高三數(shù)學第一輪復習：統(tǒng)計（一）（理）人教實驗版（B）

1、高三數(shù)學第一輪復習：統(tǒng)計（一）（理）人教實驗版（B）【本講教育信息】一. 教學內容：高三復習專題：統(tǒng)計（一）二. 考綱要求（1）隨機抽樣：理解隨機抽樣的必要性和重要性會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法（2）總體估計了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差），并作出合理的解釋會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思

2、想，解決一些簡單的實際問題三. 知識分析【知識梳理】（一）隨機抽樣1、一種最簡單、最基本的抽樣方法是簡單隨機抽樣。簡單隨機抽樣有兩種選取個體的方法：放回和不放回。我們在抽樣調查中用的是不放回抽樣，也就是每次從總體中抽取元素后不再將這個元素放回總體。2、一般地，從元素個數(shù)為N的總體中不放回地抽取容量為n的樣本，如果每一次抽取時，總體中的各個個體都有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣，這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機樣本。常用的簡單隨機抽樣方法有抽簽法和隨機數(shù)表法。3、抽簽法的優(yōu)點是簡單易行，缺點是當總體容量較大時，費時、費力又不方便。況且，如果標號的紙片或小球攪拌得不均勻，可能導致抽樣

3、的不公平。4、隨機數(shù)表是由0，1，2，9這10個數(shù)字組成的數(shù)表，并且表中的每一位置出現(xiàn)各個數(shù)字的可能性相同。通過隨機數(shù)生成器，例如使用計算器或計算機的應用程序生成隨機數(shù)的功能，可以生成一張隨機數(shù)表。通常根據(jù)實際需要和方便使用的原則，將幾個組合成一組，如5個數(shù)一組，然后通過隨機數(shù)表抽取樣本。5、當總體元素個數(shù)很大時，樣本容量就不宜太小，采用簡單隨機抽樣，就顯得費事這時，可將總體分成均衡的若干部分，然后按照預先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣的方法叫做系統(tǒng)抽樣6、系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣的聯(lián)系在于：將總體均分后的每一部分進行抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣。7、當總體元素個

4、數(shù)較少時，常采用簡單隨機抽樣，當總體中元素個數(shù)較多時，常采用系統(tǒng)抽樣。8、分層抽樣的概念：將總體中各個個體按某種特征分成若干個互不重疊的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按層在總體中所占比例進行簡單隨機抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣9、當總體是由差異明顯的幾部分組成時，往往選用分層抽樣的方法分層抽樣的優(yōu)點是使樣本具有較強的代表性；而且在各層抽樣時，又可靈活地選用不同的抽樣法。（二）用樣本估計總體1、通常我們對總體作出的估計一般分成兩種，一種是用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布。另一種是用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征。2、分析數(shù)據(jù)的一種基本方法是用圖將它們畫出來，或者用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列

5、方式作圖可以達到兩個目的，一是從數(shù)據(jù)中提取信息，二是利用圖形傳遞信息表格則是通過改變數(shù)據(jù)的構成形式，為我們提供解釋數(shù)據(jù)的新方式。3、在頻率分布直方圖中，縱軸表示，數(shù)據(jù)落在各小組內的頻率用各小長方形的面積表示，各小長方形的面積總和等于1. 4、連結頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖，隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)不斷增加，相應的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱之為總體密度曲線，它能夠更加精細地反映總體在各個范圍內取值的百分比。5、當樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好它不但可以保留所有信息，而且可以隨時記錄，對數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來方便。6

6、、在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等。7、平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，方差、極差和標準差描述數(shù)據(jù)波動的大小也可以說方差、標準差和極差反映各個數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的離散程度8、標準差，其中是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，是樣本平均數(shù)。9、總體方差是反映總體波動大小的特征數(shù)，樣本方差是樣本中數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差的平方的特征通常用樣本方差估計總體方差，當樣本容量很大時，樣本方差很接近總體方差【要點解析】（一）隨機抽樣 1、抽樣方法是在用樣本研究總體時，為了保證獲取樣本的公平性和合理性產(chǎn)生的一些方法，所以任何一種抽樣方法都保證了獲取樣本的科學性2、系統(tǒng)抽樣，又稱等距抽樣，號碼序

7、列一確定，樣本即確定了，但要求總體中不能含有一定的周期性，否則樣本的代表性是不可靠的，甚至會導致明顯的偏差，如打撲克不洗牌就起牌，抽樣就失去了公平性3、抽樣方法經(jīng)常交叉起來使用，比如：分層抽樣，若每層中個體數(shù)量仍很大，則可輔之以系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)中的每一均衡的部分，又可采用簡單隨機抽樣4、要合理選擇抽樣方法，并遵循各種抽樣方法的步驟逐步進行5、三種抽樣方法的比較類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的機會均等從總體中逐個抽取總體中的個體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均勻分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣總體中的個體數(shù)較多分層抽樣將總體分成

8、幾層，分層進行抽取各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成（二）用樣本估計總體1、在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應的頻率，各小長方形的面積的和為1.2、眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的異同（1）眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，平均數(shù)是最重要的量（2）由于平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關，所以任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質（3）眾數(shù)考查各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分數(shù)據(jù)有關，當一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復出現(xiàn)時，其眾數(shù)往往更能反映問題（4）中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關，某些數(shù)據(jù)的變動對中位數(shù)沒有影響中位數(shù)可

9、能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中，也可能不在所給數(shù)據(jù)中當一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，可用中位數(shù)描述其集中趨勢（5）實際問題中求得的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)應帶上單位3、一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，而不是該數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)，如果兩個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相同，并且比其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都多，那么這兩個數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)4、一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是惟一的，求中位數(shù)時，必須先將這組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛?shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)，那么，最中間的一個數(shù)據(jù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)，那么，最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)【典型例題】【例1】某校有學生1200人

10、，為了調查某種情況，打算抽取一個容量為50的樣本，問此樣本若采用簡單隨機抽樣將如何獲得？解析：首先，把該校學生都編上號碼：0001，0002，0003，1200。如用抽簽法，則做1200個形狀、大小相同的號簽（號簽可以用小球、卡片、紙條等制作），然后將這些號簽放在同一個箱子里，進行均勻攪拌。抽簽時，每次從中抽出1個號簽，連續(xù)抽取50次，就得到一個容量為50的樣本【例2】某工廠有1003名工人，從中抽取10人參加體檢，試用系統(tǒng)抽樣進行具體實施解析：（1）由0001至1003，將每個人編一個號。（2）利用隨機數(shù)表法找到3個號將這3名工人排除。（3）將剩余的1000名工人重新編號為0001至1000

11、。（4）分段，取間隔，將總體均分為10組，每組含100個工人（5）從第一段，即為0001號到0100號中隨機抽取一個號l。（6）按編號將l，100l，200l，900l共10個號選出,這10個號所對應的工人組成樣本.【例3】一個單位有職工160人，其中有業(yè)務人員112人，管理人員16人，后勤服務人員32人，為了了解職工的某種情況，要從中抽取一個容量為20的樣本，用分層抽樣的方法抽取樣本，并寫出過程解析：三部分所含個體數(shù)為1121632 = 712，設三部分各抽個體數(shù)為7x，x，2x，則由7x + x + 2x = 20得x = 2。故業(yè)務人員、管理人員、后勤服務人員抽取的個體數(shù)分別為14，2和

12、4。對112名業(yè)務人員按系統(tǒng)抽樣分成14個部分，其中每個部分包含8個個體，對每個部分利用簡單隨機抽樣抽取個體若將160名人員依次編號為1，2，3，160.那么在1112名業(yè)務人員中第一部分的個體編號為18。從中隨機取一個號碼，如它是4號，那么可以從第4號起，按系統(tǒng)抽樣法每隔8個抽取1個號碼，這樣得到112名業(yè)務人員被抽出的14個號碼依次為4，12，20，28，36，44，52，60，68，76，84，92，100，l08同樣可抽出的管理人員和后勤服務人員的號碼分別為116，124和132，140，148，156。將以上各層抽出的個體合并起來，就得到容量為20的樣本另解：由16020 = 8，所

13、以可在各層中人員按81的比例抽取，又因為168 = 2，1128 = 14，328 = 4所以管理人員2人，后勤服務人員4人，業(yè)務人員14人以下同解法一?！纠?】為了考察某校的教學水平，將抽查這個學校高三年級部分學生的本學年考試成績?yōu)榱巳娴胤从硨嶋H情況，采取以下三種方式進行（已知該校高三年級共有14個教學班，并且每個班內的學生都已經(jīng)按隨機方式編好了學號，假定該校每班人數(shù)都相同）從全年級14個班中任意抽取一個班，再從該班中任意抽取14人，考察他們的學習成績；每個班都抽取1人，共計14人，考察這14個學生的成績；把學校高三年級的學生按成績分成優(yōu)秀、良好、普通三個級別，從中抽取100名學生進行考察

14、（已知若按成績分，該校高三學生中優(yōu)秀學生有105名，良好學生有420名，普通學生有175名）根據(jù)上面的敘述，試回答下列問題：（1）上面三種抽取方式中，其總體、個體、樣本分別指什么？每一種抽取方式抽取的樣本中，其樣本容量分別是多少？（2）上面三種抽取方式各自采用何種抽取樣本的方法？（3）試分別寫出上面三種抽取方式各自抽取樣本的步驟解析：（1）這三種抽取方式中，其總體都是指該校高三全體學生本年度的考試成績，個體都是指高三年級每個學生本年度的考試成績其中第一種抽取方式中樣本為所抽取的14名學生本年度的考試成績，樣本容量為14；第二種抽取方式中樣本為所抽取的14名學生本年度的考試成績，樣本容量為14；

15、第三種抽取方式中樣本為所抽取的100名學生本年度的考試成績，樣本容量為100.（2）上面三種抽取方式中，第一種方式采用的方法是簡單隨機抽樣法；第二種方式采用的方法是系統(tǒng)抽樣法和簡單隨機抽樣法；第三種方式采用的方法是分層抽樣法和簡單隨機抽樣法（3）第一種方式抽樣的步驟如下：首先在這14個班中用抽簽法任意抽取一個班，然后從這個班中按學號用隨機數(shù)表法或抽簽法抽取14名學生，考察其考試成績第二種方式抽樣的步驟如下：首先在第一個班中，用簡單隨機抽樣法任意抽取某一學生，記其學號為x，然后在其余的13個班中，選取學號為x的學生，共計14人第三種方式抽樣的步驟如下：首先分層，因為若按成績分，其中優(yōu)秀生共105

16、人，良好生共420人，普通生共175人，所以在抽取樣本中，應該把全體學生分成三個層次，然后確定各個層次抽取的人數(shù)，因為樣本容量與總體的個數(shù)比為10070017，所以在每個層次抽取的個體數(shù)依次為，即15，60，25再按層次分別抽取，在優(yōu)秀生中用簡單隨機抽樣法抽取15人，在良好生中用簡單隨機抽樣法抽取60人，在普通生中用簡單隨機抽樣法抽取25人點評：本題關鍵是靈活運用統(tǒng)計初步中的一些基本概念和基本方法，對照簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的概念得出抽樣過程由于分層抽樣充分利用總體的一些信息，從而具有較好的代表性，在實踐中有著廣泛的應用設計抽樣方法時，一方面要使樣本具有好的代表性，就要將總體“攪拌均

17、勻”，使每個個體有同樣的機會被抽中，另一方面應當努力使抽樣過程簡便易行?！纠?】為了解某校初中畢業(yè)男生的體能狀況，從該校初中畢業(yè)班學生中抽取若干名男生進行鉛球測試，把所得數(shù)據(jù)（精確到0.1米）進行整理后，分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分（如下圖），已知從左到右前5個小組的頻率分別為0.04，0. 10，0. 14，0.28，0.30，第6小組的頻數(shù)是7（1）請將頻率分布直方圖補充完整；（2）該校參加這次鉛球測試的男生有多少人？（3）若成績在8.0米以上（含8.0米）的為合格，試求這次鉛球測試的成績的合格率；（4）在這次測試中，你能確定該校參加測試的男生鉛球成績的眾數(shù)和中位數(shù)各落在哪個小組內嗎

18、？解析：（1）由頻率分布直方圖的意義可知，各小組頻率之和為1，故第6小組的頻率為：1（0.04 + 0.10 + 0.14 + 0.28 + 0.30）= 0.14 ，易知第6小組與第3小組的頻率相等，故兩個小長方形等高，圖略（2）由（1）知，第6小組的頻率是0.14。又因為第6小組的頻數(shù)是7，現(xiàn)設參加這次測試的男生有x人，根據(jù)頻率定義，得，即（人）（3）由圖可知，第4、5、6小組成績在8.0米以上，其頻率之和為：0.280.30十0.140.72，故合格率為72%（4）能確定中位數(shù)落在第4小組，而眾數(shù)落在第5小組 點評：解決該類問題時應正確理解圖表中各個量的意義，識圖掌握信息是解決該類問題的

19、關鍵頻率分布指的是一個樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內所占的比例的大小一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布其中， 頻率分布直方圖中縱軸表示，；頻率分布直方圖中，各小長方形的面積之和為1，因此在頻率分布直方圖中，組距是一個固定值，所以長方形高的比也就是頻率之比；頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種形式，前者準確，后者直觀；眾數(shù)為最高矩形的中點；中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標【例6】對某電子元件進行壽命追蹤調查，情況如下：壽命（h）100200200300300400400500500600個數(shù)2030804030（1）列出頻率分布表；（2）畫出頻率分布直

20、方圖；（3）估計電子元件壽命在100h400h以內的概率；（4）估計電子元件壽命在400h以上的概率。解析：（1）樣本頻率分布表如下：壽命（h）頻數(shù)頻率100200200.1020030030040400500400.20500600300.15合計2001（2）頻率分布直方圖：（3）由頻率分布表可以看出，壽命在100h400h的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.65，所以我們估計電子元件壽命在100h400h的概率為0.65.（4）由頻率分布表可知，壽命在400h以上的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.20+0.150.35，故我們估計電子元件壽命在400h以上的概率為0.35.【例7

21、】從甲、乙兩種玉米苗中各抽10株，分別測得它們的株高如下（單位：cm）：甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40問：（1）哪種玉米的苗長得高？（2）哪種玉米的苗長得齊？解析：（1）所以，即乙種玉米的苗長得高。（2），。【模擬試題】1. 某大學數(shù)學系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年級的學生比為4321，要用分層抽樣的方法從所有本科生中抽取一個容量為200的樣本，則應抽取三年級的學生為（ ）人A. 80 B. 40C. 60 D. 20 2. 在樣本頻率分布直方圖中，共有11個小長方形，若中間一個小長方形

22、的面積等于其他10個小長方形面積和的，且樣本容量為160，則中間一組的頻數(shù)為A. 32B. 0.2C. 40D. 0.25 3. 如圖是150輛汽車通過某路段時速度（整數(shù)）的頻率分布直方圖，則速度在的汽車大約有A. 30輛B. 40輛C. 50輛D. 60輛 4. 若樣本數(shù)據(jù)1，的平均數(shù)是10，方差是2，那么對于樣本數(shù)據(jù)，有A. 平均數(shù)為10，方差為2B. 平均數(shù)為11，方差為3C. 平均數(shù)為11，方差為2D. 平均數(shù)為14，方差為4 5. 有一筆統(tǒng)計資料，共有11個數(shù)據(jù)如下（不完全依大小排列）2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，x，已知這組數(shù)據(jù)平均數(shù)為6，則這組數(shù)據(jù)的方差為A. 6B.

23、 C. D. 6.5 6. 某班有50名學生，某次數(shù)學考試的成績經(jīng)計算得到平均分數(shù)是70分，標準差是s，后來發(fā)現(xiàn)記錄有誤，某甲得70分卻誤記為40分，某乙得50分卻誤記為80分，更正后重新計算得標準差為，則與之間的大小關系是A. B. C. D. 不能確定 7. 從M個產(chǎn)品中抽取含N個個體的樣本進行合格檢驗，則每個產(chǎn)品被抽到的概率為_。 8. 一個高中研究性學習小組對本地區(qū)2004年至2006年快餐公司發(fā)展情況進行了調查，制成了該地區(qū)快餐公司個數(shù)情況的條形圖和快餐公司盒飯年銷售量平均數(shù)情況的條形圖（如下圖），根據(jù)圖中提供的信息可以得出這三年中該地區(qū)每年平均銷售盒飯_萬盒。 9. 甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預選賽，他們分別射擊了5次，成績如下表（單位：環(huán)）：甲108999乙1010799如果甲乙兩人中只有一個人入選，則入選的應是_10. 某單位在崗職工共624人，為了調查工人用于上班途中的時間，決定抽取10的工人進行調查，如何采用系統(tǒng)抽樣方法完成這一抽樣？ 11. 有一容量為50的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：，4；，5；，10；，11；，9；，8；，3。（1）列出樣本的頻率分布表；（2）畫出頻率分