx xx xxx xxx 2 1 21 211 0 22 11 21 21 111 1 1 1 111 :正則方程組為正則方程組為 1 10 22210 1111

7、0 mn yxaxaa yxaxaa yxaxaa n m nmn m m m m 2021/6/2111 m i n i i n i i n i i m n i m i n i m i n i m i n i m i n i i n i i n i m i n i i xy xy y a a a xxx xxx xxn 1 1 1 1 0 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 11 2021/6/2112 n i m k k iki aa xay m 1 2 0 0 min 求求極極小小值值點(diǎn)點(diǎn) )()2()1()0( 2 2 2 222 1 2 111 1 1 1 m m nnnn m

8、m xxxxy xxxy xxxy xxxy n k k nm yy Rxxy 1 2 2 2 )()0( , 另另一一種種解解釋釋方方法法 2 2 0 )( 1 2 0 00 minmin m k k k aa n i m k k iki aa xayxay mm 2021/6/2113 n i m k k iki aa xay m 1 2 0 0 min 求求 mlxxayHxay l m k k k m k k k 1 , 0 , , )( 0 )( 0 )( 即即 擬擬合合多多項(xiàng)項(xiàng)式式系系數(shù)數(shù)滿滿足足利利用用最最佳佳逼逼近近的的性性質(zhì)質(zhì) : 0 )( m k k k xaHy中中的的最

9、最佳佳逼逼近近元元在在求求等等價(jià)價(jià)于于 mlxxayxxay n i l i m k k iki m k lk k 1 , 0 0)(),( 100 )()( 即即 , )()1()0(m xxxspanH 令令 2 2 0 )( 0 min m k k k aa xay m 2021/6/2114 mlxxayxxay n i l i m k k iki m k lk k 1 , 0 0)(),( 100 )()( 擬擬合合多多項(xiàng)項(xiàng)式式系系數(shù)數(shù)滿滿足足 ),(),(),(),( ),(),(),(),( ),(),(),(),( )()()( 1 )()1( 0 )()0( )1()1()(

10、 1 )1()1( 0 )1()0( )0()0()( 1 )0()1( 0 )0()0( m m mmmm m m m m xyaxxaxxaxx xyaxxaxxaxx xyaxxaxxaxx 等等價(jià)價(jià)于于 n i ml i ml n i l ii l xxxxyxy 1 )()( 1 )( ),( ),( 2021/6/2115 結(jié)論：正則方程組存在唯一解，結(jié)論：正則方程組存在唯一解， .), 2 , 1( ),( 次次擬擬合合多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的最最小小二二乘乘 已已知知數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)組組且且解解所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為 mni yx ii :)(,解解公公式式最最小小二二乘乘擬擬合合多

11、多項(xiàng)項(xiàng)式式求求線線性性一一次次特特別別地地 n i ii n i i n i i n i i n i i yxaxax yaxna 1 1 1 2 0 1 1 1 1 0 , , , 1 0 1111 2 xy y xxx x n i iyi n i ixy n i ix n i ixx S S a a SS Sn ySyxSxSxS令令 2021/6/2116 . 5 . 50 . 65 . 30 . 40 . 25 . 25 . 0 7654321 : 合合多多項(xiàng)項(xiàng)式式求求它它的的一一次次最最小小二二乘乘擬擬 已已知知數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)表表例例 i i y x 5 .1195 .380 .365 .

12、170 .160 . 60 . 55 . 0 14049362516941 0 .245 . 50 . 65 . 30 . 40 . 25 . 25 . 0 287654321 : : 2 xyii xxi yi xi Syx Sx Sy Sx 表表?yè)?jù)據(jù)數(shù)數(shù)列列 解解 2021/6/2117 8393. 0 ,0714. 0 5 .119 24 14028 287 : 10 1 0 1 0 aa a a S S a a SS Sn xy y xxx x 此此問(wèn)問(wèn)題題的的正正則則方方程程組組為為 5 .1195 .380 .365 .170 .160 . 60 . 55 . 0 14049362

13、516941 0 .245 . 50 . 65 . 30 . 40 . 25 . 25 . 0 287654321 : 2 xyii xxi yi xi Syx Sx Sy Sx 表表?yè)?jù)據(jù)數(shù)數(shù)列列 xxP8393. 00714. 0)( : 1 乘乘擬擬合合多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為此此數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)表表的的一一次次最最小小二二 2021/6/2118 二次最小二乘擬合多項(xiàng)式二次最小二乘擬合多項(xiàng)式 用平方根方法求解方程組用平方根方法求解方程組 用用 MATLAB 函數(shù)函數(shù)z = Ar n 1i i 2 i n 1i ii n 1i i 2 1 0 n 1i 4 i n 1i 3 i n 1i 2 i n 1i

14、 3 i n 1i 2 i n 1i i n 1i 2 i n 1i i yx yx y a a a xxx xxx xxn 2021/6/2119 1.2 指數(shù)擬合指數(shù)擬合 ,RbabeH ax 取取為指數(shù)擬合為指數(shù)擬合. .的的最最小小二二乘乘擬擬和和函函數(shù)數(shù)求求已已知知數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)組組形形如如 ax bey 使使得得求求利利用用最最小小二二乘乘原原理理ba , , n i ax i Rba n i xa i ii beyeby 1 2 , 1 2 min 的的極極小小值值點(diǎn)點(diǎn)即即求求 n i ax i i beybaF 1 2 ),( 導(dǎo)導(dǎo)出出非非線線性性方方程程組組由由 0 ,0 b F

15、a F 2021/6/2120 的的最最小小二二乘乘擬擬和和函函數(shù)數(shù)按按最最小小二二乘乘法法求求數(shù)數(shù)據(jù)據(jù))ln,(. 2 ii yx xaaxaa eeey 1010 .3 .),(數(shù)數(shù)的的最最小小二二乘乘擬擬和和指指數(shù)數(shù)函函為為數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)組組 ii yx ), 2 , 1( )ln,(. 1niyx ii 列列表表 .的的最最小小二二乘乘擬擬合合函函數(shù)數(shù)求求已已知知數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)組組形形如如 ax bey 實(shí)際計(jì)算步驟為：實(shí)際計(jì)算步驟為： axby lnln將非線性關(guān)系線性化將非線性關(guān)系線性化 xaay 10 ln 2021/6/2121 b axy yx 是冪指數(shù)關(guān)系：是冪指數(shù)關(guān)系：與與 xbay

16、 xy lnlnln :lnln 是是線線性性關(guān)關(guān)系系與與 2021/6/2122 非線性關(guān)系線性化非線性關(guān)系線性化 2021/6/2123 iiii xb yxyx xbay eay , ln, lnln 11 1 1 代代替替用用 iii b yxyx xbay xay , ln, ln lnln ln i 22 2 2 代代替替用用 指數(shù)關(guān)系指數(shù)關(guān)系 冪指數(shù)冪指數(shù) 2021/6/2124 ii i i yx y x bxa ybxa y , 1 , 1 1 44 44 代替代替用用 i ii y yx xa b ayxb x ay ,x 1 , 1 111 i 3 3 33 3 代代替替

17、用用 飽和增長(zhǎng)率飽和增長(zhǎng)率 有理函數(shù)有理函數(shù) 2021/6/2125 )( 1 168.0224.0297.0473.0931.0 6 .22 .28 .14 .10 .1 54321 : 保保留留四四位位小小數(shù)數(shù)的的擬擬合合函函數(shù)數(shù)求求形形如如 已已知知一一組組數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)例例 bax y y x i i i ., 1 , 1 :baxY y Y bax y 則則有有令令因因?yàn)闉榻饨?3922.354762.158214. 90606. 69598. 20741. 1 8000.177600. 68400. 42400. 39600. 10000. 1 9719.169524. 54643. 4

18、3670. 31142. 20741. 1 168. 0224. 0297. 0473. 0931. 0 0 . 96 . 22 . 28 . 14 . 10 . 1 : 2 xYii xxi Yi i xi SYx Sx SY y Sx 列數(shù)據(jù)表列數(shù)據(jù)表 0267. 3 0537. 2 3922.35 9719.16 8 .179 95 :, a b a b ba滿足正則方程組滿足正則方程組 0537. 20267. 3 1 : x y 數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)為數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)為 2021/6/2126 使使得得即即取取 函函數(shù)數(shù)小小的的原原則則確確定定最最小小二二乘乘實(shí)實(shí)際際中中常常按按加加權(quán)權(quán)方方

19、差差最最 ), 2 , 1( 0 ,. 1 ni i n i iii H n i iii xyxy 1 2 1 2 )(min)( .,7.2正正則則方方程程組組是是病病態(tài)態(tài)的的時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) m 說(shuō)明：說(shuō)明： 2021/6/2127 1.3 線性最小二乘法的一般形式線性最小二乘法的一般形式 ), 2 , 1( ),()1(:niyx ii 數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)組組已已知知 1 , 0, )()(: )( : 0 mkRaxaxxH k m k kk 即即 使使得得即即求求 )( )( )( 0 m k kk xaxHx n i m k ikkii aaa n i m k ikkii xayxay m 1 2

20、0 , 1 2 0 )(min)( 10 )(),(),(,)2( 10 xxxba m 上上的的線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)組組區(qū)區(qū)間間 , 10m spanH 令令 2021/6/2128 n i m k ikkiim xayaaaF 1 2 0 10 )(),( 記記 導(dǎo)導(dǎo)出出正正則則方方程程組組由由 ), 1 , 0( 0 mj a F j )10 )()()( 101 m,(jxyxxa n i ijii m k n i ijikik n i ijjij n i ijikijk xyyxx 11 )(),( , )()(),( 正則方程組可改寫(xiě)成形式正則方程組可改寫(xiě)成形式 ),( ),(

21、 ),( ),(),(),( ),(),(),( ),(),(),( 1 0 1 0 10 11101 01000 mmmmmm m m y y y a a a 記記 2021/6/2129 注：注： 上述多項(xiàng)式擬合是線性擬合的特例，上述多項(xiàng)式擬合是線性擬合的特例， 指數(shù)擬合化為線性擬合指數(shù)擬合化為線性擬合 例如例如: 關(guān)于系數(shù)關(guān)于系數(shù)ai 是線性的，但函數(shù)是線性的，但函數(shù) i 是非線性的是非線性的 xaxay tataay sin sin cos 1 2 0 210 2021/6/2130 m k kk m xax aaa 0 10 )()( ,:1 . 6 則則是是正正則則方方程程組組的的

22、解解若若定定理理 ), 2 , 1)(,(的的最最小小二二乘乘函函數(shù)數(shù)。是是niyx ii . ),( ,: 10 正正則則方方程程組組存存在在惟惟一一解解 陸陸金金甫甫關(guān)關(guān)治治條條件件時(shí)時(shí)滿滿足足在在當(dāng)當(dāng)注注Haarx n i m k 2021/6/2131 使使其其滿滿足足，若若選選取取 )(,),(),( 10 xxx m (*) 0 0 ),( kj kj k jk 則正則方程組成對(duì)角形，其解為則正則方程組成對(duì)角形，其解為 ),( ),( kk k k y a 最最小小二二乘乘函函數(shù)數(shù)為為 的的正正交交函函數(shù)數(shù)組組。 為為權(quán)權(quán)，關(guān)關(guān)于于點(diǎn)點(diǎn)集集為為以以 條條件件的的函函數(shù)數(shù)組組滿滿足足

23、 , n)1,2,(i )(,),(),( (*) 21 10 ni m xxx xxx ),( ),( ),( ),(),(),( ),(),(),( ),(),(),( 1 0 1 0 10 11101 01000 mmmmmm m m y y y a a a )( ),( ),( )( 0 x y x k m k kk k 注：注： 當(dāng)當(dāng)m較大時(shí)，正則方程組往往是病態(tài)的。較大時(shí)，正則方程組往往是病態(tài)的。 2021/6/2132 ., ), 2 , 1( ), 3 , 2( )()()()( )( , 1)( 21 21 110 的的正正交交函函數(shù)數(shù)族族關(guān)關(guān)于于點(diǎn)點(diǎn)集集 為為權(quán)權(quán)，是是以以

24、 多多項(xiàng)項(xiàng)式式 n i kkkkk xxx ni kxxxx xxx ), 3 , 2( )( )( ),( ),( ), 2 , 1( )( )( ),( ),( 1 2 2 1 2 1 22 11 1 2 1 1 2 1 11 11 k x x k x xx x n i iki n i iki kk kk k n i iki n i ikii kk kk k 其中其中 2021/6/2133 622),(182),(581),( 354),(301),( 30),(101),( 100),(411),( 2 4 1 10 4 1 4 4 1 22 2 20 4 1 2 4 1 1110 4

25、 1 2 4 1 2100 yyyy xx xx xx i i i i i i i i i i i ii i 622 182 58 35410030 1003010 30104 2 1 0 a a a 2 1 , 10 49 , 2 3 210 aaa 2 3 10 49 2 1 )( 2 xxxPy 擬合擬合用用例例 2 210 :xaxaay 2 210 )(,)(, 1)(:1xxxxx 取取解解 2021/6/2134 擬合擬合用用例例 2 210 :xaxaay ),( ),( kk k k y a ), 3 , 2( )()()()( )( , 1)( 21 110 kxxxx x

26、xx kkkkk ),( ),( ),( ),( 22 11 11 11 kk kk k kk kk k x 求解求解通過(guò)正交多項(xiàng)式通過(guò)正交多項(xiàng)式解解)(),(),(:2 210 xxx )()()()( 221100 xaxaxaxy 設(shè)設(shè) 1)( 0 x 2 29 4 58 ),( ),( 00 0 0 y a 2021/6/2135 2 3 10 49 2 1 )55( 2 1 ) 2 5 ( 5 37 1 2 29 2 2 xx xxxy 1)( 0 x 2 29 ),( ),( 00 0 0 y a 2 5 ),( ),( 00 00 1 x 2 5 )()( 11 xxx 5 37

27、 )6 . 2( )6 . 2( ),( ),( 4 1 2 4 1 11 1 1 i i i ii x yx y a 2 5 ),( ),( 11 11 2 x 4 5 ),( ),( 00 11 2 55)( 4 5 )() 2 5 ()( 2 012 xxxxxx 2 1 ),( ),( 22 2 2 y a )()()()( )( , 1)( 21 110 xxxx xxx kkkkk ),( ),( ),( ),( 22 11 11 11 kk kk k kk kk k x 2021/6/2136 3 3 函數(shù)的最佳平方逼近函數(shù)的最佳平方逼近 ), 1 , 0(,)(,)(:3 .

28、6mibaCxbaCxf i 設(shè)設(shè)定定義義 b aH b a dxxxfxdxxxfx 22 )()()(min)()()( . )()()( 最最佳佳平平方方逼逼近近函函數(shù)數(shù) 的的中中關(guān)關(guān)于于權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)在在為為則則稱稱xHxfx .)( )()(,)( 的的最最佳佳平平方方逼逼近近多多項(xiàng)項(xiàng)式式關(guān)關(guān)于于權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù) 中中在在為為則則稱稱次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式時(shí)時(shí)為為當(dāng)當(dāng) x Hxfxkx k 使使得得若若, )()( 0 m i ii xax ,)( 10mi SpanHx 線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān) 2021/6/2137 ,)()()( 0 的的最最佳佳平平方方逼逼近近函函數(shù)數(shù)的的形形如如求求 m k

29、kk xaxxf .),( 10 的的極極小小值值點(diǎn)點(diǎn)即即求求 m aaaF 得得正正則則方方程程組組由由), 1 , 0(0mj a F j dxxxfxdxxxxa b a j m k b a jkk )()()()()()( 0 dxxaxfxaaaF b a m k kkm 2 0 10 )()()(),( 令令 使使得得即即確確定定系系數(shù)數(shù), 10m aaa .)()()( 2 0 最最小小dxxaxfx b a m k kk ), 1 , 0(mj 2021/6/2138 ), 1 , 0( )()()()()()( 0 mjdxxxfxdxxxxa b a j m k b a j

30、kk :,正正則則方方程程組組為為所所以以 ), 1 , 0( )()()(),( ), 1 , 0,( )()()(),( mjdxxxfxf mjkdxxxx b a jj b a jkjk 其中 ),( ),( ),( ),(),(),( ),(),(),( ),(),(),( 1 0 1 0 10 11101 01000 mmmmmm m m f f f a a a n i ijjij n i ijikijk xyyxx 11 )(),( , )()(),( :離散情形 2021/6/2139 正正則則方方程程組組存存在在唯唯一一解解線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān) m , 10 m k kk xax

31、 0 )()(滿滿足足其其解解 ),(),( 0 j m k jkk fa (*) , 1 , 0 0),( mjf j 即即 且是唯一的。且是唯一的。 ，的最佳平方逼近多項(xiàng)式的最佳平方逼近多項(xiàng)式關(guān)于權(quán)函數(shù)關(guān)于權(quán)函數(shù) 中，中，在在是是表明正則方程組的解表明正則方程組的解定理定理 )( )()(5 . 6 x Hxfx (*)( ,)( )()( 5 . 6 0 的的充充要要條條件件的的最最佳佳平平方方逼逼近近多多項(xiàng)項(xiàng)式式權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù) 中中關(guān)關(guān)于于在在是是定定理理 x HbaCxfxax m k kk ),( j 2021/6/2140 .1 , 0sin)(:多多項(xiàng)項(xiàng)式式上上的的二二次次最最佳

32、佳平平方方逼逼近近在在求求例例xxf ,1:1 2 210 xx 若若取取解解 3 2 1 0 41 1 2 5 1 4 1 3 1 4 1 3 1 2 1 3 1 2 1 1 : a a a 正正則則方方程程組組 正則方程組系數(shù)矩陣是三階正則方程組系數(shù)矩陣是三階Hilbert方程組。方程組。 41 sin),( 1 sin),( , 2 sin),( 3 1 0 2 2 1 0 1 1 0 0 xdxxf xdxxf xdxf 5 1 ),( 4 1 ),( 3 1 ),( 4 1 ),( 3 1 ),( 2 1 ),( 3 1 ),( 2 1 ),( 1),( 221202 211101

33、201000 2 333 3 2 3 1 3 0 ) 72060 () 60720 ( 12012 )( , 72060 , 60720 , 12012 xxx aaa )()()()( 221100 xaxaxax 設(shè)設(shè) 2021/6/2141 jk jka k kj m 0 0 ),( , 10 使使得得若若取取 )( ),( ),( )( 0 x f x k m k kk k 的的最最佳佳平平方方逼逼近近函函數(shù)數(shù)為為中中關(guān)關(guān)于于權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)在在)()(xHxf ,為為對(duì)對(duì)角角形形則則正正則則方方程程組組系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣:其其解解為為 ), 1 , 0( ),( ),( mk f a kk

34、 k k 2021/6/2142 2 2 正交多項(xiàng)式正交多項(xiàng)式 2.1 基本概念基本概念 滿滿足足定定義義：如如果果函函數(shù)數(shù) ),(,),(),( 10 xxx n ), 2 , 1 , 0( 0 0 )()()(, j,k kj kj dxxxx k b a kjkj 的的正正交交函函數(shù)數(shù)系系。上上關(guān)關(guān)于于權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)稱稱此此函函數(shù)數(shù)系系為為區(qū)區(qū)間間0)(, xba .), 2 , 1 , 0( 1則則為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交函函數(shù)數(shù)系系若若 k k 1)( 20 ,2sin,2cos,sin,cos, 1 的的正正交交函函數(shù)數(shù)系系。關(guān)關(guān)于于權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù) 上上，為為例例如如： x xxxx 20

35、21/6/2143 . : 則則稱稱為為正正交交多多項(xiàng)項(xiàng)式式系系 均均為為代代數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式中中的的若若正正交交函函數(shù)數(shù)系系注注 ii . )(,:2 . 6 一一定定是是線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的 的的正正交交函函數(shù)數(shù)系系上上關(guān)關(guān)于于權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)區(qū)區(qū)間間定定理理xba 均均有有次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式對(duì)對(duì)于于任任意意至至多多 件件的的正正交交多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的充充要要條條上上關(guān)關(guān)于于權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)是是則則 次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的是是最最高高次次項(xiàng)項(xiàng)系系數(shù)數(shù)不不為為零零設(shè)設(shè) 定定理理 ),(1 :)(,)( ,), 2 , 1 , 0( )( :3 . 6 1 xQk xbax kkx k k k ), 2 ,

36、 1( 0)()()(, 11 kdxxQxxQ b a kkkk 2021/6/2144 2.2. GramSchmidt方法方法 ), 3 , 2( )()()()( )( 1)( 4 . 6 21 110 kxxxx xxx kkkkk ：定定理理 )2,3,( )()( )()( ),( ),( )1,2,( )()( )()( ),( ),( 2 2 2 1 22 11 2 1 2 1 11 11 k dxxx dxxx k dxxx dxxxx x b a k b a k kk kk k b a k b a k kk kk k )(,的的正正交交多多項(xiàng)項(xiàng)式式系系。上上關(guān)關(guān)于于權(quán)權(quán)函

37、函數(shù)數(shù)是是xba 其中其中 2021/6/2145 .1 , 0sin)(:多多項(xiàng)項(xiàng)式式上上的的二二次次最最佳佳平平方方逼逼近近在在求求例例xxf 項(xiàng)項(xiàng)式式正正交交化化方方法法構(gòu)構(gòu)造造正正交交多多利利用用解解SchmidtGram :2 , 2 sin),( 1 0 0 xdxf 1)( 0 x , 1),( 00 2 1 ) 2 1 ( ) 2 1 ( ),( ),( 1 0 2 1 0 2 11 11 2 dxx dxxx x 2 1 ),( ),( 00 00 1 x 2 1 )( 1 xx 12 1 ) 2 1 ( ),( ),( 1 0 1 0 2 00 11 2 dx dxx 12

38、 1 ) 2 1 ()()()()( 2 02122 xxxxx 2 333 ) 72060 () 60720 ( 12012 )(xxx 0)sin 2 1 (),( 1 0 1 xdxxf 3 12 )sin 6 1 (),( 3 2 1 0 2 2 xdxxxf 2 ),( ),( 00 0 0 f a , 12 1 ) 2 1 (),( 1 0 2 11 dxx 0 1 a , 180 1 ),( 22 3 2 2 )12(60 a 2021/6/2146 2.3 常用的正交多項(xiàng)式常用的正交多項(xiàng)式 ), 2 , 1 , 0( ) 1( !2 1 )( )( 1)( 2 10 nx dx d n xP xxPxP n n n