一級(jí)倒立擺系統(tǒng)分析.doc

1、。一級(jí)倒立擺的系統(tǒng)分析一、倒立擺系統(tǒng)的模型建立如圖 1-1 所示為一級(jí)倒立擺的物理模型l?擺桿F小車導(dǎo) 軌x圖 1-1一級(jí)倒立擺物理模型對(duì)于上圖的物理模型我們做以下假設(shè)：M：小車質(zhì)量m：擺桿質(zhì)量b：小車摩擦系數(shù)l ：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度I ：擺桿慣量F：加在小車上的力x：小車位置? ：擺桿與垂直向上方向的夾角：擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）圖 1-2 是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中， N和 P為小車與擺精選資料，歡迎下載。桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中的檢測和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向?yàn)槭?/p>

2、量正方向。PNIPFMBxXNmgX圖 1-2小車及擺桿受力分析分析小車水平方向受力，可以得到以下方程：Mx - x- (1-1)由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到以下方程：N = md22 (x + l sin )(1-2)dt即：2N= mx+ mlcos - ml sin (1-3)將這個(gè)等式代入式（ 1-1 ）中，可以得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：2(M+ m) x + bx + mlcos - ml sin = F(1-4)為推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程， 我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得出以下方程：P -P-mg= m d22 ( l cos )(1-5)dt2(1-6)mg=

3、 - mlsin - ml cos 利用力矩平衡方程可以有：精選資料，歡迎下載。(1-7)- Pl sin - Nl cos= I注意：此方程中的力矩方向，由于 = + ? ，cos ? = - cos ，sin ? =- sin ，所以等式前面含有負(fù)號(hào)。合并兩個(gè)方程，約去P 和 N可以得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：( I + ml2) + mgl sin = - mlx cos (1-8)設(shè)= + ? ，假設(shè) ? 與 1（單位是弧度）相比很小，即? 1，則可以進(jìn)行近似處理： cos = - 1，sin = -? ，（ d）2= 0。用 udt來代表被控對(duì)象的輸入力 F，線性化后的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下： (

4、 I + ml2)? - mgl? = mlx(1-9)( M+ m) x + bx - ml? = u假設(shè)初始條件為0，則對(duì)式（ 1-9 ）進(jìn)行拉普拉斯變換，可以得到：(I + ml2)( s)s2- mgl(s) = mlX( s)s2(1-10)2( )() 2() ( )ss -M+ m X s+ bX smls s = U(s)由于輸出為角度? ，求解方程組的第一個(gè)方程，可以得到：( )2)g()( I + mlX s= ml-s 2 s(1-11)或改寫為：( s)=mls 2(1-12)X(s)( I + ml2) s2- mgl如果令v=x, 則有：( s)ml(1-13)V（

5、s） =( I + ml2) s2- mgl如果將上式代入方程組的第二個(gè)方程，可以得到：()( I + ml2)g()2( I + ml2)g( )()2ml-sss+ b ml+ s2 ss= U( s)M+ m s s - ml(1-14)整理后可得傳遞函數(shù)：精選資料，歡迎下載。()mls 2 s=b( I + ml2)q(1-15)U(s)()bmgls4 +sqs 3-M+ mmgls2-qq其中 q =()2) -(ml)2M+ m ( I + ml假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：X = AX+ Buy = CX+ Du(1-16)方程組對(duì)x, ? 解代數(shù)方程，可以得到解如下：x = x2m

6、2gl 22-( I + ml ) b( I + ml )x =()2 x +I()2 ? +I()2 uIM+ m + MmlM+ m + MmlM+ m + Mml(1-17)? = ? =- mlb2 x +mgl( M+ m)2 ? +ml2 uI (M+ m) + MmlI ( M+ m) + MmlI (M+ m)+ Mml整理后可以得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：x01200x0222x0-( I + ml ) bm gl0 x( I + ml )()2I()2I()2? =IM+ m + MmlM+ m + Mml1?+M+ m + Mml u0000 ? 0- mlbmgl (M+ m

7、)0?Iml()2I()2()2IM+ m + MmlM+ m + MmlM+ m + Mml xx1000x0y =?=0010 ? + 0 u(1-18)?由（ 1-9 ）的第一個(gè)方程為：( I + ml2)? - mgl ? = mlx對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺桿可以有：12I =ml于是可以得到： ( 13 ml2 + ml2 ) ? -mgl ? = mlx精選資料，歡迎下載?；喛梢缘玫剑? = 4l3g ? + 4l3 x(1-19)設(shè) X=x, x, ? , ? ，u= x則有：x0100x0x?0000x1? =00 0 1? +0u ? 003g0?34l 4l xx1000x0

8、y = ? =0010 ? + 0 u(1-20)?以上公式推理是根據(jù)牛頓力學(xué)的微分方程驗(yàn)證的。在實(shí)際系統(tǒng)中模型參數(shù)如下：M 小車質(zhì)量 1.096 Kgm 擺桿質(zhì)量 0.109 Kgb 小車摩擦系數(shù) 0 .1N/m/secl擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度0.2 5mI 擺桿慣量 0.0034 kg*m*m將上述參數(shù)代入，就可以得到系統(tǒng)的實(shí)際模型。擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)：( s)=0.02725s2()0.0102125s2(1-21)X s- 0.26705擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為：(s)=0.02725(1-22)V（s）0.0102125s 2- 0.26705擺桿角度和小車

9、所受外界作用力的傳遞函數(shù)：(s)=2.35655s(1-23)s32U（s）+ 0.0883167s - 27.9169s - 2.30942精選資料，歡迎下載。以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：x0100x0x?0- 0.0883167 0.6293170x0.883167? = 0001?+0 u ? 0- 0.23565527.82850?2.35655xx1000x0y = ? = 0010? + 0 u(1-24)?以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：x0100x0x?0000x1? = 0001?+0 u? 0029.40?3xx1000x0y = ? = 001 0? + 0

10、u（1-25 ）?綜述可知以上就是一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的模型建立過程，最終得出了實(shí)際模型的傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程。二、系統(tǒng)模型的轉(zhuǎn)換以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程為例，將系統(tǒng)狀態(tài)方程轉(zhuǎn)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型，能觀標(biāo)準(zhǔn)型和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。由系統(tǒng)狀態(tài)方程可知：0100A = 000000010029.400B = 103精選資料，歡迎下載。C= 10000010D= 001、轉(zhuǎn)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型定出系統(tǒng)特征多項(xiàng)式： a=poly(A)a =1.0000-0.0000 -29.400000由此可知 a0=0, a1=0, a2=-29.4, a3=0。 b3=C*Bb3 =00b2=C*A*B+a3*C*B b2 =

11、13 b1=C*A2*B+a3*C*A*B+a2*C*Bb1 =00 b0=C*A3*B+a3*C*A2*B+a2*C*A*B+a1*C*B b0 =-29.4000精選資料，歡迎下載。0所以系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型為：x10100x10x10010x10?1 =0001 ?1 +0 u? 10029.40?11x1y =- 29.4010x10003 0?1+0 u? 12、轉(zhuǎn)化為能觀標(biāo)準(zhǔn)型利用對(duì)偶性求出能觀標(biāo)準(zhǔn)型為：x10000x10- 29.4x11000x100? 1= 01029.4?1 +33 u? 10010? 100x1y = 00 01x1? 1 ? 13、轉(zhuǎn)化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型首先求出系

12、統(tǒng)的特征值以及相應(yīng)的特征向量：A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0A =01.00000000000001.00000029.40000精選資料，歡迎下載。 V,D=eig(A) V =00 1.0000 -1.0000000 0.00000.1814 -0.1814000.98340.983400D =5.42220000 -5.42220000000000其中 D表示 A 全部特征值構(gòu)成的對(duì)角陣，V 表示相對(duì)應(yīng)的特征向量。求出變換矩陣 V 的逆： V1=inv(V)Warning: Matrix is close to singular or badly

13、 scaled.Results may be inaccurate. RCOND = 1.720635e-292.V1 =1.0e+291 *000.00000.000000 -0.00000.00000.00002.49480002.494800精選資料，歡迎下載。計(jì)算變換后的系數(shù)矩陣： A1=V1*A*VA1 =5.42220000.0000-5.4222000000.00000000B1=V1*BB1 =1.0e+291 *0.00000.00002.49482.4948所以系統(tǒng)的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為：x15.4222000x10x10- 5.422200x10?1=0000? 1+ 1.0e

14、+ 291 ? 2.4948 u? 10000?12.4948三、開環(huán)階躍響應(yīng)曲線及分析利用已知的狀態(tài)空間方程來進(jìn)行階躍響應(yīng)分析，在 MATLAB中可以寫入以下命令：精選資料，歡迎下載。A=0100;0000;0001;0029.40； B=0;1;0;3；C=1000;0100； D=0;0 ； step(A,B,C,D)可以看出，在單位階躍響應(yīng)作用下， 小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的。四、判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以利用根軌跡來判斷，已知實(shí)際系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：(s)=0.02725，則其根軌跡圖形可以利用 MATLABV（s）0.0102125s 2- 0.26705鍵入如下命令來

15、完成。精選資料，歡迎下載。 num=0.02725; den=0.0102125 0 -0.26705; z=roots(num)z =Empty matrix: 0-by-1 p=roots(den)p =5.1136-5.1136 rlocus(num,den)精選資料，歡迎下載?？梢钥闯鱿到y(tǒng)沒有零點(diǎn)，有兩個(gè)極點(diǎn)，并且有一個(gè)極點(diǎn)為正。由畫出的根軌跡圖形可以看出閉環(huán)傳遞函數(shù)的一個(gè)極點(diǎn)位于復(fù)平面的右半平面，這就意味著系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)。五、能控性和能觀性分析對(duì)于系統(tǒng)的能控性和能觀性分析， 可以利用能控性秩判據(jù)和能觀性秩判據(jù)。能控性秩判據(jù)： 對(duì)于 n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，構(gòu)成能控性判別

16、矩陣：Qc = B ?AB? ?An- 1 B，則系統(tǒng)完全能控的充要條件為：rankQc = rank B ?AB? ?An- 1 B = n能觀性秩判據(jù)： 對(duì)于 n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，構(gòu)成能觀性判別C矩陣：Qo = CA? ，則系統(tǒng)完全能觀的充要條件為：n- 1CACCArankQo = rank ? = nn- 1CA利用 MATLAB鍵入以下命令來進(jìn)行判斷： A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0; B=0;1;0;3; C=1 0 0 0;0 1 0 0; D=0;0; Qc=B A*B A2*B A3*BQc =01.000000精選資料，歡

17、迎下載。1.000000003.0000088.20003.0000088.20000 R1=rank(Qc)R1 =4 Qo=C;C*A;C*A2;C*A3Qo =10000100010000000000000000000000 R2=rank(Qo)R2 =2可以看出，系統(tǒng)的完全能控矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)變量維數(shù)，系統(tǒng)的輸出完全能觀測矩陣的秩等于系統(tǒng)輸出向量y 的維數(shù)，所以系統(tǒng)是可以完全能控完全能觀測的系統(tǒng)。精選資料，歡迎下載。六、根軌跡校正以及仿真已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：G( s) =0.027250.0102125s2 - 0.26705設(shè)計(jì)控制器使得調(diào)整時(shí)間t s =0.5s(2%)；最大超調(diào)Mp 10%。計(jì)算整理可得超前校正裝置的零點(diǎn)和極點(diǎn)分別為：zc = - 6.92214 ；zp= -26.4568 ，由此可得校正后的傳遞函數(shù)：( ) ()K(s + 6.92214)0.02725Q= G s K s =s + 26.45680.0102125s2 - 0.26705利用 MATLAB命