拋物線知識點全面總結(jié)及經(jīng)典例題幻燈片

1、 復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧： 我們知道我們知道,橢圓、雙曲線的有共同的幾何特征：橢圓、雙曲線的有共同的幾何特征： 都可以看作是都可以看作是, ,在平面內(nèi)與一個在平面內(nèi)與一個定點定點的距離和一條的距離和一條 定直線定直線距離的比是距離的比是常數(shù)常數(shù)e的點的軌跡的點的軌跡. . M F l 0e 1 (2) 當當e1時，是雙曲線時，是雙曲線;(1)當當0e0) x2=2py (p0) x2=2py (p0) y2=2px (p0) P 2 ( ,0) P 2 x = P 2 ( , 0) P 2 x = P 2 (0, ) P 2 y = P 2 (0, ) P 2 y = 2 6yx例例1 (1)已知拋

2、物線的標準方程是，已知拋物線的標準方程是，求它的焦求它的焦 點坐標和準線方程；點坐標和準線方程； 2 6yx （2）已知拋物線的方程是）已知拋物線的方程是，求它的焦點坐標和準，求它的焦點坐標和準 線方程；線方程； (3)已知拋物線的焦點坐標是已知拋物線的焦點坐標是F(0,-2)，求它的標準方程，求它的標準方程 、例題講解、例題講解： 3 (,0) 2 3 2 x 解：（解：（1）因為焦點在）因為焦點在x軸的正半軸上，軸的正半軸上，p=3，所以焦點坐，所以焦點坐 標是標是 ，準線方程是，準線方程是 . 2 1 6 xy 1 12 p 1 (0,) 24 1 24 y （2）因為拋物線的標準方程）

3、因為拋物線的標準方程 ，焦點在，焦點在y軸的正軸的正 半軸上，半軸上， ，所以焦點坐標是，所以焦點坐標是 ，準線方程是，準線方程是 是是 . 2 2 p 2 8xy （3）因為焦點在）因為焦點在y軸的負半軸上，并且軸的負半軸上，并且 ，p=4,所以所以 所求拋物線的標準方程是所求拋物線的標準方程是 練習(xí)練習(xí)1 求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：求下列拋物線的焦點坐標和準線方程： 2 (1)20 ;yx 2 (2)2;yx 2 (3)250;yx 2 (4)160.xy . 練習(xí)練習(xí)2 根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程：根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程： (1)焦點是焦點是F(0,-2)； (2

4、)準線方程是準線方程是 ； 1y (3)焦點到準線的距離是焦點到準線的距離是2. ( 5,0),5x 11 (0, ), 88 y 55 ( ,0), 88 x (0, 4),4y 2 8xy 2 4xy 2222 4 ,4 ,4 ,4yx yx xy xy 求拋物線的焦點時一定要先把拋求拋物線的焦點時一定要先把拋 物線化為標準形式；物線化為標準形式； 本題小結(jié)本題小結(jié): 先定位先定位，后定量。后定量。 (2)拋物線拋物線 上與焦點的距離等于上與焦點的距離等于9的點的的點的 坐標是坐標是_； 2 12yx 例例2 (1)拋物線拋物線 2 2ypx 上一點上一點M到焦點的距離是到焦點的距離是 (

5、) 2 p a a ,則點則點M到準線的距離是到準線的距離是_, 點點M的橫坐標是的橫坐標是_. a 2 p a (6, 6 2) 如圖如圖,M點是拋物線點是拋物線 上一點上一點,F是拋物線是拋物線 的焦點的焦點, 以以Fx為始邊為始邊,FM為終邊的角為終邊的角 ,求求 . 2 4yx 60 o xFM FM 練習(xí)練習(xí)3 4 例例3.點點M與點與點F(4,0)的距離比它到直線的距離比它到直線 l:x+5=0的距離小的距離小1,求點求點M的軌跡方程的軌跡方程. 2 0? ,. yaxa二次函數(shù)的圖像為什么是拋物線 指出它的焦點坐標 準線方程 2.4.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì) y o x)0, 2

6、 ( p F P(x,y) 一、一、拋物線拋物線的的幾何性質(zhì)幾何性質(zhì) 拋物線在拋物線在y軸的右側(cè)，當軸的右側(cè)，當x的值增大時，的值增大時，y 也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限 延伸。延伸。 1、范圍范圍 由拋物線由拋物線y2 =2px（p0） 2 20pxy 而而 0p 0 x 所以拋物線的范圍為所以拋物線的范圍為0 x ( , )x y 關(guān)于關(guān)于x軸軸 對稱對稱 ( ,)xy 由于點由于點 也滿也滿 足足 ，故拋物線，故拋物線 (p0)關(guān)于關(guān)于x軸軸對稱對稱. ( ,)xy y2 = 2px y2 = 2px 2、對稱性、對稱性 y o x)

7、0 , 2 ( p F P(x,y) 定義：拋物線和它的對稱軸的交點稱為拋物線定義：拋物線和它的對稱軸的交點稱為拋物線 的的頂點。頂點。 y o x) 0 , 2 ( p F P(x,y)由y2 = 2px （p0）當當 y=0時時,x=0, 因此拋 物線的頂點頂點就是坐 標原點（0，0）。 注注:這與橢圓有四個頂點這與橢圓有四個頂點,雙曲線有雙曲線有 兩個頂點不同。兩個頂點不同。 、頂點、頂點 4、離心率離心率 y o x) 0 , 2 ( p F P(x,y) 拋物線上的點與焦拋物線上的點與焦 點的點的距離距離和它到準線的和它到準線的 距離距離 之比，叫做拋物線之比，叫做拋物線 的離心率，

8、由拋物線的的離心率，由拋物線的 定義，可知定義，可知e=1。 特點：特點： 1.拋物線只位于半個坐標平面內(nèi)拋物線只位于半個坐標平面內(nèi),雖然它可以無雖然它可以無 限延伸限延伸,但它沒有漸近線但它沒有漸近線; 2.拋物線只有一條對稱軸拋物線只有一條對稱軸,沒有沒有 對稱中心對稱中心; 3.拋物線只有一個頂點、拋物線只有一個頂點、 一個焦點、一條準線一個焦點、一條準線; 4.拋物線的離心率是確定的拋物線的離心率是確定的,為為1; 思考思考：拋物線標準方程中的：拋物線標準方程中的p對拋物線開口的影響對拋物線開口的影響. y o x)0 , 2 ( p F P(x,y) x y OF A B y2=2p

9、x 2p 過焦點而垂直于對稱軸的弦過焦點而垂直于對稱軸的弦 AB，稱為拋物線的，稱為拋物線的通徑，通徑， 利用拋物線的利用拋物線的頂點頂點、通、通 徑的兩個徑的兩個端點端點可較準確可較準確 畫出反映拋物線基本特畫出反映拋物線基本特 征的草圖征的草圖. p p , 2 p p , 2 |AB|=2p 通徑通徑5、 2p越大，拋物線張口越大越大，拋物線張口越大. （二）歸納：拋物線（二）歸納：拋物線的的幾何性質(zhì)幾何性質(zhì) 圖圖 形形方程方程焦點焦點準線準線 范圍范圍 頂點頂點 對稱軸對稱軸e l F y xO l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p0） y

10、2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） )0 , 2 ( p F )0 , 2 ( p F ) 2 , 0( p F ) 2 , 0( p F 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y x0 yR x0 yR y0 xR y 0 xR (0,0) x軸軸 y軸軸 1 例例：已知拋物線關(guān)于已知拋物線關(guān)于x x軸對稱，它的頂點軸對稱，它的頂點 在坐標原點，并且經(jīng)過點在坐標原點，并且經(jīng)過點M M（，），求（，），求 它的標準方程它的標準方程。 2 2 變式變式: :頂點在坐標原點，對稱軸為坐標頂點在坐標原點，對稱軸為坐標 軸，并且經(jīng)過點軸，并且經(jīng)過

11、點M M（，），（，），拋物拋物 線線的標準方程的標準方程。 2 2 例例2 2：已知拋物線的方程為已知拋物線的方程為y y2 2=4x=4x, ,直線直線 l l 經(jīng)過點經(jīng)過點P(-2,1),P(-2,1),斜率為斜率為k k. .當當k k為何值為何值 時時, ,直線與直線與拋物線拋物線: :只有一個公共點只有一個公共點; ;有有 兩個公共點兩個公共點: :沒有公共點沒有公共點. . 練1:已知直線過點(0,-2)且與x2=2y恰有 一個公共點,求直線方程 判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序（一）判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序（一） 把直線方程代入拋物線方程把直線方程代入拋物線方程 得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程 直線與拋物線的直線與拋物線的 對稱軸平行（重合）對稱軸平行（重合） 相交（一個交點）相交（一個交點） 計計 算算 判判 別別 式式 0=00，X20，2p0, X1=X2. 所以所以 1 1 3 tan30 3 y x 2 1 1 , 2 y x p 11 2 3 ,| 24 3 .ypAByp (x1,y1) (x2,y2) 例例11.11.已知拋物線已知拋物線y=xy=x2 2, ,動弦動弦ABAB