線性代數(shù)教材講解

1、1 2021/3/11 第二章第二章 矩陣及其運算矩陣及其運算 n矩陣的概念矩陣的概念 n矩陣的運算矩陣的運算 n逆矩陣逆矩陣 n矩陣分塊法矩陣分塊法 2 2021/3/11 第一節(jié)第一節(jié) 線性方程組和矩陣線性方程組和矩陣 n矩陣概念的引入（線性方程組）矩陣概念的引入（線性方程組） n矩陣的定義矩陣的定義 n小結(jié)、思考題小結(jié)、思考題 3 2021/3/11 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 設(shè)線性方程組設(shè)線性方程組 , 21 不不全全為為零零若若常常數(shù)數(shù)項項 n bbb則稱此方程組為則稱此方程組為非非 齊次線

2、性方程組齊次線性方程組;, 21 全為零全為零若常數(shù)項若常數(shù)項 n bbb 此時稱方程組為此時稱方程組為齊次線性方程組齊次線性方程組. 1、非齊次與齊次線性方程組的概念、非齊次與齊次線性方程組的概念 一、矩陣概念的引入線性方程組一、矩陣概念的引入線性方程組 4 2021/3/11 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 2. 線性方程組線性方程組 的解取決于的解取決于 , 2 , 1,njiaij 系數(shù)系數(shù) n,ib i 21 常數(shù)項常數(shù)項 5 2021/3/11 nnnnn n n baaa baaa baaa

3、21 222221 111211 對線性方程組的對線性方程組的 研究可轉(zhuǎn)化為對研究可轉(zhuǎn)化為對 這張表的研究這張表的研究. 線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項按原位置可排為線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項按原位置可排為 3. 某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四四 城市之間開辟了若干航線城市之間開辟了若干航線 , 如圖所示表示了四城市間的如圖所示表示了四城市間的 航班圖航班圖,如果從如果從A到到B有航班有航班, 則用帶箭頭的線連接則用帶箭頭的線連接 A 與與B. A B C D 6 2021/3/11 四城市間的航班圖情況常用表格來表示四城市間的航班圖情況常用表格來表示: 發(fā)站發(fā)站 到站到站 ABCD A B

4、 C D 其中其中 表示有航班表示有航班. 為了便于計算為了便于計算,把表中的把表中的 改成改成1,空白地方填上空白地方填上 0,就得到一個數(shù)表就得到一個數(shù)表: 7 2021/3/11 11 11 11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 這個數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況這個數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況. ABCD A B C D 8 2021/3/11 田田 忌忌 的的 策策 略略 齊齊 王王 的的 策策 略略 1 1 上上 中中 下下 2 2 上上 下下 中中 3 3 中中 上上 下下 4 4 中中 下下 上上 5 5 下下 中中 上上 6 6 下下 上上 中中 1 1上上 中中

5、下下 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 - - 1 1 2 2上上 下下 中中 1 1 3 3 1 1 1 1 - - 1 1 1 1 3 3中中 上上 下下 1 1 - - 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 4 4中中 下下 上上 - - 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 5 5下下 中中 上上 1 1 1 1 - - 1 1 1 1 3 3 1 1 6 6下下 上上 中中 1 1 1 1 1 1 - - 1 1 1 1 3 3 4. 田忌賽馬田忌賽馬 9 2021/3/11 311111 131111 113111 111311 111131 111113 A 1

6、0 2021/3/11 由由 個數(shù)個數(shù) 排成的排成的 行行 列的數(shù)表列的數(shù)表 nm mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 稱為稱為 矩陣矩陣. .簡稱簡稱 矩陣矩陣. .nm nm 記作記作 二、矩陣的定義二、矩陣的定義 11 2021/3/11 mnmm n n aaa aaa aaa A 11 22221 11211 簡記為簡記為 . ij nm ijnm aaAA 元元 的的矩陣矩陣 nm A , .,簡簡稱稱為為元元的的元元素素個個數(shù)數(shù)稱稱為為這這Anm 元素是實數(shù)的矩陣稱為元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣

7、實矩陣, 元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣復(fù)矩陣. 12 2021/3/11 例如例如 3469 5301 是一個是一個 實矩陣實矩陣,42 222 222 2613i 是一個是一個 復(fù)矩陣復(fù)矩陣,33 4 2 1 是一個是一個 矩陣矩陣,13 9532 是一個是一個 矩陣矩陣,41 4 是一個是一個 矩陣矩陣.11 13 2021/3/11 矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別, 行列式是一個行列式是一個算式算式, 其行數(shù)和列數(shù)相同，一個數(shù)字行列式經(jīng)過計算其行數(shù)和列數(shù)相同，一個數(shù)字行列式經(jīng)過計算 可求得其值可求得其值, 而矩陣僅僅是一個而矩陣僅僅是一個數(shù)表數(shù)表, 它

8、的行數(shù)和它的行數(shù)和 列數(shù)可以不同列數(shù)可以不同. 14 2021/3/11 例如例如 222 222 2613i 是一個是一個3 階方陣階方陣. 三、特殊矩陣及與矩陣有關(guān)的概念三、特殊矩陣及與矩陣有關(guān)的概念 行數(shù)與列數(shù)都等于行數(shù)與列數(shù)都等于 的矩陣的矩陣 ，稱為，稱為 階階nn A . n A方陣方陣. .也可記作也可記作 對于方陣，可以計算其行列式，但要注意：對于方陣，可以計算其行列式，但要注意： 方陣方陣和和方陣的行列式方陣的行列式是不同的含義是不同的含義. 15 2021/3/11 , 2 1 n a a a B 只有一列的矩陣只有一列的矩陣 稱為稱為列矩陣列矩陣( (或或列向量列向量).

9、). (2(2）只有一行的矩陣）只有一行的矩陣 , 21n aaaA 稱為稱為行矩陣行矩陣( (或或行向量行向量) ). 16 2021/3/11 稱為稱為 ( (或或）. n 00 00 00 2 1 （3） 形如形如 的方陣的方陣, , O O 不全為不全為0 記作記作 ., 21n diagA 17 2021/3/11 (4)方陣方陣 100 010 001 n EE 稱為稱為單位矩陣單位矩陣（或（或單位陣單位陣）. . O O 全為全為1 18 2021/3/11 （5）元素全為零的矩陣稱為元素全為零的矩陣稱為零矩陣零矩陣， 零零 矩陣記作矩陣記作 或或 . . nm nm o o 注

10、意注意 .0000 0000 0000 0000 0000 不同階數(shù)的零矩陣是不相等的不同階數(shù)的零矩陣是不相等的. 例如例如 19 2021/3/11 AO |A| = 0 |A| = 0AO 若若 |A| = 0, 稱稱 A 為奇異矩陣；為奇異矩陣； 對于對于 n 階方陣階方陣A 若若 |A| = 0, 稱稱 A 為非奇異矩陣；為非奇異矩陣； 20 2021/3/11 (6) 設(shè)設(shè)A = ( aij )為為 n 階方陣階方陣, 對任意對任意 i, j, 如果如果aij = aji 都成立都成立, 則稱則稱A為為對稱矩陣對稱矩陣; 如果如果aij = aji 都成立都成立, 則稱則稱 A為為反

11、對稱矩陣反對稱矩陣; 例如例如: 643 452 321 A 043 402 320 B A為對稱矩陣為對稱矩陣, B為反對稱矩陣為反對稱矩陣. 21 2021/3/11 2. 2.兩個矩陣兩個矩陣 為為同型矩陣同型矩陣,并并 且對應(yīng)元素相等且對應(yīng)元素相等,即即 ijij AaBb與與 , 2 , 1;, 2 , 1njmiba ijij 則稱則稱矩陣矩陣 相等相等,記作記作BA與與 .BA 例如例如 93 48 314 73 65 21 與與 為為同型矩陣同型矩陣. (7) (7) 同型矩陣與矩陣相等的概念同型矩陣與矩陣相等的概念 1. 1.兩個矩陣的行數(shù)相等兩個矩陣的行數(shù)相等, ,列數(shù)相等

12、時列數(shù)相等時, ,稱為稱為同同 型矩陣型矩陣. 22 2021/3/11 例例1 之之個個變變量量與與個個變變量量 mn yyymxxxn, 2121 間的關(guān)系式間的關(guān)系式 . , , 2211 22221212 12121111 nmnmmm nn nn xaxaxay xaxaxay xaxaxay 的的到到變變量量表表示示一一個個從從變變量量 mn yyyxxx, 2121 線性變換線性變換.為常數(shù)為常數(shù)其中其中 ij a (8)(8)線性變換與矩陣之間關(guān)系線性變換與矩陣之間關(guān)系: : 23 2021/3/11 . , , 2211 22221212 12121111 nmnmmm nn

13、 nn xaxaxay xaxaxay xaxaxay mnmm n n aaa aaa aaa A 11 22221 11211 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣 線性變換與矩陣之間關(guān)系線性變換與矩陣之間關(guān)系: :存在著一一對應(yīng)關(guān)系存在著一一對應(yīng)關(guān)系. . 24 2021/3/11 若線性變換為若線性變換為 nn xy xy xy , , 22 11 稱之為稱之為恒等變換恒等變換. . nn xy xy xy , , 22 11 對應(yīng)對應(yīng) 100 010 001 單位陣單位陣. . 25 2021/3/11 線性變換線性變換 .cossin ,sincos 1 1 yxy yxx 對應(yīng)對應(yīng) cossin sincos X Y O yxP, 111 , yxP 這是一個以原點為中心這是一個以原點為中心 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 角的角的旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換. 26 2021/3/11 三、小結(jié) (1)(1)矩陣的概念矩陣的概念 mnmm n n aaa aaa aaa A 11 22221 11211 列的一個數(shù)表列的一個數(shù)表行行nm 27 2021/3/11 (2) 特殊矩陣特殊矩陣 方陣方陣 ;nm 行矩陣與列矩陣行矩陣與列矩陣; 單位矩陣單位矩陣; ; ; 零矩陣零矩陣. . 100 010 001 , 2 1 n a a